2026届高考数学百分练（二）（7+2+2+3）

**基本信息** 2026年高考数学百分卷（二）以7+2+2+3结构聚焦三角、数列等高频考点，融入春晚“豆包”大模型调查、古民居方斗容积计算等真实情境，适配三轮冲刺实战需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|7/35|复数、集合、函数性质、数列、立体几何|基础概念与数学眼光结合，如向量网格问题考查几何直观| |多选题|2/12|圆的公切线、解三角形|多选项设计体现数学思维严谨性，如锐角三角形边长范围分析| |填空题|2/10|函数奇偶性、抛物线焦点弦|简洁考查数学语言表达，如奇函数求值、焦点弦长计算| |解答题|3/43|概率统计（列联表）、数列（通项与求和）、立体几何（线面平行与线面角）|综合应用数学语言与思维，如“豆包”调查的分布列及期望、正四棱台动点线面角最值探究|

2026年高考数学·百分卷（二） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则z＝（  ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 3．已知，，则（  ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（  ） A．13 B．15 C．17 D．19 5．如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（  ） A． B． C． D． 6. 曲线在点处的切线方程是（  ） A. B. C. D. 7．在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台.经实测，该方斗的上口边长为，下口边长为，侧棱长为，若忽略该方斗的厚度，则这个方斗的容积为（  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．圆与圆的公切线的交点坐标可以是（  ） A． B． C． D． 9．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（  ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10．已知函数为奇函数，当时，，则_________. 11. 过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则_________. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．2026年马年春晚是大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 400 600 超过50岁 300 合计 1000 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联； （2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 13 已知与为公差相同的等差数列，且，. （1）求与的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：. 14. 如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学·百分卷（二） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则z＝（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 2．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解不等式，即解得或，即，则. 3．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（  ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，解得， 故. 5．如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设与方向相同的单位向量分别为，则，故，由于，故. 6. 曲线在点处的切线方程是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以 ，又，，则所求切线方程为. 7．在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台.经实测，该方斗的上口边长为，下口边长为，侧棱长为，若忽略该方斗的厚度，则这个方斗的容积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画出该正四棱台的直观图，如图所示， 易得，，过作，垂足为，则即为该正四棱台的高， ，， 则这个方斗的容积. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．圆与圆的公切线的交点坐标可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】如图，作出符合题意的图形， 由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切，所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为，由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为，由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以；两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 9．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（  ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 【答案】ABD 【解析】对于A：因为，所以或，又， 故，若，又，则，与矛盾，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由正弦定理将上述等式化简为， 根据余弦定理代入可得，将代入得，解得或（舍），故B正确； 对于C：由选项A可知，所以， 又，因为为锐角三角形， 所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理及得， 所以， 又， 所以，又， 所以， 即，又，所以为锐角，可得， 所以，所以，所以，故D正确． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10．已知函数为奇函数，当时，，则_________. 【答案】 【解析】由函数为奇函数，得：，令，得：， ，又因为当时，，得，因此. 11. 过抛物线的焦点，且斜率为1的直线交于两点，则_________. 【答案】 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以直线的方程为，与抛物线方程联立，得， ，设，， . 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．2026年马年春晚是大模型与节目结合最多的一场春晚，其中大模型“豆包”贯穿整场晚会．为了了解人们对大模型“豆包”应用的关注程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下列联表： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 400 600 超过50岁 300 合计 1000 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对大模型“豆包”应用的关注程度是否与年龄有关联； （2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人，从这6人中随机抽取2人做进一步的访谈，记抽到的2人中关注“豆包”应用的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）（1）补全的列联表如下： 年龄 “豆包”应用 合计 不关注 关注 不超过50岁 200 400 600 超过50岁 300 100 400 合计 500 500 1000 零假设为：人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄无关. 根据表中数据，计算得到． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立， 即认为人们对大模型“豆包”应用的关注程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）从不超过50岁的调查者中按比例分配的分层随机抽样抽取6人， 则关注“豆包”应用的有人，不关注“豆包”应用的有人， 则的所有可能取值为0，1，2， 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 13 已知与为公差相同的等差数列，且，. （1）求与的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：. 【解析】（1）设，则，，， 由题意可得，解得， 则的首项为3，公差为2，的首项为1，公差为2， 故，. （2）由（1）得，， 故， 则， 故. 14. 如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值. 【解析】（1）由题意得，点是正方形的中心，所以平面. ∵平面，∴.∵正方形中，， 平面，∴平面PAC. ∵四边形中，∥， ∴四边形是平行四边形，∴∥，.∴平面. （2）∵平面，平面，∴. ∵，∴两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意知，， ∴，. ∴， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则， ∴平面的一个法向量为. 设，则. 记与平面所成的角为，则. 由，得，所以，∴， ∴的最大值为，此时，点与的中点重合. 学科网（北京）股份有限公司 $