第5章 图形的轴对称【高频易错题题型讲练】22个题型讲练+能力提升训练 共54题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦图形轴对称22类题型，以“概念识别-性质应用-作图操作-综合拓展”为逻辑主线，通过典例与变式训练提升几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题型|轴对称图形与成轴对称识别、对称轴条数判断|从图形直观到概念辨析，建立轴对称基本认知| |性质应用|6题型|折叠问题、光线反射、台球路径等|运用轴对称性质解决折叠与实际情境问题，发展空间观念| |作图操作|4题型|对称轴、轴对称图形、垂直平分线与角平分线作图|从性质理解到动手操作，强化作图规范与推理意识| |综合应用|8题型|最短路径、线段/面积/角度综合题|整合轴对称与三角形性质，提升复杂问题解决能力|

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 第5章 图形的轴对称『高频易错题题型讲练』 〔22个题型讲练+能力提升练 共54题〕 【北师大版七下●新教材】 2 题型一 轴对称图形的识别 2 题型二 成轴对称的两个图形的识别 2 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 3 题型五 求对称轴条数 4 题型六 折叠问题 4 题型七 画对称轴 4 题型八 画轴对称图形 5 题型九 设计轴对称图案 6 题型十 台球桌面上的轴对称问题 6 题型十一 轴对称中的光线反射问题 7 题型十二 等边对等角 7 题型十三 三线合一 8 题型十四 线段垂直平分线的性质 8 题型十五 作已知线段的垂直平分线 9 题型十六 角平分线的性质定理 10 题型十七 作角平分线(尺规作图) 10 题型十八 最短路径问题 11 题型十九 线段问题(轴对称综合题） 12 题型二十 面积问题(轴对称综合题） 13 题型二十一 角度问题(轴对称综合题） 14 题型二十二 其他问题(轴对称综合题） 14 能力提升训练 15 题型一 轴对称图形的识别 【典例分析】（23-24七年级下·全国·课后作业）在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有________．（只填序号） 题型二 成轴对称的两个图形的识别 【典例分析】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（2024·北京通州·一模）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（25-26七年级下·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 题型五 求对称轴条数 【典例分析】（2025·陕西西安·一模）下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【变式训练】（24-25七年级下·上海静安·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 题型六 折叠问题 【典例分析】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知长方形纸片，，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为___________． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，且满足，若增大，则（   ） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 题型七 画对称轴 【典例分析】（23-24七年级下·江西吉安·月考）已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出该图形的对称轴l． (2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林四平·期中）找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来． 题型八 画轴对称图形 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）请你运用轴对称的性质，以直线l为对称轴画出下面图形的另一半． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，以直线为对称轴，请画出图形的另一半． 题型九 设计轴对称图案 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 题型十 台球桌面上的轴对称问题 【典例分析】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【变式训练】（2024·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 题型十一 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 题型十二 等边对等角 【典例分析】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 题型十三 三线合一 【典例分析】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    题型十四 线段垂直平分线的性质 【典例分析】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若 ， ，求的周长． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 题型十五 作已知线段的垂直平分线 【典例分析】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西西安·期末）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（   ） A．②③ B．③④ C．①③ D．①④ 题型十六 角平分线的性质定理 【典例分析】（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【变式训练】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 题型十七 作角平分线(尺规作图) 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【变式训练】（24-25七年级下·山东威海·期末）在中，， (1)如图1，作的角平分线，在上确定点M，使得；（不写步骤，保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件上，若，，，求．（要求：用含有x，y的式子表示） 题型十八 最短路径问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图：在正方形网格上有一个． (1)画出关于直线的对称图形； (2)若在上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点的位置； (3)若网格上最小正方形的边长为，求的面积． 【变式训练】（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 题型十九 线段问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知 的三个顶点都在格点上． (1)画出 关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）； (3)求 的面积． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点P，使得的和最小： (3)求的面积． 题型二十 面积问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)直接写出的面积； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线； (3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小； (3)求的面积． 题型二十一 角度问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 题型二十二 其他问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形边长为1，求的面积； (3)在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置． 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图把一张长方形纸条沿折叠后，点B、C分别落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，把一个长方形纸条沿折叠，点落在点处．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置，若，则等于___________． 5．（25-26七年级下·上海虹口·期中）如图①，已知长方形纸片，，，，点E、F分别在边上，．将纸片先沿折叠成图②，再沿折叠成图③，那么图③中的______． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在长方形纸片中，点E，F分别在边，上（不含端点），将长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，处，如图所示，若，则的度数为______． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期中）将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 8．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 10．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册专项培优讲义（题型讲练） 第5章 图形的轴对称『高频易错题题型讲练』 〔22个题型讲练+能力提升练 共54题〕 【北师大版七下●新教材】 2 题型一 轴对称图形的识别 2 题型二 成轴对称的两个图形的识别 2 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 3 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 4 题型五 求对称轴条数 6 题型六 折叠问题 8 题型七 画对称轴 10 题型八 画轴对称图形 11 题型九 设计轴对称图案 13 题型十 台球桌面上的轴对称问题 14 题型十一 轴对称中的光线反射问题 16 题型十二 等边对等角 17 题型十三 三线合一 18 题型十四 线段垂直平分线的性质 20 题型十五 作已知线段的垂直平分线 21 题型十六 角平分线的性质定理 23 题型十七 作角平分线(尺规作图) 25 题型十八 最短路径问题 27 题型十九 线段问题(轴对称综合题） 29 题型二十 面积问题(轴对称综合题） 32 题型二十一 角度问题(轴对称综合题） 34 题型二十二 其他问题(轴对称综合题） 36 能力提升训练 38 题型一 轴对称图形的识别 【典例分析】（23-24七年级下·全国·课后作业）在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有________．（只填序号） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解． 【详解】解：一定是轴对称图形的有：等边三角形，线段，角，正方形，长方形，圆， 故答案为：． 题型二 成轴对称的两个图形的识别 【典例分析】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【答案】A 【分析】:欲分析两个图形是否成中心对称,主要把一个图形绕一个点旋转180°,观察是否能和另一个图形重合即可． 【详解】根据中心对称的概念,知①、②、③都是中心对称;④是轴对称 故选：A． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（2024·北京通州·一模）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可. 【详解】解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称． 故选：C. 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（25-26七年级下·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）如图，是内的一定点．若，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、角的和差计算等知识点，掌握轴对称的性质，以及将所求角转化为已知角的倍数关系的方法是解题的关键． 根据轴对称性质可知，平分，平分，因此，代入即可求出结果． 【详解】如图，连接． ∵点，关于对称，点，关于对称， ，， ． 故答案为：． 题型五 求对称轴条数 【典例分析】（2025·陕西西安·一模）下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：菱形有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有条对称轴， 对称轴最少的是菱形， 故答案为：A． 【变式训练】（24-25七年级下·上海静安·期末）在一张纸上任意画上个半径相同的圆（它们的圆心两两不重合），那么所画图形的对称轴可能有 ____________条．（写出所有可能的条数） 【答案】、1、2或3 【分析】本题考查轴对称图形和圆与圆的位置关系，掌握以上知识是解题关键； 根据三个圆的圆心的位置关系，分别作图进行讨论，逐一分析即可求解； 【详解】根据三个圆的位置关系，图形的对称轴可能有以下几种情况： ①三个圆圆心在一条直线上，如图： 对称轴共1或2条； ②三个圆圆心构成不等边三角形， 此情况下0条对称轴； ③三个圆圆心构成等腰三角形，如图：． ④三个圆圆心构成等边三角形：如图： 对称轴有3条； 综上所述，所画图形的对称轴可能为0条、1条、2条或3条； 故答案为：0、1、2或3； 题型六 折叠问题 【典例分析】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知长方形纸片，，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，且满足，若增大，则（   ） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，由折叠可知：，然后算出变化后的，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， 当增大，此时， ， ∴， ∴对比之后发现减少． 题型七 画对称轴 【典例分析】（23-24七年级下·江西吉安·月考）已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出该图形的对称轴l． (2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可． 【详解】（1）解：如图，直线l为所求作． （2）如图，点F为所求作． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林四平·期中）找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来． 【答案】见解析 【分析】找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线． 【详解】解：所画对称轴如下所示： 题型八 画轴对称图形 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）请你运用轴对称的性质，以直线l为对称轴画出下面图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 图①从各关键点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可；图②根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：画出轴对称图形的另一半如图①、图②． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，以直线为对称轴，请画出图形的另一半． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了利用轴对称作图，首先分别作出图形中各端点关于直线的对称点，再顺次连接各对称点，即可得到所求图形． 【详解】解：如下图所示，分别作出图形中各端点关于直线的对称点，再顺次连接各对称点，即可得到所求图形． 题型九 设计轴对称图案 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 【答案】 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有种． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察所剪的小圆和扇形与两条居中折线的位置关系，再根据对称性，即可得出正确答案． 【详解】解：剪去的小圆靠近图2的折线及正方形的上边缘，根据对称性，则展开后正方形的上下边缘居中处有四个小圆；剪去的扇形靠近图1的折线及正方形的右边缘，根据对称性，故正方形的左右边缘都有缺口，观察选项，只有D符合． 题型十 台球桌面上的轴对称问题 【典例分析】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【变式训练】（2024·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 题型十一 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 题型十二 等边对等角 【典例分析】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在中，点D在上，，将沿着翻折得到，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】， ， ， ， 由折叠的性质得：， ． 【变式训练】（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 题型十三 三线合一 【典例分析】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 先利用三线合一得到，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：，点是中点， ， ， ，， ， ， ， ，∴， ， 故答案为：． 题型十四 线段垂直平分线的性质 【典例分析】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若 ， ，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为14，则的长为______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴． 题型十五 作已知线段的垂直平分线 【典例分析】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，，则为______度． 【答案】55 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数，即可作答． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式训练】（25-26七年级下·陕西西安·期末）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（   ） A．②③ B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，三角形三边关系． ①根据作图方法可知，进而结合三角形三边关系即可得到；②无法判断的关系；③根据作图可知；④无法判断的关系． 【详解】解：①如图： 由作图可知， 即，能够说明； ②无法判断的关系，不能够说明； ③如图， 由作图可知， 即，能够说明； ④无法判断的关系． 故选：C． 题型十六 角平分线的性质定理 【典例分析】（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 【变式训练】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；过点作，则，又根据，即可求得的长． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即：， 故答案为：． 题型十七 作角平分线(尺规作图) 【典例分析】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，，为上一点，且到，两边的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积15 【分析】本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质定理和三角形的面积，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理作的角平分线即可； （2）过点D作于点E，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：过点D作于点E，如图， 由（1）可得，， ∴ ． 【变式训练】（24-25七年级下·山东威海·期末）在中，， (1)如图1，作的角平分线，在上确定点M，使得；（不写步骤，保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件上，若，，，求．（要求：用含有x，y的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）作平分，作线段的垂直平分线交于点M，点M即为所求； （2）如图，过点M作交的延长线于点P，于点Q，连接，．证明四边形是正方形，求出可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，射线，点M即为所求； （2）解：如图，过点M作交的延长线于点P，于点Q，连接． ∵平分， ∴， ∵点M在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十八 最短路径问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图：在正方形网格上有一个． (1)画出关于直线的对称图形； (2)若在上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点的位置； (3)若网格上最小正方形的边长为，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可; （2）连接交直线于点，连接，点即为所求; （3）利用割补法求三角形的面积即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求; （2）解：如图，点即为所求; （3）解：的面积. 【变式训练】（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 题型十九 线段问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知 的三个顶点都在格点上． (1)画出 关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）； (3)求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． (1）根据轴对称的性质作图即可． (2）连接，交直线于点，则点即为所求． (3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． （3）的面积为 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点P，使得的和最小： (3)求的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质和网格的特点，分别作出点A、B、C关于直线的对称点、、，然后依次连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，交直线于点，连接， ∵点和关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当、、共线时，取得最小值， 故如图点即为所求： （3）解：． 题型二十 面积问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，和的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)直接写出的面积； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线； (3)请在直线上作一点，使得最小．保留必要的作图痕迹 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用割补法，用一个正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解； （2）利用网格特点作的垂直平分线即可得到对称轴； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）的面积； （2）如图，直线为所作； （3）如图，点为所作． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）先分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，线段与直线的交点即为所求； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示，△即为所求； （2）解：如下图所示，点即为所求； （3）解：△的面积为． 题型二十一 角度问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二十二 其他问题(轴对称综合题） 【典例分析】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解： 是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形边长为1，求的面积； (3)在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线MN于点P，此时的值最大． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为 （3）点P即为所求 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质以及翻折的性质得到，再根据平角的性质进行求解即可． 【详解】解：延长到， 对边互相平行的纸带， ， 由折叠可得， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图把一张长方形纸条沿折叠后，点B、C分别落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质，可得，再根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，把一个长方形纸条沿折叠，点落在点处．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，然后根据角的和差求出的度数，再根据图形翻折变换的性质和角的和差解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是长方形， ∴， ∴， 由折叠可得，, ∴． 4．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置，若，则等于___________． 【答案】 【分析】由邻补角的性质求出，由折叠的性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·上海虹口·期中）如图①，已知长方形纸片，，，，点E、F分别在边上，．将纸片先沿折叠成图②，再沿折叠成图③，那么图③中的______． 【答案】120 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：图①中，∵，， ∴，， 图②中，由折叠可知， ∴； 图③中，由折叠可知， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在长方形纸片中，点E，F分别在边，上（不含端点），将长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，处，如图所示，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】先由平角的定义，求出的度数，再由折叠性质得到，利用长方形中，即可求出的度数． 【详解】解： ， ， 由折叠性质得，， 四边形为长方形， ， ． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期中）将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】利用折叠的性质得到对应角相等，结合正方形内角为的性质，通过角度和差关系推导的表达式． 【详解】解：如图，当与不重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； 如图，当与重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； ∴或． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）尺规作图问题：已知，过点作直线，使得． 如图是小聪同学的作法： ①作的垂直平分线，交于点，交直线于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则． (1)请说明的理由； (2)小聪在作图时发现以A为圆心，长为半径的弧会过点C，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质得出，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：如图， ∵为中垂线， ， ， 由作图可得，， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 根据题意， ， ． 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 10．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $