3.3正态分布 课时作业-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

3.3正态分布 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第3章3.3正态分布 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 2．已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（   ）（参考数据：） A．68 B．75 C．82 D．95 4．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 5．已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（   ） A．0.35 B．0.15 C．0.3 D．0.175 6．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 7．已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 8．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④，. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，则 B．若随机变量服从二项分布，则 C．若事件和相互独立，则 D．若事件和互斥，则 10．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（   ） 参考数据：；； A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过70分的约有45人 C． D．这次考试等级分在内的人数约为48人 11．下列说法正确的是（    ） A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C．已知随机变量，若，则 D．运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在11次射击中，最有可能击中的次数是9次 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________． 13．某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则______. 14．已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 16．（15分）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 17．（15分）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 18．（17分）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 19．（17分）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 学科网（北京）股份有限公司 $3.3正态分布课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第二册第3章3.3正态分布 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.在某项测量中，测量结果5服从正态分布N(1,4),则P(5≤1)=() A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5 2.已知三个正态分布密度函数9=一 14 e2o(xeR,i=1,2,3)（其中，e为自然对数的底 V2 数)的图像如图所示，则下列结论正确的是() y=pi(x)y=02(x) v=o3(x) A.C1=O2>O3B.41>4 C.<O D.4=4 3.某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(50,0.2),质检员随机抽取100个零件，尺寸在 [49.8,50.2]内的零件个数约为()（参考数据：P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827） A.68 B.75 C.82 D.95 4.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从 正态分布N(72,8),则数学成绩位于[88,96]的人数约为() 参考数据：P(-σ≤x≤L+)≈0.6827，P(4-2σ≤x≤+2c)≈0.9545， P(u-3o≤x≤4+3o)≈0.9973 A.790 B.2720 C.430 D.1360 5.已知某批零件的直径X(单位：毫米)服从正态分布N10,σ2).若P(9≤X≤11)=0.7， 则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为() A.0.35 B.0.15 C.0.3 D.0.175 6.已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩X~N(4,σ2)，乙 班成绩Y~N(42,o,),其密度曲线如图所示，则有() Y的密度曲线 X的密度曲线 65707580 A.4<42且O1<O2 B.4>42且O1>02 C.P(X≤70)=P(Y275) D.P(X≥75)>P(Y≥75) 7.已知随机变量X~N(u,o2),若P(X≤94)+P(X<86)=1,则u=() A.88 B.90 C.92 D.94 8.下列说法中正确的是() 1 ①设随机变量X服从二项分布B6, 2 则Px=)君 ②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点 互不相同”，事件B“小赵独自去一个景点，则P(4B)子 ④E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3 A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①③ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.若随机变量X服从正态分布N(1,o2),则P(X<1)=0.5 1 B.若随机变量X服从二项分布B42 则D(X)=1 C.若事件A和B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B) D.若事件A和B互斥，则P(A∩B)=0 10.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分， 已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X~N(70,25),则() 参考数据：P(-0<X≤+σ)=0.6827：P(-25<X≤4+2o)=0.9545; P(-3o<X≤4+3o)=0.9973 A.这次考试等级分的标准差为5 B.这次考试等级分超过70分的约有45人 C.P(70<X<85)=0.1573 D.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人 11.下列说法正确的是() A.数据2,7,4,5,16,1,21,11的第75百分位数为11 B.若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的 平均数大于中位数 C.已知随机变量5~N(0,o2),若P(5>2)=0.2,则P(-2≤5≤2)=0.6 D.运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在11次射击中，最有可能击中的次数是 9次 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分。 12.已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分X(单位：分)服从正态分布 X~N(60,σ2)，若P(X<70)=0.75,则得分高于50分的人数约为 13.某工厂生产一批零件，其尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(,o2),且P(X≤15)=0.2， P(X<31)=0.8,则u= 14.已知随机变量5-N2,g),且P(传≤0)=P(传≥d,则当0<<a时，1+4的最小 x a-x 值为 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)某市高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布X~N(100,144) (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例： (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在(88,124]内的学生人数. 参考数据：若X~N(4,o2),则P(u-o<X≤L+o)=0.6827, P(-2o<X≤+2o)=0.9545,P(u-3o<X≤L+3o)=0.9973. 16.(15分)某校高三学生数学模考成绩X服从正态分布N(4,σ2).现随机抽取100名学生 的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100. (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数山和o,并用X~N4,σ)的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间(95,125]内的学生人数：（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线k(k为整数)，使得成绩高于k的学生获得奖励，且获奖人数约为总 人数的16%.试根据3σ原则确定k的值.（结果取整数） (参考数据：P(u-σ<X≤u+σ)≈0.6827，P(-2o<X≤+2c)≈0.9545， P(X≤+σ)≈0.8413) 17.(15分)某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数 据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩及格”的概 4 1 率为5：平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到及格等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记 X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布N(65,144),若得分Z≥77则为优秀， 等级.现从全校抽取50名学生，记Y为这50名学生中优秀'的人数，求Y的数学期望及方差 (结果四舍五入保留整数)· 参考数据：若随机变量5服从正态分布N(,o2),则P(u-σ≤号≤u+o)≈0.6827， P(-2o≤5≤+2o)≈0.9545，P(u-3o≤5≤u+3o)≈0.9973. 18.(17分)某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标X(单位： m)服从正态分布N(50,9),己知当X~N(4,o2)时，P(u-o<X≤u+o)≈0.68.规定 质量指标在(47,53]内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立， (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率： (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6 个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3 个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为Y,求Y的分布列与期望； 19.(17分)泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量X服从参数为 2(2>0)的泊松分布（记作X~P(A),则其概率分布为P(X=k)=之ek∈N,其中为 自然对数的底数， (1)当≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当1≥50时，泊松分布基本上就等于正态 分布，此时可认为X~N(2,2).若X~P(81),求P(90<X<99)的值： (2)设X~B(np),当p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看作泊松分布，即 P(X)Cp-p=若eeN,其中2=B 某工厂生产n(n≥20)件电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为 产品中的次品数，按泊松分布近似计算 (i)若n=1000,求产品中恰有2件次品的概率； (ii)求使得P(X=)最大时的i值. (参考数据：e3≈0.05；若X~N(u,o2),则有P(u-o<X<+o)≈0.6827， P(u-2o<X<+2o）≈0.9545，P(-3o<X<u+3o）≈0.9973) 3.3正态分布 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第3章3.3正态分布 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 2．已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确．故选：C. 3．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（   ）（参考数据：） A．68 B．75 C．82 D．95 【答案】A 【分析】根据参考数据估计出尺寸在内的零件个数的概率，再根据抽出的总数即可求出最终结果. 【详解】∵，即， ∴， ∵质检员随机抽取100个零件， ∴尺寸在内的零件个数约为：个，故选：A 4．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为.故选：C. 5．已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（   ） A．0.35 B．0.15 C．0.3 D．0.175 【答案】B 【分析】利用正态曲线的对称性易得. 【详解】因，且， 利用正态曲线的对称性可得：.故选：B. 6．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 7．已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以，所以. 8．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 ④，. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】根据二项分布概率公式，即可得出①；根据正态分布的对称性，即可得出②；根据已知求出，然后根据条件概率公式，即可得出③；根据随机变量期望和方差性质直接求解即可判断④. 【详解】对于①，根据二项分布概率公式可得，，故①正确； 对于②，根据已知可得，，所以. 根据正态分布的对称性可知，，故②正确； 对于③，由已知可得，，， 所以，，故③正确； 对于④，，，故④错误. 所以，正确的为①②③. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，则 B．若随机变量服从二项分布，则 C．若事件和相互独立，则 D．若事件和互斥，则 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的性质即可判断选项A，根据二项分布的性质即可判断选项B，根据独立事件，仅能得到，不一定得到，C错误，根据互斥事件的定义即可判断选项D. 【详解】若随机变量服从正态分布，所以，则，A正确； 若随机变量服从二项分布，则，B正确； 若事件和相互独立，则， 且，C错误； 若事件和互斥，则，，D正确.故选：ABD 10．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（   ） 参考数据：；； A．这次考试等级分的标准差为5 B．这次考试等级分超过70分的约有45人 C． D．这次考试等级分在内的人数约为48人 【答案】AD 【分析】根据的含义易判断A，B两项，对于C，D，先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因，即这次考试等级分超过70分的学生约占一半，故B错误； 对于C，因，故C错误； 对于D，因， 故这次考试等级分在内的人数约为人，故D正确，故选：AD 11．下列说法正确的是（    ） A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C．已知随机变量，若，则 D．运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在11次射击中，最有可能击中的次数是9次 【答案】BCD 【分析】利用百分位数的概念判断A选项；根据平均数和中位数的概念判断B选项；根据正态分布的性质判断C选项；根据二项分布的期望判断D选项. 【详解】对A选项：把数据按从小到大顺序排列：1，2，4，5，7，11，16，21，因为，所以该组数据的第75百分位数是第6，7两个数的平均数，为：，故A错. 对B选项：根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对； 对C选项：因为，且，所以，所以，故C正确； 对D选项：设射击命中的次数为，则，所以，所以最有可能击中的次数是9次，D对.故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________． 【答案】7500 【详解】在正态分布中，，由，得，所以得分高于50分的人数约为. 13．某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则______. 【答案】 【分析】利用正态分布的性质求解. 【详解】服从正态分布，，， ，.故答案为：. 14．已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以，则当时，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)8186人 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则，所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ，， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 16．（15分）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10，分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 17．（15分）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 18．（17分）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为，当时，， 当时，，所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 19．（17分）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 学科网（北京）股份有限公司 $3.3正态分布课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第3章3.3正态分布 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4),则P(5≤1)=() A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5 【答案】D 【详解】5服从正态分布N(1,4),所以由正态分布的对称性知P(5≤1)=0.5。 a-4)2 2.已知三个正态分布密度函数g=一 1 =e2g(xeRi=1,2,3)(其中，e为自然对数的底 ,V2 数)的图像如图所示，则下列结论正确的是(). y y=o(x)y=p2(x) v=03(x) A.C=o2>O3B.41>4 C.C<O3 D.4=42 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于x=!对称，且！越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即4<42=凸，故B、D错误： ,σ越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的σ等于第二个图像的σ，且第二个图像 的o比第三个的σ要小， ∴.O1=O2<o3,所以A错误，C正确，故选：C 3.某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(50,0.22),质检员随机抽取100个零件，尺寸在 [49.8,50.2]内的零件个数约为()（参考数据：P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827） A.68 B.75 C.82 D.95 【答案】A 【分析】根据参考数据估计出尺寸在[49.8,50.2]内的零件个数的概率，再根据抽出的总数即 可求出最终结果 【详解】X~N(50,0.22),即u=50,o=0.2, ∴.P(49.8≤X≤50.2)=P(50-0.2≤X≤50+0.2)≈0.6827， ,质检员随机抽取100个零件， .尺寸在[49.8,50.2]内的零件个数约为：100×0.6827≈68个，故选：A 4.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从 正态分布N(72,82),则数学成绩位于[88,96]的人数约为() 参考数据：P(u-σ≤x≤u+o）≈0.6827，P(u-2σ≤x≤+2o)≈0.9545， P(u-3o≤x≤+3o)≈0.9973 A.790 B.2720 C.430 D.1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[88,96]的人数. 【详解】由题意可知，u=72,σ=8， P(38sxs96)=Pu-3o≤x≤u+3o)-P(u-2 G5X5H+-2o】 2[0.9973-0.9545]=0.024 心 则数学成绩位于[88,96]的人数约为20000×0.0214=428.故选：C. 5.已知某批零件的直径X(单位：毫米)服从正态分布N(10,σ2).若P(9≤≤11)=0.7， 则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为() A.0.35 B.0.15 C.0.3 D.0.175 【答案】B 【分析】利用正态曲线的对称性易得 【详解】因X~N10,o2),且P(9≤X≤11)=0.7， 利用正态曲线的对称性可得：P(X<9)=P(X>1D=1-07-015.故选：B 2 6.己知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩X~N(4,o,2),乙 班成绩Y~N(42,o2),其密度曲线如图所示，则有() Y的密度曲线 X的密度曲线 65707580 A.4<2且O1<O2 B.4>42且O1>O2 C.P(X≤70)=P(Y≥75) D.P(X≥75)>P(Y≥75) 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于x=山对称，对称轴位置对应均值！：且σ越大，曲线越矮胖，σ 越小曲线越瘦高 从图中可知：X的对称轴为x=70,Y的对称轴为x=5,因此4=70<42=75；X曲线更 矮胖，因此O>O2,故选项A、B错误： 由正态分布的对称性：P(X≤4)=P(X≤70)=0.5，P(Y≥42)=P≥75)=0.5，C正确： PY≥75)=0.5，而4=70<75，所以P(X≥75)<0.5，因此P(X≥75)<P(Y≥75)，D错 误 7.已知随机变量X~N(4,o2),若P(X≤94)+P(X<86)=1,则u=() A.88 B.90 C.92 D.94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得 【详解】因为P(X≤94)+P(X>94)=l,所以P(X<86)=P(X>94),所以u=86+94=90. 2 8.下列说法中正确的是() ①设随机变量X限从=系分布B6兮) 则Px=)8 ②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点 互不相同，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(A®)号 ④E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3 A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①③ 【答案】A 【分析】根据二项分布概率公式，即可得出①：根据正态分布的对称性，即可得出②：根据 己知求出P(AB),P(B),然后根据条件概率公式，即可得出③：根据随机变量期望和方差性 质直接求解即可判断④。 【详解】对于①，根据二项分布概率公式可得，P(X=3)=Cx 对于②，根据已知可得，P(X≤2)=0.5，所以P(2<X<4)=P(X<4)-P(X≤2)=0.4 根据正态分布的对称性可知，P(0<X<2)=P(2<X<4)=0.4,故②正确： 对干@，已知可得，P(-禁奇)- 64 所以，P(AB)= P(AB)-32-2 P(B) 27=9,故③正确： 64 对于④，E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)=4D(X),故④错误 所以，正确的为①②③. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是（) A.若随机变量X服从正态分布N(1,o2),则P(X<1)=0.5 B若随机支量X服从二项分布®4) 则D(X)=1 C.若事件A和B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B) D.若事件A和B互斥，则P(A∩B)=0 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的性质即可判断选项A,根据二项分布的性质即可判断选项B,根据 独立事件，仅能得到P(AB)=P(A)P(B),不一定得到P(AUB)=P(A)+P(B),C错误， 根据互斥事件的定义即可判断选项D, 【详解】若随机变量X服从正态分布N(1,o2),所以u=1,则P(X<1)=0.5,A正确： 若随机变量X服从=项分布B4兮，则D(x)=4×分1》1，B正确： 若事件A和B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B), 且P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),C错误： 若事件A和B互斥，则A∩B=O,P(A∩B)=0,D正确.故选：ABD 10.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分， 已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X~W(70,25),则() 参考数据：P-0<X≤u+σ)=0.6827；P(u-2o<X≤u+2o)=0.9545; P(L-36<X≤L+3σ=0.9973 A.这次考试等级分的标准差为5 B.这次考试等级分超过70分的约有45人 C.P(70<X<85)=0.1573 D.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人 【答案】AD 【分析】根据X~N(70,25)的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用L,o 表示，利用3σ概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可。 【详解】对于A,因X~N(70,25),则。=√25=5，故A正确： 对于B,因4=70，即这次考试等级分超过70分的学生约占一半，故B错误； 对于C,因P0<X<8S)=P0u-30≤X≤+3a)-=×0973=049865,故C错误： 2 对于D,因P(70sXs80)=Pu≤x≤u+2o)=PUu-2o≤x≤u+2o)=x0.9545=0.48, 故这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×100=48人，故D正确，故选：AD 11.下列说法正确的是() A.数据2,7,4,5,16,1,21,11的第75百分位数为11 B.若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的 平均数大于中位数 C.已知随机变量5~N(0,σ2)，若P(5>2)=0.2,则P(-2≤5≤2)=0.6 D.运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在11次射击中，最有可能击中的次数是 9次 【答案】BCD 【分析】利用百分位数的概念判断A选项：根据平均数和中位数的概念判断B选项：根据 正态分布的性质判断C选项：根据二项分布的期望判断D选项. 【详解】对A选项：把数据按从小到大顺序排列：1,2,4,5,7,11,16,21，因为8× 3=6 所以该组数据的第75百分位数是第6,7两个数的平均数，为：1+167放A银 2 对B选项：根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均 数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对： 对C选项：因为5~N(0,σ2)，且P(5>2)=0.2,所以P(5<-2)=0.2,所以 P(-2≤5≤2)=1-P(5<-2)-P(5>2)=0.6,故C正确： 对D选项：设射击命中的次数为X,则X~B(11,0.8),所以EX=11×0.8=8.8≈9，所以最 有可能击中的次数是9次，D对.故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知某市10000名高一学生的某次数学测试得分X(单位：分)服从正态分布 X~N(60,o2),若P(X<70)=0.75,则得分高于50分的人数约为 【答案】7500 【详解】在正态分布X~N(60,σ2)中，u=60,由P(X<70)=0.75,得 P(X>50)=P(X<70)=0.75,所以得分高于50分的人数约为10000×0.75=7500 13.某工厂生产一批零件，其尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(u,o2),且P(X≤15)=0.2， P(X<31)=0.8,则u= 【答案】23 【分析】利用正态分布的性质求解 【详解】X服从正态分布N(4,σ2)，P(X<31)=0.8,.P(X≥31)=02， P(X<15)=0.2,u=15+31=23故答案为：23 2 14.己知随机变量5-N2,g2),且P(5<0)=P(5≥a,则当0<r<a时，上+4的最小 x a-x 值为 【答案)9 【分析】根据正态分布的对称性，可得α值，根据基本不等式“1的代换，计算化简，即可 得答案 【详解】因为5~N(2,σ2)，所以对称轴u=2, 因为P(5≤0)=P(5≥a,所以a=4,则当0<x<4时，0<4-x<4, 当且仅当4：-红，即x=专时取等号，所以的最小值为 9 x 4-x x4-x 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)某市高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布X~N(100,144) (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例： (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在(88,124]内的学生人数. 参考数据：若X~N(4,o2),则P(u-o<X≤+o)=0.6827, P(-2o<X≤u+2o)=0.9545,P(u-3o<X≤u+3o)=0.9973, 【答案】(1)0.15865 (2)8186人 【分析】(1)由112=4+o,结合对称性即可求解： (2)由正态分布对称性即可求解 【详解】(1)由高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布(100,144)， 可得u=100,ō=12，则112=4+o,所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例 PX>112)-1-PL-o≤X≤L+o_1-06827-0.15865: (2)解：则P(88<X≤124)=P(-o<X≤u+2o) =P(u-o<X≤L+o)tPL-2o<X≤L+2o)-Pu-。<X≤u+o) 2 =0.6827+09545-0.6827=-0.8186,10000x0.8186=8186, 2 所以估计成绩在(88,124]内的学生人数为8186人 16.(15分)某校高三学生数学模考成绩X服从正态分布N(4,σ2).现随机抽取100名学生 的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100. (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数4和σ，并用X~N(4,o2)的形式写出分布记法： (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间(95,125]内的学生人数：（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线k(k为整数)，使得成绩高于k的学生获得奖励，且获奖人数约为总 人数的16%.试根据3σ原则确定k的值.（结果取整数） （参考数据：P(u-o<X≤u+o)≈0.6827，P(u-2o<X≤u+2σ)≈0.9545， P(X≤u+o)≈0.8413) 【答案】(1)L的估计值为105，。的估计值为10，分布记为：X~N(105,100). (2)655(人) (3)115 【分析】(1)根据正态分布的概念即可求解： (2)根据正态分布的对称性求出成绩在区间(95,125]内的学生的概率，然后再求人数即可： (3)由题意可得P(X≤k)=0.84,即k=u+σ满足题意」 【详解】(1)由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此u的估计值为105，σ 的估计值为10，分布记为：X~N(105,100) (2)u-0=105-10=95,4+2o=105+2×10=125, 所以成绩在区间(95,125]内的学生的概率P=06827+0,9545=0.8186, 2 2 故成绩在区间(95,125]内的学生的人数为800×0.8186≈655（人）. (3)由题意，获奖人数占总人数16%，即P(X>k)=0.16,因此P(X≤k)=1-0.16=0.84, 根据参考数据：P(X≤u+o)≈0.8413≈0.84，满足要求，而4+o=105+10=115,因此 k=115 17.(15分)某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数 据：该学校有子的学生平均每月坚特跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩及格的既 率为：平均每月跑步次数不超过30次的学生中，休测成续“及格“的概率为} 4 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格等级的概率： (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记 X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布N(65,144),若得分Z≥77则为“优秀” 等级现从全校抽取50名学生，记Y为这50名学生中优秀”的人数，求Y的数学期望及方差 (结果四舍五入保留整数) 参考数据：若随机变量5服从正态分布N(4,o2),则P(-o≤5≤u+σ)≈0.6827， P(u-2o≤5≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o≤5≤u+3o)≈0.9973. 【容米】0 (2) X 0 1 2 3 1 15 15 5 P 56 56 28 28 0日 (3)数学期望为8，方差为7。 【分析】(1)根据全概率公式P(B)=P(A)P(BA)+P(AP(BA)进行计算： (2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； (3)由题意得4=65,6=12，利用正态分布得到P(Z≥77)，再结合二项分布求解 【详解】(1)设事件A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则A=“抽 取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30'， 设事件B=“抽取1名学生，该学生体测成绩达到及格等级”， 由全率公式，知P(@到=P团P(4+P国P@)-号子号品 原一名学生，该学生体测成绩达到及 (2)X的可能取值为0,1,2,3， 5P(X-2)-CCL 13 P(X=0)=cic-56:P(X-1)-ci=15 C-28 P(x=3)=CC=5 C828 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 15 15 5 P 56 56 28 28 随机变量x服从超几向分布，且V-8,M-5,1=3,所以8()=装-尽 (3)由题意得4=65,6=12， P(Z≥77)=P(Z2u+σ)≈-×(1-0.6827)=0.15865， 21 Y~B(50,0.15865),E(Y)=50×0.15865=7.9325≈8，D(Y)=50x0.15865×0.84135≈7， 所以Y的数学期望为8，方差为7. 18.(17分)某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标X(单位： m)服从正态分布N(50,9),已知当X~N(,o2)时，P(u-o<X≤4+o)≈0.68.规定 质量指标在(47,53]内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立， (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率： (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6 个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3 个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为Y,求Y的分布列与期望； 【答案】(1)0.4352 (2) 2 3 3 5 E(Y)=2 【分析】(1)先确定儿，σ，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合 独立重复试验概率公式求结论： (2)先求PU=),由Pm=) =1。,判断Pn=k)的单调性，确定m,再确方 Y的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望 【详解】(1)因为X~N(50,9),所以u=50,o=3, 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率 P(47<X≤53)=P(u-o<X≤+σ)≈0.68，所以从该批零件中随机抽取2个， 恰好有1个为优质品的概率为C2×0.68×(1-0.68)=0.4352 (2)设随机抽取的6个零件中，优质品的个数为n 由题意得P(n=k)=C×0.68×0.32-,k=0,1,2,3,4,5,6, P(=k+1_Cg×0.68*1×0.32-_102-17k 所以Pn==C×0.68*×032+ 8k+8, 因为102-17k-(8k+8)=94-25k,当0≤k≤3时，94-25k>0, p(u=k+D)-1. P(n=k) 当4≤k≤5时，94-25k<0,P=k+）1,所以m=4. P(n=k） 由题意可得Y的所有可能取值为1,2,3， ==受片=等-专w=动是 所以Y的分布列为 2 3 1-5 3 5 5 8)32 5 19.(17分)泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量X服从参数为 2(2>0)的消松分布(i记作X~P(),则其概率分布为P(x=)=2ek∈N,其中e为 自然对数的底数. (1)当≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当1≥50时，泊松分布基本上就等于正态 分布，此时可认为X~N(2,).若X~P(81),求P(90<X<99)的值： (2)设X~B(,p),当p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看作泊松分布，即 Px-)=cCp*-p)广营eeN,其中=0 某工厂生产n(n≥20)件电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为 产品中的次品数，按泊松分布近似计算. (i)若n=1000,求产品中恰有2件次品的概率： (i)求使得P(X=i)最大时的i值. (参考数据：e3≈0.05；若X~N(4,o2),则有P(u-G<X<u+o)≈0.6827， P(u-2o<X<u+2o)≈0.9545，P(u-3o<X<+3o)≈0.9973) 【答案】(1)0.1359 (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为0.225；当入=p为整数时，P(X=i)最大时的i 值为元-1或；当入=迎不为整数时，P(X=i)最大时的i值为小于2的最大整数. 【分析】(1)根据正态分布求解相应区间的概率即可：(2)()根据题意将已知数据代入公 式即可，ii)根据P(X=)最大时P(X=)≥P(X=i+1),P(X=)≥P(X=i-1)列不等式 组求解即可。 【详解】(1)因为X~P(81),81≥50， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X~N(81,81),即4=81，o=9, 所以P(90<X<99)=P(u+o<X<u+2o), 由P(u-o<X<+o)≈0.6827，P(u-2o<X<u+2o)≈0.9545得 P(u+o<X<L+2σ)= P(u-20<X<u+20)-Ru-o<X<u+ 2 09545-0.6827=01359,即P(90<X<99)=PU+o<X<u+2o)≈0.1359 2 (2)(i)由题意知n=1000,p=0.003,且X~B(1000,0.003), 又n=1000≥20，p=0.003≤0.05，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以1=E(X)=p=3, 所以P(X=2)≈e3≈9x0.05=0.225,即这100件产品中恰有2件次品的概率为0.25 32 °21 2 P(X=i)≥P(X=i+1) (i)因为P(X=i)最大，所以 P(X=)≥P(x=i-1) 业 即 (+1)e4 ,解得2-1≤i≤九， (i-1)！ 又ieN,所以当2=吧为整数时，P(X=i)最大时的i值为2-I或入： 当入=p不为整数时，P(X=)最大时的i值为小于1的最大整数.