专题卷(3)三角函数与解三角形、平面向量-【鱼跃龙门卷】2026年高三数学二轮复习专题金卷

·数学· .1 (i)证明：由(1)可知，-a<x,<。-a,且(x1+a)ln(x,+ 设8m)-是-m+3hm,gm)= 2 -4m3+ 1 a)十x1=0, (3m2-2)-4m<0, 所以f(x1)=xn(x1十a)=-(x1十a)ln(x1十a), 设A)-zhz(<）,显然Ax)<0, g(m)在(0,2)上单调递被，g(m)>g(2)-(4-6) 又h'(x)=-(2+lnx)lnx, 3ln2>3-3ln2>0, 当x(0,)时，(x)<0,可知h(x)在(0，)上单调 即()>0，所以3∈()使fe)-0, 递减， 因为f(）=m(}-z)-n是=m(任-)+nx 且（得）=-专可得-专<(）<0， [m(e-）-1n]=-fx, 所以-专<，)0. 19.(1)解：f(x)的定义域为(0，十∞)， 又因为m>→0m=1所以fm)=-f()0, f)=m1+2)m2t 所以3a∈(m3,x1)使f(a)=0, x 令m.x2-x十m=0,则4=1-4m2 所以当0<m<2时，f(x)有三个零点a,b=1c,所以实数n 当m≥2时，4=1-4m2≤0，所以mx2-x+m≥0恒成立， 的取值范图为(0,2)， 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增； （1)证明：由(1)可知，f(x)的三个零点：a∈(0,1)，b=1,c∈ (1,+∞)， 当0<m<号时，4=1-4m>0, 因为f(2）=-f),且fa)=fe)=0,所以ac=1, 所以f(x)=0的两根为x1= 1-W1-4m 1 2m 又因为0<m< 2 >2,所以a+C>a+2=a+ x,=1+1-4m m m a 2m 因为a∈(0,1D,所以函数h(a)=a十2单调递减，h(a)> 且x1十x2=m >0,x1x2=1>0,所以0<x1<x2, h(1)=3, 所以当x∈(x1,x2)时，f'(x)<0,当x∈(0，x1)或(x2,+o∞) 所以a十S>a十2c=a+2>3=36,得证. m a 时，f'(x)>0. 所以f(x)在(x1,x2)上单调递减，在(0，x1),(x2,十∞)上单 数学（三） 调递增。 一、选择题 综上：当0<m<合时，f)在 1-√1-4mZ 1.A2.C3.D4.C5.B6.C7.B8.D 2m ￥C【解析】因为BC=2,BA=4,∠ABC=120°， 1十-4m)上单调递减， 2m 所以威·成-2×4×(-召）=-4，如图，作 在(0,1一二m),(+m,+∞)上单调递增； OH⊥AB,连接OA,OB,OC,由题意得O是 2m 2m △ABC外接圆的圆心，所以OA=OB,故 当m≥2时，fx)在0，十∞)上单调递增， △OAB是等腰三角形，在△OBH中，coS∠OBA= 器在 (2)(1)解：由1)可知当m≥2时，fx)在(0，十∞)上单调递 △OAB中，由三线合一性质得H是AB的中点，所以BA· 增，不可能有三个零点； Bò=|Bi1·|Bò1cos∠OBA=|BA·Bò1.B BO 当0<m<名时，f(x)=0的两根为工，-1上二m 2m 名耐-8，同理可得动.成-专：=2，又ò- x,-1+-4m BA+uBC,所以BA.Bò=ABA+BC.BA=16x-4μ=8， 2m Bò·BC=:BC+BC.BA=4μ-4以=2，联立 且，十：=>0，x2-1>0,所以0<<1<，且 一28解得=吾=专故2以-=号 4-4λ=2， f(1)=0, 二、选择题 因为f(x)在(x1,x2)上单调递减，所以f(x1)>f(1)=0> 9.ACD 10.BCD f(x2), 11.ABD【解析】对于A,当x十y=1时， 因为0<m<，所以是>1+=() OC=xOA+yOB=xOA+(1-x)0B, m31 2m 平面向量基本定理，可得A,B,C三点共 mi-m'+3ln m, 线，故A正确； 参考答案及解析 对于B,如图，当x=号y=时，由0心=号0i+号oi,可 四、解答题 15.解：(1)根据题意2b=bcosA十√3 asin B, 得O心-Oi=子Oi-O,即AC=号A店，放A,B,C三点 则由正弦定理得，2sinB=cos Asin B十√3 sin Asin B, 因为sinB≠0，所以2=cosA+√3sinA, 共线，且AC=2CB,过点C作CD/OA,交OB于点D,因为 a=110=2,则哈品-8器分品胎分故 所以sn(A+若）=1， CD=OD,则∠DOC=∠DCO,由CD∥OA可得∠AOC= 因为A∈0，，则A+吾∈（合，）， ∠DCO,则∠AOC=∠DOC,故OC平分 B ∠AOB,故B正确；对于C,如图，以O为 所以A+日-受解得A=吾 坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平 面直角坐标系，则A1,0,B(2cms号。 @吟应-嘉-斋则-市-1 又AD=A正+A京，则四边形AEDF为菱形，AD为∠BAC的 2r\ 2sin3）,即B(-1W),因为10心1=1， 角平分线. |AD12=(A正+A)2=A正+A+2A龙.A市=1+1+2× 不妨设C(cos0,sin8),由Od=xOA+yOi可得(cos0, sin0)=(x,0)+(-y,3y),故得 (x-y=cos 0, 1X1Xc0s号-3， 解得 3y=sin 0, 则AD=√3， √3 x= 3 sin 0+cos 0, 故x+y-23sin0+cos0=②I -sin(0 3 3 b十c, y-3 sin 0, p),其中m9-汽，放+y的最大值为 由余弦定理可得a2=62+2-2cos子=4， 3,放C错误；对 即(b+c)2-3bc=(bc)2-3bc=4,解得bc=4, 于D,由C项得-ga(停n6十as）=号m0十 .1 1 所以SaAc=2 sn3=5. 16.解：(1)如图，在△ABC中，过点A作 nm-}×1上2+a8-g+}n(a 3 AD⊥BC于点D, 3 2 合)，因为-1长n(20若）≤1，放得-君<≤分，即 1 由已知得9∈(0，)，则AB=BCeos0= acos 0. 的取值花图为[-日号]故D正确。 在△ABD中，AD=ABsin0=acos0sin0. 、填空题 所以S,=2BC·AD=2asin0cos9=asn20,0e(0. 1 2. 2413.-2 》. 4.√5【解析】设△ABC的面积为S,△ABC的外接圆半径为R= 5.由正弦定理C=2R=10,则S=号iC=子山 c 设PQ=QR=x,易知∠ABC=∠RSC=0,则an)+x+ xtan 0=a. 资(，+年2云)广=（云）广由余定理得 a asin 0cos 0 asin 20 所以x= m0-兰，则s=gmC=owa tan+1+tan0 1 1+sin 0cos 0 sin20+2,所以 esc-6[1-a+门-8-a2+6-y a2sin220 S2=x2 sin20+29e(0,）. 4a262」 16 1 由2ab≤a2+b2,得4a2b2≤(a2+b2)2,所以S2= 4a'sin 20 1 4a262-（a+2-c2)≤a2+b)2-a2+b2-c) 2)可知52 a2 sin220 sin20+n29+1,0∈0y 4 16 16 (sin20+2)2 (2a2+2b2-c2)c2 (2a2+2b2-c2)5c2 ≤ 16 80 2a3+26-c3+5c2y-a+b+2cy,当且仅当2a+ 4×80 80 令=m0eo3-f0)-++1， 25-。=5时取等号所以（+2）广= 由对勾函数的性质可得f(t)在(0,1]上单调递减， 9 S 1 abc 所以f(t)mn=f(1)= 40(a2+6+2c)≤40×80=5，则。+6+2c的最大值 4 9 为√5. 所以“规划合理度”的最小值为 高三二轮复习专题卷 17.解：1f)=in音-c0sar血君 一c0Sx= 2 sin wx c0s cos in 3 将（行0）代A得5sin(答-）=0， 故管-背-kx,∈乙，解得u=6+2,&∈Z 又0<w<3,故当k=0时，w=2满足要求. (2由1)知，jx)=5sin(2x-）, 当eo.可时2-晋∈[-吾]， 故当2x-音c[-]或2-∈[ 即x∈[0司或[晋时，)单调递瑞， 「11π1 放)的单调道增区间为[0，哥[出， 8+）-sm2a=m2a 5 又[子，所以2a[受2]， 因为n2a-停>0，所以2a∈[受可： 放ae[行]asa=--m五= 2W5 10 5 又9[]，做[臣 又sng-)->0所以-e[小， 所以os(g-a)=-V-sin(g-a)=-3V0 10 cos(a+B)=cos [(B-a)+2a]=cos(B-a)cos 2a-sin(B- 其中e+c[经，2可]，故a+8-程 18.(1)解：由a=bcos A和正弦定理知sinA=sin Bcos A, 又B=日，则sinA=2cosA, 又simA+cogA=1,且A∈(0，)，解得sinA=5 51 (2)解：由tanC= -sinA得inC=1-sinA, cos A cos C cos A sin Ccos A+cos Csin A=cos C, 即sin(A+C)=cosC, 由A+B十C=π，得sin(π-B)=cosC,即sinB=cosC, 则B=C+受或B+C=受， 当B十C-受时，A-受，与题目中的A≠受矛盾，合去，故 B=C+受， 又A+B+C=,放A+B+B-登=，即A+2B-受 (3)证明：因为sinA=sin Bcos A, 则sin(经-2B）=sin Beos(经-2B）, 则cos2B=sin Bsin2B,即cos2B=2sin2 Bcos B, 2 cos2 B-1=2(1-cos2 B)cos B, E2 cos3 B+2 cos2 B-2cos B-1=0, 因为B=C+受放B为纯角， 令t=cosB,-1<t<0, 则f(t)=2t3+2t2-2t-1(-1<t<0), 由f'(t)=6t2+4t-2=2(3t-1)(t+1)<0, 放f在(-1.0)上单调递减，有f(-2)>0,(-号）<0， 所以-sB<-号 因为B∈（受，则<B<, 51 由{smA=si血Bcos A,可得amA=sinB=cosC, sin B=cos C <aC<石，从雨号<血C<名则C<音 又5<anA<√则A>所以A>C,即a> 2 sin C5 又5=sinB√215，则5c>2b, 5 综上，5a>5c>2b. 解：(1)由向量m=(W3 sin wx,cos wx),n=(cosz,一cosz),得 f(x)=m·n-21 1 1_5 3sin ocos ucosu2 sin 2 分os2ar-1=sin(2r-若）-1， 1 因为f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2， 可得T=,所以2w--2,即w=1, 所以f(x=sin(2x-君）-1. (2)解法-：由1)知f)=sim(2x-）-1, 因为x∈a,2a),所以2x-吾∈(2a-吾4a-若）， 又因为2a-a≤号，可得ae(0,], T 所以2a吾∈（云]a音∈（音g], 则(2a-百a-晋)=[-8，]或(2a-吾a-)9 「π3π 22: 解得aE(o,】政e∈[号引， 所以。的取值范围为(o,]U[行，阅， 解法二：由(1)知f(x)=sin(2z-音）-1， 所以数f)的单调区间为[-吾+经+€Z 。4 因为函数f(x)在区间(a,2a)上单调， 1 则满足a,2✉)[-晋+经晋+k∈z an· -5=0，进-步可转化为a1-4=-号(a.-4,由此 ≥+ 可知，数列2，一4)是以21-4=4为首项，一子为公比的等比 可得 k∈Z, 数列，所以a,-4=4·() ,当n=4时，a4-4=4· 2a≤3+2' (-）,即a=4-6-路 163 41 7.C【解析】因为正方体棱长为2，所以内切球O1的半径R1=1 因为-晋十告音+经eZ所以=0度=1， (内切球直径等于正方体棱长)，对于球On(n≥2)：球O.与正 方体的三个面相切，故其球心坐标为(R,,R,R,);球O与球 当=0时a∈(o,]当k=1时a∈[晋， O.-1相切，两球心距离为3(Rm-1一R),该距离等于R-1十 所以a的取值范国为(o,]U[管，哥。 R.,由此得到递推关系：√3(R.-1一R.)=R.-1十R,整理得 (3)[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m2+m=0等价于[f(x) R,=R1·店-(2-3)R,,所以{R,是首项R,=1, W3+1 (m+1)][f(x)-m]=0, 公比q=2一3的等比数列，B正确；对于A:R2=R1·(2-√3)= 解得f(x)=m十1或f(x)=m. 因为[后，所以2x-晋≤[后， g一A正确，对于℃等比数列优，的前：项和8号 当2红-∈[后引时f)是增函数，f[-0小， 得周为=2<1浙以8有2所 √3-1 当2-音[登]时1)是减西数，)[-2,0， 以Sn<1,C错误；对于D:球的体积V,=专R:,V:+ 2 当2x- ∈[1时]时，f)是塔函数，fa)e[-2 4 V2+V++V.=3π(R+R+R+…+R),因为{R:}是 引 首项为1，公比为q3=(2-√5)3的等比数列，所以R十R+ 方程[f(x)]一(2m十1)f(x)十m2+m=0有三个不同的实数 1-21-2t8所以 R+…+R:=1-(2-3)” 1 根等价于f(x)=m十1有一个实数解且f(x)=m有两个不同 的实数解或f(x)=m+1有两个不同的实数解且f(x)=m有 4,5+35_10十65)r,D正确. 一个实数解. V,+V2+V,+…+V.<3 10 15 ①当m<-2或m>-1时，不符合题意； 8.B【解析】将数列分组，使每组第一项均为1，即： ②当m=一2时，则m+1=一1，f(x)=m有一个实数解， 第一组：2°， f(x)=m十1有一个实数解，不符合题意； 第二组：2°，22， ③当-2<m<-2时，则-1<m+1<-2,f)=m有两个 1 第三组：2°，2,22， 不同的实数解，f(x)=m十1有一个实数解，符合题意； 第k组：2°，21,22，…，2-1， ④当m-2时，则m十1--名，fx)-m有两个不同的实 1 根据等比数列前n项和公式，得每组的和分别为2一1,2一1， …,2一1，前组含有的项数为N=1+2+3+…+k 数解，f(x)=m十1有两个不同的实数解，不符合题意； 6,+1D.所以5、=2-1十2-1十十2*-1=21-2）-= 回当-号<m<-1时，-号<m+1<0,f)=m有-个实 1-2 2+1-2-k=2+1-(k+2).若S。=2(t∈N*),即2+1-(k十 数解，f(x)=m十1有两个不同的实数解，符合题意； 2)=2(t∈N),将选项A代入，若n=16,则k=5,即S16为前5 ⑥当m=一1时，m十1=0，f(x)=m有一个实数解，f(x) 组的所有数与第6组的第1个数的和，此时S16=2一(5+2)十1 m十1有一个实数解，不符合题意. 2,t∈N*无解；同理若n=95,则=13，此时Ss=24-(13+ 综上，m的取值范围为(-2-号)U(-名，-1小， 2)+1十2十4十8=214，即t=14∈N“,符合题意；同理若n= 189,则k=18,此时S189=S1-218=220-(19十2)-28=3× 数学（四） 218-21=2,t∈N无解；同理若n=330,则k=25,此时S30= 、选择题 226-(25+2)+1+2十4+8+16=226+4=2，t∈N*无解，综 C2.D3.A4.D5.C 上可知，n=95. B【解析】函数f(x)=an+1·sin(πx)-anx2+amx-5,其中 *A【解析】对于①：因为数列{an},{b.)均为等差数列，设an=kn十 m,bn=cm十d,则an-bn=(k-c)n十m-d,若k-c>0,可知当 y=sin(x)与y=一a,x2十ax一5的图象均关于直线x=2 1 >公时0，一6，>0恒浪立，不清足交错数列，若女一-6= 对称，故f(x)的图象关于直线x=合对称，因为z∈(0,1D时 0,可知am一bn的符号不变，不满足交错数列；若k-c<0,可知 f(x)恰有一个零点，所以该零点为x=分，即f(号）=0，将 当>一公时，a,一6，<0恒成立，不清足交错数列，综上所 =号代入f,结合s血=1，可得a11-a,·()°+ 述：对任意等差数列{an},{bn),{bn}均不是{an}的交错数列，故 ①为真命题；对于②：因为数列{an}为等比数列，设an=aq”,2025一2026学年度高三二轮复习专题卷（三） 6.若直线y=m与曲线y=f()=2sin(2x十)x∈[0，的图象从左往右仅相交于A,B,C 数学·三角函数与解三角形、平面向量 三点，且5AB=|BC,则实数m的值为 (考试时间120分钟，总分150分) B.2 C.3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。带题目为能力提升题，分值不计入总分。 7.设等差数列(a.}的前n项和为S。,已知a,=6,S:=20,设b.= sin 2 一，则数列(b.}的 c0sa。c0saw+ 1.已知向量a,b满足|a|=2,b=(2,0),且a十b=2,则a在b上的投影向量为 前项和为 A.(-1,0) B.(1,0) A.cos 2n B.tan 2n C.(-2,0) D.(2,0) C.cos(2n+2) D.tan(2n+2) 2在△ABC中，若AC=6,C=AB=2,则△ABC解的个数为 8.已知|a=2,|b=1,a·b=0,c+a+c-a=4,d2一4b·d+3=0,则1c-d|的最大值为 A.0个 B.1个 A.2I+1 C.2个 D.不确定 B.4 c.4@+2 D.22+1 3 3.将函数f(x)=tan(2x十p)图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象.若g(x)为 *已知点O是△ABC的外心，BC=2,BA=4,∠ABC=120°，若B0=ABA+BC,则2A-H= 奇函数，则正实数的最小值为 A.- R君 c n A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 C.o D音 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在四边形OACB中，△ABC为等边三角形，设∠AOB=0,0<0<x,OA=2OB=4,则下 4.在△ABC中，“A>B>C"是“cos2A<cos2B<cos2C"的 列说法正确的有 A。必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不必要条件也不充分条件 A当0-2时，△OAB的面积最大 5.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA十 B.AB=√20-12cos0 AC ABIcos BIACIos ),a∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 C若0i,A=-12,则0=君 A.重心 B.垂心 D.四边形OACB面积的最大值为8+53 C.外心 D,内心 数学·专题卷（三）第1页（共8页） 鱼跃龙门卷 数学·专题卷（三）第2页（共8页] 10.已知f(x)=sin"x十cos"x(n∈N),则下列说法正确的是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) A.当n=1时，fx)在(0，)上的值城为1wW2) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=beos A+√3 asin B,且a=2. R当m=1时f(2x)的图象可由函数y=巨c0s2x的图象向左平移g个单位长度得到 (1)求A: C当n=6时，x)的值城为[}】 (②)若点D在线段BC上，且满足AD=A店十AC 西AC,求△ABC的面积. D若有在正低数，使得十a(偏+m0对任意：ER恒成立则a[-号，引 1.设平面向量0i,0丽的夹角为，若101-1，O1=2且0心-x0+0正，则 A,当x十y=1时，A,B,C三点共线 B当-号y-时.0C平分∠A0 C.当OC1=1时，x+y的最大值为2 D.当0心-1时y的取值范围为[-行引 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知xe(g),sim(e-)=号，则tan(2zx+若)= 13.已知a,b满足|a|=3,b|=1,且对任意的实数x,不等式a十xb≥|a十b|恒成立，设a, b的夹角为0，则tan0=一 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且外接圆半径为R=5,则 abe +6+2c的最 大值为· 数学·专题卷（三）第3页（共8页） 鱼跃龙门卷 数学·专题卷（三）第4页（共8页） 班级 16.(15分) 17.(15分) 如图所示，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草坪，△ABC 姓名 设函数f(x)=simn(eur一君)十sin(or一经，其中0<u<3,已知函数f(x)的图象关于点 的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花.若BC=a,∠ABC=0,设△ABC的面积为 得分 (0)成中心对称。 S,正方形PQRS的面积为S:,将比值称为规划合理度 (1)求w (1)试用a,0表示S,和S2. (2)当x∈[0，x]时，求函数f(x)的单调递增区间： (2)当a为定值，0变化时，求“规划合理度”的最小值. 选择题 答题栏 8若∈[臣ac[s习，且+》-如g-o-西求e+a的值 1 2 67 8*901 数学·专题卷（三）第5页（共8页） 鱼跃龙门卷 数学·专题卷（三）第6页{共8页) 18.(17分) 19.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,e,A≠，且a=cosA. 已知向量m=(3sinx,cosx),n=(cos wx,-cOs r)(>0,x∈R),f（x)=m·n一2 )若B=答，求inA: 且∫(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为。 e若mc-求A+2B: (1)求函数f(x)的解析式： (2)若a>0,且函数f(x)在区间(a,2a)上单调，求a的取值范围： (3)在(2)的条件下，求证：5a>5c>2b. (3)当xE[石丙时，关于x的方程[f(x)-(2m+1)f(x)+m2+m=0恰有三个不同的 实数根，求m的取值范围。 数学·专题卷（三第7页（共8页） 鱼跃龙门卷 数学·专题卷（三）第8页（共8页）