3.3 正态分布（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第3章　概率 3.3　正态分布 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　正态曲线及其特点 1.若随机变量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函数为φ(x)=(x∈R),则σ的值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2.已知随机变量X的概率密度函数为f(x)=,若P(X>2a+1)=P(X<1-a),则a=(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 3.(多选)正态分布N(1,σ2)的密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是(　　) A.-P(X≤0) B.-P(X≥2) C.P(X≤2)-P(X≤0) D.-P(1≤X≤2) 4.已知连续型随机变量Xi~N(μi,)(i=1,2,3),其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1) B.P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3) C.P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3) D.P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2) 题组二　标准正态分布 5.设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≥x),其中x>0,则下列等式成立的是(　　) A. f(2x)=2f(x) B. f(-x)=1-f(x) C.P(X≤x)=2f(x)-1 D.P(|X|≥x)=2-f(x) 6.若随机变量X服从正态分布N(0,1),且X在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分别为P1,P2,则P1,P2的大小关系为　　　　.  题组三　正态分布的概率计算 7.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X>5)=0.2,则P(1<X<3)=(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 8.已知随机变量X~N(5,1),且P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,则P(6<X≤7)为(　　) A.0.135 8 B.0.135 9 C.0.271 6 D.0.271 8 9.若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ< μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ< μ+2σ)≈0.954 5.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ≥3)≈0.158 65,则σ=　　　　.  10.已知随机变量X~N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(72<X<88)≈0.682 7. (1)求参数μ,σ的值; (2)求P(64<X≤72). 题组四　正态分布的应用 11.某城市每年6月份的平均气温t(单位:℃)近似服从N(28,σ2),若P(28≤t≤30)=0.3,则可估计该城市6月份平均气温低于26 ℃的天数为(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 12.某班有60名学生,一次考试后的数学成绩ξ近似服从正态分布N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为　(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 13.(多选)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是　(　　) 附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ< μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ< μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ< μ+3σ)≈0.997 3. A.该市学生数学成绩的标准差为100 B.该市学生数学成绩的均值为100 C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8 D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 14.已知某校高三女生的身高X(单位:cm)近似地服从正态分布N(163,52).若随机选择一名该校的女生,其身高不高于168 cm的概率为　　　　.  注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X< μ+σ)≈0.682 7. 15.在某次数学考试中,考生的成绩X近似服从正态分布N(90,100). (1)求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率; (2)若这次考试共有20 000名考生,估计考试成绩在(80,100)之间的考生人数. 注:P(μ-σ<X< μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<X< μ+2σ)≈95.45%,P(μ-3σ<X< μ+3σ)≈99.73%. 能力提升练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　正态分布及其概率计算 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=(　　) A.- B.0 C. D.1 2.设随机变量ξ~N(μ,4),函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,则P(1<ξ<3)=(　　) 附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5. A.0.158 7 B.0.135 9 C.0.271 8 D.0.341 3 题组二　正态分布的实际应用 3.江西某中学为测试高三学生的数学水平,组织学生参加了联考,共有1 000名学生参加,已知该校上次测试中,成绩X(满分150分)服从正态分布N(100,σ2),且120分及以上的人数为160,假设这次考试成绩和上次成绩的分布相同,那么可推测这次数学成绩优异的人数为(成绩在140分及以上者为优异)(　　) 注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X< μ+σ)=0.68,P(μ-2σ<X< μ+2σ)=0.95,P(μ-3σ<X< μ+3σ)=0.99. A.20 B.25 C.30 D.40 4.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题,不断刷新亩产量的纪录,现有甲、乙两个试验田,根据数据统计,甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ,η)均服从正态分布,其中ξ~N(μ1,),η~N(μ2,).如图,已知μ1=1 150,μ2=1 130,=2 500,=1 600,两条正态曲线在直线x=μ2左侧交于点M(x0,y0),则下列说法正确的是(　　) A.P(ξ< μ1)<P(ξ< μ2) B.P(η< μ1)>P(η< μ2) C.P(ξ>x0)<P(η>x0) D.P(ξ>1 250)>P(η<1 050) 5.已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位:天)服从正态分布N(98,64). (1)一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为　　　　;  (2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为　　　　.  注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-0.25σ<X≤μ+0.25σ)=0.2. 6.为建设粤港澳大湾区教育高地,办人民满意的教育,深入推进基础教育课堂教学改革,提升教育质量,某高中探索了一种课堂教学改进项目.某研究机构为了解实施新项目后的教学效果,通过随机抽样调查了该校某年级100位学生,对这些学生的课堂测试成绩进行了统计,得到样本的频率分布直方图,如图所示. (1)记这些学生课堂测试成绩的分数为X,若X近似地服从正态分布N(μ,100),其中μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值表示),求P(64<X<94); (2)为进一步了解,研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩的分数在[50,60),[60,70),[80,90)内的学生中共抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到分数在[80,90)内的人数ξ的分布列和数学期望. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 3. 7.某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下: 87　　87　　88　　92　　95　　97　　98　　99　　103　　104 设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ. (1)求μ与σ; (2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2). ①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径大于107 cm的零件个数为X,求D(2X+1); ②若该车间又购进一台新设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径分别为76,85,93,99,108(单位:cm),以原设备生产性能为标准,试问这台设备是否需要进一步调试?说明你的理由. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997,取0.9974≈0.99. 答案与分层梯度式解析 第3章　概率 3.3　正态分布 基础过关练 1.B　 2.D　依题意,可得2a+1+1-a=4,解得a=2.故选D. 3.ABC　易知此正态分布密度曲线关于直线x=1对称,故图中阴影部分可表示为P(0<X≤1)=P(X≤1)-P(X≤0)=-P(X≤0),故A正确; P(0<X≤1)=-P(X≤0)=-P(X≥2),故B正确; P(0<X≤1)=[P(X≤2)-P(X≤0)],故C正确; -P(1≤X≤2)=P(X≤0)=P(X≥2),故D错误. 故选ABC. 4.D　对于A,P(X1≤μ2)是题中y=f1(x)的图象在第二条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,P(X2≤μ1)是题中y=f2(x)的图象在第一条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积, 由题图可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1),故A错误; 对于B,P(X2≥μ2)=,P(X3≥μ3)=,则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3),故B错误; 对于C,与A中分析相同,P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3),故C错误; 对于D,由于正态分布中,随机变量X落在某区间的概率表示曲线和x轴及对应直线围成的图形的面积,与i或i+1无关, 故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(-2≤≤+2)(i=1,2)成立,故D正确. 故选D. 5.B　因为随机变量X~N(0,1),所以此正态曲线关于直线x=0对称, 因为f(x)=P(X≥x)(x>0),所以根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X≤x)=1-f(x),故B正确;f(2x)=P(X≥2x),2f(x)=2P(X≥x),P(X≥2x)与2P(X≥x)不一定相等,故A错误; P(X≤x)=1-P(X≥x)=1-f(x),故C错误; P(|X|≥x)=P(X≥x或X≤-x)=2f(x),故D错误. 故选B. 6.答案　 P1=P2 解析　根据标准正态曲线的特点,该曲线关于直线x=0对称,所以随机变量X在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等,即P1=P2. 7.C　P(1<X<3)=P(3<X<5)=0.5-P(X≥5)=0.5-0.2=0.3.故选C. 8.B　由随机变量X~N(5,1)知,μ=5,σ=1, 所以P(4<X≤6)≈0.682 7,P(3<X≤7)≈0.954 5, 所以P(6<X≤7)=[P(3<X≤7)-P(4<X≤6)]=0.135 9,故选B. 9.答案　 2 解析　因为0.158 65=≈P(ξ≥μ+σ),且μ=1,所以σ=2. 10.解析　(1)由于X的正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减, 所以此正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80. 又因为P(72<X<88)≈0.682 7,P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,所以σ=8. (2)由(1)知μ=80,σ=8,故P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(64<X<96)≈0.954 5. 又因为P(X≤64)=P(X≥96), 所以P(X≤64)=×(1-0.954 5)=×0.045 5=0.022 75, 所以P(X>64)=0.977 25. 又因为P(X≤72)=[1-P(72<X<88)] =×(1-0.682 7)=0.158 65, 所以P(X>72)=0.841 35, 所以P(64≤X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.135 9. 11.C　因为该城市每年6月份的平均气温t(单位:℃)近似服从N(28,σ2),所以μ=28,因为P(28≤t≤30)=0.3,所以P(26≤t≤28)=0.3,所以P(t<26)=0.5-0.3=0.2, 所以估计该城市6月份平均气温低于26 ℃的天数为0.2×30=6.故选C. 12.B　因为数学成绩ξ近似服从正态分布N(110,σ2), 所以由P(100≤ξ≤110)=0.35,可得P(110≤ξ≤120)=0.35, 所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为P(ξ>120)=×(1-0.35-0.35)=0.15, 所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9. 13.BC　由X服从正态分布N(100,100),可得μ=100,σ=10,故A错误,B正确; P(X≤90)=P(X≤μ-σ)=[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]≈×(1-0.682 7)=0.158 65, P(X≥90)=1-P(X<90)=1-0.158 65=0.841 35>0.8,故C正确; P(X≥120)=P(X≥μ+2σ)≈×(1-0.954 5)=0.022 75,故优秀率约为0.022 75,而及格率约为0.841 35,二者相差很大,人数相差也很大,故D错误.故选BC. 14.答案　 0.841 35 解析　由题意可得X~N(163,52),故μ=163,σ=5, 故P(μ-σ<X<μ+σ)=P(158<X<168)≈0.682 7, 所以P(μ<X<μ+σ)=P(163<X<168)=0.341 35, 又因为P(X≤μ)=P(X≤163)=0.5, 所以P(X≤168)=P(X≤163)+P(163<X≤168)=0.5+0.341 35=0.841 35. 15.解析　(1)∵X~N(90,100),∴μ=90,σ==10, ∴P(70<X<110)=P(90-2×10<X<90+2×10)≈0.954 5, 即考试成绩X位于区间(70,110)内的概率约为0.954 5. (2)P(80<X<100)=P(90-10<X<90+10)≈0.682 7, ∵20 000×0.682 7=13 654, ∴考试成绩在(80,100)之间的考生大约有13 654人. 能力提升练 1. C　因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即P(-x≤ξ≤ -x+1)=P(x≤ξ≤x+1), 结合正态曲线的对称性可知,μ==.故选C. 2.B　函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点,即关于x的一元二次方程x2+2x-ξ=0无实根, ∴Δ=4+4ξ<0,∴ξ<-1, 又∵f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5, ∴P(ξ<-1)=0.5,由正态曲线的对称性知μ=-1, ∴ξ~N(-1,4), ∴μ-σ=-3,μ+σ=1,μ-2σ=-5,μ+2σ=3, ∴P(-3<ξ<1)≈0.682 7,P(-5<ξ<3)≈0.954 5, ∴P(1<ξ<3)=[P(-5<ξ<3)-P(-3<ξ<1)]==0.135 9.故选B. 3.B　因为该校上次测试的成绩X服从正态分布N(100,σ2),且120分及以上的人数为160,所以80分及以下的人数也为160, 故P(80<X<120)==0.68,由此可知σ=20,即X~N(100,202), 所以P(60<X<140)=0.95,故成绩在140分及以上的人数为=25,故选B. 4.BC　由题图可知P(ξ<μ1)>P(ξ<μ2),P(η<μ1)>P(η<μ2),故A错误,B正确; ∵P(ξ>x0)=1-P(ξ≤x0),P(η>x0)=1-P(η≤x0), 由题图可知P(ξ≤x0)>P(η≤x0),∴P(ξ>x0)<P(η>x0),故C正确; ∵μ1=1 150,σ1=50,μ2=1 130,σ2=40, ∴P(ξ>1 250)=P(ξ>μ1+2σ1),P(η<1 050)=P(η<μ2-2σ2)=P(η>μ2+2σ2), 根据正态曲线的性质及3σ原则,可知P(ξ>1 250)=P(η<1 050),故D不正确. 故选BC. 5.答案　(1)　(2) 解析　由题可知μ=98,σ=8, ∴P(X>100)==. 由题意,电路能正常工作的概率P=××+××+××=. 6.解析　(1)根据题中频率分布直方图得,=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74, 由题意知X~N(74,100), ∴P(64<X<94)=P(μ-σ<X<μ+2σ)≈=0.818 6. (2)由题图可知分数在[50,60),[60,70),[80,90)内的频率之比为1∶2∶2, 故抽取的10人中,分数在[50,60),[60,70),[80,90)内的学生分别有2人,4人,4人, 易知随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3, P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==, 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 方法总结 　　解决正态分布中的概率计算问题一定要把握服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率,将所求问题向P(μ-σ<X<μ+σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<μ+3σ)转化,然后利用特定值求出相应概率.同时,要充分利用曲线的对称性和曲线下方与x轴所夹区域的面积为1这些特殊性质.7.解析　(1)μ=×(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95, σ2=×[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2-(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36, 则σ=6. (2)①由题可知Z~N(95,62), 所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)=0.5-=0.023, 则X~B(5,0.023), 所以D(X)=5×0.023×(1-0.023)=0.112 355, 故D(2X+1)=4D(X)=0.449 42. ②需要.理由如下: 因为P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997, 所以5个零件中恰有1个零件的内径不在(μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.9974×(1-0.997)=×0.99×(1-0.997)=0.014 85. 因为76∉(μ-3σ,μ+3σ]=(77,113],所以试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在(μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率是=0.2,大概是0.014 85的十三倍,根据3σ原则可知,这台设备需要进一步调试. 学科网（北京）股份有限公司 $$