26.2 反比例函数的图像与性质(第2课时)（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

26.2 反比例函数的图像与性质 第2课时 第二十六章 反比例函数 学 习 目 标 1 2 3 1. 利用反比例函数图象求点的坐标、求解析式； 利用图象理解反比例函数的增减性，求不等式的解集； 理解反比例函数K的几何意义，利用函数图象求图形的面积. 问题引入 反比例函数的图像与性质 复习提问 1. 一般地，形如_________________________的函数叫作反比例函数. 2.函数 y= 的图像叫作_______，图像的每个分支分别向x轴 、y轴________________ 双曲线 无限靠近，但永不相交. 3. 当k>0 时，双曲线位于第___________象限；在每一象限内，其图像是下降的，y 随着x 的增大而___________. y= 4.当k<0 时 ，双曲线位于第__________象限；在每一象限内，其图像是上升的，即y 随着x 的增大而__________. 一、三 减小 二、四 增大 例题讲解 反比例函数的图像与性质 例1 （ 课本P127） 已知某反比例函数的图像经过点A(2,3). (1)这个函数的图像位于哪些象限? (2)若点B(3,a) 、C(b,—5) 也在这个函数的图像上，求a 、b 的值. 解：（1）反比例函数图像的位置只有两种可能：位于第一、三象限，或 者位于第二、四象限， 因为点 A(2,3) 在第一象限，所以这个函数的图像位于第一、三象限. (2)设这个反比例函数的表达式为 y= (k≠0)， 因为点A(2,3)在其图像上，所以 解得 k=6. 因此，这个反比例函数的表达式为 y= 因为点B 、C 的坐标都满足：y= ,代入得 a=、-5= 从而解得 a=2、b=- 总结：图像经过某点即某点的坐标符合函数表达式； 巩固练习 反比例函数的图像与性质 １.（ 课本P12９练习２）如图，点A(－1,－3)、B(2，a) 这个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的表达式与 a 的值 . 因为点B(2，a)在其图像上，所以 a= 解：设这个反比例函数的表达式为 y= (k≠0)， 因为点A(-1,-3)在其图像上，所以 -3= ， 从而解得，k=3.所以函数的表达式为 y= . 总结：图像经过某点即某点的坐标符合函数表达式； 图像经过已知点求函数表达式用待定系数； 新知讲解 反比例函数的图像与性质 例题2（ 课本P128） 如图，已知反比例函数 y 图像的一支，请回答下列问题： (1)图像的另一支位于哪个象限? k 的取值 范围是什么? (2)在这个函数图像的某一支上任取点M(x₁,y₁)和点N(x₂,y2) 如果x₁<x2, 那么 y₁和y₂有怎样的大小关系? 解：(1)因为这个函数图像的一支位于第一象限，所以另一支必位于第 三象限. ( 2 ) 因 为 2k+1>0,   所以在这个函数图像的任一支上，y 随 着x 的增大 而 _____, x₁ x₂ y₁ y₂ 因此当 x₁<x₂时 ，________. y₁>y₂ 减小 因为这个函数的图像位于第一、三象限，所以 2k+1>0. 解之得，k>. M N 新知讲解 反比例函数的图像与性质 例题2（ 课本P128） 如图，已知反比例函数 y 图像的一支，请回答下列问题： (1)图像的另一支位于哪个象限? k 的取值 范围是什么? (2)在这个函数图像的某一支上任取点 M(x₁,y₁)和点 N(x₂,y2) 如果x₁<x2, 那么 y₁和y₂有怎样的大小关系? 思考：第（2）问中，为什么强调在图像的“某一支上”任取两点，去除这个条件能不能确定 y1、y2 的大小关系？ M N x₁ x2 y₁ y₂ 分析：当M、N都在第四象限时，依然有 y1>y2 的关系; 新知讲解 反比例函数的图像与性质 例题2（ 课本P128） 如图，已知反比例函数 y 图像的一支，请回答下列问题： (1)图像的另一支位于哪个象限? k 的取值 范围是什么? (2)在这个函数图像的某一支上任取点 M(x₁,y₁)和点 N(x₂,y2) 如果x₁<x2, 那么 y₁和y₂有怎样的大小关系? 思考：第（2）问中，为什么强调在图像的“某一分支上”任取两点，去除这个条件能不能确定 y1、y2 的大小关系？ M N x₁ x2 y₂ y₁ 答：当M、N都在第四象限时，依然有 y1>y2 的关系; 没有 y1>y2 的关系; 总结：反比例函数的增减性必须强调“在某一分支上”、“在同一象限内”. 当M、N在不同的分支上时， 新知讲解 反比例函数的图像与性质 例题2（ 课本P128） 如图，已知反比例函数 y 图像的一支，请回答下列问题： 解：(3)设 点 A(a,b)(a>0,b>0). 由点A 在 个函数的图像上，得b= 在矩形OBAC 中 ，OB=a, OC=b, 则它的面积 S矩OBAC=ab=2k+1. (3)设 A 是图像上任意一点，过点 A 分别作 x 轴、y 轴的 垂线，垂足分别为 B 、C, 请用含 k 的代数式表示矩形OBAC 的面积. (4)如果A点位置在图象上移动至点Ａ＇位置，矩形的面积会怎么变化？说明什么规律？ Ａ＇ 所以 矩形面积不会发生变化. 说明矩形的面积与A点位置没有关系，只与比例系数的大小有关系． 解：(3)设 点 A’(m，n) (m>0,n>0)，则 n=，所以 S矩OBAC=mn=2k+1. 巩固练习 反比例函数的图像与性质 １.（ 课本P12９练习１）当 k 满足什么条件时，反比例函数 ｙ＝（ｋ是常数）的图像有一 支在第二象限? 解：（1）因为反比例函数图像有一支位于位于第二象限，所以它位于第二、四象限， 所以，3k-1<0 所以，k < . 巩固练习 反比例函数的图像与性质 2.（ 课本P12９练习3） 如图，已知点B 在函数 y= 的图像上，且位于第一 象限，过点 B 分别向x 轴 、y 轴作垂线，垂足分别为A、C. 求矩形 OABC 的面积. C B A 解：设 点 B(a,b)(a>0,b>0). 由点 B 在这 个函数的图像上，得 b= 在矩形OABC 中 ，OA=a, OC=b, 则它的面积 S矩OABC=ab=6. 思考：如果点B在第三象限呢？ ∵a<9，b<0，∴S矩OABC=|ab|=6. 总结：矩形的面积与A点位置没有关系，只与比例系数的大小有关系． 当场反馈 反比例函数的图像与性质 1.（ 课本P130 习题１）已知反比例函数 y= 的图像经过点 ( ) , 那 么 k=______,函数图像所在的每个象限内，y 随着x 的增大而_______ ; 解：反比例函数 y= 的图像经过点 ( ) , 所以 k= =， 因为 k，所以函数图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大 ; 增大 当场反馈 反比例函数的图像与性质 2.（ 课本P130 习题１）已知点A(x₁,y₁) 、B(x₂,y₂) 在反比例函数 y= （k<0）的图像上， 且 0<x₁<x₂, 那么y₁______ y₂ (填“>”“<”或“=”). 因为 k，所以函数图像在每个象限内，y 随着 x 的增大而增大 ; 解：因为 0<x₁<x₂，所以A、B点都在第四象限内, 所以 y₁< y₂. < 思考：题目中有个条件是 “0<x₁<x₂”,这个条件的作用是什么？能否改成“x₁<x₂”？ 答：作用是强调A、B两点都在第四象限的分支上；不能更改，否则A、B两点不一定在双曲线的“同一分支”上. 拓展提升 反比例函数的图像与性质 1. 如图，已知 A 是反比例函数 y= 图象上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA，则△OAB的面积为（   ） A．12 B．1 C．32 D．2 解：设 点 A(a,b) (a<0,b>0). 由点 A 在这 个函数的图像上，得 b= ，所以 ab= -2. 在△OAB 中 ，OA= -a, OB=b, 则它的面积 S△OAB= |ab|=1. 总结： S△OAB= |k|． 拓展提升 反比例函数的图像与性质 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx (k>0) 与双曲线 y= 交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连结BC交y轴于点D，则△AOC 的面积是（    ） A．32 B．2 C．3 D．6 解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形， ∴点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△ABC= 2|k|=|k|=6. 总结： S△ABC= |k|． 拓展提升 反比例函数的图像与性质 3．函数 y= 和 y=k(x-1) 在同一直角坐标系中的大致图像是（      ） 解：当k<0时 ，-k>0， ∴ 反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵一次函数 y=k(x-1) =kx-k 经过第二、四象限，且与y 轴交于正半轴，所以 A、B 均错误； 当k>0时 ，-k<0， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵一次函数 y=k(x-1) =kx-k 经过第一、三象限，且与y 轴交于负半轴，所以 C错误； 故选：D． D 拓展提升 反比例函数的图像与性质 4．一次函数 y=x +2 的图象与反比例函数 y= 的图象有两个交点坐标，求k 的取值范围. 解：当k>0时 ，∴ 反比例函数y=的图象位于第一、三象限， ∵一次函数 y=x +2 的图象经过第一、二、三象限，所以两个函数的图像必有两个交点； 当 k<0 时 ，∴ 反比例函数y=的图象位于第二、四象限， 一次函数 y=x +2 的图象若与反比例函数 y= 的图象有两个交点 则方程组 有两个公共解， ∴x+2= ∴x2+2x-k=0 ∴△=4+4k>0 ∴k>-1 又∵k<0 ∴-1<k<0 综上所述，k 的取值范围是-1<k<0 或 k>0. 拓展提升 反比例函数的图像与性质 5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 y=与反比例函数 y= 的图象相交于A(3,m)、B两点． (1)求反比例函数的解析式及B点坐标； (2)直接写出 > 时x的取值范围． 解：(1)由点 A 在这 个y=的图像上，得 m= ，所以 m= 4 因为点 A 在这 个 y=的图像上，得 k=4，所以 k= 12; 函数 y=的图象与反比例函数 y= 的图象有两个交点 由题意得， ，解之得 ∴B(-3,-4) ∴x2+2x-k=0 ∴△=4+4k>0 ∴k>-1 又∵k<0 (2)由图像可知-3<x<0或x>3时， . B A 课堂小结 反比例函数 的图像与性质（2） 图像 性质 ——双曲线，图像的每支都无限接近于x 轴与y 轴， 但不会与它们相交. 感谢聆听！ $