专题02 平行四边形的判定与性质专训（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题02 平行四边形的判定与性质专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求解 1 题型二、利用平行四边形的性质证明 2 题型三、证明四边形是平行四边形 3 题型四、添一个条件成为平行四边形 5 题型五、求与三点组成平行四边形的点 6 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 8 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 9 题型八、平行四边形中的动点问题 11 题型九、平行四边形中的存在性问题 11 题型十、平行四边形中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接．已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则的周长是（   ） A．32 B．34 C．36 D．38 3．如图，在中，，，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交于点，交于点，则的面积________． 4．如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 题型二、利用平行四边形的性质证明 5．如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 6．如图，的对角线相交于点O，E，F在直线上，且． (1)四边形是否是中心对称图形？请说明理由； (2)四边形的对称中心是什么？ 7．如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，试探究与的位置关系，并说明理由． 8．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 题型三、证明四边形是平行四边形 9．如图，四边形是平行四边形，和的平分线分别交的延长线于点，交边于点．求证：四边形是平行四边形． 10．如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 11．如图，点、是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求平行四边形的面积． 12．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型四、添一个条件成为平行四边形 13．如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 15．如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 16．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 题型五、求与三点组成平行四边形的点 17．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式并画出它的图像； (2)若以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为___（直接写出答案）． 20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且BM=2MO．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标． 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 21．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 22．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 24．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 25．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 27．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 28．如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)请你在图1中画一个以格点为顶点的直角三角形，满足它是轴对称图形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形，且它不是轴对称图形； (3)若点的坐标为，请你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点，使以四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的坐标是：______． 题型八、平行四边形中的动点问题 29．如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． (1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示) (2)当动点Q运动t秒时， ① 若，则________；(用含t的代数式直接表示) ② 若，则________；(用含t的代数式直接表示) (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 30．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 31．如图，在中，，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)则和之间的距离为___________； (2)当平分的面积时，则___________． 32．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 题型九、平行四边形中的存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)① （用含t的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 36．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． (1) ______， ______； (2)在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 题型十、平行四边形中的新定义问题 37．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． (1)①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； (2)如图2，已知平行六边形满足．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 38．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 39．【定义新知】 定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个图形的公正线． 性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个图形的周长． 【特例感知】 例如图1，已知，，直线于点D．求证：直线是的公正线． 证明：， 在和中， ，， ，的面积等于的面积， ， ∴直线是的公正线． 问题： （1）填空： ①如图2，已知，若直线是的公正线，则与______相等（填“一定”或“不一定”）． ②已知，在平面直角坐标系中，的顶点，直线是的公正线，且与直线交于点P，则点P的坐标是______． 【学以致用】 问题（2）如图3，已知，直线与交于点F，，．求证：直线是的公正线． 【迁移探究】 问题（3）如图4，已知四边形，．点E，点F分别是边，边上的点，直线是的公正线，则的周长=______． 40．定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形．    (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是对美四边形的有______； (2)如图1，在中，，为线段的垂直平分线上一点（点位于上方），若以点为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积． (3)如图2，为等腰底边上的一点，连接，过作，以为顶点作交于点，求证：四边形为对美四边形． 1．（25-26八年级下·北京丰台·期中）能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．25-26八年级下·北京东城·期中）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______． 6．（25-26九年级下·北京·月考）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 7．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为________cm． 8．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 9．（24-25八年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 10．（25-26八年级下·北京石景山·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，． (1)请用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交于点O，点E（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证， 证明：平分， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∴ ① ，， ，，， ∴ ②， 在和中，， ， ∴ ④， ． 11．（25-26九年级上·北京通州·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 12．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形的判定与性质专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求解 1 题型二、利用平行四边形的性质证明 2 题型三、证明四边形是平行四边形 3 题型四、添一个条件成为平行四边形 5 题型五、求与三点组成平行四边形的点 6 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 8 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 9 题型八、平行四边形中的动点问题 11 题型九、平行四边形中的存在性问题 11 题型十、平行四边形中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接．已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：平行四边形中，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 是直角三角形， ，， ， 平行四边形的面积， 故选：C． 2．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则的周长是（   ） A．32 B．34 C．36 D．38 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质推出，由角平分线定义得到，由平行线的性质得到，因此，得到，同理：，根据线段的和差求出，再求的周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 平分， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， 则的周长， 故选：C． 3．如图，在中，，，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交于点，交于点，则的面积________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，作已知线段的垂直平分线，利用基本作图得到垂直平分是解题的关键．利用基本作图得到垂直平分，推出是等边三角形，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出，再根据勾股定理求出，进而得出的面积． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得垂直平分， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 4．如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用折叠性质得角相等，结合平行四边形对边平行的性质，推出等腰三角形，从而证得线段相等； （2）利用平行四边形对角线平分、折叠的角度与边长不变性，推导出等腰直角三角形，进而求边长． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 根据折叠的性质，得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握利用折叠和平行四边形的性质推导角与边的关系，结合等腰直角三角形的性质计算边长是解题的关键． 题型二、利用平行四边形的性质证明 5．如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧交于于，再以点为圆心，以大于为半径画弧交于一点Q，再连接，此时与的交点为点，即可作答． （2）先根据平行四边形的性质得，，再运用证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 由（1）得， ， ． 在与中， ． ∴， 6．如图，的对角线相交于点O，E，F在直线上，且． (1)四边形是否是中心对称图形？请说明理由； (2)四边形的对称中心是什么？ 【答案】(1)四边形是中心对称图形，理由见解析 (2)对称中心是点O 【分析】本题考查的是中心对称的知识，平行四边形的判定与性质，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质，证明四边形是平行四边形，即可作答； （2）根据平行四边形的对称中心是对角线的交点得到答案． 【详解】（1）解：四边形是中心对称图形，理由如下： ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， 则四边形的对称中心是点O． 7．如图，在四边形中，，为边的中点，连接，，分别延长，，交于点，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解答 (2)，理由见解答 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到． （1）证明可得，进而可得四边形的形状； （2）根据，证明，然后根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ， ， ∵为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 8．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤平行且相等 【分析】本题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可； （2）利用平行四边形的性质证明，得到，利用垂线的定义，再根据平行线的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 以点为圆心，任意长度半径画弧，与相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在的另一侧相交，最后用直尺连接点与两弧的交点，得到． （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∴②（垂线的性质）． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③（全等三角形的性质）． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④（角的等量代换）． ∴． ∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等． 题型三、证明四边形是平行四边形 9．如图，四边形是平行四边形，和的平分线分别交的延长线于点，交边于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，根据四边形是平行四边形及分别是和的平分线，证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． 、分别平分和， ，， ． 又， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 10．如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是△的中位线，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是△的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即线段的长为6． 11．如图，点、是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到且，进而推出． 由得到 ，结合前面的条件，根据（角角边）判定 ，得出 ．因为且，根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ），证得四边形是平行四边形． （2）过点作交延长线于，构造 ．在中，利用含角的直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半 ），由，，求出 ．根据平行四边形面积公式（平行四边形面积底高 ），以为底，为高，计算出平行四边形的面积为 ． 本题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定（）、含角的直角三角形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， 又 又∵ 四边形是平行四边形； （2）解：解：如图，过点作，交的延长线于 在中，， ∵ 平行四边形的面积为：． 12．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据HL可证； （2）根据得出，推出可推出结论． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 题型四、添一个条件成为平行四边形 13．如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当，四边形是平行四边形， 当时，四边形是平行四边形，故A，B选项不符合题意； 当时，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； 当时，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选C． 14．如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 15．如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 16．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型五、求与三点组成平行四边形的点 17．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 19．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式并画出它的图像； (2)若以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为___（直接写出答案）． 【答案】(1)，图像见解析； (2)或或． 【分析】（1）设一次函数解析式为，然后利用待定系数法求解，最后运用两点法画出函数图像即可； （2）分对角线为、、三种情况，分别画图解答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把和．代入得，解得， 所以一次函数解析式为； 画出函数图像如图所示： （2）解：如图： ①以为对角线，则点A向左平移两个单位可得点； ②以为对角线，则点A关于x轴的对称点； ③以为对角线，则点A向右平移两个单位可得点； 综上，点C的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、轴对称的判定、平移的性质等知识点，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且BM=2MO．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标． 【答案】满足条件的点坐标为或或 【分析】先求出A、B、C三个点的坐标，再分三种情况①以MB，为边，②以BM、为边，③以AM、为边，根据平行四边形的判定的方法求出C点的坐标． 【详解】当时，=6 ∴B(0，6) ∵BM=2MO，且位于轴正半轴， ∴M(0,2) BM=6-2=4， 当=0时，， ， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 如图所示： 以MB，为边， 此时，MB=AC， ∴C(3,4)， 以BM 、为边， 此时，MB=AC ∴C（3，-4）， 以AM、为边， 此时BC∥AM，BC=AM 把B(0,6)向左平移3个单位，再向上平移2个单位即可得到C点 ∴C(-3，8)， 综上，满足条件的点坐标为或或 【点睛】本题属于一次函数与特殊图形综合题目，主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 21．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 22．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 23．如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若时，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）先利用证明，得出，，再利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及三角形中线的性质即可得答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴． 24．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 25．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，， 即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心，则有： （1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确． （2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确． （3）四边形是中心对称图形，（3）正确． （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确． （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确． 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 26．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 27．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28．如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)请你在图1中画一个以格点为顶点的直角三角形，满足它是轴对称图形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形，且它不是轴对称图形； (3)若点的坐标为，请你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点，使以四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的坐标是：______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)点的坐标是：或或． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）画一个等腰直角三角形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据点的坐标，确定平面直角坐标系，画出平行四边形，可得结论． 【详解】（1）解：取格点，依次连接三点，如图： 由格点可知，，， ∴是等腰直角三角形，又是轴对称图形， ∴就是所求的三角形． （2）解：取格点，依次连接三点，如图： 由格点可知，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴就是所求的三角形． （3）解：如图： 以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：， 以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：， 以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：， ∴点的坐标是：或或． 题型八、平行四边形中的动点问题 29．如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． (1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示) (2)当动点Q运动t秒时， ① 若，则________；(用含t的代数式直接表示) ② 若，则________；(用含t的代数式直接表示) (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)； (2)①；② ； (3)t为3秒或7秒时． 【分析】（1）根据题意得：，，即可得出答案； （2）①若，，，即可得出；② 若，，，即可得出； （3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：①若，，， ∴， 故答案为：； ② 若，，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示： ∵E是的中点， ∴， ① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则： ， 解得：， ② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则： ， 解得：， ∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用． 30．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 31．如图，在中，，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)则和之间的距离为___________； (2)当平分的面积时，则___________． 【答案】(1)4 (2)或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行四边形的面积公式即可求解； （2）由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：设和之间的距离为h， ∵的面积为36， ∴， ∴， ∴和之间的距离为4； （2）解：如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 32．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 题型九、平行四边形中的存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 34．如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据平行四边形的对角线互相平分列方程求出点的坐标． 点和点的坐标代入，用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 设点的坐标为，根据平行线四边形的对角线互相平分，可得关于、的方程组，解方程组求出 、的值即可．本题中需要分情况讨论． 【详解】（1）解：一次函数经过点和点， 可得：， 解得：， 一次函数的解析是； （2）解：存在，点的坐标为或或， 如下图所示， 当是平行四边形的对角线时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 如下图所示， 当是平行四边形的一条边且点在点上方时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 如下图所示， 当是平行四边形的一条边且点在点下方时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或或． 35．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)① （用含t的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，综合运用分类讨论，方程思想，数形结合等方法，掌握相关性质，判定等知识是解题的关键． （1）①根据动点运动的规律，线段的和、差关系即可求解；②如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，，点以每秒的速度运动，点以每秒的速度运动，设点的运动时间为秒， ①由运动可知，， ∵在线段上取点，使得， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 36．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． (1) ______， ______； (2)在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，t的值为或 【分析】本题主要考查动点问题，代数式表示，平行四边形的判定，一元一次方程等知识，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）根据速度，时间，路程之间的关系，利用代数式表示出，即可； （2）根据题意分两种情况讨论，当点P在线段上时，当点P在的延长线上时，结合平行四边形判定得到，再建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 根据题意可知：，， ； 故答案为：，； （2）解：存在，连接， 当点P在线段上时， 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 当点P在的延长线上时，如图所示： 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 题型十、平行四边形中的新定义问题 37．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． (1)①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； (2)如图2，已知平行六边形满足．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)见详解 (3) 【分析】（1）①连接，根据平行线的性质即可解决问题；同①，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点，延长交于点，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：①， 证明：连接，如图 1，     ， ， ， ． ②同①，连接， ， ， ， ， 即． 连接， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）证明：如图2，延长交于点，延长交于点， ， ∴四边形为平行四边形，， ， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可得，，， ， ， 如图3，过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 38．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 39．【定义新知】 定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个图形的公正线． 性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个图形的周长． 【特例感知】 例如图1，已知，，直线于点D．求证：直线是的公正线． 证明：， 在和中， ，， ，的面积等于的面积， ， ∴直线是的公正线． 问题： （1）填空： ①如图2，已知，若直线是的公正线，则与______相等（填“一定”或“不一定”）． ②已知，在平面直角坐标系中，的顶点，直线是的公正线，且与直线交于点P，则点P的坐标是______． 【学以致用】 问题（2）如图3，已知，直线与交于点F，，．求证：直线是的公正线． 【迁移探究】 问题（3）如图4，已知四边形，．点E，点F分别是边，边上的点，直线是的公正线，则的周长=______． 【答案】（1）①一定②（2）见解析（3） 【分析】（1）①根据公正线的定义即可解答； ②根据平移的规律可得点D的坐标为，根据平行四边形过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，可知直线过对角线的交点，即可解答； （2）如图3，过点F作于G，作于H，先根据角平分线的性质可得，再根据公正线的定义即可得结论； （3）如图4，过点A作于点G，根据公正线的定义可得，，设，则，根据勾股定理列方程可得，即可解答． 【详解】解：（1）①∵直线是的公正线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：一定； ②∵的顶点， ∴点， ∵直线是的公正线，且与直线交于点P， ∴点P是的中点， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 如图3，过点F作于G，作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的公正线； （3）如图4，过点A作于点G， ∵直线是的公正线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查新定义“公正线”的理解与运用，矩形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，理解“公正线”是解本题的关键． 40．定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形．    (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是对美四边形的有______； (2)如图1，在中，，为线段的垂直平分线上一点（点位于上方），若以点为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积． (3)如图2，为等腰底边上的一点，连接，过作，以为顶点作交于点，求证：四边形为对美四边形． 【答案】(1)矩形，正方形 (2)或 (3)见解析 【分析】（1）由“等对角线四边形”的定义，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出答案； （2）分两种情况：当点在上方时；当点在下方时，作交的延长线于；结合勾股定理、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质以及三角形的面积公式计算即可得出答案； （3）连接，证明得出，结合，得出四边形为平行四边形，再推出，即可得证． 【详解】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不一定相等， 矩形和正方形是“等对角线四边形”， 故答案为：矩形，正方形； （2）解：如图，当点在上方时，   ，是的垂直平分线， ， ，，， ， 四边形为等对角线四边形， ， ， ； 如图，当点在下方时，作交的延长线于，   ，四边形为等对角线四边形， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 综上所述，这个等对角线四边形的面积为或； （3）证明：如图，连接，   ，， ， ， ， ， 在和中， ， , ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为对美四边形． 【点睛】本题考查了四边形中的新定义问题，考查了对美四边形的定义、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握对美四边形的定义是解此题的关键． 1．（25-26八年级下·北京丰台·期中）能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 3．25-26八年级下·北京东城·期中）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 4．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的判定方法即可证明；②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立．由平分和得到，从而，由平行四边形得到，从而．当时可得到，进而，从而．即可判断②．③改变的大小，保持的长度不变，由于，得到，从而，即可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形．故①正确． ②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴．故②正确． ③改变的大小，保持的长度不变，由于，则， 由②可得， ∴， ∵ ∴．故③错误． 故选：A． 5．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，注意掌握数形结合思想的应用． 利用平行四边形的对角线互相平分，构造三角形，应用三角形的三边关系求解． 【详解】解：如图所示： 假设，， ∴， 由三角形三边关系， 可得， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级下·北京·月考）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 7．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为________cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质与含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角相等，以及含角的直角三角形中角所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等；再结合垂直条件，识别出含角的直角三角形，利用角所对的直角边是斜边的一半求出邻边和的长度；最后代入平行四边形周长公式计算周长 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：． 8．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【详解】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 10．（25-26八年级下·北京石景山·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，． (1)请用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交于点O，点E（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证， 证明：平分， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∴ ① ，， ，，， ∴ ②， 在和中，， ， ∴ ④， ． 【答案】(1)画图见详解 (2)；；； 【分析】本题主要考查作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法解答即可； （2）先证明，得出，，再证明，最后根据证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：平分 ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ①， ，， ，，， ②， 在和中，， ， ④， ． 故答案为：；；；． 11．（25-26九年级上·北京通州·月考）如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $