数学真题重组（上海卷）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

**基本信息** 整合2024-2026年上海高考真题，通过新情境（如向量投影、延展函数）与热点问题（如排列应用、函数性质证明）设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合、不等式、向量、数列、二项式定理|融合春/秋季真题，第12题新情境向量投影考查数学表达| |选择题|4题18分|立体几何、概率、函数新定义|第16题延展函数新定义，考查逻辑推理| |解答题|5题78分|立体几何、三角函数、概率统计、解析几何、函数性质|第21题热点函数性质证明，综合考查数学思维与论证能力|

2026年上海高考真题重组卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．/. 2． 3．2 4. 0 5．18 6．6.3 7． 8.288 9． 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13． D 14．B 15．A 16.D 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（新情境）（2026·上海春季高考真题）在正四棱台中，，. （1）若，求与平面所成角的大小； （2）求证：∥平面，若正四棱台的高为3，求三棱锥的体积． 17.（1）45°；（2）证明见解析, 体积为8. 【解析】（1）过作H⊥平面ABCD，连接AH；过H分别作HE⊥AB于E, HF⊥AD于F，连接AE，，如右图，HE为AE在平面ABCD上的投影,……2分 由三垂线定理，可得⊥AB，∴AE=1；同理AF=1, ……2分 四边形AEHF为正方形，，AH为AA在平面ABCD上的投影， 所求线面角即为， 故和平面所成角为45°；……2分 （2） 连接AC、BD交于O, 连接、交于, 如右图, 上下底面为正方形，由正棱台性质，可得AC， 圆边形AC，OA为平行四边形,∴，……2分 ∵AA不在平面上，⊂平面，∴平面；……2分 由正棱台的性质，O⊥上下底面，即， ∵O⊥BD, ⊥BD, ⊥O=，∴BD⊥平面，……2分 所求三棱锥体积可拆解成两个， 即：……2分 18．（改编题）（2026·上海春季高考真题）已知函数（，）. （1）若，，求在处的切线方程；（2）若的最小正周期为， 方程在区间上恰好有1351个解，求的取值范围. 18.（1） 【解析】（1） ……2分， ……2分 ∴切线方程为 即；……2分 （2）∵最小正周期为3π， ……1分 在上恰有1351个解, 即在恰有1351个解；……1分 ①当 时，，可得 所以， ②当时，可得， 所以，……2分 ③当时， 可得，， 与所以，无解； 综上，的取值范围为.……2分 19. （改编题）（2024·上海春季高考真题）共有136箱水果，其中一级果102箱，二级果34箱. （1）从中随机挑出两箱水果，则一级果、二级果各一箱的概率； （2）按分层抽样抽出8箱水果，求一级果、二级果各几箱；（3）抽出若干箱水果，其中，一级果120个， 单果的平均重量为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果的平均重量为240.41克，方差为648.21； 求168个水果的平均数与方差，并预估果园中水果的单果质量. 19.（2）一级果抽取6箱,二级果抽取2箱;（3）平均数:285.44,方差: 1426.46,预估平均287.69. 【详解】（1）古典概型：设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， ……2分 样本空间……2分 （2）一级果箱数：二级果箱数，……2分 因此一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；……2分 （3）设一级果平均质量为二级果质量为总体样本平均质量为: 平均值：， ，……2分 方差： =2805368.549， ，……2分 预估平均质量为.……2分 20. （热点）（2024·上海春季高考真题） 在平面直角坐标系中，已知曲线（），点、分别为上不同的两点，设点． （1）求所在椭圆的离心率；（2）若，点在轴上，点到直线的距离为， 求点的坐标；（3）是否存在，使得△TPQ是以点为直角顶点的等腰直角三角形？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 20.（1）,（2），（3） 【详解】（1）设A(2,y),因为点A为椭圆上一点， 则 得，……2分， 所以；……2分 （2）设A(x，y)，xy≠0,则……2分 ，因为即，即又 ， 所以，得，……2分， 所以所以|OA|的范围是；……2分 （3）方法一：设线法： 设，由图象对称性，得、关于轴对称， 则，又，于是 ，……2分 则， 同理， 由， 得，……2分 因此，即，则， 设直线，由消去得，……2分 则，即，而，解得，， 由，得，所以.……2分 方法二：设点法: 同上，由，……2分 根据相似得：，……2分 ，……2分 ， ，， 所以.……2分 21. （热点）（2026·上海春季高考真题）已知是定义在上的函数，若对任意、， 当时，成立，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”；（2）若函数具有“性质”， 求所有满足条件的实数、；（3）若的值域为，且在上是严格增函数， 证明：“函数为偶函数”是“函数具有性质”的充要条件. 21.（1）不具有；（2），；（3）详见解析. 【解析】（1）因为是严格递增函数，当时，则 满足；……2分 当时，则，即，不满足； 当然异号时也可以同样得到反例；综上，函数不具有“性质”；……2分 （2）若，显然满足；若则必须严格递减函数, 则a；……2分 若，则必须，且，……2分 即对于任意的与互为等价命题，则，；……2分 （3） 充分条件：∵ 在 上严格单调增，∴ 且 ， 恒有 ，其中， ∵ 是偶函数 ∴ 在 上严格单调减， ∴ 且 ，恒有 ，其中， ，即 ，恒有 ，其中，……2分 ∵ 的值域为 ，结合偶函数的对称性可知： 在和的取值范围均为， 令，当时，整理得， 结合在严格单调增可得： ，其中； 同理，当 时，∴ ，其中， 综上， ，当 时，恒有，若 是偶函数，则 符合“性质”； ……2分 必要条件：∵ 符合性质 ，当时，，对于，恒有， 即，即，∵的值域为，……1分 ∵在上严格单调增， ∴且，恒有，对于 且 ， 则有符合性质，∴ 在 上严格单调减， 假设 恒成立，∵ 符合性质P, ∴当 时，必有 ，与假设矛盾， ∴ 不存在 使得， 恒成立，……2分 同理可证不存在 使得， 恒成立，若不是偶函数， 则，使得，假设， ∴，使得，而，与性质矛盾， ∴ 是偶函数. ……1分 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海高考真题重组卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 5. 正确填涂 789 6789 56789 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 製 3 5 6 1! 7 8 9 10 11 12 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[AB][C][D] 14[A][B][C]D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][CD] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) D B 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 E14) ■■■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2026年上海高考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（填空题、选择题 共72分） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. （2025·上海秋季高考真题）已知全集，集合， 则 . 2．（2025·上海春季高考真题）不等式的解集为 . 3．（2026·上海春季高考真题）已知向量，，若∥，则 4.（2025·上海春季高考真题）已知，则 . 5．（2026·上海春季高考真题）的二项展开式中，的系数为 . 6. （2025·上海秋季高考真题）已知随机变量X的分布为，则X的期望 . 7．（2025·上海春季高考真题）已知是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为（）的等比数列；若数列的前三项和为2，则 . 8. （热点）（2025·上海秋季高考真题）有4位家长带2位儿童去爬山. 6个人需要排成一条队列， 要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 9．（热点）（2026·上海春季高考真题）已知，，的最小值等于（） 的最小值，则 . 10．（热点）（2026·上海春季高考真题）△ABC中，，，与的夹角为，则的最大值为 . 11．（热点）（2025·上海春季高考真题）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料， 阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分， ；工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料， 当其面积有最大值时，的长为 (精确到0.1) 12．（新情境）（2025·上海春季高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足， 向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 二. 选择题（本大题共4题，每个题目只有一个选项是符合题目要求的，13、14每题4分，15、16每题 5分，满分18分） 13．（新情境）（2025·上海春季高考真题）如图，是正四棱台， 则下列各组直线中，属于异面直线的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．（新情境）（2025·上海春季高考真题）已知四边形，对于其四边AB、BC、CD、DA， 按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币； 如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去； 最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（ ） A． B． C． D． 15．（新情境）（2026·上海春季高考真题）平面直角坐标系xOy中，存在点集，对任意点， 过点作直线轴，且为一条线段，将所有这些线段沿方向平移，使得这些线段中点均位于 轴上，这样的操作称为对点集对称化处理；已知是、、、 围成的封闭区域，则将对称化处理后所得的图像为（ ） A．   B．   C．   D．  16.（新情境）（2024·上海春季高考真题）若函数（，）满足，则称函数为延展函数;已知延展函数和函数，满足当时，，. 给定以下两个命题： ① 存在函数（、，）与有无穷多个交点； ② 存在函数（、，）与有无穷多个交点. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 第二部分（解答题 共78分） 三. 解答题（本大题共5题，第17、18、19题，每题14分；第20、21题，每题18分；满分78分） 17．（新情境）（2026·上海春季高考真题）在正四棱台中，，. （1）若，求与平面所成角的大小； （2）求证：∥平面，若正四棱台的高为3，求三棱锥的体积． 18．（改编题）（2026·上海春季高考真题）已知函数（，）. （1）若，，求在处的切线方程；（2）若的最小正周期为， 方程在区间上恰好有1351个解，求的取值范围. 19. （改编题）（2024·上海春季高考真题）共有136箱水果，其中一级果102箱，二级果34箱. （1）从中随机挑出两箱水果，则一级果、二级果各一箱的概率； （2）按分层抽样抽出8箱水果，求一级果、二级果各几箱；（3）抽出若干箱水果，其中，一级果120个， 单果的平均重量为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果的平均重量为240.41克，方差为648.21； 求168个水果的平均数与方差，并预估果园中水果的单果质量. 20. （热点）（2024·上海春季高考真题） 在平面直角坐标系中，已知曲线（），点、分别为上不同的两点，设点． （1）求所在椭圆的离心率；（2）若，点在轴上，点到直线的距离为， 求点的坐标；（3）是否存在，使得△TPQ是以点为直角顶点的等腰直角三角形？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. （热点）（2026·上海春季高考真题）已知是定义在上的函数，若对任意、， 当时，成立，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”；（2）若函数具有“性质”， 求所有满足条件的实数、；（3）若的值域为，且在上是严格增函数， 证明：“函数为偶函数”是“函数具有性质”的充要条件. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考预测卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（填空题、选择题 共72分） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. （2025·上海秋季高考真题）已知全集，集合， 则 . 1．/.【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知；故答案为：. 2．（2025·上海春季高考真题）不等式的解集为 . 2．【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即，即不等式的解集为， 故答案为：. 3．（2026·上海春季高考真题）已知向量，，若∥，则 3．2【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得；故答案为：2. 4.（2025·上海春季高考真题）已知，则 . 4．【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以，故答案为：. 5．（2026·上海春季高考真题）的二项展开式中，的系数为 . 5．【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以的系数为；故答案为：. 6. （2025·上海秋季高考真题）已知随机变量X的分布为，则X的期望 . 6．【分析】根据分布列结合期望公式可求期望. 【详解】由题设有；故答案为：. 7．（2025·上海春季高考真题）已知是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为（）的等比数列；若数列的前三项和为2，则 . 7．【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，，则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去），故答案为：. 8. （热点）（2025·上海秋季高考真题）有4位家长带2位儿童去爬山. 6个人需要排成一条队列， 要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 8．288【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法；故答案为：288. 9．（热点）（2026·上海春季高考真题）已知，，的最小值等于（） 的最小值，则 . 9．3【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为，又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得；故答案为：3. 10．（热点）（2026·上海春季高考真题）△ABC中，，，与的夹角为，则的最大值为 . 10．【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】用表示， ， ，与的夹角为 ，令， 则， 即当t=时，的最大值为 11．（热点）（2025·上海春季高考真题）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料， 阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分， ；工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料， 当其面积有最大值时，的长为 (精确到0.1) 11． 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为， 当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，设方程为：，所以，，方程为：，令矩形面积为，当时，， 当，设，则， 所以， 则，令，则，在上递增， 令，则或，在上递减，又，， ，所以当的长为时，该矩形面积最大. 故答案为：. 12．（新情境）（2025·上海春季高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足， 向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 12．【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义， 数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设 ， ， ， ，则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上；过作于， 则即为在上的数量投影，如右上图所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且，故随着的减小，增大， 直至恰好与圆相切时，取得最大值，如右图所示： 在与圆相切的基础上，移动点， 过作于，故； 在△中，，， 故，因为， 故在直角三角形中，， 则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当 时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为.故答案为：. 【点睛】处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的 处理策略，从而求解最大值. 二. 选择题（本大题共4题，每个题目只有一个选项是符合题目要求的，13、14每题4分，15、16每题 5分，满分18分） 13．（新情境）（2025·上海春季高考真题）如图，是正四棱台， 则下列各组直线中，属于异面直线的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．D【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误，侧棱延长交于一点， 所以与相交，故B错误，同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误，与是异面直线，故D正确；故选：D. 14．（新情境）（2025·上海春季高考真题）已知四边形，对于其四边AB、BC、CD、DA， 按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币； 如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去； 最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（ ） A． B． C． D． 14．B【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况，要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况 （其中有一种情况与上面重复），则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为；故选：B. 15．（新情境）（2026·上海春季高考真题）平面直角坐标系xOy中，存在点集，对任意点， 过点作直线轴，且为一条线段，将所有这些线段沿方向平移，使得这些线段中点均位于 轴上，这样的操作称为对点集对称化处理；已知是、、、 围成的封闭区域，则将对称化处理后所得的图像为（ ） A．   B．   C．   D．  15．A【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合 选项确定答案. 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象，按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为 和，故排除B项；当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为 和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧，等分量为，故在上线性变化，结合选项知， 只有选项A符合题意；故选：A. 16.（新情境）（2024·上海春季高考真题）若函数（，）满足，则称函数为延展函数;已知延展函数和函数，满足当时，，. 给定以下两个命题： ① 存在函数（、，）与有无穷多个交点； ② 存在函数（、，）与有无穷多个交点. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 16．D【分析】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得. 【详解】当时，，则，又， 则由延展函数定义可得；同理可得，当，；； 任意，当时，. 当时，，则，则； 同理可得，当时，；；当时，； 当，；当，；； 则任意时，当，如下图，作出与大致图像， 因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立； 又因为当，，故当时，直线 与的图象在区间的函数部分重合，即有无穷个交点，故（2）成立；故选：D. 【点睛】解决此题目的关键在于理解新定义“延展函数”，能够依次求解出函数在各段的解析式 及作出函数图象，数形结合解决函数图象与直线的交点个数问题. 第二部分（解答题 共78分） 三. 解答题（本大题共5题，第17、18、19题，每题14分；第20、21题，每题18分；满分78分） 17．（新情境）（2026·上海春季高考真题） （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在正四棱台中，，. （1）若，求与平面所成角的大小； （2）求证：∥平面，若正四棱台的高为3， 求三棱锥的体积． 17.（1）45°；（2）证明见解析, 体积为8. 【解析】（1）过作H⊥平面ABCD，连接AH；过H分别作HE⊥AB于E, HF⊥AD于F，连接AE，，如右图，HE为AE在平面ABCD上的投影, 由三垂线定理，可得⊥AB，∴AE=1；同理AF=1, 四边形AEHF为正方形， ，AH为AA在平面ABCD上的投影，所求线面角即为， 故和平面所成角为45°； （2） 连接AC、BD交于O, 连接、交于, 如右图, 上下底面为正方形，由正棱台性质，可得AC， 圆边形AC，OA为平行四边形。∴， ∵AA不在平面上，⊂平面，∴平面；由 正棱台的性质，O⊥上下底面，即，∵O⊥BD, ⊥BD, ⊥O=， ∴BD⊥平面，所求三棱锥体积可拆解成两个， 即： 18．（改编题）（2026·上海春季高考真题） （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数（，）. （1）若，，求在处的切线方程；（2）若的最小正周期为， 方程在区间上恰好有1351个解，求的取值范围. 18.（1） 【解析】（1） ∴切线方程为 即； （2）∵最小正周期为3π， 在上恰有1351个解, 即在恰有1351个解； ①当 时，，可得 所以， ②当时，可得， 所以， ③当时， 可得，， 与所以，无解； 综上，的取值范围为. 19. （改编题）（2024·上海春季高考真题） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分. 共有136箱水果，其中一级果102箱，二级果34箱. （1）从中随机挑出两箱水果，则一级果、二级果各一箱的概率； （2）按分层抽样抽出8箱水果，求一级果、二级果各几箱；（3）抽出若干箱水果，其中，一级果120个， 单果的平均重量为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果的平均重量为240.41克，方差为648.21； 求168个水果的平均数与方差，并预估果园中水果的单果质量. 19.（2）一级果抽取6箱,二级果抽取2箱;（3）平均数:285.44,方差: 1426.46,预估平均287.69. 【详解】（1）古典概型：设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间 （2）一级果箱数：二级果箱数，因此一级果抽取6箱，二级果抽取2箱； （3）设一级果平均质量为二级果质量为 总体样本平均质量为: 平均值：， 方差： =2805368.549， 预估平均质量为. 20. （热点）（2024·上海春季高考真题） 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 在平面直角坐标系中，已知曲线（），点、分别为上不同的两点，设点． （1）求所在椭圆的离心率；（2）若，点在轴上，点到直线的距离为， 求点的坐标；（3）是否存在，使得△TPQ是以点为直角顶点的等腰直角三角形？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 20.（1）,（2），（3） 【详解】（1）设A(2,y),因为点A为椭圆上一点， 则 得, 所以； （2）设A(x，y)，xy≠0,则 ，因为即，即又 ， 所以，得，所以 所以|OA|的范围是； （3）方法一：设线法： 设，由图象对称性，得、关于轴对称， 则，又，于是 ， 则， 同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 方法二：设点法: 同上，由，根据相似得：， ，， ， ，所以. 21. （热点）（2026·上海春季高考真题） 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知是定义在上的函数，若对任意、， 当时，成立，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”；（2）若函数具有“性质”， 求所有满足条件的实数、；（3）若的值域为，且在上是严格增函数， 证明：“函数为偶函数”是“函数具有性质”的充要条件. 21.（1）不具有；（2），；（3）详见解析. 【解析】（1）因为是严格递增函数，当时，则 满足； 当时，则，即，不满足；当然异号时也可以同样 得到反例；综上，函数不具有“性质”； （2）若，显然满足；若则必须严格递减函数, 则a；若，则必须，且， 即对于任意的与互为等价命题，则，； （3） 充分条件：∵ 在 上严格单调增，∴ 且 ， 恒有 ，其中，∵ 是偶函数 ∴ 在 上严格单调减， ∴ 且 ，恒有 ，其中， ，即 ，恒有 ，其中， ∵ 的值域为 ，结合偶函数的对称性可知： 在和的取值范围均为，令，当时，整理得， 结合在严格单调增可得： ，其中； 同理，当 时，∴ ，其中， 综上， ，当 时，恒有，若 是偶函数，则 符合“性质”； 必要条件：∵ 符合性质 ，当时，，对于，恒有， 即，即，∵的值域为，∵在上严格单调增， ∴且，恒有，对于 且 ， 则有符合性质，∴ 在 上严格单调减， 假设 恒成立，∵ 符合性质 当 时， 必有 ，与假设矛盾，∴ 不存在 使得， 恒成立， 同理可证不存在 使得， 恒成立，若不是偶函数， 则，使得，假设， ∴，使得，而，与性质矛盾，∴ 是偶函数. / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海高考真题重组卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年上海高考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（填空题、选择题 共72分） 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. （2025·上海秋季高考真题）已知全集，集合， 则 . 2．（2025·上海春季高考真题）不等式的解集为 . 3．（2026·上海春季高考真题）已知向量，，若∥，则 4.（2025·上海春季高考真题）已知，则 . 5．（2026·上海春季高考真题）的二项展开式中，的系数为 . 6. （2025·上海秋季高考真题）已知随机变量X的分布为，则X的期望 . 7．（2025·上海春季高考真题）已知是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为（）的等比数列；若数列的前三项和为2，则 . 8. （热点）（2025·上海秋季高考真题）有4位家长带2位儿童去爬山. 6个人需要排成一条队列， 要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 9．（热点）（2026·上海春季高考真题）已知，，的最小值等于（） 的最小值，则 . 10．（热点）（2026·上海春季高考真题）△ABC中，，，与的夹角为，则的最大值为 . 11．（热点）（2025·上海春季高考真题）如图所示，正方形是一块边长为4的工程用料， 阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分， ；工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料， 当其面积有最大值时，的长为 (精确到0.1) 12．（新情境）（2025·上海春季高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足， 向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（新情境）（2025·上海春季高考真题）如图，是正四棱台， 则下列各组直线中，属于异面直线的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．（新情境）（2025·上海春季高考真题）已知四边形，对于其四边AB、BC、CD、DA， 按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币； 如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去； 最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（ ） A． B． C． D． 15．（新情境）（2026·上海春季高考真题）平面直角坐标系xOy中，存在点集，对任意点， 过点作直线轴，且为一条线段，将所有这些线段沿方向平移，使得这些线段中点均位于 轴上，这样的操作称为对点集对称化处理；已知是、、、 围成的封闭区域，则将对称化处理后所得的图像为（ ） A．   B．   C．   D．  16.（新情境）（2024·上海春季高考真题）若函数（，）满足， 则称函数为延展函数;已知延展函数和函数，满足当时，，. 给定以下两个命题： ① 存在函数（、，）与有无穷多个交点； ② 存在函数（、，）与有无穷多个交点. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 第二部分（解答题 共78分） 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（新情境）（2026·上海春季高考真题）在正四棱台中，，. （1）若，求与平面所成角的大小； （2）求证：∥平面，若正四棱台的高为3，求三棱锥的体积． 18．（改编题）（2026·上海春季高考真题）已知函数（，）. （1）若，，求在处的切线方程；（2）若的最小正周期为， 方程在区间上恰好有1351个解，求的取值范围. 19. （改编题）（2024·上海春季高考真题）共有136箱水果，其中一级果102箱，二级果34箱. （1）从中随机挑出两箱水果，则一级果、二级果各一箱的概率； （2）按分层抽样抽出8箱水果，求一级果、二级果各几箱；（3）抽出若干箱水果，其中，一级果120个， 单果的平均重量为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果的平均重量为240.41克，方差为648.21； 求168个水果的平均数与方差，并预估果园中水果的单果质量. 20. （热点）（2024·上海春季高考真题） 在平面直角坐标系中，已知曲线（），点、分别为上不同的两点，设点． （1）求所在椭圆的离心率；（2）若，点在轴上，点到直线的距离为， 求点的坐标；（3）是否存在，使得△TPQ是以点为直角顶点的等腰直角三角形？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. （热点）（2026·上海春季高考真题）已知是定义在上的函数，若对任意、， 当时，成立，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”；（2）若函数具有“性质”， 求所有满足条件的实数、；（3）若的值域为，且在上是严格增函数， 证明：“函数为偶函数”是“函数具有性质”的充要条件. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $