河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数z=-i(9-8i)的虚部为 A.-8 B.8 C.-9 D.9 2.已知向量a=(m十1,2)，b=(3,一m),若a⊥b,则m= A.-3 B.0 C.3 D.4 3.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2√6，则B= A.30 B.45° C.60° D.90° 4.如图，用斜二测画法作出△ABC的直观图△A'B'C',若A'B'=A'C'=1,则BC= A号 B.√2 C.2√2 /O(A') D.√5 5.已知棱台的上、下底面面积分别是1,4，高为3，则该棱台的体积是 A.3 B.7 C.9 D.21 6.已知复数z满足V2z=i24一io2s(i为虚数单位)，则z226= A.1 B.-1 C.i D.-i 7.若向量a,b满足|a=6,b=3,且(a+2b)·a=12,则向量a在向量b上的投影向量为 A. B.4b C.- D.-4b 【高一期中·数学第1页（共4页）】 B 8.如图，公路一侧有一幢楼OP,公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行 走，在点A处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的楼 仰角为37°，再行走100米到达点C处，测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的 高为 公路一 B 参考数据：an37°≈是. A.1502米 B.150√3米 C.300米 D.300√2米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A正四棱柱的侧面都是正方形 B.棱台的侧棱延长后交于一点 C,正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D.四面体的每个侧面都是等边三角形 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是 A若A>B,则sinA>sinB B.若sinA十sinB>sinC,则△ABC是锐角三角形 C.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 D.若△ABC的面积为S,且S=4(a2+62-c2),则C=开 11.已知复数1,2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,0为坐标原点，则 A若名1十2>0，则之1>一2 B.|oZ11oZ2|=|1·|x2 C.若|x1十2=|z1-2|,则0Z·OZ=0 - 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,-号)，写出一个与a共线的单位向量的坐标 13.在△ABC中，M是BC中点，AM=3,BC=10,则AB.AC- 14.如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAD=40°，从C点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱AB,AD回到C 点，若细绳的最短长度为2√6，则该三棱锥的侧棱长为 【高一期中·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设m∈R,复数x=3m2-2m-1十(2m-1)i (1)若复数z十m一1一mi是纯虚数，求实数m的值， (2)若复数之在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6c,且血C+3simB_心+址 sin A sin C ac (1)求C的大小； (2)已知sinA=√3sinB,证明：△ABC是等腰三角形. 17.(本小题满分15分) 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为3cm,高为5cm,内部挖去 一个高acm的圆柱体， 1)当a=号时，求该艺术品的体积： (2)当α为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【高一期中·数学第3页（共4页）】 B 18.(本小题满分17分) 如图，在梯形ABCD中，Di=2,∠CDA=5,C市=号Di,E为AB的中点，D币-ACa≠0). (1)用向量DA和DC表示B正， (2)若P范=DA+D心，求入的值： (3)若D心=t,当入为何值时，P最小？ 19.(本小题满分17分) 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bc,且BA·B心-c-bcsin会 (1)求A; (2)若△ABC是锐角三角形，且b=2,求△ABC的周长的取值范围； (3)若b=3,c=2,等边△DEF的顶点D,E,F分别在边AB,BC,CA上（不含端点），求△DEF的面积 的最小值. 【高一期中·数学第4页（共4页）】高一数学参考答案、提示及评分细则 1.C之=-i(9-8i)=-8-9i,所以复数之的虚部为-9.故选C. 2.A由a⊥b,得a·b=3(m十1)-2m=0,解得m=-3.故选A sinA sinB·所以simB=4C:s44X写 3.B因为BC=AC BC -号又因为AC<BC,所以B<A,所以B=45.故选B 2w/6 4.D根据斜二测画法可知，AB⊥AC,又A'B'=A'C'=1,所以AB=1,AC=2,所以BC=√22十1严=√5.故选D. 5B依题意，棱台的上底面面积S=1,下底面面积S=4,高为M=3,故由公式可知，棱台的体积是V=号(S+√SS+Sh =7,故选B. 6.D因为2=2-平临，所以=1后，所以2=-i,所以2s=(2)18=(-i)1013=一i.故选D 7.C因为|a=6,|b川=3，所以(a+2b)·a=a2+2b·a=62+2b·a=12,解得b·a=-12,所以向量a在向量b上的 投影向量为·合=.台=一专6放述C &A由题可知∠PA0-4,∠PB0-3,∠P0-0,则aA-s-0P.0B=7-子0P,0OC- tan 305= √5OP,由余弦定理，得OA2=AB+OB2-2 ABXOBcos,∠ABO,OC=BC+OB-2 BCXOBcos∠OBC,又AB=BC= 10,c0s∠AB0+cos∠OBC=0,两式相加，得0AN+0C=2(AB+OB),即0P+30P:=2(1000+OP）,解得 OP=150√2.故选A. 9.BC正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；用平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确：正六棱锥的底面为正六 边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错 误.故选BC 10.AD对于A,由A>B,可得a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,所以A正确；对于B,由正弦定理得a2+>c2,所以 c0sC=+C>0,所以C为锐角，但A,B可能为饨角，不能确定△ABC为锐角三角形，放B错误：对于C,已知A 2ab =30,6-5,a=2,根据正弦定理可知n30一sB解得sinB=>1,所以无解，C错误；对于D,若△4BC的面积 2 5 为S,因为S=}(G+-),则号a灰nC}×2 aesC所以snC=oC则mC-识8-1，由于Ce0,x, 则C=卒，故D正确.故选AD, 11.BCD取=1-i,2=2+i,则1十2=3>0，显然，一2不能比较大小，A错误；在BCD中，设=a十bi(a,b∈ R),2=c+di(c,d∈R),则OZ=(a,b),OZ=(c,d),1=a-bi,所以|OZ||OZ|=√/a2+F·√e+正=|1|· |2|=||·|2|,B正确；由|1十2|=|名-2|，得ac+bd=0,所以OZ·O22=ac+bd=0,C正确； 【高一期中·数学参考答案第1页（共4页）】 B +形 /e+d c+di tatup di(d c2+ 2元ac+bD+hca产三aE√/c十e士中c2十a=a王S王正=a=,所以 c2-d2 √c2+d 密-|D正魂改选以D 12(侍，一)（或(-号，）)与a共线的单位向量为士0，坐标为（告，-号）成(-告，是)》 13.-16Ai.Ad=(M+M).(Ai+Md=(Ai-号B武)·(Ai+2BC)=1Ai2-1B2=9-25=-16. 14.2√2根据题意，把正三棱锥A-BCD侧面沿AC展开，连接CC,则线段CC就是绳的最短 长度，易得∠CAC=120,设侧棱长为a,则CC'=√a2+a2-2Xa×a×(-）=26,解 得a=2√2. 15.解：(1)因为g十m-1-mi=3n2-2m-1+(2m-1)i+m-1-i=3m2-m-2+(m-1)i,…2分 3m-m-2=0, 又复数x+m一1一mi是纯虚数，所以 4分 m-1≠0， 解得m= 2 31 6分 (2)复数之在复平面内对应的点为(3m一2m-1,2m-1), 8分 3m2-2m-1<0, 又复数之在复平面内对应的点位于第二象限，所以 10分 2m-1>0, 解得2<m<1,即实数m的取值范围是( 13分 16.(1)解：在△ABC中，由血C+5imB_Q心及正弦定理，得台+_址 sin A sin C ac …3分 ac 整理得2=a2+B-√5ab, 由余弦定理得cosC=Q十-C= 2ab 2 6分 又0<CKx,所以C=否.… 8分 (2)证明：由sinA=√3sinB及正弦定理，得a=√/3b, 10分 由(1)知c2=a2+-√5ab, 因此？=c2,即b=c,所以△ABC是等腰三角形 15分 10 17解：1)当a=时，设圆柱的半径为，则3号=哥解得=1， 3 …3分 此时该艺术品的体积为V=号×x×3X5-X1×9-35产cm. 33 …7分 （2②设圆柱的半径为，则3号=台解得=3-号a(0<a<5, …9分 【高一期中·数学参考答案第2页（共4页）】 B 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， 10分 S=2xa=2x(3-a)a=2x(3a-是a2) 12分 当a= 14分 2×(-号) 之时，S侧取得最大值， 放当a=多时，该艺术品的表面积最大， 15分 18.解：(1)过C作CF∥AB交AD于F,如图， 因为Ci=DA,所以DA/∥BC,DA=2BC, 则四边形ABCF是平行四边形，故DA=2BC=2AF,即F是AD的中点，…2分 所以成=号A=萨=成-2成=4Di-D心 …4分D (2)因为D=AD元，所以P元=(1-)D心， 所以P成-P心+C+成=(1-0D心+Di+4Di-D心=（号-）心+是 …7分 又因为P成=Di+十元， 所以号=，解得=… 10分 (3)因为D元.D1=21cos子=，D衣=，D=4, 所以庞=（分-）r+是+号（分-x=[(号-刘+]+器 13分 所以当（合-）=一是即入=合+寻时，P产取得最小值器 所以P的最小值为3.此时=名+ 17分 19.解：1因为B·B-ccos B=-2--bcsin合，所以acos B+-bsin号=， A 由正弦定理得sin Acos B-+-sin Bsin今=sinC=sin(A+B)=-sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Bsin2 A=0s Asin B …2分 因为smB≠0，所以sim分-osA=1-2sim会，解得s血会=(sm令=-1含去)， 因为0<A<,所以号-若，即A= 3 …4分 (2)由(1)知A=受，由正弦定理得“。= 月c=2如6 snB-sinc,所以a=B 2 sin 3 sin B' 又sinC=sinA+B)=sin(B+号)， 【高一期中·数学参考答案第3页（共4页）】 B 所以△ABC的周长1=a+c+2=B+2siS+2= 5+2sim(B+) 2sin B+/cos B+32 sin B sin B sin B sin B _3(1+c0sB2+3= 25cous号 sin B B 2sin 2 cos B+3= B+3, …7分 tan 2 0<B<受， 因为△ABC是锐角三角形，所以 所以晋<B<受，所以臣<号<子， 0<-B受 又m音=m(得-季)房2-5所以m号g一.. 十3(3+5,6+23).即△ABC的周长的取值范围是(3+5,6+23). 所以 10分 tan 2 (3)i设∠BDE=a,DE=EF=DF=x,则∠ADF--a,∠AFD=a,∠EFC-径-a,.11分 在△DE中二品所以E器 sin B' 在△EFC中， (-。)mc所以E CE win(g-a） sin C, 因为BE+EC=a,所以si血g+ sin(a) sin B sin C 所以x= a ”。。”。。。。。”””。。。。”。。。””””””。”””。”。 13分 sin a sin(a) sin B sin C 在△ABC中A=C-3所以品cB专所U后c清 所以x= 35 65 头in+后n(停-a）2如a+3n(停a）7m+38owsa …15分 3 因为ma+3csa=2V而sna十g3V压，其中mg=39g∈(0，吾)， 5时，等号成立， 当a十p=受，即ana=9 所以x≥3 19 所以5g=得x≥号×(2)-2，即△DEF的商的最小值为27得. 17分 19 【高一期中·数学参考答案第4页（共4页）】 B