第5章 图形的轴对称【挑战压轴题题型讲练】19个题型讲练+能力提升训练 共48题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦图形轴对称，19题型分层覆盖概念识别、性质应用、尺规作图及综合问题，典例与变式结合，培养几何直观与推理意识，构建从基础到压轴的系统训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题型（识别/对称轴条数等）|以选择判断为主，考查轴对称图形本质|从图形识别到对称轴数量，建立概念认知| |性质应用|5题型（折叠/光线反射等）|结合动态情境，运用轴对称性质求解|由静态特征到动态变换，深化性质理解| |作图操作|4题型（画对称轴/垂直平分线等）|尺规作图与推理结合，强调规范表达|从作图技能到原理应用，培养空间观念| |综合压轴|6题型（最短路径/线段面积角度综合）|多知识点融合，侧重逻辑推理与模型构建|从单一应用到综合创新，提升问题解决能力|

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 第5章 图形的轴对称『挑战压轴题题型讲练』 〔19个题型讲练+能力提升练 共48题〕 【北师大版七下●新教材】 1 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 4 题型四 求对称轴条数 6 题型五 折叠问题 7 题型六 画对称轴 11 题型七 画轴对称图形 12 题型八 设计轴对称图案 15 题型九 轴对称中的光线反射问题 17 题型十 等边对等角 21 题型十一 三线合一 23 题型十二 线段垂直平分线的性质 25 题型十三 作已知线段的垂直平分线 28 题型十四 角平分线的性质定理 31 题型十五 作角平分线(尺规作图) 35 题型十六 最短路径问题 37 题型十七 线段问题(轴对称综合题） 39 题型十八 面积问题(轴对称综合题） 43 题型十九 角度问题(轴对称综合题） 46 能力提升训练 51 题型一 轴对称图形的识别 【典例分析】（24-25七年级下·重庆忠县·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的定义，即图形沿某条直线折叠后，能与原图形的另一部分重合，据此即可一一判定． 【详解】解：选项A、B、C的图形都是轴对称图形，选项D的图形不是轴对称图形， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）下列图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）如图，四边形为长方形，与关于直线对称，则图中全等三角形共有（  ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查长方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定．熟练掌握轴对称的性质和矩形的性质是解题关键．根据长方形的性质，轴对称的性质即可直接得出；设与交于点F，易得出，，，即可证，从而即得出答案． 【详解】解：∵四边形为长方形，为对角线， ∴． ∵与关于直线对称， ∴， ∴，即互为3对； 如图，设与交于点F，    ∵四边形为长方形，与关于直线对称， ∴，． 又∵， ∴． 综上可知图中全等三角形共有4对． 故选C． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元复习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． 题型四 求对称轴条数 【典例分析】（24-25七年级下·福建泉州·期末）正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质判断即可． 【详解】解：如图： 一个正五边形的对称轴共有5条． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴的概念，解题的关键是熟练掌握对称轴的概念． 发布求出各图形的对称轴，即可得答案． 【详解】A．根据它的组合特点，它有1条对称轴； B．根据它的组合特点，有1条对称轴； C．这个组合图形有1条对称轴； D．这个图形有4条对称轴． 故选：D． 题型五 折叠问题 【典例分析】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）小明在一条长方形的纸带上画了一条数轴，进行操作并研究． (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数______的点重合． (2)操操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数______的点重合． (3)操作3：如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是几？ 【答案】(1)2 (2) (3)1.4或2或2.6 【分析】考查了数轴上两点间的距离，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后，折痕处的点到重合的两点的距离相等．②数轴上两点的距离是两点表示的两数差的绝对值． （1）根据对称性找到折痕处的点表示的数为0，可以得出答案； （2）根据对称性找到折痕的点表示的数为，设与表示数的点重合的点表示的数是，根据两点间的距离可得答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，这三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为0． 则表示数的点与表示数2的点重合． 故答案为：2． （2）折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 设与表示数的点重合的点表示的数是， ， ． 故答案为：． （3）设表示的点是，表示5的是， ． ①当时， 设，，， ， 解得， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， ②当时， 设，，， ， 解得， ．，，， 折痕处对应的点所表示的数是：． ③当时， 设，，， ， 解得， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：折痕处对应的点所表示的数可能是1.4或2或2.6． 【变式训练】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 _______(用含的代数式表示)． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的计算，折叠问题，依题意有以下两种情况：①点落在的右侧时，②当点落在的左侧时，分别画出图形，根据折叠的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①点落在 的右侧时，如图所示： 由折叠的性质得： ， ， ， ， ， ， ； ②当点落在 的左侧时，如图所示： 由折叠的性质得： ， ， ， ， ， ， ， ' ． 综上所述： 或． 故答案为：或． 题型六 画对称轴 【典例分析】（24-25七年级下·辽宁阜新·月考）下列说法正确的有（    ）个． ①角的对称轴是它的角平分线；②两点之间直线最短；③三角形三条高交于一点；④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交；⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴、两点之间的距离、三角形的高、平行线的定义、角平分线等知识点逐项判断即可． 【详解】解：①角的对称轴是它的角平分线所在的直线，即①说法不正确； ②两点之间线段最短，即②说法不正确； ③三角形三条高或高的延长线交于一点，即③说法不正确； ④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交，则④说法正确； ⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部．则⑤说法正确； 正确的共有2个． 故选B． 【变式训练】（24-25七年级下·江西赣州·期中）（1）如图1，四边形与四边形关于直线l对称．连接、．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q． （2）如图2，已知五边形和关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据轴对称的性质，连接、，交点即为点Q； （2）根据轴对称的性质，连接和，和，两交点所在直线即为对称轴直线m． 【详解】解：（1）如图1所示，点Q即为所求； （2）如图2所示，直线m即为所求． 题型七 画轴对称图形 【典例分析】（24-25七年级下·全国·周测）如图，和关于直线MN对称，和关于直线EF对称． (1)请用无刻度的直尺画出直线EF（保留画图痕迹，不写画法）． (2)直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）连接、交于一点，延长、交于一点，连接这两点即可作出直线； （2）连接，，，由轴对称的性质可得，，再根据角度的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：直线如图所示． （2）解：如图，连接，，． 和关于直线对称， ． 和关于直线对称， ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查了画轴对称图形、画中线、求三角形的面积等知识，熟练掌握网格作图是解题关键． （1）结合网格特点画出点关于直线的对称点，再连接即可得； （2）结合网格特点画出的中点，连接即可得； （3）如图（见解析），结合网格特点找出，根据全等三角形的性质即可得； （4）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，中线即为所求． （3）解：如图3，格点即为所求． （4）解：的面积为． 题型八 设计轴对称图案 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一种“钻石”型网格（由边长都为1的等边三角形组成），已有3个小三角形涂上阴影，再从图中其余小三角形中选1个涂上阴影，使整个涂上阴影的图案构成轴对称图形的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的三角形有三个． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 故选：D． 题型九 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 【变式训练】（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 题型十 等边对等角 【典例分析】（24-25七年级下·江西·期中）如图中，平分，且，若，则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将线段关系进行转化，进而利用角度关系求解． 通过在上截取，构造，将转化为，再结合线段关系得出，从而利用角度关系求出． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆渝中·期末）如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案． 【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接， 平分， ，， 平分， ，， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故答案为：． 题型十一 三线合一 【典例分析】（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与轴对称性质．先证明，得到是等腰三角形的对称轴，即可得到图中阴影部分的面积为． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·福建南平·期末）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 题型十二 线段垂直平分线的性质 【典例分析】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 或 【分析】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解∶ ， ， 或（舍）， ； （2）解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴，  ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 【变式训练】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用，解题的关键是熟练掌握角度之间的关系，得出．根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型十三 作已知线段的垂直平分线 【典例分析】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在中，平分，过点作交于点交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____________．    【答案】①②④⑤ 【分析】延长CD，交AB的延长线于H，连接HP、HG，作于M，于N，于Q，根据角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的和差关系、全等三角形的性质以及判定定理、三角形面积公式分别求解即可． 【详解】延长CD，交AB的延长线于H，连接HP、HG，作于M，于N，于Q ，即， ，即△ACH为等腰三角形 ∵AD平分∠BAC ∴AD为HC的垂直平分线 ∵∠BCA的平分线CF交AD于点P ∴，故①正确 ∵平分，作的平分线交于点，交于点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确 ∵CF为∠ACB的角平分线 ∴HP为∠FHG的角平分线 在△HFP和△HGP中 ∴，故④正确 ∵，， ∴ ，， ，故⑤正确 故答案为：①②④⑤．    【变式训练】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，点、分别是两边、上的点． 尺规作图：作的垂直平分线，并在上找一点，使得点到两边、的距离相等．（保留作图痕迹） 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂直平分线，连接，然后分别作平分线，线段垂直平分线，交于点即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，作平分线，线段垂直平分线，交于点 ∴点即为所求． 题型十四 角平分线的性质定理 【典例分析】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，直线交轴，轴于，两点，， (1)求A点坐标． (2)的角平分线交于点，点，分别在线段，上（点，都不与点B重合），连接，，，且，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了点的坐标，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：构造全等三角形． （1）设，，根据三角形面积公式，求出，即可求解， （2）根据角平分线性质定理，构造，得到，，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴，即：，解得：， ∴，，； （2）解：作，垂足为，在射线上截取一点，使， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即：， ，即：， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，即：平分． 【变式训练】（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，已知，B在上，D在上，点E在两平行线之间，求证： （2）如图2，已知，B在上，C在上，A在B的左侧，D在C的右侧，平分，平分，直线、交于点E，． ①若，求的度数． ②将线段沿方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示．若，则的度数是________度（用关于n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①65°；② 【分析】（1）如图1中，作．利用平行线的性质和判定求解即可． （2）①利用（1）中结论只要求出，即可． ②利用（1）中结论只要求出，即可． 【详解】解：（1）如图1中，作． ，， ， ，， ． （2）①如图2中， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． ②如图3中， ，平分， ， ， ， ． 故答案为． 题型十五 作角平分线(尺规作图) 【典例分析】（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，关键是熟练运用作图方法解题， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，与边、分别相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离为半径画弧，在内部相交于点，作射线即为的平分线； （2）找到点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：点即为所求： 【变式训练】（25-26七年级下·湖南娄底·期末）如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知，，计算出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． 题型十六 最短路径问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点,点为所选的位置。 【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【变式训练】（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 题型十七 线段问题(轴对称综合题） 【典例分析】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 题型十八 面积问题(轴对称综合题） 【典例分析】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； (3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线； （2）连接CD，与直线l交于点P； （3）用割补法进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：直线l即为所求， （2）如图：连接CD，与直线l交于点P，点P即为所求． （3）． 故答案为：3． 题型十九 角度问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线和外角的角度关系计算即可得到角度关系； （2）①利用外角的关系用其他角度表示，再由三角形外角进行换角计算得到为，得到垂直关系；②通过设元，通过外角和角平分线换角用表示，即可得到两个角的大小关系． 【详解】（1）平分， ， 是外角的平分线， ， 又，， ， （2）①如图2，与交于点O，    由对称的性质可知，，， 当时，， ，， ， ， ， ； ①当时，，理由如下： 如图3，设 与关于对称， ， ， ， 当时， 由（1）知 ， 【变式训练】（24-25七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图所示，正方形ABCD的边长为a，正方形ABCD的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的正方形面积记作，以此类推，则可用含a的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质求得、的面积，观察规律，即可求解． 【详解】解：由题意可知：正方形ABCD的面积 由题意可得：分别为各边的中点， 将正方形沿、进行折叠，可得与重合，与重合， 可以得到、、、 又∵ ∴ 同理可得，… 故选C 4．（25-26七年级下·山东济宁·月考）如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____． 【答案】 【分析】利用平行线的性质可得出和，再结合及，即可求出． 【详解】解：图①中，四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图②中， ∴图③中． 5．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．设，根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而表示出，根据建立方程，解方程，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：设， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法． 先作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】前4个图案的对称轴如图所示． 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形． 故第个图案是轴对称图形． 故答案为：是. 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据折叠的性质，角的和，计算即可； （2）根据折叠的性质，得，根据，得，根据折叠的性质，得，根据三角形面积公式求的面积即可． 本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角的和，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， ， ， ． （2）解：根据折叠的性质，得， 又，得， 根据折叠的性质，得， 故， 故． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （）利用“互优角”定义即可求解； （）由与互为互优角，分当 ；当时，两种情况即可； （3）分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为互优角， ∴当，， ∴或， 解得 或， 故答案为：或； （2）①∵与互为互优角，如图1 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②当时，如图 ， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的值为或． （3）当点F在边上时，如图： 显然， ∵与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质： 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， ， 解得：， 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 故的度数为或或． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 第5章 图形的轴对称『挑战压轴题题型讲练』 〔19个题型讲练+能力提升练 共48题〕 【北师大版七下●新教材】 1 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 3 题型四 求对称轴条数 3 题型五 折叠问题 3 题型六 画对称轴 4 题型七 画轴对称图形 5 题型八 设计轴对称图案 6 题型九 轴对称中的光线反射问题 7 题型十 等边对等角 9 题型十一 三线合一 10 题型十二 线段垂直平分线的性质 10 题型十三 作已知线段的垂直平分线 11 题型十四 角平分线的性质定理 12 题型十五 作角平分线(尺规作图) 13 题型十六 最短路径问题 13 题型十七 线段问题(轴对称综合题） 14 题型十八 面积问题(轴对称综合题） 15 题型十九 角度问题(轴对称综合题） 16 能力提升训练 18 题型一 轴对称图形的识别 【典例分析】（24-25七年级下·重庆忠县·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）下列图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）如图，四边形为长方形，与关于直线对称，则图中全等三角形共有（  ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元复习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 题型四 求对称轴条数 【典例分析】（24-25七年级下·福建泉州·期末）正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【变式训练】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 题型五 折叠问题 【典例分析】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）小明在一条长方形的纸带上画了一条数轴，进行操作并研究． (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数______的点重合． (2)操操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示数的点与表示数______的点重合． (3)操作3：如图，在数轴上剪下6个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是几？ 【变式训练】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 _______(用含的代数式表示)． 题型六 画对称轴 【典例分析】（24-25七年级下·辽宁阜新·月考）下列说法正确的有（    ）个． ①角的对称轴是它的角平分线；②两点之间直线最短；③三角形三条高交于一点；④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交；⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级下·江西赣州·期中）（1）如图1，四边形与四边形关于直线l对称．连接、．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q． （2）如图2，已知五边形和关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m． 题型七 画轴对称图形 【典例分析】（24-25七年级下·全国·周测）如图，和关于直线MN对称，和关于直线EF对称． (1)请用无刻度的直尺画出直线EF（保留画图痕迹，不写画法）． (2)直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系． 【变式训练】（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 题型八 设计轴对称图案 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一种“钻石”型网格（由边长都为1的等边三角形组成），已有3个小三角形涂上阴影，再从图中其余小三角形中选1个涂上阴影，使整个涂上阴影的图案构成轴对称图形的方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图的3×3的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 题型九 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【变式训练】（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 题型十 等边对等角 【典例分析】（24-25七年级下·江西·期中）如图中，平分，且，若，则 ____________． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆渝中·期末）如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 题型十一 三线合一 【典例分析】（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【变式训练】（24-25七年级下·福建南平·期末）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________．    题型十二 线段垂直平分线的性质 【典例分析】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，求的度数． 题型十三 作已知线段的垂直平分线 【典例分析】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在中，平分，过点作交于点交于点，作的平分线交于点，交于点，若，下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____________．    【变式训练】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，点、分别是两边、上的点． 尺规作图：作的垂直平分线，并在上找一点，使得点到两边、的距离相等．（保留作图痕迹） 题型十四 角平分线的性质定理 【典例分析】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，平面直角坐标系中，直线交轴，轴于，两点，， (1)求A点坐标． (2)的角平分线交于点，点，分别在线段，上（点，都不与点B重合），连接，，，且，求证：平分． 【变式训练】（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）如图1，已知，B在上，D在上，点E在两平行线之间，求证： （2）如图2，已知，B在上，C在上，A在B的左侧，D在C的右侧，平分，平分，直线、交于点E，． ①若，求的度数． ②将线段沿方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示．若，则的度数是________度（用关于n的代数式表示）． 题型十五 作角平分线(尺规作图) 【典例分析】（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南娄底·期末）如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 题型十六 最短路径问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【变式训练】（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 题型十七 线段问题(轴对称综合题） 【典例分析】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 题型十八 面积问题(轴对称综合题） 【典例分析】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； (3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 题型十九 角度问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，已知的内角的平分线与它的一个外角的平分线所在的直线交于点．    (1)求证：； (2)若作点关于所在直线的对称点，并连接、． ①如图2，当时，求证：； ②如图3，当时，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    1．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图所示，正方形ABCD的边长为a，正方形ABCD的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的正方形面积记作，以此类推，则可用含a的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东济宁·月考）如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____． 5．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，求的面积． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $