立体几何（距离问题）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦立体几何中距离问题核心知识点，系统梳理点线距、点面距、线面距、面面距及异面直线距离的定义与求解方法，构建“点面距为核心，线面距、面面距转化为点面距，异面直线距离转化为线面距”的递进式学习支架。 资料特色在于知识梳理与题型演练深度融合，通过定义辨析和转化方法培养空间观念（数学眼光），题型涵盖选择、解答等，如点面距用等体积法、异面直线距离转化步骤，提升推理能力（数学思维），规范解题过程培养数学表达（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固，查漏补缺。

立体几何一一距离问题 立体几何一一距离问题 .1 【知识梳理】 【题型演练】 2 【题型一：点线距】 2 【题型二：点面距】 9 【题型三：线面距】 .14 【题型四：面面距】 20 【题型五：异面直线距离】 .25 1 立体几何一一距离问题 【知识梳理】 知识点1：点到直线距离（点线距） 定 义：自点A向直线1引垂线，垂足A1叫做点A在直线1上的射影，点A到垂足的距 离叫点到直线的距离 求解方法：点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法进 行距离求解。 图1：点线距离 图2：点面距离 图3：线面距离 图4：面面距离 知识点2：点到平面的距离（点面距) 定 义：已知点p是平面a外的任意一点，过点P作PA⊥a,垂足为A,则PA唯一是点 P到平面α的距离。（即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的 距离) 结 论：连接平面a外一点P与a内一点所得线段中，垂线段PA最短 求解方法： ①定义法（直接法）；找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度 ②等体积法（核心方法）：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点面距离 ③转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的 距离 知识点3：直线到平面距离（线面距） 定义：一条直线上的任意一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离（即转 化为点面距进行求解) 【注意】如果一条直线I平行于平面α，则直线I上的各点到平面的垂线段相等，即各点到 面ā的距离相等；垂线段的长度小于或等于1上任意一点与平面ā内任意一点的距离 知识点4：平面到平面的距离（面面距） 两个平面的公垂线：与两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段 两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 求解方法：面面距离与线面距离求解一致，转化为平面内一点到另一平面距离进行求解，即 转化为点面距求解即可。 知识点5：异面直线的距离（线线距） 公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的距离（公垂线段）的长度，叫做两条 异面直线间的距离，两条异面直线的公垂线有且只有一条。 求解方法：求解异面直线a与b之间的距离的步骤如下 步骤一：找一过b的平面a，同时平面a与直线a平行 步骤二：求直线a到平面α的距离（即运用点面距求解） 步骤三：直线a到平面a的距离即为异面直线a与b的距离 【题型演练】 【题型一：点线距】 1.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是AB,AD,B,C1的中点，则 点G到线段EF的距离为 D G A B E B 【答案】6 【知识点】平面的基本性质的有关计算 【分析】首先说明FE⊥EG,故只需求出EG的长度即可. 【详解】 D C G A E 取BC中点N,自立方体的准赁知，即=N-D=怎，GB=VO+B GF=VGW2+FW=√1+1=√2， 所以EF2+EG=FG2, 则FE⊥EG, 故所求为BG-6 故答案为： 2 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为么，底面 ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=),AD=2,PA=BC=1,点E为棱PD上一点，满足 P亚=2PD(0≤1≤1)，下列结论错误的是（) 力 B A.平面PAC⊥平面PCD; B.点P到直线CD的距离√； C若二面角五4CD的千面角的会弦植为5，则2- D.点A到平面CD的距离为5 【答案】D 【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直、求点面距离、平面的基本性质的有关计算 【分析】A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC,结合PA⊥平面ABCD可得线线垂直，从 而证明线面垂直，最后证明出面面垂直：B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长 度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选 3 项，过点A作AH⊥PC于点H,证明AH的长即为点A到平面PCD的距离，求出AH的长. 【详解】A选项，因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PALCD, 故∠PBA即为PB与底面ABCD所成的角，∠PBA=T 因为∠ABC=∠BAD=匹， 2 所以PA=AB=1, 因为AD=2,PA=BC=1, 取AD中点F,连接CF,则AF=DF=AB=CF=BC, 则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°， 所以AC⊥CD, 又因为AP∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC, 因为CDC平面PCD, 所以平面PAC⊥平面PCD,A正确： 由A选项的证明过程可知：CD⊥平面AC, 因为PCc平面PAC 所以CD⊥PC, 故点P到直线CD的距离即为PC的长度， 其中PA=AB=BC=1 由勾股定理得：AC=√2，PC=VAC2+PA=5,B正确： 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空 间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E(0,22,1-2), 其中平面ACD的法向量为m=(0,0,1),设平面ACE的法向量为=（x,y,z), 则 n证=22y+1-刊：=0，令y=1得：Ξ=22 n.AC=x+y=0 1xs-1, 2 所以n=-1,1, -1 E 设二面角B-4C-D的平面角为6，显然c0s0=3 21 (0,0,1)-1,1, 其中cos(, 1-1 22 3 +1+ 解得：2=或4=-1， 因为0E1,所以2行C正确： 过点A作AH⊥PC于点H, 由于CD⊥平面APC,AHC平面APC, 所以AH⊥CD, 因为PCOCD=C, 所以AH⊥平面PCD, 故AH即为点A到平面PCD的距离， 因为PA⊥AC, 所以AH-APAC-巨后 PC33,D选项错误 H D 故选：D 3.(多选)如图，在长方体ABCD-ABCD中，AD=AA=2,AB=a,若E是CD的中点.则 () D B A.过B,E,D三点作长方体ABCD-AB,CGD的截面，则截面为菱形 B.存在实数a,使得直线AC,与平面BED垂直 C.直线AC⌒平面CBD=P,则AP=2PC D.点B,到直线DE的距离d的范围为 【答案】ABC 【知识点】点到直线距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、面面平行证明线线平行、 平面的基本性质的有关计算 【分析】对于A:根据题意结合面面平行的性质分析判断；对于C:连接BC,交BC于点2， 根据平面的性质可知P∈QD,结合几何性质分析判断；对于BD:建系并标点，利用空间向 量结合垂直关系判断B;利用空间向量求点到直线的距离，进而判断D. 【详解】对于选项A:因为平面ABCD与平面AB,CD平行， 则平面BED与平面ABCD的交线和平面BED与平面AB,C,D的交线平行， 同理可得平面BED与平面ABB,A的交线和平面BED,与平面DCCD的交线平行， 取AB的中点M,连接DM,BM,则四边形BEDM为平行四边形， 6 D M 又因为B-A-4+ 所以截面BED,M为菱形，故A正确： 对于选项C:连接BC交BC于点Q,连接D2, D A 因为平面ABCD∩平面CBD=D,2,则P∈QD, 可知△ADP∽△C2P,则 OC=PC.=1 AD AP 2' 所以AP=2PC,故C正确： 对于选项BC:以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建系， ZA D 6 则42.00)8(2a0,c(0.a2.0号0，(0.0,2.82.a2, 可得aC=(2a,2,丽-（20丽-0-2 ACB亚=4- =0 若直线AC,与平面BED垂直，则 解得a=2√2， 4CB西=-+4=0 2 所以存在实数a,使得直线AC,与平面BED垂直，故B正确： > 因为n4=(2.a0).nE=0号2， 2 则d= DB DB·DE 16a2 16 4+ DE +16 16, 1+ Q2 又因为d>0,则1+ >1, 0、16 ”,可得d∈(2,25，故D错误： 16 1+ 16 故选：ABC. 4.ABC的三边长分别3、4,5，P为ABC所在平面外一点，令集合Q={PP为eABC所 在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合Q的子集个数为() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【知识点】平面的基本性质的有关计算、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分别讨论P在平面ABC上的射影在eABC的内部和外部，计算直角三角形ABC的 内切圆的半径和旁切圆的半径，结合勾股定理，可得结论. 【详解】解：若P在平面ABC上的射影在ABC的内部，可得射影为ABC的内心， 可得内切圆的半径为6+4-5)=1<3，存在两个点P(平面ABC的上下两侧)： 若P在平面ABC上的射影在ABC的外部，可得射影为ABC的旁心（三角形的外角平分 线的交点). 若与斜边相切，则旁切圆的半径大于3，不成立： 若与边长为3的边相切，可得旁切圆的半径小于3，成立，且有两个点P; 若与边长为4的边相切，可得旁切圆的半径为4-？+5=3，不成立。 2 综上可得，这样的点P共有4个， 则9的子集个数为24=16， 故选：D. 8 【题型二：点面距】 5.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB/ICD,AD=DC=1,AB=2, AC⊥PC. (1)证明：平面ABCD L平面PBC. (2)若PB⊥BC,PB=23,求点D到平面PBC的距离. 【答案】(1)证明见解析： R 2 【知识点】证明面面垂直、求点面距离、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】(1)根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBC,然后根据面面垂直 的判定定理即得： (2)根据面面垂直的性质定理结合条件可得三棱锥P-BCD的体积，然后根据等积法即得， 【详解】(1)在等腰梯形ABCD中，AB/CD,BC=AD=1,AB=2, 过点c作CE∠4AB于，则85=分AB=子 CR= 2 3 2 所以AC名 =3 2 则AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC. 又AC⊥PC,BCOPC=C,BC,PCC平面PBC, 所以AC⊥平面PBC,又ACC平面ABCD, 所以平面ABCD I平面PBC: (2)连接BD,由(1)知平面ABCD L平面PBC,因为PB⊥BC,平面ABCD∩平面PBC=BC, PBC平面PBC, 所以PB⊥平面BCD. 9 E B 又cB= 1 2 所以SAcD= 24 所以楼鞋P-D的木积心 2×2W3=1 在△P8C中，因为B1BC,所以S125=5. 设点D到平面P8C的距离为d所以三枝锥D-PBC的休积加-}d。 2 解得d=V3 6.已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且 AE=AB=2CD=2,F为BE的中点. F B (1)证明：DF∥平面ABC; (2)求点B到平面ADF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)V2 【知识点】求点面距离、证明线面垂直、面面平行证明线面平行、证明面面平行 【分析】(1)取AE中点G,连接DG、FG,由三角形中位线的性质得到FG∥AB,进一步 得到FG/平面ABC,再由已知证出四边形ACDG为平行四边形，从而得到DG∥平面ABC, 即可得到平面DFG/平面ABC,从而得证； (2)先证出BE⊥平面ADF,进而得出点B到平面ADF的距离为BF,即可求解. 10 【详解】(1)如图： B 取AE中点G,连接DG、G, :F是BE的中点， .:FGIIAB, 又，ABC平面ABC,FGC平面ABC, .FG∥平面ABC, :AE和CD都垂直于平面ABC, :AE//CD, 又AE=2,CD=1,.AG=CD, 则四边形ACDG为平行四边形， .DGIlAC, 又：ACC平面ABC,DGE平面ABC, .DG∥平面ABC, 又FG∩DG=G,FG,DGC平面平面DFG, .平面DFG/平面ABC, :DFC平面DFG, .DF∥平面ABC; (2)AE=2CD, .EG=AB-CD=2-1=1,DG=AC=2, 在直角△DEG中，DE=√EG2+DG2=√1+4=5， 在直角△BCD中，BD=VCD+BC=√1+4=√5， DE=BD,又F为BE的中点， DF⊥BE, 又AE=AB,.AF⊥BE, 11 :AF∩DF=F,AF,DFC平面ADF .BE⊥平面ADF, 即点B到平面ADF的距离为BF, 因为BE=VAE2+AB2=√22+22=2√2， 所以Br=BE=V反. 7.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，PAL平面ABCD,BC/IAD,AB=√2， CD=1,AD=2BC=2,PA=1. (1)求证：CD⊥PD (2)求点A到平面PBC的距离： 【答案】(1)证明见解析 暗 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、求点面距离 【分析】(1)取AD的中点F,连接CF,根据勾股定理得CDL AD,根据线面垂直的性质 定理得PA⊥CD,从而利用线面垂直的判定定理得CD⊥平面PAD,然后利用线面垂直的性 质定理证明即可. (2)过A作直线AE/ICD,交CB的延长线于E,根据面面垂直的定义得到M⊥平面PCE, 即AM是A到平面PBC的距离，然后进行求解即可. 【详解】(1)取AD的中点F,连接CF, 因为AB=√2，CD=1,AD=2BC=2,所以AF=FD=1, 因为BC/AD,所以四边形ABCF是平行四边形，则CF=AB=√2， 则DF2+CD2=1+1=2=CF2,即CDF是直角三角形，所以CD⊥AD, 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 又PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,所以CD⊥PD; (2)过A作直线AE/CD,交CB的延长线于E,则AE⊥AD, 12 连接PE,因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE,所以AD⊥平面PAE, 又BCI/AD,所以CE⊥平面PAE,过A作AM⊥PE与M,AMc平面PAE, 所以CE⊥AM,PE∩CE=E,PE,CEC平面PCE,所以AM⊥平面PCE, 即AM是A到平面PBC的距离， 则Rt△PAE中，PA=1,AE=CD=1,则PE=√2， 则PB-AM=PAAB,得AM=1,得AM=5,即A到平面PBC的距离是 2 D M 8.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=1,BC=CC=2, B (1)求证：直线DB/平面AB,D: (2)求点A到平面AB,D的距离. 【答案】(1)证明见解析： R)6 【知识点】求点面距离、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】(1)利用线面平行的判定推理得证. (2)利用等体积法求出点到平面的距离。 【详解】(1)在长方体ABCD-ABCD中，BBI1 CC /IDD,BB,=CC=DD, 则四边形BDD,B是平行四边形，BD∥BD,而BDa平面ABD,BDC平面ABD, 所以直线DB/平面AB,D. 13 (2)在长方体ABCD-ABCD中，由AB=1,BC=CC1=2,得AB,=B,D=V5,AD,=2W2, 等腰△MB,D的面积S4=AD,MB-4D,)广=55=6，Sa4a=l, 设点4到平面ABD的距离为d,由以A=Aa,得}S.ad 3 34·A1, 即V6d-2,解得d=6 所以点4到平面AD的距离为6 【题型三：线面距】 9.(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是棱AB,AD的 中点，点E在BD上，点F在B,C上，且BE=CF,点P在线段CM上运动，下列说法正确 的有() A D M B A.当点E是BD中点时，直线EF/I平面DCCD: B.直线&，P到平面CMW的距离是 2 C.存在点P,使得∠B,PD,=90°： D.△PDD面积的最小值是5 6 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明、求空间中两点间的距离、求直线与平面的距离、证明 线面平行 【分析】根据线面平行的判定判断A:根据等体积法求得点D到平面CMN的距离判断B: 建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C;求出△PDD面积 的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A,由E是BD中点，BE=CF,得点F是B,C的中点，连接BC,显然F也 14 是BC的中点，连接DC, 于是EF/ICD,而EFt平面DCCD,DCC平面DCCD,所以直线EFII平面DCCD, A正确； A M B A B 对于B,M,N分别是棱AB,AD的中点，则BD/IN,B,Dt平面CMN,MNc平面CMN, 于是B,DII平面CMN, 因此直线B,D,到平面CMN的距离等于点D到平面CMN的距离h, N=2,CM=CW=√CT+pN=√(22}+=， VC-MNA-3 1h 2 32 由=Va-aa,得h=2,B错误； 17 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M(1,0,2),C(2,2,0),B(2,0,2),D(0,2,2), D M D 对于C,设MP=t·MC=t(1,2,-2),则P(t+1,2t,-2t+2),PB,=(1-t,-2,2t) PD=（-t-1,2-2t,2t),t∈[0，]， 由∠B,PD,=90°，得PB,·PD=(（1-t)(-t-1)+(-2t)(2-2t)+2t.2t=9t2-4t-1=0,解得 t=2±3 9 15 由于1=2+15∈[0,1，因此存在点P,使得∠8,2P0=90,C正确： 9 对于D,由选项C得P(t+1,2t,-t+2)在DD的投影点为(0,2，-2t+2), 则P到n的距离d020李+5。 △PD0面积为S=2d-、u-5u0小，所以当：时，s取得装小催为+5 D错误. 故选：AC 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为DD的中点，F为CC的中点. D A B F 夕 (1)求证：BD/1平面AEC: (2)求证：平面AEC/1平面BFD, (3)若正方体的棱长为2，求直线BD到平面AEC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 36 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求直线与平面的距离 【分析】(1)连接BD交AC于O,连接EO,利用中位线的性质得出OB/1BD,利用线面 平行的判定定理可证得结论成立： (2)证明出DF/平面AEC，,利用面面平行的判定定理可证得结论成立. (3)直线BD到平面AEC的距离等于点B到平面AEC的距离，利用'-Ac='-4Bc求解即 可 【详解】(1)连接BD交AC于O,连接EO 因为ABCD-ABCD为正方体，底面ABCD为正方形， 16 对角线AC、BD交于O点，所以O为BD的中点，又因为E为DD的中点， 在△DBD中，OE是△DBD的中位线，则OE//BD, 又OEC平面AEC,BD丈平面AEC,所以BDII平面AEC; (2)因为F为CC的中点，E为DD的中点，所以CF/ED,CF=ED, 所以四边形CFD,E为平行四边形，所以DF/IEC, 又因为ECC平面AEC,DF丈平面AEC,所以DFI/平面AEC: 由(1)知BDII平面AEC,又因为BD∩DF=D,BD,DFC平面BFD, 所以平面AEC/平面BFD, 0 A B (3)因为BDII平面AEC,所以直线BD到平面AEC的距离等于点B到平面AEC的距离， 设为d. 因为正方体棱长为2，E为DD的中点，所以DE=1,AB=EC=√22+1P=√5 4C=√+2=25，E0=V3.SA4gc=V6,SaBc=2.因为Va-Ac=Va-Bc, 所以写5Xd-Sex5D,求得d-6 3 3 11.如图，四棱锥P-ABCD中，三角形PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，点E为线 段PD的中点，BC∥AD,CD⊥AD,PC=V5,AD=2CD=2BC=2. B (1)求证：直线CE∥平面PAB; 2 (2)求直线CE与平面PAB间的距离. 【答案】(1)证明见解析 9 【知识点】证明线面平行、求直线与平面的距离 【分析】(1)取PA的中点F,连接EF,FB,结合四边形BCEF是平行四边形得到CE∥BF, 再借助线面平行的判定定理说明即可； (2)取AD的中点O,连接OP,OB,通过垂直关系得到OB,OD,OP两两垂直，进而建系， 将直线CE与平面PAB间的距离转化为点C到平面PAB的距离，用点到面的距离公式计算即 可 【详解】(1)取PA的中点F,连接EF,FB, 有PAD,BFAD 又BC∥AD,BC=AD,所以EF∥BC,EF=BC, 所以四边形BCEF是平行四边形， 所以CE∥BF,因为CEZ平面PAB,BFC平面PAB, 所以CE∥平面PAB. (2)由(1)知，因为CE∥平面PAB, 所以直线CE与平面PAB间的距离即为点C到平面PAB的距离. 取AD的中点O,连接OP,OB,因为PA=PD,∠APD=90°， 所以ADL PO,PO=)AD=1 由BC∥AD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD, 可知四边形BCDO是正方形，有AD⊥BO,BO=1, 因为PO∩BO=-O,PO,BOC平面PBO, 所以ADL平面PBO, 即BC⊥平面PBO,又PBC平面PBO, 所以BC⊥PB, 由PC=V5,CB=1,知BP=√2，得OP2+OB2=-BP:,所以∠BOP= 则以O为坐标原点，分别以OB,OD,OP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 18 可得A0,-1,0),B1,0,0),C1,1,0),P(0,0,1), 有PA=(0,-1,-1),AB=1,1,0),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), mPA=-y-z=0 必 ,取x=1,则y=-1,z=1, mAB=x+y=0 得平面PAB的一个法向量为m=1,-1,1), 又BC=(0,10),所以C到平面PAB的距离d=BC,m_0-1+0_5 |√1+1+13 所以直线CE与平面PAB间的距离为V 3 12.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，点E为棱PD的中 点，PA=AB=2,∠ABC=60°，连接EAEC、AC. 力 (1)求证：PB/平面EAC; (2)求证：BDL平面PAC; (3)求直线PB到平面EAC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 3)227 7 【知识点】求直线与平面的距离、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】(1)连接底面菱形的对角线交点与点E,利用菱形对角线互相平分得到O为BD中 点，结合E为PD中点，在三角形PBD中构造中位线OE,证明OE //PB,再根据线面平行 19 的判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线）即可得证； (2)由PA⊥底面得PA⊥BD;由菱形性质得对角线AC⊥BD;利用线面垂直的判定定理即可 证明BD⊥平面PAC: (3)利用第(1)问已证的PB//平面EAC,将直线到平面的距离转化为直线上任一点（常 取B)到该平面的距离：通过几何关系或余弦定理求三角形AEC各边长度，利用海伦公式 或底高法求出其面积；再以三棱锥E-ABC为桥梁，分别用两种方式（以ABC为底、PA一 半为高；以AEC为底、B到面距离为高)表达体积，建立等式解出距离， 【详解】(1)连接BD交AC于点O,再连接OE,因为底面ABCD为菱形， 所以OB=OD,又因为点E为棱PD的中点，所以OE//BP, 又因为OEC平面EAC,PB丈平面EAC, 所以PBII平面EAC: (2)因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD, 又因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD, 又因为AC∩PA=A,AC,PAc平面PAC, 所以BDL平面PAC: (3)因为PB/平面EAC 所以直线PB到平面EAC的距离为B到面EAC距离 由您可求出=5.4C-2,s0-不同可+=2，Sc5 2 设点B到平面EAC距离为h, e4=3 V-SMBG 3 又因为'E-Ac=V-A8c= 有8eA所以h2 7 【题型四：面面距】 13.直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱AA=3,M、N 分别为AB、AD的中点，E、F分别是CD,BC的中点. 20 D M B B (1)求证：平面AMN/平面EFBD: (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)6vis 19 【知识点】平行平面距离的向量求法、求面面距离、证明面面平行 【分析】(1)法一：由面面平行的判定定理即可证明：法二：如图所示，建立空间直角坐标 系D-xz,通过证明EF=M,AM=BF，再由面面平行的判定定理即可证明 (2)法一：平面AMN与平面EFBD的距离=B到平面AMN的距离h,再由等体积法即可求 出答案.法二：求出平面AMN的法向量，AB=(O,2,0),平面AMN与平面EFBD的距离等于B 到平面AMN的距离h,由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】(1)法一：证明：连接BD,NF,:MN分别为AB、AD的中点， E、F分别是CD,B,C的中点， ∴MNIEF IB D1,:N丈平面EFBD,EFc平面EFBD, MNI∥平面EFBD,:NF平行且等于AB, .ABFN是平行四边形，ANIBF, ,'AN丈平面EFBD,BFC平面EFBD,.AN∥平面EFBD, .ANOMN=N,.平面AMNW平面EFBD: 法二：如图所示，建立空间直角坐标系Dz, 21 M B 则A(2,0,0),M(1,0,3),B(2,2,0),E(0,13), F(1,23),N(2,13),.EF=1,1,0),MN=(110) AM=(-1,0,3)BF=（←1,03)， .EF=MIN,AM=BF,..EF//MN,AM//BF, ,MN丈平面EFBD,EFc平面EFBD,.MNIW平面EFBD, :AN丈平面EFBD,BFC平面EFBD,.ANI∥平面EFBD, 又MNOAM=M,.平面AMNI∥平面EFBD, (2)法一：平面AMN与平面EFBD的距离=B到平面AMN的距离h. w中，Aw=4w-而，av-万，Sae50 119 2 六由等体积可得上9h=1231,:h=6四 2h=32 32 19 法二： 设平面AMN的一个法向量为i=(x,y=), 则 iMN=x+y=0 ,则可取元=(3，-31)， i.AM=-x+3:=0 AB=(0,2,0), 元.AB .平面AMN与平面EFBD的距离为d= 6 6V19 词 V9+9+1 19 14.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体ABCD-AB,CD的 棱长为4，则平面AB,D与平面BCD间的距离为 22 【答案】4W5/A5 33 【知识点】求面面距离、求点面距离、证明线面垂直、正棱柱及其有关计算 【分析】由题意画出图形，可得AC⊥平面AB,D,AC⊥平面BCD,求出正方体的体对角 线长，再由等体积法求得AE,则平面ABD与平面BC,D间的距离可求. 【详解】由题意知：正六面体ABCD-ABCD是棱长为4的正方体， D A D 有ADIIB C且AD=B,C,则四边形ADCB,为平行四边形， 所以AB,IICD,AB,文平面BCD,CDC平面BCD,则有AB,∥平面BCD, 同理BD∥平面BC,D, ABúBD=B,AB,BDC平面ABD,平面ABD,∥平面BCD, 连接AC, :BD⊥AC1,B,D,⊥AA,AC∩AA=A,AC,AAC平面AAC,.BD⊥平面AAC, 又ACc平面AAC,.B,D⊥AC,同理可证得：AD⊥AC, 又BD,ADC平面ABD,BD∩AD=D, “AC⊥平面ABD,AC⊥平面BCD, 设垂足分别为E,F,则平面ABD与平面BCD间的距离为EF列. 正方体的体对角线长为√42+42+42=45 在三棱锥A-ABD中，"4，A=V4-4A,易知AB=AD=B,D=4W2, 23 2×4x4×4 1 则由等体积法求得：A= 4W3 x4x4x 3, 2 ∴平面ABD与平面BCD间的距离为：4W5_8N543 3 3 故答案为： 4v3 15.如图在直三棱柱ABC-AB,C中，∠ABC=90°，BC=2,CC,=4,E是BB上的一点， 且EB,=1,D、F、G分别是CC、B,C、AC的中点，EF与B,D相交于H. A G C\ (1)求证：B,D⊥平面ABD; (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析 3 2 【知识点】求面面距离、证明线面垂直、证明面面平行 【分析】(1)由已知条件得AB⊥平面BB,CC,从而AB⊥B,D,又B,D⊥BD,由此能证明 BD⊥平面ABD. (2)由已知条件推导出EF∥平面ABD,GF∥平面ABD,由此能证明平面EFG∥平面 ABD.由已知条件推导出HD为平行平面EFG与ABD之间的距离，由此能求出结果， 【详解】(1)证明：由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB,CC, 又AB⊥BC,平面ABC∩平面BBCC=BC,ABC平面ABC, :ABL平面BB,CC, 又B,Dc平面BB,CC, 24 AB⊥BD, BC=CD=DC=BC =2, .在Rt△DCB和RIADC B,中，∠BDC=∠B,DC1=45°， ∴∠BDB,=90°，即B,D⊥BD, 又AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD .BD⊥平面ABD. （2)解：由题意知EB=B,F=1, .在RtAEB,F中，∠FEB,=45°， 又∠DBB=45°，.EFIBD, 6BDC平面ABD,EF丈平面ABD, .EF∥平面ABD, ~G、F分别为AC1、B,C的中点， GFAB,又ABAB, ..GFllAB, ,ABC平面ABD,GFI平面ABD, .GF∥平面ABD, ,EFG平面EFG,GFC平面EFG,EF∩GF=F, ∴.平面EFG∥平面ABD. :B,D⊥平面ABD,平面EGF∥平面ABD, .BD⊥平面EGF, :HD为平行平面EFG与ABD之间的距离， .HD=BD-BH=22 2 即平面EG与ABD之间的距离为3V 2 【题型五：异面直线距离】 16.(多选)正方体ABCD-AB,CD的棱长为2.点P在正方体的体对角线DB上（包含端 点)，点Q在正方体的棱CC上（包含端点），则() 25 D C B D C B A.直线DB与CC的距离为2 B.点P在DB上运动，点Q在CC上运动时，Pg的最小值为√2 C.当点P、Q分别为DB、CC的中点时，PQ到面ABCD的距离为1 D.当点Q为棱CC的中点，点P在DB上运动时，存在点P,使得POL面BDDB 【答案】BCD 【知识点】求直线与平面的距离、证明线面垂直、求异面直线的距离 【分析】作出直线BD,CC的中垂线，进而判断A,B,通过线面垂直的证明可以判断C和D. 【详解】如图： D B A ! P D -. C ww M B 当P,O分别为BD,CC的中点时，取BD中点M,连接PM,MC,则PM1/DD,PM= 易知c1DDQC=A0,所以MQc.PM=0C,则四边形k0为平行四边形.所 以PQ//MC,PQ=MC.易知MC⊥BD,而DD⊥平面ABCD,MCC平面ABCD,则 DD⊥MC,又DD⌒BD=D,所以MC⊥平面BB,D,D,则MC⊥BD,又PO/IMC,所以 26 PQ⊥BD.又因为CC⊥MC,所以CC1⊥PQ.于是PQ是BD与CC的垂线段，且 PQ=MC=√2.故A错误，因为连接两条异面直线上两点的线段中，垂线段的距离最大，故 B正确； 而此时PQ到面ABCD的距离d=PM=1,故C正确； 由前面的证明可知，此时MC⊥平面BB,DD,PQI/MC,所以PQL平面BB,D,D,故D正确. 故选：BCD 17.在四面体ABCD中，AB=CD=2√5，AD=BC=V13,AC=BD=5,M,N分别为 棱AB,CD所在直线的点，则线段N长度的最小值为 【答案】3 【知识点】求异面直线的距离 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离 即可. 【详解】如图，将四面体ABCD放入长方体AFBP-EDOC中，O,O,分别为矩形AFBP,EDOC 的中心， 设AP=a,AF=b,AE=c, 则a2+b2=20,c2+b2=13,+c2=25, 得a=4,b=2,c=3. 由图易知直线AB与CD异面，则线段MN长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体AFBP-EDQC的二平行平面AFBP,EDOC间的距离OO,=3. 故答案为：3 E D 力 B 18.和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹 在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段.正方体ABCD-AB'CD中，异面直 27 线AA和BC的公垂线段是 ；三棱锥P-ABC的棱长都为1，则异面直线PA和BC的 公垂线段的长度是 【答案】 AB √2 2 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据公垂线段的概念即可判断：构造正方体，将公垂线段的长度转化为正方体的棱 长，即可求解： 【详解】解：在正方体ABCD-AB'CD中，AB⊥AA于点A,AB⊥BC于点B, 所以异面直线AA'和BC的公垂线段是AB: D A 如图在正方体EBDC-PMAF中取点P,A,B,C, 可知PA=PB=PC=AB=BC=CA, 设PA=1,可知正方体BDC-PMAP的棱长为Y5 取PA中点O',BC中点O,连接OO,易知点O为DE的中点， 由正方体的性质可知四边形PADE为平行四边形， 所以OO/1PE且OO=PE 由正方体性质可知PE⊥平面EBDC,PE⊥平面PMAF, 所以PE⊥PA,PE⊥BC, 所以OO1PA,OO1BC, 所以OO为异面直线PA和BC的公垂线段. 所以异面直线PA和BC的公垂线段的长度为y 2 28 F M D 故答案为：AB2 19.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P在线段B,C运动，点Q在 线段AC,运动，则() D D月 B A. 对任意的点P,有AD⊥DP B.PQ的最小值为 3 C.DP+AP的最小值为5+V5 2 D.若线段B,D⌒面ABC1=H,则H为4BC的内心 【答案】ABD 【知识点】求点面距离、证明线面垂直、求异面直线的距离、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】对于A:根据题意分析可得AD⊥平面AB,CD,即可得结果；对于B:根据题意分 析可知：P口的最小值即为点B,到平面ACD的距离，利用等体积法求点到面的距离；对于 C:通过翻折两个三角形在同一个面上，根据两点间连线最短：对于D:证明B,D⊥平面ABC, 即可得到H为4，BC的外心，再由正三角形的性质判断即可. 【详解】对于A:因为AADD为正方形，则AD⊥AD, 因为CD⊥平面AADD,ADC平面AADD,则AD⊥DC, 29 且AD∩DC=D,AD,DCC平面AB,CD,所以AD⊥平面AB,CD, 由DPC平面AB,CD,所以AD⊥DP,故A正确： D B B 对于B:PQ的最小值即为异面直线B,C,AC的距离， 此时Pe⊥B,C,POLAC1, 由正方形的性质可知：B,C/1AD,可得PO⊥A,D, 且AC,⌒AD=A,AC,ADC平面ACD,可得PQ⊥平面ACD, PQ的最小值即为点P到平面ACD的距离， 且BCAD,B,C立平面ACD,ADC平面ACD,可得B,C∥平面ACD, 可知点P到平面AC,D的距离即为点B,到平面ACD的距离，设为d, 因为4p=.-43,即×dxxV2x5x_x1x1k1,解得d= 3 、23 2 3 所以P2的最小值为5， 故B正确： 3 D 对于C:将△AB,C与△DB,C翻折到同一平面（以下都在平面图形中）， 连接AD交BC于点P,则DP+AP的最小值为AD, 因为DC=1,CB,=AC=AB=√2，DB=V3, 所以DC+BC-BD,则∠a8-号ACB-胥 30 所以∠ACD=Sπ， AC=,CD=1, 6 由余弦定理AD2=2+1-2W2×1× -2 =3+6,则AD=√3+√后， 所以DP+AP的最小值为V3+√6，故C错误. B D C 对于D:如图，连接DB, 因为四边形AB,CD为正方形，则B,D⊥AC1, ,DD⊥平面AB,CD,ACC平面AB,CD,则AC1⊥DD, 因为BD∩DD=D,B,D,DDC平面BDD, ,AC1⊥平面BDD, :B,Dc平面BDD,BDAC, 同理可证BD⊥AB, ,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, .B,D⊥平面ABC D .AB =BB=BC, ∴.Rt△BEA=Rt△BEC1=Rt△B,EB, .HA HB=HC, 31 H为ABC的外心. .AC=AB=BC, ∴.4BC1是正三角形， .H为ABC的内心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于B选项关键是转化为求点B到平面ACD的距离，对于C,关键 是化折为直，都体现了转化思想， 20.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别在线段AD和B,C上，则 下列结论中错误的结论() D A M D B A.MN的最小值为2 B.四面体MBC的体积为 C.有且仅有一条直线MN与AD垂直 D.存在点M,N,使△MBN为等边三角形 【答案】C 【知识点】空间向量与立体几何综合、空间位置关系的向量证明、求异面直线的距离、锥体 体积的有关计算 【分析】利用异面直线的距离可判定A,利用棱锥的体积公式可判定B,利用特殊位置可排 除C,利用坐标法可判定D. 【详解】根据正方体的特征可知CD⊥B,C,CD⊥面AD, 又ADC面AD,所以CD⊥AD, 即CD是异面直线AD,和B,C的公垂线， 32 当MN分别与DC重合时，N最小值，最小值为2，故A正确： 易知8c2×2,所以c兮2x2专故B正确： 易知△AB,D,是等边三角形，所以当M是AD中点，而N与B重合时，MN⊥AD, 又由A项可知当M、N分别与DC重合时，N⊥AD,故C错误； ZA A Mk B 如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,2,0),可设M(x,0,2-x),N(y,2,2),xy∈[0,2] MN2=(x-y)2+4+x2 若存在点M,N,使△MBN为等边三角形，则有MB2=(x-2)+4+(2-x), NB2=(y-2)2+4 由MB=NB→V5(2-x)=2-y,由MB=MM:s2x=8-y 4-y 解方程得y=3W2-2±V4W-2 V2-1 当v-3W5-2+V4W2-2_3W2-3+1WW2-231W223含去， V2-1 √2-1 √2-1 又因为 11<85→(22-°<42-222-1√4W22y35-2=V4W2-2 0所以 W/2-1 V= 32-2-√4W2-2符合题意，即D正确. √2-1 故选：C 21.如图为几何体2的一个表面展开图，其中2的各面都是边长为1的等边三角形，将2放 入一个球体中，则该球表面积的最小值为：在2中，异面直线AB与DE的距离为 33 【答案】 2π 6 【知识点】求异面直线的距离、多面体与球体内切外接问题 【分析】结合图形发现几何体2是由两个相同的正四棱锥共底构成，比较AO与OB的大小， 可得当球恰好外接2时该球表面积的最小值，则该球表面积的最小值可求；找出DE的平行 线CB,而CB与AB相交构成平面ACB,则异面直线AB与DE的距离可转化为点D到平面 ACB的距离，然后等体积法求之即可. 【详解】因为2的各面都是边长为1的等边三角形， 所以结合图像可知，几何体Ω是由两个相同的正四棱锥共底构成。 B 正四棱锥B-ADFC中OB AF 2=05 2 将2放入一个球体中，当球恰好外接2时该球表面积的最小值， 此时球半径为R=4=迈 2 2 2 该球表面积的最小值为S=4πR2=4π× 2 2 =2元， 因为正方形ACFD的对角线的交点O,平分BE与CD, 所以四边形CBDE为平行四边形，则DE∥CB, 而CB与AB相交构成平面ACB, 34 则异面直线AB与DE的距离即点D到平面ACB的距离， 三枝锥B-41CD的体积4m=官08×S片 1 x2×x1= 322 121 令点D到平面ACB的距离为d, 则V-Ac= xxse3xd×2xkk 3 212 解得d:26 3’ 异面直线AB与DB的距离为Y6 故答案为：2π， 6 35 立体几何——距离问题 立体几何——距离问题 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 3 【题型一：点线距】 3 【题型二：点面距】 4 【题型三：线面距】 5 【题型四：面面距】 7 【题型五：异面直线距离】 8 1 学科网（北京）股份有限公司 立体几何——距离问题 【知识梳理】 知识点1：点到直线距离（点线距） 定 义：自点A向直线l引垂线，垂足A1叫做点A在直线l上的射影，点A到垂足的距离叫点到直线的距离 求解方法：点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法进行距离求解。 图1：点线距离 图2：点面距离 图3：线面距离 图4：面面距离 知识点2：点到平面的距离（点面距） 定 义：已知点p是平面α外的任意一点，过点P作PA⊥α，垂足为A，则PA唯一是点P到平面α的距离。（即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离） 结 论：连接平面α外一点P与α内一点所得线段中，垂线段PA最短 求解方法： 1 定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度 2 等体积法（核心方法）：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点面距离 3 转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离 知识点3：直线到平面距离（线面距） 定义：一条直线上的任意一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离（即转化为点面距进行求解） 【注意】如果一条直线l平行于平面α，则直线l上的各点到平面的垂线段相等，即各点到面α的距离相等；垂线段的长度小于或等于l上任意一点与平面α内任意一点的距离 知识点4：平面到平面的距离（面面距） 两个平面的公垂线：与两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段 两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 求解方法：面面距离与线面距离求解一致，转化为平面内一点到另一平面距离进行求解，即转化为点面距求解即可。 知识点5：异面直线的距离（线线距） 公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的距离（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离，两条异面直线的公垂线有且只有一条。 求解方法：求解异面直线a与b之间的距离的步骤如下 步骤一：找一过b的平面α，同时平面α与直线a平行 步骤二：求直线a到平面α的距离（即运用点面距求解） 步骤三：直线a到平面α的距离即为异面直线a与b的距离 【题型演练】 【题型一：点线距】 1．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为______.    2． 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（    ） A．平面平面； B．点到直线的距离； C．若二面角的平面角的余弦值为，则； D．点A到平面的距离为． 3．（多选）如图，在长方体中，，，若是的中点．则（    ） A．过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B．存在实数，使得直线与平面垂直 C．直线平面，则 D．点到直线的距离的范围为 4．的三边长分别3､4､5，为所在平面外一点，令集合{为所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型二：点面距】 5．在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，． (1)证明：平面平面PBC． (2)若，，求点D到平面PBC的距离． 6．已知：如图，三角形为正三角形，和都垂直于平面，且，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离． 7．已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，. (1)求证： (2)求点到平面的距离： 8．如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【题型三：线面距】 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（    ） A．当点是中点时，直线平面； B．直线到平面的距离是； C．存在点，使得； D．面积的最小值是 10．如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． (3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离． 11．如图，四棱锥中，三角形是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，，，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面间的距离． 12．如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点为棱的中点，，连接． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【题型四：面面距】 13．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 14． 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 15．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【题型五：异面直线距离】 16．（多选）正方体的棱长为2．点P在正方体的体对角线上（包含端点），点Q在正方体的棱上（包含端点），则（ ） A．直线与的距离为2 B．点P在上运动，点Q在上运动时，的最小值为 C．当点P、Q分别为、的中点时，到面的距离为1 D．当点Q为棱的中点，点P在上运动时，存在点P，使得面 17． 在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 18． 和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．正方体中，异面直线和的公垂线段是_______；三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是_______． 19．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段运动，点在线段运动，则（    ） A．对任意的点，有 B．的最小值为 C．的最小值为 D．若线段面，则为的内心 20．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（    ） A．的最小值为2 B．四面体的体积为 C．有且仅有一条直线与垂直 D．存在点，使为等边三角形 21．如图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为______；在中，异面直线与的距离为_________. $立体几何一一距离问题 立体几何一一距离问题 ..1 【知识梳理】 【题型演练】 .3 【题型一：点线距】 .3 【题型二：点面距】 .4 【题型三：线面距】 5 【题型四：面面距】 7 【题型五：异面直线距离】 8 1 立体几何一一距离问题 【知识梳理】 知识点1：点到直线距离（点线距） 定 义：自点A向直线1引垂线，垂足A1叫做点A在直线1上的射影，点A到垂足的距 离叫点到直线的距离 求解方法：点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法进 行距离求解。 图1：点线距离 图2：点面距离 图3：线面距离 图4：面面距离 知识点2：点到平面的距离（点面距) 定 义：已知点p是平面a外的任意一点，过点P作PA⊥a,垂足为A,则PA唯一是点 P到平面α的距离。（即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的 距离) 结 论：连接平面a外一点P与a内一点所得线段中，垂线段PA最短 求解方法： ①定义法（直接法）；找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度 ②等体积法（核心方法）：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点面距离 ③转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的 距离 知识点3：直线到平面距离（线面距） 定义：一条直线上的任意一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离（即转 化为点面距进行求解) 【注意】如果一条直线I平行于平面α，则直线I上的各点到平面的垂线段相等，即各点到 面ā的距离相等；垂线段的长度小于或等于1上任意一点与平面ā内任意一点的距离 知识点4：平面到平面的距离（面面距） 两个平面的公垂线：与两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段 两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 求解方法：面面距离与线面距离求解一致，转化为平面内一点到另一平面距离进行求解，即 转化为点面距求解即可。 知识点5：异面直线的距离（线线距） 公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的距离（公垂线段）的长度，叫做两条 异面直线间的距离，两条异面直线的公垂线有且只有一条。 求解方法：求解异面直线a与b之间的距离的步骤如下 步骤一：找一过b的平面a,同时平面a与直线a平行 步骤二：求直线a到平面a的距离（即运用点面距求解） B 步骤三：直线a到平面a的距离即为异面直线a与b的距离 【题型演练】 【题型一：点线距】 1.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABGD中，E,F,G分别是AB,AD,BC,的中点，则 点G到线段EF的距离为一 0 C G B D C B 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为于底面 ABcD为直角蒂形，ABC=∠B4D-受AD=2A=BC=1,点E为校PD上一点，满足 PE=PD(0≤1≤1)，下列结论错误的是() A.平面PAC⊥平面PCD: B.点P到直线CD的距离√； C.若二面角E-AC-D的平面角的余弦值为Y5,则1={ D.点A到平面PCD的距离为V5 3.（多选)如图，在长方体ABCD-ABCD中，AD=AA=2,AB=a,若E是CD的中点.则 () A.过B,E,D三点作长方体ABCD-ABCD的截面，则截面为菱形 B.存在实数a,使得直线AC,与平面BED垂直 D A B C.直线AC⌒平面CB,D=P,则AP=2PC D.点B到直线DE的距离d的范围为 D 3 4.ABC的三边长分别3、4、5，P为ABC所在平面外一点，令集合Q={PP为ABC所 在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3，则集合Q的子集个数为() A.2 B.4 C.8 D.16 【题型二：点面距】 5.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB/CD,AD=DC=1,AB=2, AC⊥PC. B (1)证明：平面ABCD L平面PBC. (2)若PB⊥BC,PB=2√3，求点D到平面PBC的距离. 6.已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且 AE=AB=2CD=2,F为BE的中点. D F (1)证明：DFI∥平面ABC: (2)求点B到平面ADF的距离. 7.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，PAL平面ABCD,BC/IAD,AB=√2， CD=1,AD=2BC=2,PA=1. D (1)求证：CDL PD (2)求点A到平面PBC的距离： 8.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=1,BC=CC=2. D B (1)求证：直线DB/平面AB,D: (2)求点A到平面ABD的距离. 【题型三：线面距】 9.（多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M,N分别是棱AB,AD的 中点，点E在BD上，点F在B,C上，且BE=CF,点P在线段CM上运动，下列说法正确 的有() D M A.当点E是BD中点时，直线EFII平面DCCD: B 、 B.直线8，A到平面CW的距离是5， 2 A C.存在点P,使得∠B,PD,=90°； D.△PDD面积的最小值是5 5 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为DD的中点，F为CC的中点. D A B (1)求证：BD/1平面AEC: (2)求证：平面AEC/平面BFD: (3)若正方体的棱长为2，求直线BD到平面AEC的距离. 11.如图，四棱锥P-ABCD中，三角形PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，点E为线 段PD的中点，BC∥AD,CD⊥AD,PC=V5,AD=2CD=2BC=2. B (1)求证：直线CE∥平面PAB: (2)求直线CE与平面PAB间的距离. I2.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，点E为棱PD的中 点，PA=AB=2,∠ABC=60°，连接EAEC、AC. B< (1)求证：PB/平面EAC; (2)求证：BD⊥平面PAC: (3)求直线PB到平面EAC的距离. 6 【题型四：面面距】 13.直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱AA=3,M、N 分别为ABAD的中点，E、F分别是CD,BC的中点. D E M B (1)求证：平面AMN//平面EFBD; (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 14.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.己知正六面体ABCD-ABCD 的棱长为4，则平面AB,D与平面BCD间的距离为 15.如图在直三棱柱ABC-AB,C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC,=4,E是BB上的一点， 且EB,=1,D、F、G分别是CC、B,C、AC的中点，EF与B,D相交于H. A B (1)求证：BD⊥平面ABD; (2)求平面EGF与平面ABD的距离. > 【题型五：异面直线距离】 16.(多选)正方体ABCD-AB,GD的棱长为2.点P在正方体的体对角线DB上（包含端 点)，点Q在正方体的棱CC上（包含端点），则() D B A D B A.直线DB与CC的距离为2 B.点P在DB上运动，点Q在CC上运动时，P②的最小值为v2 C.当点P、Q分别为DB、CC的中点时，P2到面ABCD的距离为1 D.当点Q为棱CC的中点，点P在DB上运动时，存在点P,使得PQI面BDDB, 17.在四面体ABCD中，AB=CD=2N5,AD=BC=√13，AC=BD=5,M,N分别为 棱AB,CD所在直线的点，则线段MN长度的最小值为· 18.和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹 在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段.正方体ABCD-A'B'C"D中，异面直 线AA'和BC的公垂线段是 ;三棱锥P-ABC的棱长都为1，则异面直线PA和BC的 公垂线段的长度是 8 19.（多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P在线段B,C运动，点Q在 线段AC,运动，则() D A.对任意的点P,有AD⊥DP A B B.Q的最小值为 3 C.DP+AP的最小值为5+6 D 2 B D.若线段BD⌒面ABC=H,则H为ABC的内心 20.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别在线段AD和B,C上，则 下列结论中错误的结论() D A.N的最小值为2 A M B B.四面体BC的体积为 C.有且仅有一条直线MN与AD垂直 D D.存在点M,N,使△MBN为等边三角形 B 21.如图为几何体2的一个表面展开图，其中2的各面都是边长为1的等边三角形，将2放 入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在2中，异面直线AB与DE的距离为 立体几何——距离问题 立体几何——距离问题 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 2 【题型一：点线距】 2 【题型二：点面距】 9 【题型三：线面距】 14 【题型四：面面距】 20 【题型五：异面直线距离】 25 1 学科网（北京）股份有限公司 立体几何——距离问题 【知识梳理】 知识点1：点到直线距离（点线距） 定 义：自点A向直线l引垂线，垂足A1叫做点A在直线l上的射影，点A到垂足的距离叫点到直线的距离 求解方法：点到直线的距离问题主要是将空间问题转化为平面问题，利用解三角形的方法进行距离求解。 图1：点线距离 图2：点面距离 图3：线面距离 图4：面面距离 知识点2：点到平面的距离（点面距） 定 义：已知点p是平面α外的任意一点，过点P作PA⊥α，垂足为A，则PA唯一是点P到平面α的距离。（即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离） 结 论：连接平面α外一点P与α内一点所得线段中，垂线段PA最短 求解方法： 1 定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度 2 等体积法（核心方法）：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点面距离 3 转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离 知识点3：直线到平面距离（线面距） 定义：一条直线上的任意一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离（即转化为点面距进行求解） 【注意】如果一条直线l平行于平面α，则直线l上的各点到平面的垂线段相等，即各点到面α的距离相等；垂线段的长度小于或等于l上任意一点与平面α内任意一点的距离 知识点4：平面到平面的距离（面面距） 两个平面的公垂线：与两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段 两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 求解方法：面面距离与线面距离求解一致，转化为平面内一点到另一平面距离进行求解，即转化为点面距求解即可。 知识点5：异面直线的距离（线线距） 公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的距离（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离，两条异面直线的公垂线有且只有一条。 求解方法：求解异面直线a与b之间的距离的步骤如下 步骤一：找一过b的平面α，同时平面α与直线a平行 步骤二：求直线a到平面α的距离（即运用点面距求解） 步骤三：直线a到平面α的距离即为异面直线a与b的距离 【题型演练】 【题型一：点线距】 1．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为______.    【答案】 【知识点】平面的基本性质的有关计算 【分析】首先说明，故只需求出的长度即可. 【详解】    取中点，由立方体的性质知，，， ， 所以， 则，故所求为. 故答案为：. 2．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（    ） A．平面平面； B．点到直线的距离； C．若二面角的平面角的余弦值为，则； D．点A到平面的距离为． 【答案】D 【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直、求点面距离、平面的基本性质的有关计算 【分析】A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC，结合平面可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AH⊥PC于点H，证明AH的长即为点A到平面的距离，求出AH的长. 【详解】A选项，因为平面，平面， 所以CD， 故∠PBA即为与底面所成的角，， 因为， 所以PA=AB=1， 因为， 取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC， 则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°， 所以AC⊥CD， 又因为， 所以CD⊥平面PAC， 因为CD平面PCD， 所以平面平面PCD，A正确； 由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC， 因为平面PAC 所以CD⊥PC， 故点P到直线CD的距离即为PC的长度， 其中 由勾股定理得：，B正确； 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为， 则，令得：， 所以， 设二面角的平面角为，显然， 其中， 解得：或， 因为，所以，C正确； 过点A作AH⊥PC于点H， 由于CD⊥平面APC，平面APC， 所以AH⊥CD， 因为， 所以AH⊥平面PCD， 故AH即为点A到平面PCD的距离， 因为PA⊥AC， 所以，D选项错误 故选：D 3．（多选）如图，在长方体中，，，若是的中点．则（    ） A．过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B．存在实数，使得直线与平面垂直 C．直线平面，则 D．点到直线的距离的范围为 【答案】ABC 【知识点】点到直线距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、面面平行证明线线平行、平面的基本性质的有关计算 【分析】对于A：根据题意结合面面平行的性质分析判断；对于C：连接交于点，根据平面的性质可知，结合几何性质分析判断；对于BD：建系并标点，利用空间向量结合垂直关系判断B；利用空间向量求点到直线的距离，进而判断D. 【详解】对于选项A：因为平面与平面平行， 则平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 取的中点，连接，则四边形为平行四边形， 又因为， 所以截面为菱形，故A正确； 对于选项C：连接交于点，连接， 因为平面平面，则， 可知，则， 所以，故C正确； 对于选项BC：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系， 则，，， 可得， 若直线与平面垂直，则，解得， 所以存在实数，使得直线与平面垂直，故B正确； 因为， 则， 又因为，则，，可得，故D错误； 故选：ABC． 4．的三边长分别3､4､5，为所在平面外一点，令集合{为所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【知识点】平面的基本性质的有关计算、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分别讨论在平面上的射影在的内部和外部，计算直角三角形的内切圆的半径和旁切圆的半径，结合勾股定理，可得结论． 【详解】解：若在平面上的射影在的内部，可得射影为的内心， 可得内切圆的半径为，存在两个点（平面的上下两侧）； 若在平面上的射影在的外部，可得射影为的旁心（三角形的外角平分线的交点）． 若与斜边相切，则旁切圆的半径大于3，不成立； 若与边长为3的边相切，可得旁切圆的半径小于3，成立，且有两个点； 若与边长为4的边相切，可得旁切圆的半径为，不成立． 综上可得，这样的点共有4个， 则的子集个数为． 故选：． 【题型二：点面距】 5．在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，． (1)证明：平面平面PBC． (2)若，，求点D到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明面面垂直、求点面距离、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面PBC，然后根据面面垂直的判定定理即得； （2）根据面面垂直的性质定理结合条件可得三棱锥的体积，然后根据等积法即得. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，， 过点C作于E，则，，， 所以， 则，所以． 又，，BC，平面PBC， 所以平面PBC，又平面ABCD， 所以平面平面PBC； （2）连接BD，由（1）知平面平面PBC，因为，平面平面，平面， 所以平面BCD． 又，所以， 所以三棱锥的体积． 在中，因为，所以． 设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥的体积． 由，得， 解得． 6．已知：如图，三角形为正三角形，和都垂直于平面，且，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求点面距离、证明线面垂直、面面平行证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）取中点，连接、，由三角形中位线的性质得到，进一步得到平面，再由已知证出四边形为平行四边形，从而得到平面，即可得到平面平面，从而得证； （2）先证出平面，进而得出点到平面的距离为，即可求解． 【详解】（1）如图： 取中点，连接、， 是的中点， ， 又平面，平面， 平面， 和都垂直于平面， ， 又，，， 则四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又，平面平面， 平面平面， 平面， 平面； （2）， ，， 在直角中，， 在直角中，， ，又为的中点， ， 又，， ，平面 平面， 即点到平面的距离为， 因为， 所以． 7．已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，. (1)求证： (2)求点到平面的距离： 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、求点面距离 【分析】（1）取的中点，连接，根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可． （2）过作直线，交的延长线于，根据面面垂直的定义得到平面，即是到平面的距离，然后进行求解即可． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，，所以， 因为，所以四边形是平行四边形，则， 则，即是直角三角形，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）过作直线，交的延长线于，则， 连接，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又，所以平面，过作与，平面， 所以，，平面，所以平面， 即是到平面的距离， 则中，，，则， 则，得，得，即到平面的距离是． 8．如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求点面距离、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在长方体中，， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面, 所以直线平面. （2）在长方体中，由，得，， 等腰的面积，， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 【题型三：线面距】 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（    ） A．当点是中点时，直线平面； B．直线到平面的距离是； C．存在点，使得； D．面积的最小值是 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的向量证明、求空间中两点间的距离、求直线与平面的距离、证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接， 于是，而平面，平面，所以直线平面，A正确； 对于B，分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，B错误； 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 对于C，设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：AC 10．如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． (3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、求直线与平面的距离 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立． （3）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点， 在中，是的中位线，则， 又平面平面，所以平面； （2）因为为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； 由（1）知平面，又因为，平面， 所以平面平面． （3）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为正方体棱长为2，为的中点，所以． ，．，．因为， 所以，求得． 11．如图，四棱锥中，三角形是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，，，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求直线与平面的距离 【分析】（1）取的中点，连接，结合四边形是平行四边形得到，再借助线面平行的判定定理说明即可; （2）取的中点，连接，通过垂直关系得到两两垂直，进而建系，将直线与平面间的距离转化为点到平面的距离，用点到面的距离公式计算即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 有，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面． （2）由（1）知，因为平面， 所以直线与平面间的距离即为点到平面的距离． 取的中点，连接，因为，， 所以，， 由，，， 可知四边形是正方形，有，， 因为，平面， 所以平面， 即平面，又平面， 所以， 由，，知，得，所以， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 有，，设平面的法向量为， 由，取，则，， 得平面的一个法向量为， 又，所以到平面的距离． 所以直线与平面间的距离为．    12．如图，四棱锥中，平面，底面为菱形，点为棱的中点，，连接． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求直线与平面的距离、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连接底面菱形的对角线交点与点，利用菱形对角线互相平分得到为中点，结合为中点，在三角形中构造中位线，证明，再根据线面平行的判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线）即可得证； （2）由PA⊥底面得PA⊥BD；由菱形性质得对角线AC⊥BD；利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面PAC； （3）利用第（1）问已证的平面，将直线到平面的距离转化为直线上任一点（常取）到该平面的距离；通过几何关系或余弦定理求三角形各边长度，利用海伦公式或底高法求出其面积；再以三棱锥为桥梁，分别用两种方式（以为底、一半为高；以为底、到面距离为高）表达体积，建立等式解出距离. 【详解】（1）连接交于点，再连接，因为底面为菱形， 所以，又因为点为棱的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面； （2）因为平面平面，所以， 又因为底面为菱形，所以， 又因为平面， 所以平面； （3）因为平面 所以直线到平面的距离为到面距离 由题可求出，，， 设点到平面距离为， ， 又因为所以 【题型四：面面距】 13．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平行平面距离的向量求法、求面面距离、证明面面平行 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 14．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】/ 【知识点】求面面距离、求点面距离、证明线面垂直、正棱柱及其有关计算 【分析】由题意画出图形，可得平面，平面，求出正方体的体对角线长，再由等体积法求得，则平面与平面间的距离可求． 【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 15．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求面面距离、证明线面垂直、证明面面平行 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【题型五：异面直线距离】 16．（多选）正方体的棱长为2．点P在正方体的体对角线上（包含端点），点Q在正方体的棱上（包含端点），则（ ） A．直线与的距离为2 B．点P在上运动，点Q在上运动时，的最小值为 C．当点P、Q分别为、的中点时，到面的距离为1 D．当点Q为棱的中点，点P在上运动时，存在点P，使得面 【答案】BCD 【知识点】求直线与平面的距离、证明线面垂直、求异面直线的距离 【分析】作出直线的中垂线，进而判断A,B，通过线面垂直的证明可以判断C和D. 【详解】如图： 当分别为的中点时，取中点，连接，则，易知，所以，则四边形为平行四边形，所以.易知，而平面，平面，则,又，所以平面，则，又，所以.又因为，所以.于是PQ是与的垂线段，且.故A错误，因为连接两条异面直线上两点的线段中，垂线段的距离最大，故B正确； 而此时PQ到面ABCD的距离，故C正确； 由前面的证明可知，此时平面，，所以平面，故D正确. 故选：BCD. 17．在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 【答案】3 【知识点】求异面直线的距离 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 18．和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．正方体中，异面直线和的公垂线段是_______；三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是_______． 【答案】 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据公垂线段的概念即可判断；构造正方体，将公垂线段的长度转化为正方体的棱长，即可求解； 【详解】解：在正方体中，于点，于点， 所以异面直线和的公垂线段是； 如图在正方体中取点，，，， 可知， 设，可知正方体的棱长为. 取中点，中点，连接,易知点为的中点， 由正方体的性质可知四边形为平行四边形， 所以且. 由正方体性质可知平面，平面， 所以,， 所以,， 所以为异面直线和的公垂线段. 所以异面直线和的公垂线段的长度为. 故答案为：AB, 19．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段运动，点在线段运动，则（    ） A．对任意的点，有 B．的最小值为 C．的最小值为 D．若线段面，则为的内心 【答案】ABD 【知识点】求点面距离、证明线面垂直、求异面直线的距离、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】对于A：根据题意分析可得平面，即可得结果；对于B：根据题意分析可知：的最小值即为点到平面的距离，利用等体积法求点到面的距离；对于C：通过翻折两个三角形在同一个面上，根据两点间连线最短；对于D：证明平面，即可得到为的外心，再由正三角形的性质判断即可. 【详解】对于A：因为为正方形，则， 因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 由平面，所以，故A正确；    对于B：的最小值即为异面直线，的距离， 此时，， 由正方形的性质可知：，可得， 且，平面，可得平面， 的最小值即为点到平面的距离， 且，平面，平面，可得平面， 可知点到平面的距离即为点到平面的距离，设为， 因为，即，解得， 所以的最小值为，故B正确；    对于C：将与翻折到同一平面（以下都在平面图形中）， 连接交于点，则的最小值为， 因为，，， 所以，则，， 所以，，， 由余弦定理，则， 所以的最小值为，故C错误. 对于D：如图，连接， 因为四边形为正方形，则， ∵平面，平面，则， 因为，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 同理可证， ∵，平面， 平面. ∵， ∴， ∴， ∴为的外心. ∵， ∴是正三角形， ∴为的内心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于B选项关键是转化为求点到平面的距离，对于C，关键是化折为直，都体现了转化思想. 20．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（    ） A．的最小值为2 B．四面体的体积为 C．有且仅有一条直线与垂直 D．存在点，使为等边三角形 【答案】C 【知识点】空间向量与立体几何综合、空间位置关系的向量证明、求异面直线的距离、锥体体积的有关计算 【分析】利用异面直线的距离可判定A，利用棱锥的体积公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐标法可判定D. 【详解】根据正方体的特征可知面， 又面，所以， 即是异面直线和的公垂线， 当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确； 易知，所以，故B正确； 易知是等边三角形，所以当是中点，而N与重合时，， 又由A项可知当分别与重合时，，故C错误； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，， 若存在点，使为等边三角形，则有， 由，由， 解方程得， 当舍去， 又因为所以符合题意，即D正确. 故选：C 21．如图为几何体的一个表面展开图，其中的各面都是边长为的等边三角形，将放入一个球体中，则该球表面积的最小值为______；在中，异面直线与的距离为_________. 【答案】 【知识点】求异面直线的距离、多面体与球体内切外接问题 【分析】结合图形发现几何体是由两个相同的正四棱锥共底构成，比较与的大小，可得当球恰好外接时该球表面积的最小值，则该球表面积的最小值可求；找出的平行线，而与相交构成平面，则异面直线与的距离可转化为点到平面的距离，然后等体积法求之即可. 【详解】因为的各面都是边长为的等边三角形， 所以结合图像可知，几何体是由两个相同的正四棱锥共底构成. 正四棱锥中 将放入一个球体中，当球恰好外接时该球表面积的最小值， 此时球半径为， 该球表面积的最小值为， 因为正方形的对角线的交点,平分与， 所以四边形为平行四边形，则, 而与相交构成平面， 则异面直线与的距离即点到平面的距离， 三棱锥的体积, 令点到平面的距离为， 则， 解得， 异面直线与的距离为. 故答案为：，. $