精品解析：江西萍乡市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

江西萍乡市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题 准考证号______姓名______ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设等比数列的前项和为，且公比为，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，若，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 5. 某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表 治愈 未治愈 合计 服用新药 67 33 100 服用旧药 48 52 100 合计 115 85 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中． 则下列说法正确的是（ ） A. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 B. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 C. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 D. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，若对于，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 体能测试得分与日常锻炼时间正相关 B. 该样本数据的相关系数为4.8 C. 该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上 D. 某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 第II卷 注意事项： 第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则______． 13. 已知函数，直线与曲线相切于点，则______． 14. 已知数列的前项和为，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 设函数． （1）当时，求的最小值； （2）求在上的极值． 17. 2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示： 门票价格（元／人） 30 40 50 60 70 日游客人数（千人） 21 20 14 8 7 （1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元／人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元／人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-广告费） 参考数据：．参考公式：线性回归方程． 18. 设数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）证明：函数在上存在唯一零点； （2）设函数． （i）讨论的极值点的个数； （ii）设数列满足：，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西萍乡市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题 准考证号______姓名______ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设等比数列的前项和为，且公比为，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，分别求和，再求和. 【详解】由条件可知，等比数列的公比， ，， 所以. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由条件可知，，所以，得. 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由常数函数导数得：，故A错误； 由复合函数和正弦函数的导数公式得：，故B正确； 由积的导数公式得：，故C错误； 由幂函数导数公式得：，故D错误. 4. 在数列中，若，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的周期性即可求解. 【详解】, 因此是周期数列，且周期为3，故 5. 某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了200名患者进行双盲实验．其中100人服用新药，100人服用旧药，统计结果如下表 治愈 未治愈 合计 服用新药 67 33 100 服用旧药 48 52 100 合计 115 85 200 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中． 则下列说法正确的是（ ） A. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 B. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 C. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效 D. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，即可得答案。 【详解】因为， 又因为当时，对应的犯错的概率为， 所以有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，因为，可得，即，即 设，可知在上为单调递减函数， 所以，所以，所以， 故实数的取值范围为. 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，设，求得，求得函数的单调性与最大值，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数有两个不同的零点， 即有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根， 即与的图象有两个不同的交点， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 又因为当时，；当时，， 作出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 8. 已知数列满足：，若对于，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推构造累加法求通项公式，再利用不等式恒成立，分离参变量，构造对勾函数求最值即可. 【详解】由已知 两边同乘得：， 令，则，且， 累加得：， 因为满足，所以，，因此 ​， 将代入不等式，两边同乘得， 整理得：​对任意恒成立，因此大于等于的最大值， 令，，则， 得， 由对勾函数 ​的最小值点在， 因为,所以计算相邻整数的函数值： 当时，，当时，， 因此​的最小值为，即， 则. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】ACD 【解析】 【详解】令，解得或， 令，解得或， 所以函数的单调性如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故ACD正确，B 错误. 10. 在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了100名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间（记为变量，单位：小时）与体能测试得分（记为变量，单位：分）的数据．通过对这100组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 体能测试得分与日常锻炼时间正相关 B. 该样本数据的相关系数为4.8 C. 该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上 D. 某学生的日常锻炼时间为2小时，则他的体能测试得分一定为82分 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，在回归直线方程中，由，得与日常锻炼时间正相关，A正确； 对于B，该样本数据的相关系数在内，B错误； 对于C，该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上，C正确； 对于D，当时，，即时间为2小时，体能测试得分约为82分，D错误. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，利用导数求出的单调性，即可判断A；结合A，可得，为常数，进而可得，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D. 【详解】因为， 所以， 令， 则， 令，得，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 对于A，因为， 所以，即， 所以，故A正确； 对于B，由A可知， 所以，为常数， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得最大值，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由B可知，且在处取得最大值， 又因为， ， 所以，故D正确. 第II卷 注意事项： 第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由数列满足， 可得数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. 13. 已知函数，直线与曲线相切于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到切线的斜率，求得，得到，求得或，再将切点代入直线方程，进行检验，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 又由，可得，则， 即曲线在处的切线的斜率为， 所以，可得，解得或， 当时，可得，即切点为， 将切点代入直线方程，可得成立； 当时，可得，即切点为， 将切点代入直线方程检验，可得， 综上可得，实数的值为. 14. 已知数列的前项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，当为奇数时，得到，求得，当为偶数时，得到，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由数列的前项和为，且， 当为奇数时，可得， 所以， ，所以 ， 当为偶数时，可得， 所以， ，所以， 因为，可得， 解得. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得 所以数列的前项和： . 16. 设函数． （1）当时，求的最小值； （2）求在上的极值． 【答案】（1） （2）当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，进而求得的最小值. （2）求得，令，得到，分类讨论求得函数的单调性，结合极值的定义，即可求解. 【小问1详解】 当时，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 由函数，可得， 令，即，解得， 若，即时，，在上单调递增，无极值； 若时，即时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，取得极小值，无极大值. 综上可得，当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 17. 2026年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示： 门票价格（元／人） 30 40 50 60 70 日游客人数（千人） 21 20 14 8 7 （1）已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程； （2）为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元／人），并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为10（元／人）时，根据（1）的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．（日门票净收入=票价×日游客人数-广告费） 参考数据：．参考公式：线性回归方程． 【答案】（1）； （2）5千元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）由（1）的结论求出日门票净收入关于的函数关系，再列出不等式组求解. 【小问1详解】 设关于的线性回归方程为， 由数表得， 而， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，则， 日门票净收入，， 当时，令最大，则，即， 整理得，而，， 函数是递增的，因此，， 所以当门票定价为10元，日广告费用为5千元时门票净收入最大. 18. 设数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法，即可得解. （3）化简得，分奇偶讨论，结合单调性求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为3，公比为3， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 因为，， 所以 所以， 则有， 两式相减得： ， 于是得. 【小问3详解】 不等式代入得： 两边除以整理得： ​，分奇偶讨论： 当为奇数时：，不等式化为​， 令，， 因为，所以， 对奇数单调递增，最小值为，故； 当为偶数时：，不等式化为​，即， 同理，对偶数单调递减，最大值为，故， 综上，的取值范围为： ​. 19. 已知函数． （1）证明：函数在上存在唯一零点； （2）设函数． （i）讨论的极值点的个数； （ii）设数列满足：，证明：． 【答案】（1） 已知，定义域， 当时，单调递减，所以单调递增， 而也单调递增，故在上单调递增； ， ， 所以在上存在唯一零点； （2）（i）当或时，的极值点的个数是2个；当时，的极值点的个数是0个； （ii）由（i）得当时，在上是增函数， 又因为单调递减，所以，即， 由于 ，所以对一切 有,所以， 即，，所以，， 相加，所以. 【解析】 【分析】（1）先求出的表达式，再对求导，根据导数的性质判断在区间上的单调性，进而证明存在唯一的极值点； （2）（i）求导，分，，三种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性进而得出极值点个数；（ii）由（i）得，在上是增函数，从而得，即有，再运用累加法可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）的定义域为. 当时：则，在是增函数， 则，在是减函数，，则，在是增函数， 所以是的极大值点，是的极小值点，的极值点的个数是2个； 当时：，时，是增函数，无极值点，的极值点的个数是0个； 当时：若则，在上是增函数， 若则，在上是减函数， ，则,在是增函数， 是的极大值点，是的极小值点，的极值点的个数是2个； 综上，当或时，的极值点的个数是2个；当时，的极值点的个数是0个； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $