数学（北京卷03）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

**基本信息** 2026年高考数学考前模拟卷，通过热点函数比较、生物种群增长模型等新情境，考查数学抽象、运算推理与模型意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、复数、直线与椭圆|第5题结合热点考查函数性质| |填空题|5/25|抛物线、导数、平面向量|第13题新情境向量问题考最值| |解答题|6/85|解三角形、立体几何、概率统计|第18题调查情境考概率分布，第21题数集性质探究创新应用|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，复数的虚部为（   ） A． B．3i C．3 D． 3．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（热点）已知是函数图象上两个不同的点，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 8．（新情境）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 9．（新情境）已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 10．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为________． 12．若函数在处的切线与直线垂直，则________． 13．（新情境）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足.（1）当与共线时，_____；（2）的最小值是_____. 14．已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______． 15．如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论： ①点在上； ②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数； ③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点； ④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）在中，分别为角的对边，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17．（13分）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 18．（新情境）（14分）有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． (1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； (2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； (3)若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）． 19．（15分）已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程及短轴长； (2)设为椭圆上一动点，若，求的面积及点纵坐标； (3)若椭圆上存在一定点和两动点（异于点）且关于原点对称.试判断直线与直线斜率乘积是否为定值，并说明理由. 20．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 21．（15分）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C B C B B B C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12．0 13．1或3 14． 15．①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（13分） 【解】（1）在中，，所以，所以， 所以，又， 所以，所以；…………6分 （2）选择条件①：为锐角， 由（1）， 由余弦定理有：， 所以，即， 解得或，…………10分 当时，，所以为钝角，不满足题意， 当时，，所以为锐角，满足题意， 综上，满足条件的存在且唯一确定， 所以；…………13分 选择条件②：， 由（1）， 所以为钝角，且唯一，满足题意， 所以， 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 所以，即， 解得或，…………10分 当时，，所以为钝角，满足题意， 当时，，所以为锐角，不满足题意， 综上，满足条件的存在且唯一确定， 所以；…………13分 条件③：， 由（1）， 所以，由正弦定理得，所以， 所以，…………10分 由正弦定理得， 又， 所以.…………13分 17．（13分） 【解】（1）取中点，连接，如下图：    在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 且，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面.…………4分 （2）以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 由题得：，如下图：    设平面的法向量为，，，则有，即，令，则； 平面的法向量为， 则两平面夹角满足，所以， 故平面与平面所成角为.…………10分 （3）由题得，点到平面的距离为. 故点到平面的距离为.…………13分 18．（14分） 【解】（1）甲班随机抽取人，甲班有人答对， 甲班随机抽取1人答对该题目的概率为．………3分 （2）从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为， ， 的可能取值为： ，， ， 分布列为： X 0 1 2 P 期望为： ．………9分 （3）设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，， ，解得； ，解得， ， ．………14分 19．（15分） 【解】（1）依题意，，离心率，解得，所以； 所以椭圆的标准方程为，短轴长为；………4分 （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 所以，所以； 又，解得， 所以的面积为； 又，解得； 综上，的面积为；点纵坐标为；………9分 （3）依题意，设，则， 又，所以直线的斜率为，直线的斜率为； 又在椭圆上，所以， 两式作差得，所以； 所以，即直线与直线斜率乘积为定值.………15分 20．（15分） 【解】（1）当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即.………3分 （2）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.………9分 （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即.………15分 21．（15分） 【解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质．……2分 （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，，，，∴， 即，，，， 累加得， 化简得．……5分 （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以易知数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是．……13分 （4）……15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5[A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8[A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14.____________________ 15． ____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，复数的虚部为（   ） A． B．3i C．3 D． 3．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（热点）已知是函数图象上两个不同的点，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 8．（新情境）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 9．（新情境）已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 10．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为________． 12．若函数在处的切线与直线垂直，则________． 13．（新情境）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足.（1）当与共线时，_____；（2）的最小值是_____. 14．已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______． 15．如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论： ①点在上； ②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数； ③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点； ④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）在中，分别为角的对边，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17．（13分）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 18．（新情境）（14分）有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． (1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； (2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； (3)若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）． 19．（15分）已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程及短轴长； (2)设为椭圆上一动点，若，求的面积及点纵坐标； (3)若椭圆上存在一定点和两动点（异于点）且关于原点对称.试判断直线与直线斜率乘积是否为定值，并说明理由. 20．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 21．（15分）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得：或， 解得或，， 由，解得：， ， ， 即. 故选：B 2．已知复数，复数的虚部为（   ） A． B．3i C．3 D． 【答案】D 【详解】. 所以复数的虚部为. 故选：D. 3．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 4．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】， 令，则， 令，则， ． 故选：C． 5．（热点）已知是函数图象上两个不同的点，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由均值不等式，，又，故，故A错误，B正确； 取，此时； 取，此时，故C和D错误. 故选：B. 6．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆左焦点为，连接，    由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C 7．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【详解】因为， 所以 故选：B. 8．（新情境）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. 9．（新情境）已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【详解】因为在处取到最小值，所以， 所以，所以， 又，所以. 当，所以， 又因为在区间上存在极大值，所以, 所以，所以，即，解得， 所以且， 当时，，所以的最小整数解是8. 故选：B. 10．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平面直角坐标系中，因为，，所以，所以， 设， 则 因为， 所以，所以， 则的取值范围是. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    12．若函数在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】0 【详解】由题设，又在处的切线与直线垂直， 所以切线斜率为2，则，可得. 13．（新情境）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足.（1）当与共线时，_____；（2）的最小值是_____. 【答案】 1或3 【详解】（1）当与共线时，设， 因为向量满足， 所以，即，解得或， 所以或，即或3. （2）设，，以O为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系， 则，令，则，， 由，或或， 得点在以为圆心，1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线，上， 则的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心到直线的距离减去半径，不妨以为例， 则的最小值为 故答案为：1或3；. 14．已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 所以，. 有三个零点，即方程有三个不同的解， 因为， 当时，检验知，不符合题意； 所以在上有一个解，在上有两个不同的解， 即且，，所以，解得：. 故答案为：；. 15．如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论： ①点在上； ②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数； ③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点； ④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【详解】对于①，将点代入到曲线方程中得，，所以点在曲线上，故①正确. 对于③，当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则是的极小值点，故③正确. 对于②，由③可知，，则以为切点的切线方程为 ，即， 将切线方程代入到曲线方程中得， ，即， 显然是方程的根，所以， 解得或，故②错误. 对于④，设的解为， 则当，单调递增； 当时，单调递减， 又， ， ， 所以， 设曲线上的点，则， 到原点的距离为， 由可得， 令，则， 令，因为，所以取， 当 时，单调递增； 当时，单调递减， 又， 所以当时，，则，故④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）在中，分别为角的对边，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）在中，，所以，所以， 所以，又， 所以，所以； （2）选择条件①：为锐角， 由（1）， 由余弦定理有：， 所以，即， 解得或， 当时，，所以为钝角，不满足题意， 当时，，所以为锐角，满足题意， 综上，满足条件的存在且唯一确定， 所以； 选择条件②：， 由（1）， 所以为钝角，且唯一，满足题意， 所以， 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 所以，即， 解得或， 当时，，所以为钝角，满足题意， 当时，，所以为锐角，不满足题意， 综上，满足条件的存在且唯一确定， 所以； 条件③：， 由（1）， 所以，由正弦定理得，所以， 所以， 由正弦定理得， 又， 所以. 17．（13分）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)见详解；(2)；(3) 【详解】（1）取中点，连接，如下图：    在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 在中，点分别为的中点，所以，且平面，平面，所以平面， 且，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 由题得：，如下图：    设平面的法向量为，，，则有，即，令，则； 平面的法向量为， 则两平面夹角满足，所以， 故平面与平面所成角为. （3）由题得，点到平面的距离为. 故点到平面的距离为. 18．（新情境）（14分）有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． (1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； (2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； (3)若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）． 【答案】(1)(2)的分布列见解析，(3) 【详解】（1）甲班随机抽取人，甲班有人答对， 甲班随机抽取1人答对该题目的概率为． （2）从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为， ， 的可能取值为： ，， ， 分布列为： X 0 1 2 P 期望为： ． （3）设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，， ，解得； ，解得， ， ． 19．（15分）已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程及短轴长； (2)设为椭圆上一动点，若，求的面积及点纵坐标； (3)若椭圆上存在一定点和两动点（异于点）且关于原点对称.试判断直线与直线斜率乘积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1)，(2)，(3)直线与直线斜率乘积为定值 【详解】（1）依题意，，离心率，解得，所以； 所以椭圆的标准方程为，短轴长为； （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 所以，所以； 又，解得， 所以的面积为； 又，解得； 综上，的面积为；点纵坐标为； （3）依题意，设，则， 又，所以直线的斜率为，直线的斜率为； 又在椭圆上，所以， 两式作差得，所以； 所以，即直线与直线斜率乘积为定值. 20．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析； 【详解】（1）当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即. 21．（15分）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. (4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式. 【答案】(1)不具有，具有，理由见解析(2)证明见解析(3)75(4)答案见解析 【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质． （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，，，，∴， 即，，，， 累加得， 化简得． （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以易知数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是． （4） / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 肖 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1 [A][B][C][D] 6[AB][C][D] 2 [A][B][C][D] 7[AB][C][D] 3[AB][C][D] 8[A][B][CD] 戡 4[AB][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A]B][CD] 10[A]B][CD] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 舸 茶 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) E B 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目 数学第6页（共6页）