甘肃渭源县第二中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期中试卷立足基础，通过解三角形、概率统计（苏超联赛调查）、立体几何（面面垂直证明）、解析几何（双曲线综合）及导数应用等综合性大题，考查数学思维与问题解决能力，适配学段核心素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数、数列、向量等基础内容|注重概念理解，如向量模的最小值求解| |多选题|3/18|立体几何、解三角形、三角函数性质|强调多维度辨析，如三棱锥体积与外接球表面积最值| |填空题|3/15|导数几何意义、三角恒等变换、轨迹方程|融合几何与代数，如曲线切线与圆相切问题| |解答题|5/77|解三角形、概率统计（独立性检验）、立体几何（点面距离）、双曲线、导数（单调性与零点）|突出综合应用，如双曲线中直线方程求解及导数零点个数判断，体现数学语言表达现实问题的能力|

参考答案 题号 1 2 4 5 6 2 8 9 10 答案 C A B A ABC ABD 题号 11 答案 BCD 12.1 13.3×22026-1. 3 15,1）由正弦定理可得C2R=4,所以n∠4CB-255。 AB 4 2 又因为0c∠8C4<,所以∠BC1=写或∠C1=号 3 (2)若LBCA为锐角，由(1)可知∠ACB= 3, 由正弦定理可得AC=2 R sin B=4sinB,BC=2 R sin A=4sinA, C+BC=4sin B+4sin 4=4sin B+4sin(B+C)=4sin B+4sinB+ 3 isin cococoi c =45(m8au名+coin君-45sm8+周引】 6/ ,所以<B+<5 因为0<B<2r, 66 所以对8+君s1,所以25<45sma+}45. 所以2V5<AC+BC≤45，所以4V5<AC+BC+AB≤6W5, 所以ABC周长的取值范围为4V5,6W5 16.(1)假设H。:关注“苏超”赛事与性别无关， 依题意x2=300×(25×75-50x1502_180 7 25.714>10.828， 75×225×125×175 则假设H。不成立，即有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关 (2)由题意可得，关注赛事的市民中男女比例为2：1， 所以6人中抽取男性市民6号4人，女性市民6x兮2人， 则X的取值为0,1,2， 答案第1页，共2页 pX=0)=CC-4-1 C2051 pX=)=CC=123 C205' x=2)-cC=4=} Cg205' 分布列如下表所示： X 0 1 p 1-5 3-5 3 所以E(X)=0x写+1×亏+2×51. 5 17.(1)取CD中点G,连接EG,:EC=ED,.EG⊥CD E D A G B 又：平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD, EG⊥平面ABCD, 又：PA⊥平面ABCD,PA∥EG, :PAE平面ECD,EGc平面ECD,:PAI∥平面ECD. (2)过E作EH⊥平面ABCD于点H,过H作HR⊥CD于点R,连接ER则ER⊥CD,R为 CD的中点，且∠ERH=60°，ER=√5-1=2， HR=1,EH=√3，如图建系 答案第1页，共2页 D P0,0,5,E1,l5,C(2,2,0,D(0,2,0 .PE=(1l,0),EC=1,l-5),CD=(-2,0,0) 设平面ECD的一个法向量i=(x,y,z,P到面ECD的距离为h .x+y-3z=0→i=(0,5,小，∴h= 呢列3 -2x=0 元2 18.()过右焦点F且与x轴垂直的直线为：=，代入双曲线方程得y=± a 依题意有2沙-6，又由离心率为2，得V+ 2 =2,联立得a2=1,b2=3, a 所以曲线E的方程为x产-”=1 3 (2)设B(x,y),C(x2,y2),由(1)得c=2,所以F(2,0),因为AB关于原点对称， 所以5m=25.x=2×0F-为=2y-小，可知直线BC的斜幸不能为0 x2、y2 =1 3 (否则ABC不存在)，故可设其方程为x=ty+2,与双曲线方程联立 x=y+2 整理得（312-1y2+12y+9=0,可得3t2-1≠0且△=1442-36(312-1=3612+36>0， 12t 9 以及y+%=3-水3-所以 9版=2-为=2V+为P-4=26中1-12， 32-1 解得1=±5或0，所以直线BC的方程为3x-y-6=0或3x+Vy-6=0或x=2. 3 答案第1页，共2页 (3)若直线1斜率不存在，则直线1与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线1方程为-2=x》 与双曲线方程联立 -2 整理得3-)x+(k2-4)x-2-2k+7=0,设P5,0, 则有3-20且A=-9-24k+84>0,以及5+=>0,5 1k2-2k+7 k2-3 k2-3 >0 其中时-2法+7--4+3>0，所以-3>0，结合其宫不等式解符-<k<5, 1 设5由GP0ePm0符，中子三， 1x2-x0 变形得到4-2+1x+)+2x,=0,将x+ k2-4k 2-3西=4 2-2k+7代入， k2-3 得-0代入2-n装@ 1】 4k-3 解法一： 由①有k=3。-14 4-2@,代入②得到%=36④，再7DP+17FP=13 4 得(x-1)2++(x,-2)2+后=13，将④代入，整理得25x-84x-28=0, 解得5-42±5任.再由@可得k=引56±515网. 25 国为56+53网到>0，新6-5i网>56-5x1=音>5. 所以不存在满足条件的点T 解法二： 答案第1页，共2页 由m+18得-++-2+以=15+-空 将①②代入该方程得到 2-143+9k+12 25 4k-326-8k =4 整理得(8k+19)2+(9k+12)2=25(4k-3)2,即51k2-224k-56=0, 112 令f)=51k2-224k-56,则f在区间-0,51 上单调递减， 又f(5)=97+2245>0,放当-14<k<-5时，)>0恒成立， 3 即方程51-24-56=0在（子同）内无择。 所以不存在满足条件的点T 19.1)定义域：(-o,0),川y=ar-x+ x a≥0， X (-0,-1) -1 (-1,0) 0 + f(x)在[-1,0)上单调递增，在(-0，-1刂上单调递减 a<0, ①-1<a<0, a ,0 (-1,0) 0 0 fx)在←，【P山，0)上单调递增，在日，-上单调递减； ②a=-1,了=-+，因为<0，所以了川≥0，f国在(，0)上单调递塔： ③a<-1, 答案第1页，共2页 t (-0,-1) -1 1 0 0 f(x)在(-0，-，[，0)上单调递增，在-1，与上单调递减 (2)由(1)得，如果a≤-1，f(x)在(-0，-1]上单调递增， 当x≤-1时，f(x)≤f(-l), 因为f(-1)=1,所以f(x)≤1成立： 当a≥0，f(x)在(-0，-1]上单调递减，所以存在xe(-0,-l,f(x)>f(-1)=1;不符合， 当-1<a<0，f)在(o之上单调递增，在日，-刂上单调递减： 所以存在x,-,fx)>f-1)=1,不符合， 综上，a的取值范围是(-0，-1]； (3)由(1)得，若-2<a<-1,f(x)在(0，-1，，0)上单调递增，在[-1，与上单调递 减 因为-2<a<-1, 当x=-e2, f-e）=-e2+1-(-e)-ln(e)=g1-e2+e2-2 e小-小2 因为-<a1,号-1>1，所以信小1<0， m号-小-0 所以f-e2）<0, 又f(-1)=1>0,且f(x)在(-0，-1]上单调递增， 所以存在x∈(-e2,-1),使f(x)=0. 答案第1页，共2页 又因为f-心+2a-1+Mo, _2a 当-2<a<-1时，a2+2a-1<0,即心+2a->0,n(-a>0,所以f白>0 2a 因为∫(x)在[-1，]上单调递减，二，0)上单调递增， 所以当x≥-1时，f(x)>0. 综上，f(x)有且只有一个零点 答案第1页，共2页 2025-2026年第二学期甘肃省渭源县渭源二中期中考试数学试卷学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高二 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．在数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．已知向量，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的（横坐标不变） 6．设，，，则（　　） A． B． C． D． 7．某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．15种 8．如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（   ）   A． B．4 C．8 D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（    ） A．平面 B． C．三棱锥体积的最小值为 D．三棱锥外接球表面积的最小值为 10．记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形D．当为锐角三角形，且时， 11．设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________． 13．若，则___________． 14．已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 四、解答题（5个小题，共77分） 15（13分）．已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 16（15分）．为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 附：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17（15分）．在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，． (1)如图1，当面面时，证明：面； (2)如图2，当二面角为时，求点到面的距离． 18（17分）．已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 19（17分）．已知函数，其中为实数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试判断的零点个数 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $