第三章 7 重难突破一 突破1 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考导数与不等式恒（能）成立核心考点，整合函数单调性、极值、最值等知识，按分离参数法、分类讨论法、双变量分离最值法三种技法系统架构，通过考点梳理、方法提炼、真题精讲（含2024全国甲卷等）及对点练，帮助学生突破转化思想应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于“技法+真题+分层练”创新模式，如分离参数法引导构造函数求最值培养数学思维，分类讨论法通过参数范围推理提升数学语言表达，双变量问题转化训练数学眼光。设置基础到综合对点练，配合即时方法总结，确保高效突破，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

突破1　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 　　不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，解决此类问题一般转化为利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，体会转化的思想方法的应用. 技法一　分离参数法 (2025·河南驻马店模拟)已知函数f(x)＝x. (1)讨论f(x)的最值； (2)若a＝1，且f(x)≤，求实数k的取值范围. 解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝a－＝， 当a≤0，x∈(0，＋∞)时，f'(x)＜0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，无最大值，无最小值； 当a＞0时，令f'(x)＝0，得x＝， 当x∈时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增. 故当x＝时，f(x)取得最小值， 且最小值为f＝1＋ln a，无最大值. 综上，当a≤0时，f(x)无最大值，无最小值； 当a＞0时，f(x)的最小值为1＋ln a，无最大值. (2)当a＝1时，由f(x)≤， 得x－ln x≤， 整理得kex≥x2＋x－xln x，即k≥.令h(x)＝， 则h'(x)＝ ＝， 由(1)知，当a＝1时，f(x)＝x－ln x的最小值为f(1)＝1＞0， 即x－ln x＞0恒成立，所以当x∈时，h'(x)＞0，h(x)单调递增； 当x∈时，h'(x)＜0，h(x)单调递减. 故当x＝1时，h(x)取得最大值h(1)＝，即k≥， 故实数k的取值范围为. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 2.a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 对点练1.(2025·江苏南京质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，则f'(x)＝1－ex， 当x＜0时，f'(x)＞0，当x＞0时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值. (2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立， 则ax≤(x＞0)，即a≤(x＞0)， 则问题转化为a≤(x＞0)， 令h(x)＝，x＞0，h'(x)＝＝， 当0＜x＜时，h'(x)＞0，当x＞时，h'(x)＜0， 所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 所以h(x)max＝h()＝，所以a≤，即实数a的取值范围为. 学生用书⬇第74页 技法二　分类讨论法 (2024·全国甲卷)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x. (1)当a＝－2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x，x∈(－1，＋∞)， f'(x)＝2ln＋－1＝2ln－＋1. 易知f'(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f'(0)＝0， 所以当x∈(－1，0)时，f'(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0， 所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝0，f(x)无极大值. (2)f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，x∈(－1，＋∞)， 则f'(x)＝－aln－， 设g(x)＝－aln(1＋x)－， 则g'(x)＝－－. 因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0) ＝0，f'(0)＝0， 所以g'(0) ＝ －2a－1≥0，得a≤－， 故a≤－是原不等式成立的一个必要条件. 当a≤－，x≥0时，g'(x)≥－＝≥0， 所以f'(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f'(x)≥f'(0)＝0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0. 综上，实数a的取值范围是. 　　对于不适合分离参数的不等式，常常把参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究函数单调性、最值，从而得出参数范围. 对点练2.(2025·四川乐山模拟)已知函数f(x)＝ax＋ln x－ax2. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若存在x0∈，使得f(x0)＞0，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x＋ln x－x2，x＞0， 则f'(x)＝1＋－2x＝＝－， 令f'(x)＝0，解得x＝1或x＝－(舍)， 当0＜x＜1时，f'(x)＝－＞0，f(x)单调递增， 当x＞1时，f'(x)＝－＜0，f(x)单调递减， 综上所述，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由题可知f'(x)＝，令h(x)＝1＋ax－2ax2＝ax(1－2x)＋1， 当a≤0时，由x＞1可知h(x)＞0，即f'(x)＞0， 所以f(x)在(1，＋∞)为增函数. 所以对任意x∈(1，＋∞)都有f(x)＞f(1)＝0，符合题意. 当a＞0时，由2ax2－ax－1＝0解得x1＝或x2＝. 因为x1＜0，下面讨论x2与1的大小： ①当0＜a＜1时，x2＞1，则f(x)在上单调递增. 所以存在x0∈，使得f(x0)＞f(1)＝0. ②当a≥1时，x1＜x2≤1，对任意x∈(1，＋∞)都有h(x)＜0，即f'(x)＜0， 所以f(x)在(1，＋∞)上为减函数，f(x)＜f(1)＝0恒成立，不符合题意. 综上所述，a∈(－∞，1)时，存在x0∈(1，＋∞)，使得f(x0)＞0. 学生用书⬇第75页 技法三　双变量分离最值法 (2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极大值； (2)若＞－2对一切0＜x1＜x2都成立，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，定义域为(0，＋∞)， 则f'(x)＝2x－3＋＝， 令f'(x)＞0，则0＜x＜或x＞1； 令f'(x)＜0，则＜x＜1； 则f(x)在，上单调递增，在上单调递减， 故函数f(x)的极大值为f＝－＋ln＝－ln 2－. (2)因为＞－2对一切0＜x1＜x2都成立， 所以f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2对一切0＜x1＜x2都成立， 令m(x)＝f(x)＋2x，则m(x)＝ax2－ax＋ln x，定义域为(0，＋∞)， 则原问题转化为m(x)在(0，＋∞)上单调递增；又m'(x)＝2ax－a＋＝， 当a＝0时，m'(x)＝＞0，m(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≠0时，需m'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2ax2－ax＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立， 对于y＝2ax2－ax＋1，图象过定点，对称轴为x＝， 故要使得2ax2－ax＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，需满足a＞0且2a－a＋1≥0， 解得0＜a≤8， 综上可得0≤a≤8，即实数a的取值范围为[0，8]. 　　“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，可按如下规则转化：一般地，已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]， 1.若∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，总有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)max＜g(x)min. 2.若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)max＜g(x)max. 3.若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＜g(x2)成立，故f(x)min＜g(x)max. 4.若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则f(x)的值域是g(x)的值域的子集. 对点练3.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝4ln x－ax＋(a≥0). (1)当a＝，求f(x)的极值； (2)当a≥1时，设g(x)＝2ex－4x＋2a，若存在x1，x2∈，f(x1)＞g(x2)，求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…) 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝时，f(x)＝4ln x－＋， 所以f'(x)＝－－＝－， 令f'(x)＞0，可得1＜x＜7，令f'(x)＜0，可得0＜x＜1或x＞7， 所以函数的单调减区间为(0，1)，(7，＋∞)，单调增区间为(1，7)， 所以x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数取得极大值为4ln 7－3. (2)f'(x)＝(x＞0)， 令h(x)＝－ax2＋4x－(a＋3)， 若a≥1，则Δ＝16－4a2－12a＝－4(a－1)(a＋4)≤0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以当a≥1时，f(x)在上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f＝－4ln 2＋a＋6， g'(x)＝2ex－4，令g'(x)＝0，得x＝ln 2， 当x∈时，g'(x)＜0，所以g(x)单调递减， 当x∈时，g'(x)＞0， 所以g(x)单调递增， 所以g(x)在上的最小值为g(ln 2)＝4－4ln 2＋2a， 由题意可知－4ln 2＋a＋6＞4－4ln 2＋2a，解得a＜4，又因为a≥1， 所以实数a的取值范围为[1，4). 学科网（北京）股份有限公司 $