数学真题重组（全国二卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考真题重组卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 6．（新情境）（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 7．（新情境）（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 8．（创新题）（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 13．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 14．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 【答案】 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16．（15分）（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 17．（15分）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1)(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 18．（17分）（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1)(2)(ⅰ) (ⅱ) 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 19．（17分）（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且，则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，，得， 设，则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，.故的取值范围为； （ii）由图象可知，，设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即.而由， 可知成立，故命题得证. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 6．（新情境）（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（新情境）（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 8．（创新题）（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 13．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 14．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 16．（15分）（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 17．（15分）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18．（17分）（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．（17分）（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考真题重组卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 4 5 6 D D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC ABD AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-20 -15 14.60 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)方法一：常规方法（辅助角公式） 由sinA+V3cosA=2可得2sinA+V3 1 4+空cos4=1,即4+导-1,4分) 3 由于4e0户4+骨e经，故4+号 32,解得4=石 (6分) 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由sin4+5cosA=2,又sinA+cosA=l,消去imA得到： 46os4-45cos4+3=0分(2c0sA-5-0解得cosA=5 2 1/11 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 又AE0,,敬4-G(6分) 方法三：利用极值点求解 设f0g=sinx+5cosx0<x<元)' 则f)=2sinx+}0<r<, ”3 显然x= 石时，f)m=2,注意到)=sin4+V5cosA=2=2sin4+学，(2分) f代=f0,在开区何0，网上取到最大值，于是=4必定是极值点， 即r④=0=6osA-5snA即amA- 3 又A∈(0，，故A= =6(6分) 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设a=v5.6=(im4cos0,由题意，a-6=5i血4+V5cosA=2, 根据向量的数量积公式，a-ba5cos(a,6)=2cos(a,6. 则20sa,6=2分cosa,万=，此时a,6=0,即a,6同向共线，4分) 根据向量共线条件，1-cosA=V5sinA台amA= 3 又A∈(0，，故A= 6(6分) 方法五：利用万能公式求解 =受银据万能会式ms-2品+，户 整理可得， t2-2(2-V3)t+(2-V3)2=0=t-(2-V3)2 解得am1-2-B,很据倍角公式，nA4=号 又A∈(0，)，故4=6(6分) (2)由题设条件和正弦定理 2/11 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 √2 bsin C=csin2B台√2 sin Bsin C=2 sin Csin B cos B 又B,C∈(0，π)，则sin BsinC≠0，进而 cosB=V② B飞 2,得到4，(9分) 于是C=π-A-B= 7π 12 sin C=sin(4-B)=sin(+B)=sin dcos B+sin Bcos 4,(11分) 2 b 由正弦定理可得，a=b=c,即sin灭 π sin A sin B sin C 6 4 Sin sin 7π 12 解得b=22,c=6+V2 故△AB 的周长为2+6+3V2 (13分) 16.(15分) 【解析】(1)由题意证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,，AB⊥AD, ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, .AP⊥AB,AP⊥AD, ·APC平面PAD,ADC平面PAD,AP∩AD=A, .AB⊥平面PAD, ABC平面PAB, .平面PAB⊥平面PAD.(4分) (2)()由题意及(1)证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB,AP⊥AD,AB⊥AD,BC∥AD, PA=AB=2 AD=1+3 建立空间直角坐标系如下图所示， 3/11 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ZA A D B :40,0,0,BV5,00,CV2,2,0,D0,1+5,0,P00,2 若P,B,C,D在同一个球面上， 则lor=o8l=loq=oD1 在平面xAy中， A0,0,B2,0,CV2,2,D0,1+v5 V2V3+3 线段cD中点坐标F 22 1+3-25-1 k1 直线CD的斜率： 0-2√2， 26+迈 直线CD的垂直平分线Er斜率：k- V3-12, 的方 4/11 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 2 2， 当1时.1.6, 2 xo-22，解得：xo=0, 00,1 0(0,1,0) 在立体几何中， 0P=02+1P+0-2 0B=V0-2+1P+0 0C=V0-2+1-22+0 0D=V02+1-1-5+02 解得： OP=OB=l0C=OD=3 ∴.点O在平面ABCD上.(10分) (i)由题意，(1)(2)(i)及图得， D B AC=V2,2,0,P0=0,1-2 设直线AC与直线PO所成角为8， AC.PO 10+2×1+0 √2 cose AC PO 2+2+0×0+1+-23.(15分) 法2： P0=√3 由几何知识得， 5/11 @学科网.学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 AB⊥AD,BC∥AD, .AB⊥BC, 在R△8C中，48=5,8C=2,由勾股定理得， 4C=VAB2+BC2=√2+2=6， AC PC 过点0作4C的平行线，交8C的延长线为C,连接 e--D C C 则OG=1C=V6,直线AC与直线P0所成角即为△POC中∠POC或其补角. :PA上平面ABCD,AGC平面ABCD,PADAC=A .PALAC 在R4△MBC中，4B=V5,BG=BC+CC=2+1=3 由勾股定理得， 4C,=VAB2+BC=V2+32=而， 在R△MPC中，PA=5 由勾股定理得， PC=VP+AC=V+而=， POC中，由余弦定理得， 在 PC2=PO+OC2-2PO.OC cos /POC 即：(ViE=V'+6-2W3xV6os∠PoC 6/11 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 解得：os∠PoC,=- 3 ∴.直线AC与直线PO所成角的余弦值为： aos∠P0CI=5 3,(15分) 17.(15分) 【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中 1次， 比赛成绩不少于5分的概率P=1-0.61-05)=0.686.(4分) (2)(①)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为B=[-0-P°]9， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为2=[1-1-9)门p, 0<p<9, ∴.-E=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3 =(g-p)川q2+p9+p2）+(p-q):[(p-p9)2+(g-pq)2+(p-p9g-p9)J =(p-q)3pg2-3pq-3p92) =3pq(p-q)(pg-p-9)=3pq(p-q)[(1-p)1-q)-1]>0, ·B>B,应该由甲参加第一阶段比赛.(9分) ()若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， PX=0)=1-p)'+[1-1-p)°]-q)3 P(X=5)=[1-(1-p)]C9-1-g2, PX=10)=[1-1-p)°]C390-9) P(X=15)=[1-0-p)]g3 .E(X)=15[1-1-p)]q=15(p3-3p2+3pg 7/11 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15， 同理E0)=15(g-392+3gp ∴.E(X)-E(Y)=15[pg(p+q)(p-q)-3,pq(p-q)] =15(p-q)pq(p+9-3), 因为0<p<9,则p-9<0,p+9-3<1+1-3<0, 则(p-9)Pq(p+9-3)>0, ·应该由甲参加第一阶段比赛.(15分) 18.(17分) Va2+b2=10 c 2v2 【解析】(1)由题可知， ,所以e=二= ，解得 A0-b),B(a,0 c2=a2-b2 a2=9,b2=1,c2=8 故椭圆C的标准方程为g+严=1；(4分) （2)0设R,易知m≠0， 法一：所以kp=”+1, ,%+1_n+1 =m，且m,>0: 因为A0,-l,4R4=3,所以V+(%+1'x√m2+(n+12=3, 解得云初，所以=2 32 1=3 m2+(n+12, 3m n+2-m2-n 所以点。的坐标为m2+n+12’m2+n+ (9分) R 法二：设=，>0，则44=3→A[m+n+门-3，所以 3 AR=入AP=(m,n+1= 3m 3(n+1 = m2+(n+12, m2+n+12’m2+n+1故 3mn+2-m2-n2 点。的坐标为m2+n+1m2+n+1 2(9分) 8/11 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P R B n+2-m2-n2 (的因为m m2+n+1=n+2-m2-m 3m 37m ,可得 m2+(n+1 m koR=3kop 3n_n+2-m2-n2 3m 化简得m2+m2+8-2=0即m+(n+4=18(m≠0) 所以点P在以N(0,-4为圆心，32为半径的圆上（除去两个点）， PO=为P到圆心N的距离加上半径，(13分) 法一：设2(3cos0,sin0),所以 2W=(3cos0)+(sin0+4)=9cos20+sin20+8sin0+16 =8cos20+1+8sin0+16 =81-sin20+8sin0+17 =-8sin20+8sin0+25 =m0-+272当仅当m0-时取等号 所以P0=27+35=35+.17分) 法：设Qg小则多+后=， 0W=x号+yo+4=9-96+y6+8yo+16=-86+8yo+25 9/11 ©学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 1) =-8y№2) +27≤27，当且仅当02时取等号， 故lPOL=2+32=35+2.（17分) 19.(17分) 【解析】(1)当a=l时，f(=x-血，x>0. 则f'(x=1-2血 x,则f'()=1,且f四=1，则切点(1，，且切线的斜率为 故函数d在点L)处的切线方程为=x,4分) 2）0令f树=am-=0:30得a-r 设g对-，x>0,则g时= 2Inx.x-(Inr)Inx(2-Inx) x 由g'=0解得x=1或e,其中g山=0,8e)=4 e2; 当0<x<1时，8<0,8在0,1上单调递减：当1<x<e时，g'y>0,8在山，e)上单调递增： 当x>e时，g<0,8在e,+切上单调递减： 且当→0时，8→切；当x→时，8到到→0 如图作出函数8的图象， y=g(x) 4 e y-a O1 e2 要使函数（刘 有3个零点， 则方程“=8刊在0+切)内有3个根，即直线=“与函数8的图象有3个交点 10/11 学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 4 结合图象可知， 0<a<。故a的取值范围为0。， (10分) (ii)由图象可知， 0<x<1<<e<,设 n=4,n=b,ln6=6,则4<0<4<2<4， ae=t2① 满足 ae=i3,由。。可得na+5=2, ae=t② ②③ Ina+ts=2Int 两式作差可得5-6=2(n%-l,) 则由对数均值不等式可得2=。->：， Int -Int, 则，4<4，故要证(n,-ln-ln< e-1, 即证t站-t华 e-1,只需证4-华s4e 4e e-1 即证4≤4 -i,又因为1<0，=ae<a,则kl=-4<√a, 所以4<Vag= ≤4 ,故只需证。3e-1, 设函数p()= 00=2e-2e2（2-2] e2 e2 当2<1<4时，p4>0,则0在24刊上单调递增 当1>4时，p)<0,则4在4+四)上单调递减： 故ot)nm=p(4到=16 e2,即p(t)≤2.而由4e2-16e+16=4(e-2)2、0, 164 可知。三<。一成立，故命题得证.(17分) 11/11■■■■ ■■■ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 刘 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 杯 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 6．（新情境）（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（新情境）（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 8．（创新题）（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 13．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 14．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 16．（15分）（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 17．（15分）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18．（17分）（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．（17分）（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $