利用导数研究不等式恒（能）成立问题讲义-2026届高三数学二轮复习

利用导数研究不等式恒（能）成立问题 题型一：分离参数法 规律与方法 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 1.（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； 2.（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 3.（分离参数法+二阶求导）（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 3.(同构后分参)（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 题型二　分类讨论法 规律与方法 对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围． 1.(分类讨论)设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－ln x(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)证明：当x>1时，f(x)>0； (2)讨论g(x)的单调性； (3)若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 2.(最值法+分类讨论)（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 3.（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 题型三　等价转化法 规律与方法 1.“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． 2.构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题． 1.（单函数双变量）（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 2.（双函数+双变量）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 3.（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 4.（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数． (1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围； (2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 题型四　端点效应 规律与方法 端点效应 （1）端点效应的定义 恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应. （2）端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求. （3）端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决. 利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 ①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 ②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 ③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 3、端点效应的类型 （1）必要条件缩小范围 ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即 此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. （2）充分性求结果 ：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； ①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； ②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值. 1．（2025 宁波二模）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 2．已知函数．当时，，求a的取值范围； 课后作业： 1.（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 2.（2026·广东深圳·二模）已知函数． (1)若在时取极值，求的值和的极小值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 3.（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 4.（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 5.(2026·河北邯郸·二模）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)已知对于任意，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 6.（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 7.（25-26高三上·福建漳州·月考）已知， (1)当时，证明：； (2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有. 8.（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 9．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 10（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 11.（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 12.已知函数．当时，恒成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 题型一：分离参数法 规律与方法 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 1.（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. （2）当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. 2.（25-26高三上·宁夏中卫·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】(1) (2)函数的极大值为，极小值为 (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值； （3）根据题意转化为在内有解，进而构造函数求解最大值即可. 【详解】（1）解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 （3）解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 3.（分离参数法+二阶求导）（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 3.(同构后分参)（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数极值点的辨析 【分析】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解； （2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，显然， 因为函数的极小值为， 所以，解得， 此时当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为，满足要求， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）知：当时，， 所以在上递增， 因为存在，使得成立，即， 所以存在，使得成立， 所以存在，使得成立，即成立， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，则实数b的取值范围是. 题型二　分类讨论法 规律与方法 对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围． 1.(分类讨论)设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－ln x(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)证明：当x>1时，f(x)>0； (2)讨论g(x)的单调性； (3)若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)证明：f(x)＝，令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1， 当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)>0， 从而当x>1时，f(x)>0. (2)g′(x)＝2ax－＝(x>0)，当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当a>0时，由g′(x)＝0得x＝ .当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． (3)由(1)知，当x>1时，f(x)>0. 当a≤0，x>1时，g(x)＝a(x2－1)－ln x<0，故当f(x)<g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0. 当0<a<时， >1，g(x)在上单调递减，g<g(1)＝0，而f>0，所以此时f(x)<g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a≥时，令h(x)＝g(x)－f(x)(x≥1)， 当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0， 因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0， 所以当x>1时，h(x)＝g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)恒成立． 综上，a的取值范围为. 2.(最值法+分类讨论)（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和；(2) 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，令，即可求出的单调递增区间； （2）分，，三种情况讨论在上的单调性，借助导数及单调性分别求出在上的最小值，令，即可求出实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为．当时，，，令，解得或， 所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时，当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以，即，移项可得， 因为，所以满足条件；当时，当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减；所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以，即， 令，所以， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 又因为，且，所以． 综上，实数a的取值范围为． 3.（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； （2）当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 题型三　等价转化法 规律与方法 1.“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． 2.构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题． 1.（单函数双变量）（2025·广西·三模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【解题思路】（1）求出函数的定义域与导数，当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）解：函数定义域为，. 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为. （2）由，化简为， 即. 令， 因为，则，所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，，在单调递增， 所以. 综上所述，实数的取值范围为. 2.（双函数+双变量）（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解题思路】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【解答过程】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减；当，则. 若 ，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若 ，即时，此时在上单调递减.综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增，则. 又注意到存在，，使得，等价于时，， 则，又，则. 3.（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【难度】0.45 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 4.（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数． (1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围； (2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. 【详解】（1）当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需，       解得． （2）当时，，的图象与轴没有交点；          当时，令，解得或． 当时， 0 2 0 0 极大值 极小值 ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以；                    当时， 0 2 0 0 极小值 极大值 ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以；                            综上， （3）由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，，    又因为在上单调递增， 所以的值域为，         依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即，         解得的取值范围是． 题型四　端点效应 规律与方法 端点效应 （1）端点效应的定义 恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应. （2）端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求. （3）端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决. 利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 ①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 ②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 ③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 3、端点效应的类型 （1）必要条件缩小范围 ①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即 此法应用于区间端点值包含参数的情况. ②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. ③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. （2）充分性求结果 利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； ①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； ②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值. 1．（2025 宁波二模）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 【解析】由题意可得， ，此时； ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即得是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 2．已知函数． （1）当时，，求a的取值范围； 【解析】由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立（令，则）①对恒成立，设，则 ，所以，故①式成立，则的取值范围为 课后作业： 1.（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.51 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，分析函数单调性和极值点，进而求出函数的极小值； （2）先转化不等式，构造函数并求导，分析函数单调性及极值点，进而求出的取值范围． 【详解】（1）当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． （2）恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． 2.（2026·广东深圳·二模）已知函数． (1)若在时取极值，求的值和的极小值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.41 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）根据极值点可得，则，从而，利用导数求极小值； （2）解法1：根据题意，可得，则，令，利用单调性求最值；解法2：参变分离得，设，利用导数求其最小值，可得解；解法3：利用导数研究函数的单调性，从而得解；解法4：不等式转化为，设，利用导数求的最大值，从而得解. 【详解】（1）由题意可知：，， 因为，解得， 则，， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且， 当趋近于或时，趋近于， 可知在定义域内有2个零点和1， 当时，，当时，， 可知在，内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值，极小值为． （2）解法1：由于不等式对任意恒成立， 则，解得， 下证：当时，， 若，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，则， 所以的取值范围为； 解法2：令，则， 设，，则， 设，，则, 可知在上单调递增，则， 即，可知在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围为； 解法3：因为，，则， 设，，则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则在内存在零点， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 当，即时，则，可知在上单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 解法4：因为，则， 设， 则， 当，即时，则，可知在单调递减， 则，解得； 当，即时， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，下证：， 设,，则， 可知在上单调递增，则， 即，可得，可知不等式恒成立； 综上所述：的取值范围为. 3.（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.57 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【详解】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 4.（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 5.(2026·河北邯郸·二模）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)已知对于任意，恒成立． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2) （ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【难度】0.22 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得到其极值； （2）函数的定义域为，.构造函数，分三种情况，利用导数分析函数的取值，进而得到的单调性，通过对最值的判断得到实数a的取值范围； （ⅱ）结合（ⅰ）的结论利用放缩法及对数的运算性质可得. 【详解】（1）当时，函数，定义域为． .令，得； 令，得；令，得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 所以函数的极小值为，无极大值. （2）（ⅰ）函数的定义域为. . 令，则，是单调递减函数. 若，则恒成立，所以单调递增，，即， 所以在上单调递增，所以，不合题意； 若，则由，得在上有解，为， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即， 所以在上单调递增，所以，不合题意； 若，则由，得恒成立， 所以是单调递减函数，所以，即， 所以在上单调递减，所以恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是； （ⅱ）由（ⅰ）得，时，对恒成立，且在上单调递减. 即对恒成立， 所以，即对恒成立. 令，则. 所以， 即， 所以， 所以. 即得证. 6.（2025·安徽合肥·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 7.（25-26高三上·福建漳州·月考）已知， (1)当时，证明：； (2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【详解】（1），，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2）设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. （3）由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 8.（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值，无最小值. (2) (3)证明见解析 【难度】0.23 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值； 将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得的取值范围； 结合前两问的不等式结论，进行 和的放缩，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. （2）由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，即. 令，则， . 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∵， ∴， ∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 9．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.38 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围． 【详解】（1）已知函数，求导得， 令，解得， 当时，，故，函数单调递减； 当时，，故，函数单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为． （2）因为， 所以要证明，只需证明， 只需证明， 设，求导得， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 当时，， ， 在上单调递增，故， 又，故， ，原不等式得证． （3），不等式等价于， ， 令， 当时，，故处等号成立； 求导得， ， 令，求导得，，则， 在上单调递增， 当时，，， 存在，使得， 当时，，又， 所以当时，，不满足条件； 当时，， 在上单调递增，故，单调递增， ，满足条件； 实数的取值范围为． 10（2025·湖南·三模）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若为函数的极值点，求a的值； (3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． （2）令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． （3）由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 11.（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知实数，设． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知， 讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【详解】（1）因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. （2）由已知有，令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B的子集. 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意. 综上，的取值范围为 12.已知函数． （1）当时，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）且，继续求导可得： ，若，即时，存在正数，当时，，故在递减，于是，则在递减，则，与题干矛盾！ 故，即，下证当时，. 由于，令于是可得 ，，故在递增， 1 学科网（北京）股份有限公司 $