5.重难题型卷(二) 平行四边形-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下5E 5.重难题型卷（二） 湘靴 平行四边形 尽 蝴 州 题型一平行四边形的性质与判定的综合 岩期 1.(期中·北京二中分校)如图，在口ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,E,F是对角线AC上的点.下列条件中，不 能判定四边形BEDF是平行四边形的是( ) A.DE-BF B.AF=CE C.∠ABE=∠CDF D.DF∥BE 型 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在四边形ABDE中，AB=AD=AE,若AB∥ED, ∠EAB=120°，则∠DBA= 0 3.如图，在□ABCD中，AB⊥AC,E,F分别在边BC和AD上， EF∥AB,交AC于点P若CD=6,AC=8,CE=7,则AF 的长为 批 4.(期中·北京一零一中学如图，在☐ABCD中，F是CD的中点， 延长AB到点E,使BE=AB,连接BF,CE, (1)求证：四边形BECF是平行四边形 (2)若AB=6,AD=4,∠A=60°，求CE的长 D 茶 第4题图 巡加 阳删 题型二特殊平行四边形的性质与判定的综合 5.(期中·清华附中)如图，正方形ABCD的周 长为28，N为BD上一点，NG⊥BC,NM⊥ CD,则四边形MNGC的周长是( A.7 B.14 B G C.18 D.24 第5题图 6.（期中·北京二中分校)顺次连接矩形的各边中点，所得的四 边形一定是() A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.无法判断 7.（期中·通州区)某同学将两 块全等的含30°角的三角尺 按较长的直角边重合的方式 摆放，并通过平移对特殊四 边形进行探究. ① © 如图①，其中∠ADB=∠CBD 第7题图 =30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3,将Rt△BCD 沿射线DB方向平移，得到Rt△BCD'.分别连接AB,DC(如 图②所示)，平移 个单位长度后四边形AB'C'D是矩 形，平移 个单位长度后四边形AB'CD是菱形 8.（期中•北京二中分校)如图，在口ABCD中，CE⊥AD于点E, 延长DA至点F,使得AF=DE,连接BF,CF,AB与CF相 交于点G (1)求证：四边形BCEF是矩形 (2)连接DG,若AB⊥CF,AB=5,□ABCD的面积为20，求 线段DG的长 第8题图 9.(期中·北京一六六中学)如图，已知正方形ABCD,连接其 对角线BD.在BC延长线上取一点E,使得BE=BD,连接 DE.过点B作DE的垂线，交DE于点O,交AD的延长线于点F (1)求证：四边形BEFD是菱形 (2)求∠DPB的度数. 第9题图 题型三绝最值问题 10.(期中·陈经纶中学)如图，在△ABC中，AB=3,AC=4, BC=5,P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于 点F,M为EF的中点，则AM的最小值为 A 第10题图 第11题图 11.(期中·北京五中)如图，正方形ABCD的边长为8，点M 在DC上且DM=2,N是AC上的一动点，则DN+MN 的最小值是 12.（期中·清华附中)如图，在矩形ABCD中， gD AB=8,AD=3,点A是y轴正半轴上任 意一点，点B在x轴正半轴上，连接OD, 则线段OD长度的最大值是 0 B x 第12题图 13.（期末·东城区)如图，矩形ABCD中，已 D 知AB=4,AD=2,AE=BE,点F是 EC上一动点，点P是DF的中点，连接 E PB,则PB的最小值为 第13题图 14.(期末·房山区)在平面直角坐标系中，已知A（-3,0),B(0, 4),C（a,-a),D是平面内的一点，以A,B,C,D为顶点的 四边形是平行四边形 (1)若a=1,则以A,B,C,D为顶点的平行四边形中，点D 的坐标为 (2)CD的最小值为 题型四特殊平行四边形中的补全图形问题 15.(期末·房山区)在矩形ABCD中，点M是对角线BD上的 一个动点（点M不与点B,D重合），分别过点B,D向射线 M作垂线，垂足分别为E,F,点O为BD的中点，连接OE, OF (1)如图①，当点M与点O重合时，请你判断OE与OF的 数量关系，并加以证明. (2)当点M运动到如图②所示位置时，请你在图②中补全图 形，判断(1)中的结论是否仍然成立，并加以证明 0 D F M) ① ② 第15题图 16.（期末·东城区)在正方形ABCD中，E为平面上一点（不与 点A,C重合)，且BE=AB,连接AE,BE,CE. (1)若E为正方形内一点， ①在图①中依题意补全图形，并求∠AEC的度数； ②射线AE交CD于点M,点N在BC边上，CN=CM,连 接EN,写出EM,EN,EC之间的数量关系，并证明. (2)如图②，当E为正方形外一点时，∠CBE的平分线交射 线AE于点F,交CE于点G,若AE=8,EF=2,直接写出 AB的长. D B ① ② 第16题图 —16— 17.(期末·朝阳区)如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB,交AB的 延长线于点E,点F为点B关于CE的对称点，连接CF,分 别延长DC,CF至点G,H,使FH=CG,连接AG,与DH 交于点P (1)依题意补全图形 (2)猜想AG和DH的数量关系并证明 (3)若∠DAB=70°，是否存在点G,使得△ADP为等边三角 形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由. Q 21 B E 第17题图 备用图 拒绝盗印 架答案与解析 CD∥AB,FA⊥AB交CD于点E, ∴∠CEF=∠BAF=90°，∴FA⊥CD,.四边形ACFD是菱形 (2)【解】：四边形ACFD是菱形，口ABCD中，CD=AB=5, 0E=E=0-4=E “∠DEF=90,DF=13 ∴FE=VDF2-DE2 =6,∴.FA=2FE=12, Sm=A:cD= -×12×5=30, ∴.四边形ACFD的面积为30. 25.(1)【证明】D,E分别为AB,AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，.DE∥BC DG=FC,.四边形DFCG是平行四边形 又，DF⊥BC,∴.∠DFC=90°，.平行四边形DFCG是矩形 (2)【解】：DF⊥BC,.∠DFB=90° ∠B=45°，.△BDF是等腰直角三角形，.BF=DF=3. .DG=FC=5,..BC=BF+FC=3+5=8. 由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， DE-BC-4.CG-DF-3.ZG-90, ∴.EG=DG-DE=5-4=1, CE=CG2+EG2=32+12=10 E为AC的中点，.AC=2CE=2W10 26.【解11)6,3,8,75.5,29,6.5(2)S=N4二-1 2 (3)长方形的面积=mn,内部格点数是N=(m-1)(n-1)= mn-(m+n)+1,边上的格点数是L=2(m+1)+2(+1)-4= 2(m+n), N =mn-(m+n)+1+m+n =mn+1,..S=N+ -1. 27.（1)【解】补全图形如图①.45 (2)【证明】如图②，过点F作FH∥ CD交AC于点H, :四边形ABCD是正方形， .AB∥CD,AB=CD,∠DAC=45°， ∴.AB∥FH,∴.∠BAG=∠FHG. .∠ADF=45°， 第27题答图① ∴.∠DAC=∠ADF,.AC∥DF ,.四边形FHCD是平行四边形， D ∴.FH=CD,.AB=FH. ,∠AGB=∠HGF, ∴.△AGB≌△HGF(AAS), ∴.BG=FG,即点G是线段BF的中点 (3)【解】V2BC=2AG+DF 证明：由(2)可知△AGB≌△HGF 第27题答图② (AAS),∴.AG=HG, :四边形FHCD是平行四边形， .DF=CH,.'AC=AG+GH+CH=2AG+DF, 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=90°，∴.AB2+BC=AC, ∴AC=V2BC,∴.V2BC=2AG+DE 28.【解】(1)当k=1,b=0时，y=x,点Q如图①所示 y M E 4 B C A M- P A -5-4-3-2101234x ② 第28题答图 .四边形OABC是矩形，.PA=PC=OP,∠AOC=90° ,A(4,0),C(0,2),如图①，过点P作PE⊥OA于点E, 则∠PEA=90°，0E=AE=30A=2=0C, PE=20C=1,P(2,1). :点P与点Q关于直线y=x对称， ∴.OP=OQ,∠POM=∠Q0M 由直线y=x,可知∠COM=∠EOM, .∠COQ=∠EOP.△C0Q≌△EOP(SAS), .CQ=PE=1,∠QCO=PEO=90°，即Q在BC上，..Q(1,2). (2)当点Q在OF上时，如图②，过点P作PM⊥OF于点M, 则△PMQ为等腰直角三角形，∠PMQ=90°. B(4,2),AC,OB交于点P,.OM=1,∴.b=1 当点Q在EF上时，如图③，设直线y=x+b分别交x轴、y轴 于点L,点N,则OL=ON yA 过点P作PK∥x轴，交直线ET Q y=x+b于点K,连接QK. AT 当x=0时，y=b,即N(0,b)方 ● 当y=0时，x+b=0,解得xD A =-b,则L(-b,0),:P(2,1),-5-43-2-101234x 当y=1时，x+b=1,解得x =1-b,则K(1-b,1). 第28题答图③ :OL=ON,.∠NL0=∠LNO=45°，∴.∠NKP=∠NZ0= 45°.由对称可得，QK=KP,∠QKP=2∠NKP=90°， 则QK⊥x轴，QK=5-1=4,∴.KP=2-(1-b)=4,解得b=3. 综上所述，b的值为1或3. 5.重难题型卷（二）平行四边形 1.A 2.60【解析】AB∥ED,.∠E+∠EAB=180°. ∠EAB=120°，.∠E=60°.，AD=AE,△ADE是等 边三角形，，DE=AD.,AD=AB,.AB=DE :AB∥DE,.四边形ABDE是平行四边形， ∴.∠DBA=∠E=60°.故答案为60. 3.3【解析】四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AD∥BC.·AB⊥AC,∴CD⊥AC,.∠ACD=90°， AC=8,CD=6,∴AD=VCD2+AC2=10.:EF∥AB, ∴.EF∥CD.AD∥BC,.四边形EFDC是平行四边形， ∴.FD=CE=7,∴AF=AD-DF=10-7=3.故答案为3. 4.(1)【证明】：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,且 AB=CD.:F是CD的中点，.CF=2CD, 又：BE=3AB,CF=BE, ,CF∥BE,.四边形BECF是平行四边形 (2)【解】如图，过点C作CH⊥BE于点H. 在□ABCD中，AB∥CD,∠A= D 60°，∴.∠CBE=∠A=60° AB=6,AD=4, .CD=AB=6,CB=AD=4. 在Rt△BCH中， B ∠BCH=90°-∠CBE=30°， 第4题答图 BHCB-2,:.CH-BC-2. 由(1)可知，四边形BECF是平行四边形， BE=CF=]CD=3,:EH=BE-BH-3-2 =1. 在Rt△CHE中，根据勾股定理得CE=√CH+EH2= V(25)2+12=13. 5.B【解析】：四边形ABCD是正方形，∴.∠DBC=∠BDC= 45°，∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD. :正方形ABCD的周长为28，.BC+CD=14. ,'NG⊥BC,NM⊥CD,∠BCD=90°，.四边形NMCG是矩形， ∴.∠NGB=∠NMD=90°，'.△BNG与△DNM是等腰直角 三角形，'.BG=GN,NM=DM,∴.矩形MNGC的周长为 MN+MC+CG+NG=BC+CD=14.故选B. 6.B【解析】如图，连接AC,BD.在△ABD中，AH=HD,AE= EB,EH=3BD.同理FG=)BD,HG=)AC,EF=3AC 又，在矩形ABCD中，AC=BD,.EH=HG=GF=FE, .四边形EFGH为菱形.故选B. H D B(D B C 第6题答图 第7题答图 7.√33V5【解析】由题意，得AD∥BC,AD=BC,CD= C'D'=3,.四边形ABCD是平行四边形.当平移至∠ADC =∠ABC'=90°，∠CDD'=60时，四边形ABCD是矩形.在 R△DCD中，易得∠DCD=30,DD'=号CD根据 勾股定理，得CD2=CD2+DD2,即4DD2=9+DD2,解得 DD'=√3（负值舍去），所以平移√3个单位长度后四边形 AB'CD是矩形；如图，当AB与CD共线时，AB⊥BD,此时 四边形ABCD是菱形，同理可得BD=3√3，所以平移3√3个 单位长度后四边形ABCD是菱形.故答案为√3；3√3， 8.(1)【证明】：四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,AD∥BC .AF DE,:AE+AF AE+ED,EF AD, .EF=BC,∴.四边形BCEF为平行四边形. CE⊥AD,∴.∠CEF=90°，∴.四边形BCEF为矩形 (2)【解】连接DG,如图. F 4 E D ,'AB⊥CF,平行四边形ABCD 的面积为20， .AB∥CD,AB·CG=20, ∴.∠DCF=∠AGF=90° AB=5, .'CG=4,CD=AB=5, 第8题答图 .DG =CG2+CD2= V42+52=√41. 9.(1)【证明】，四边形ABCD是正方形，∴.AD∥BC, ∴.∠FDO=∠DEB. 'BD=BE,∴.∠BDO=∠DEB,∴.∠FDO=∠BDO, BF⊥DE,∴.∠BOD=90°=∠FOD 又DO=DO,.△BOD≌△FOD(ASA),∴.DF=BD BD=BE,∴.DF=BE :AD∥BC,即DF∥BE,∴四边形BEFD是平行四边形， 又BD=BE,∴，四边形BEFD是菱形. (2)【解】：四边形ABCD是正方形，.∠DBC=45=∠BDC 由(1)知四边形BEFD是菱形， ·∠DB0=LEB0=5∠DBC=22.5, .∠DPB=180°-∠DBO-∠BDC=112.5°. 10.【解析】AB=3,AC=4,BC=5,AB2+AC2=BC, .∠BAC=90°..PE⊥AB,PF⊥AC,.四边形AEPF是矩形， 连接AP(图略)，则EF,AP互相平分，且EF=AP :M为EF的中点，·EF,AP的交点就是点M,AM=号AP 真题圈数学八年级下5E ·当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，此时号AP ·BC=2AB·AC,AB=3,AC=4,BC=5,AP=1 5’ ·AM的最小值为g.故答案为%. 11.10【解析】连接BN,如图.：正方形是轴对称图形，点B与 点D是以直线AC为对称轴的对称点，∴.BN=ND,∴DW+ MN=BN+MN连接BM交AC于点P,,点N为AC上的动 点，由三角形两边之和大于第三边，可知当点N运动到点P时， BN+MN=BP+PM=BM,BWN+MN的最小值为BM的长度 ,四边形ABCD为正方形，.BC=CD=8,CM=8-2=6, ∠BCM=90°，.BM=√62+82=10，∴.DN+MN的最小值是 10.故答案为10. D y D D M W M c o B x E 第11题答图 第12题答图 第13题答图 12.9【解析】如图，取AB的中点M,连接OM,MD. 当O,M,D三点共线时，OD有最大值. 在矩形ABCD中，AB=CD=8,AD=BC=3,∠DAB= 90°，∴.AM=BM=4.在Rt△ADM中，DM=V√AD2+AM2= 3+4=5.在Rt△A0B中，OM=3AB=4,.OD的最大 值是5+4=9.故答案为9. 13.2√2【解析】如图，连接DE.取CD的中点P,DE的中点 P2,连接PP2,BP,当点F与点C重合时，点P在P,处，CP =DP1;当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2, PR,∥CE且PP,=CE;当点F在EC上除点C,E处 的位置时，有DP=FP由中位线定理可知，PP∥CE且PP =二C℉，∴点P的运动轨迹是线段PP2, .当BP⊥P,P,时，PB取得最小值， ,'矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点， ,△CBE,△ADE,△BCP,为等腰直角三角形，CP1=2, '.∠ADE=∠CDE=∠CP,B=45°，∠DEC=90° .∠DP,P1=90°，.∠DPP2=45°，∠P2PB=90, 即BP1PP2,.BP的最小值为BP1的长 在等腰直角三角形BCP,中，CP1=BC=2, .BP,=V√CP2+BC2=2V2,∴.PB的最小值是2W2.故答案 为2√2. 14.(1)(-2,-5)或(-4,5)或(4,3)(2)5 【解析】(1)如图①，四边形ABDC,四边形ABCD2,四边形 ACBD,都是平行四边形， A(-3,0),B(0,4),C(a,-a),且a=1,∴.C(1,-1). 设AC,AB,BC的中点分别为P(m,n),Q(q,b),R(r,c), m=3=-1,n=02=-29=30-3, 2 2 b-4-2r-生-c-4号- 2 2 2 , D,(h,i),D (f,g),D(d,e), 点D,与点B关于点P对称，点D,与点C关于点Q对称， 点D与点A关于点R对称， k40=2x(-1,4=2×(1=2×（引8 1=2x2,d-3=2×7e40=2×3, .h=-2,i=-5,f=-4,g=5,d=4,e=3, 答案与解析 ∴D,(-2,-5),D,(-4,5),D(4,3). 综上，点D的坐标为(-2，-5)或(-4,5)或(4,3). D B D ⊙ C D A MA EO D. ① ② 第14题答图 (2)∠A0B=90°，0A=3,0B=4, .AB=V042+OB2=32+42=5. 由(1)可知，当AB是以A,B,C,D为顶点的平行四边形的一 边时，CD=AB=5. 设直线OC的表达式为y=x,则ak=-a,解得k=-1, ∴点C在直线y=-x,即第二、四象限的角平分线上. 当AB是以A,B,C,D为顶点的平行四边形的对角线时， 点D与点C关于4B的中点Q(-多，2对称，：CD=2CQ 当CQ⊥OC时，CQ的值最小，此时CD的值最小，如图② 设直线CD交x轴于点M,交y轴于点N, .∠OCM=∠OCN=90°，∠COM=∠CON=45° .∠OMW=∠ONM=45°，∴.OM=ON. 过点Q作QE⊥x轴于点E,则∠QME=∠MQE=45°， ·ME=QE=2,M(-30,则w(, 设直线CD的表达式为y=s+t,把点M,N的坐标代入，得 7 8+t=0, =1, 解得 7 .直线CD的表达式为y=x+2 7 t= 2 t互 7 y=-x, x=- 解方程组 7得 4’ y=x+ 7 y=4 c( .CD=2CQ=2× 3++[2--9 :互<5，“CD的最小值是2 故答案为(1)(-2，-5)或(-4,5)或(4,3方(2)2 15.【解(1)0F=0E. 证明：O为BD中点，.OD=OB. :DF⊥AO,BE⊥AO,.∠DFO=∠BEO=90°. [∠DFO=∠BEO, 在△DFO和△BEO中， ∠DOF=∠BOE, OD=OB, .△DFO≌△BEO(AAS),∴.OF=OE. (2)补全的图形如图所示 D （1)中结论仍然成立 证明：如图，延长FO与EB交于点G ,'DF⊥AM,BE⊥AM, ∴.∠DFM=∠BEM, ∴.DF∥BE,∴∠FDO=LEBO. 在△DFO与△BGO中， 第15题答图 ∠FDO=∠GBO, OD=OB, ∠DOF=∠BOG: ·△DF0≌△BG0(ASA),.OF=OG=7FG, ∴.在Rt△EFG中，点O为斜边FG的中点， .OE=号FG,OE=OF 16.【解】(1)①依题意补全图形如图① 由题可得AB=BC=BE,∠ABC=90°， ∠B5C-180°-，∠CBE,∠BEA180P∠ABE 2 2 ∴.∠AEC=∠BEC+∠BEA= 180°-∠CBE 2 +180°-∠4BE=180°- 2 (∠CBE+∠ABE) 180°- 2×90°=1350. 第16题答图① ②EN+EM=√2CE. 证明：作出图形如图②，并将△CME绕着点C逆时针旋转 90°，点M的对应点为点P,连接MN,EP, A 0 由CM=CN可知点M旋转到点N处，则 ∠MEC=∠NPC,.∴.∠EPC=45° 由①可知，∠AEC=135°，则∠MEC=180°- M ∠AEC=45°，.∠NPC=45°=∠EPC, ∴点E,N,P三点共线 .CE=CP,∠PCE=90°， 第16题答图② 由勾股定理得EP=√2CE, ∴.EN+EM=EN+NP=EP,即EN+EM=√2CE. (2)AB=2√5 分析：如图③，过点B作BH⊥AE于点H, 同理可得AB=BC=BE,∠ABC=90°， ∴∠BEC=180°-∠CBE 2 ∠BEA=180°-∠ABE 2 ∠AEC=LBEC∠BEM=180°-∠CBE 2 第16题答图③ 180°-LABE=(∠ABE-∠CBE) 2 2 2×90°=450. 又：AB=BE, AH=EH =1 AE =4,:FH EH-EF =2. ,BC=BE,∠CBE的平分线交CE于点G,∴.BG⊥CE 又.'∠AEC=45°，.∴.∠BFH=∠EFG=90°-∠AEC=45°， .∠FBH=45°=∠BFH, .BH FH=2,.'.AB=AH2+BH2=25 17.【解】(1)补全的图形如图所示. D (2AG=DH. G 证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD=CB,AB∥DC, ∠ADC=LABC :点F为点B关于CE的对称点， ∴.CE垂直平分线段BF, ∴.CB=CF,∠CBF=∠CFB, .'CD=CF 第17题答图 又，CG=FH,.CD+CG=CF+FH.∴.DG=CH. .'∠ABC+∠CBF=180°，∠DCF+∠CFB=180°， ∴.∠ABC=∠DCF 又.∠ABC=∠ADG,∴.∠ADG=∠DCF, 即∠ADG=∠DCH.∴.△ADG≌△DCH(SAS).∴.AG=DH. (3)不存在.理由如下： 由(2)可知∠DAG=∠CDH,:AB∥DC,∴.∠G=∠GAB, ,'.∠DPA=∠PDG+∠G=∠DAG+∠GAB=∠DAB=70°>60° ∴.△ADP不可能是等边三角形. ∴.不存在点G,使得△ADP为等边三角形 6.期中学情调研（一） 题号12345678 答案ABCDDDBC