精品解析：甘肃渭源县第二中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源二中期中考试数学试卷 高二 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】绝对值不等式等价于：， 两边同时减去，得，故， 分式不等式等价于分子分母同号， 即：，解得，故， 所以. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 3. 在数列中，若，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的周期性即可求解. 【详解】, 因此是周期数列，且周期为3，故 4. 已知向量，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直等价于数量积为0，计算出的关系，用关于的代数式表达，使用均值不等式求出最小值. 【详解】，即, ， 当且仅当即时取等号. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的（横坐标不变） 【答案】A 【解析】 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即. 6. 设，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用作差法，结合对数换底公式及对数函数单调性比较大小. 【详解】由 ，得； 由 ，得， 因此. 7. 某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 15种 【答案】B 【解析】 【详解】两个数学名额为1个组，一个数学名额一个物理名额为1个组，两个物理名额为1个组， 再将这三个组分配到甲、乙、丙三个班有种分法； 高二年级的甲、乙、丙三个班各1个数学名额和各1个物理名额有1种分法； 综上所述：不同的分配方案共有种. 8. 如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值. 【详解】为第一象限的交点，设、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设，，则， 当时，即，时，取得最大值. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥体积的最小值为 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项，利用垂心和平面的已知条件，可以找出与垂直的两条相交直线，由线面垂直的判定定理可以得出判断；选项，由三棱锥一定点处三条棱两两垂直，底面垂心的性质，代入即可得出判断；选项，先根据底面三条边求出三角形面积，进而表示出体积，由选项的结论，代入化简成一个参数的表达式，利用导数求出最值；选项，通过三棱锥一定点处三条棱两两垂直，可知三棱锥与此三条棱构成的长方体外接球的球心相同，进而求出球体半径，表示出球体表面积，利用基本不等式求出球体表面积的最小值. 【详解】解：选项，由为的垂心可知，，又平面， 平面，所以，又因为，因此平面， 平面，所以. 同理，，又，，所以平面， 平面，所以，又因为，，所以平面，选项正确； 选项，由易知，，两两垂直，平面，点为的垂心， ， 由海伦公式知， 代入上式，两边平方，取倒数，化简可得， 代入，，，得，， 化简得，因此正确； 选项，由，，两两垂直，，，，根据勾股定理， 可得，，， 在中，由余弦定理可得，代入各边长， 化简得，所以， 所以， 因此， 两边同时平方得，由选项知， 设，，则，可得，，所以. 代入，化简得， 令，则， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增，所以当时，取最小值，为， 即的最小值为，因此的最小值为，正确； 选项，因为，，两两垂直，所以三棱锥的外接球球心与以，，为长宽高的长方体外接球的球心相同， 则外接球直接，所以， 所以外接球表面积为，由， 则, 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，此时外接球表面积的最小值为， 因此错误. 10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 当为锐角三角形，且时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得. 【详解】对选项A，根据正弦定理，， 因此，即三角形中大边对大角，故，A正确； 对选项B，由，得， 因为，所以，故，结合A的结论得B正确； 对选项C，举反例：取，，，满足条件， 但此时，是钝角三角形，C错误； 对选项D，原不等式等价于： ， 整理得：  利用三角恒等变换得， 因为是锐角三角形，​， 所以原不等式等价于：​. 又因为，所以， 因为函数在单调递增， 因此，原不等式成立，D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，方程在区间上所有实根的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用以及余弦函数的偶函数的性质判断周期和对称性，再求导讨论单调性.最后把方程转化为关于的方程，再列出区间内的全部根并求和. 【详解】因为且 都是偶函数， 所以 故是函数的一个周期. 又 所以的最小正周期不是，而是.因此A错误. 对于B，任取， ， 由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确. 对于C，因为， 所以 当时， 从而 于是故函数在区间上单调递增，C正确. 对于 D，令则方程化为即 因为且 所以在区间 上，方程只有唯一解 设则 于是 在区间内，方程的解为 方程的解为 故区间内全部实根为 这些根的和为 ， 所以D正确. 综上，正确选项为BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线，再根据直线与圆的位置关系求出值. 【详解】已知，求导得，则， 所以曲线在点处的切线为，即. 又切线与圆相切，所以， 整理得，解得. 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，令，和，即可求解. 【详解】由题意得： 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 所以. 14. 已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案. 【详解】设，已知，，则，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以. 如图所示：设，连接，，根据题意可知,, 且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且， 所以,可得, 设，则， 当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为. 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 已知的三个顶点在半径为2的圆上，. （1）求； （2）若为锐角，求周长的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换，以及的范围可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理可得，所以， 又因为，所以或. 【小问2详解】 若为锐角，由（1）可知， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 附：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）运用独立性检验判断赛事与性别关系；（2）先进行分层抽样，求概率后列分布列，利用期望公式求期望. 【小问1详解】 假设：关注“苏超”赛事与性别无关， 依题意， 则假设不成立，即有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由题意可得，关注赛事的市民中男女比例为， 所以6人中抽取男性市民人，女性市民人， 则的取值为， ， ， ， 分布列如下表所示： 所以． 17. 在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，． （1）如图1，当面面时，证明：面； （2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离． 【答案】（1）证明：取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，， 平面，平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，再根据线面平行的判定定理证明； （2）利用点到面距离的向量求法进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作平面于点，过作于点，连接则，为的中点，且，， ，，如图建系 ，，， ，， 设平面的一个法向量，到面的距离为 ， 18. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. （1）求曲线E的方程； （2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或或 （3）不存在，理由如下： 若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线方程为，与双曲线方程联立， 整理得，设， 则有且，以及， 其中，所以，结合其它不等式解得， 设，由得，即， 变形得到，将代入， 解得①，代入得②， 解法一： 由①有③，代入②得到④，再由 得，将④代入，整理得， 解得，再由③可得， 因为，， 所以不存在满足条件的点. 解法二： 由得即， 将①②代入该方程得到， 整理得，即， 令，则在区间上单调递减， 又，故当时，恒成立， 即方程在内无解， 所以不存在满足条件的点. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可； （2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论. 【小问1详解】 过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得， 依题意有，又由离心率为，得，联立得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，由（1）得，所以，因为关于原点对称， 所以，可知直线的斜率不能为 （否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立， 整理得，可得且， 以及，所以， 解得或，所以直线的方程为或或. 【小问3详解】 不存在满足条件的点，理由略. 19. 已知函数，其中为实数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试判断的零点个数. 【答案】（1）当时，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值即可求解； （3）由（1）得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 定义域：，. ， 在上单调递增， 在上单调递减； ， ①， 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减； ②，，因为，所以，在上单调递增； ③， + 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得， 如果， 在上单调递增， 当时，， 因为，所以成立； 当，在上单调递减，所以存在， ；不符合， 当，在上单调递增，在上单调递减； 所以存在， ，不符合， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）得， 若，在，上单调递增，在上单调递减. 因为， 当， ， 因为，，所以， 所以， 所以， 又，且在上单调递增， 所以存在，使. 又因为， 当时， ， 即，，所以. 因为在上单调递减， 上单调递增， 所以当时，. 综上，有且只有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源二中期中考试数学试卷 高二 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，若，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 4. 已知向量，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ） A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的（横坐标不变） 6. 设，，，则（　　） A. B. C. D. 7. 某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 15种 8. 如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥体积的最小值为 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 当为锐角三角形，且时， 11. 设函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，方程在区间上所有实根的和为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________． 13. 若，则___________． 14. 已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 已知的三个顶点在半径为2的圆上，. （1）求； （2）若为锐角，求周长的取值范围. 16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 附：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，． （1）如图1，当面面时，证明：面； （2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离． 18. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. （1）求曲线E的方程； （2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 19. 已知函数，其中为实数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试判断的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $