专题四 三线合一的应用技巧&专题五 等腰三角形中的分类讨论-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

45 专题四“三线合一”的应用技巧 1.如图，点D,E在△ABC的边AB上，CA=CB,CD=CE.求证：AD=BE. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证：AE=AF. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC边上一点，DE∥AB.交AC于点E,连接DE,过点E作 EF⊥BC于点F.求证：F为线段CD的中点. D 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接 EF并延长交BC于点G,且AE=AF.判断EG与BC的位置关系，并说明理由. 5.如图，在△ABC中，BA=BC,点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E,DF⊥BC交AC于 点F (1)若∠AFD=160°，则∠A= (2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD=2∠B. 46 专题五等腰三角形中的分类讨论 类型1针对腰长和底边长进行分类讨论 1.已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是 A.14 B.23 C.19 D.19或23 2.若实数x,y满足x一5十√Jy一10=0，则以x,y的值为边长的等腰三角形的周长为 类型2针对顶角和底角进行分类讨论 3.若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为 4.若等腰三角形的一个角为110°，则顶角为 5.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为 类型3当高的位置不确定时，分类讨论 6.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则这个等腰三角形的底角的度数为 类型4腰上的中线引起的分类讨论 7.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为差为3cm的两部分，求该等腰三角形的 周长 类型5当腰有垂直平分线与另一腰所在的直线的交点位置不确定时，分类讨论 8.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的大小. 类型6等腰三角形存在性问题中，因点的位置不确定引起分类讨论 9.平面直角坐标系中，已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为 等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 ( A.5 B.6 C.7 D.8明略。 即∠ACD=∠BCF. 实际应用：B(1,4) .BC=AC,CD=CF, 章末核心考点与素养提升 ∴.△ACD≌△BCF, 1.D2.C ∴AD=BF,∠BAC=∠FBC, 3.先证明∠ABE=∠BAD=135°， ∴.∠ABF=∠ABC+∠FBC= 再证明△ABE≌△BAD(SAS), ∠ABC+∠BAC=90°，即BF 可得∠D=∠E,再利用AAS证 ⊥AD. △OBE2△OAD. 第十五章轴对称 4.B 15.1图形的轴对称 5.(1)证明：连接AD, 15.1.1轴对称及其性质 在△ABD与△ACD中 1.A2.甲、乙、丙、丁丁3.90° (AB=AC 4.(1)B和D,C和E,A和A,F和 BD-CD F(任写两对即可). AD-AD (2)AC=AE,AB=AD,BC= ∴.△ABD≌△ACD(SSS) DE,BF-DF,CF-EF. ∠B=∠C: (3)△AFB和△AFD,△AEF (2)∠B+∠C+∠BAC+∠BDC 和△ACF. =360°且∠B=∠C 5.12:506.10 ∠B=360°-120°-80 =80° 7.(1)100° (2)由轴对称性质可知，GO=HO 6.C7.①②③ =PO, 8.(1)证明：∠BAE=∠CAD, ,OP=5,∴.GO=HO=5, ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD ,GH=10,.G、O、H三点共线， ∠DAE,即∠BAD=∠CAE, .∠G0H=180°， 在△ABD和△ACE中， ∴.∠MON=90° (AB-AC 15.1.2线段的垂直平分线 ∠BAD=∠CAE, 1.B2.B3.B AD-AE 4.与线段两个端点距离相等的点在 ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 这条线段的垂直平分线上 (2),△ABD≌△ACE,∠ABD 5.,AD是△ABC的角平分线，DE =20°， ⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠ACE=∠ABD=20°， ..DE=DF, ∠BAC=82°， ∴.点D在EF的垂直平分线上， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-82 在Rt△ADE和Rt△ADF中， =98°， LAD-AD ∴.∠FBC+∠FCB=∠ABC+ DE=DF ∠ACB-(∠ACE+∠ABD) ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), =58°， ∴.AE=AF, .∠BFC=180°-（∠FBC+ ∴点A在EF的垂直平分线上， ∠FCB)=122°. .AD垂直平分EF. 9.35 6.连接AB,作线段AB的垂直平分 10.(1)证明：，DE⊥AB于E,DF 线，与直线1的交点即为所求的 LAC于F, 点，图略. ∴.∠E=∠DF℃=90°， 7.4个图形对称轴的条数分别为： ∴.△BDE与△CDF均为直角 一条、两条、两条、四条，图略. 三角形 8.图略.9.D10.B11.7 0-C0 12.(1)图略； (2).DE垂直平分BC, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴EB=EC, ∴.DE=DF,即AD平分∠BAC; ∴.∠EBC=∠C=32°， (2)AB+AC=2AE :BE平分∠ABC, 11.(1)垂直相等 ∴.∠ABC=2∠EBC=64°， (2)成立.理由如下： :∠A+∠ABC+∠C=180°， CD⊥EF,∴.∠DCF=90 ∴.∠A=84°. ∠ACB=90°， 13.(1)结论：CF=AD.理由： ∴.∠DCF+∠BCD=∠ACB :AD∥BC, +∠BCD, ∴.∠ADC=∠ECF, 55 ,E是CD的中点， ∴.∠DAC=∠C=∠ABC= .DE=EC, 2∠D. ,在△ADE与△FCE中， 12.(1)①.AD=AE, '∠ADE=∠FCE .∠AED=∠ADE=70°， ED=EC ∠DAE=40°， ∠AED=∠FEC 又.AB=AC,∠ABC=60°， ∴.△ADE≌△FCE(ASA). ∴.∠BAC=∠C=∠ABC=60°， (2)证明：由(1)知△ADE .a=∠BAC-∠DAE=60° ≌△FCE, 40°=20°， AE=EF,,BE⊥AF B=∠AED-∠C=70°-60° ∴BE是线段AF的垂直平分线， =10°； ∴AB=BF=BC+CF, ②AB=AC,AD=AE, 即AB=BC+AD. ∴.∠B=∠C,∠ADE=∠AED, 15.2画轴对称的图形 ,∠ADC=∠B+a,∴.∠ADE 第1课时作轴对称图形 +B=∠B+a, 1.图略.2.图略.3.C4.5 又∠AED=∠C+B, 5.图略. ∠C+B+B-∠B+a, 第2课时用坐标表示轴对称 .a=28. 1.A2.(-2,3)3.2-2 (2)a=23-180° 4.(1)图略； 第2课时等腰三角形的判定 (2)(3,3) (-1,-3)(0,4) 1.A2.B3.C (3)S=11 4.证明：AE∥BC,.∠2=∠C. 5.C6.B ∠1=∠B. 7.(1,-2)或(1,6)8.(3，-2) ,∠1=∠2，∴∠B=∠C.∴.AB 9.(1)图略； =AC.∴.△ABC是等腰三角形. (2)A2(-1,5),B2(-3,1),C2 5.△AEG是等腰三角形，理由略， (-1,3) 6.D7.C8.80海里9.1010. (3)△A1BC与△A2B,C2关于 8或5或2 直线x=一2对称，图略. 11.(1)由①②或①③可以判定 (4)(1,7)或(5,1)或(5,7) △ABC是等腰三角形； 15.3等腰三角形 (2)选①②判定△ABC是等腰 15.3.1等腰三角形 三角形，理由如下： 第1课时等腰三角形的性质 在△BOE和△COD中， 1.D2.D3.36°或90° ∠EBO=∠DCO,∠BOE= 4.在△ABE和△DCE中， ∠COD,BE=CD, ∠1=∠2 ∴.△BOE≌△COD(AAS), ∠AEB=∠DEC, ..OB=OC, AB-DC ∴.∠OBC=∠OCB, ∴.△ABE≌△DCE(AAS), ∴.∠OBC+∠EBO=∠OCB+ ∴BE=CE, ∠DCO,即∠ABC=∠ACB, ∴.∠EBC=∠ECB. .AB=AC,即△ABC是等腰三 5.B6.D 角形. 7.AB=AC,D是BC的中点， 12.(1)D(2)图略， .AD平分∠BAC, 微课堂 ,∠BAC=50°. 1.162.63.等腰 :∠DAE=2∠BAC-25 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 DE⊥AC,.∠AED=90 1.C2.B3.90° .∠ADE=90°-∠DAE=90° 4.△ABC是等边三角形，BD平 25°=65° 分∠ABC, 8.A9.3710.15 ∴.∠BCA=60°，∠DBC=30°， 11..AD∥BC, .CD=CE, ∴.∠DAC=∠C,∠D=∠DBC, ∠CDE=∠E, ,AB=AC,.∠C=∠ABC, ∴.∠BCA=∠CDE+∠E=2∠E ,AB=AD,∠D=∠ABD, =60°， ∴.∠ABC=∠ABD+∠DBC= .∠E=30°， ∠D+∠D=2∠D. ∴.∠DBC=∠E=30°， 56 ∴.DB=DE ..ED=EC. 5.D6.B 第2课时含30°角的直角 7.:DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别 三角形的性质 为点E,F, 1.B2.23.1cm .∠AED=∠CFD=90°， 4.在△ABC中， ,D为AC的中点， ∠ACB=90°，∠A=30°， ..AD=DC, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴BC-号AB,∠B=60. (AD=DC 又△BCD中，CD⊥AB DE-DF ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ÷∠BCD=30.∴BD=号BC ∠A=∠C, .BA=BC,.'AB=AC, BD=子AB,即AB=4BD, ∴.AB=BC=AC, 5.3 ∴.△ABC是等边三角形 6.过点P作PC⊥MN于点C,易求 8.C9.C10.60 OC=1 11.(1)△ODE是等边三角形.理由 2 OP 6,MC CN= 如下： ,△ABC是等边三角形， 2MN-1.从而OM=0x-MC ∴.∠ABC=∠ACB=60°； =5. ,OD∥AB,OE∥AC, 7.(1).∠PAB=90°-75°=15°， ∴.∠ODE=∠ABC=60°， .∠APB=180°-15°-90°-60 ∠OED=∠ACB=60°， =15°. ∴.△ODE为等边三角形： ∴.∠PAB=∠APB..BP=AB (2).OB平分∠ABC,OD∥AB, =7海里. .∠ABO=∠DOB, (2)过点P作PD⊥AB于点D. ∠ABO=∠DBO, .∠PBD=90°-60°=30°， ∴.∠DOB=∠DBO, ∠PDB=90°， ∴.BD=OD: PD=PB=35海里 同理可证CE=OE; .△ODE的周长=BC=10. 3.5>3, 12.(1)在等边△ABC中， ∴该轮船继续向东航行，没有触 AB=BC=AC, 礁的危险 .∠ABC=∠ACB=∠A=60°， 专题四“三线合一”的应用技巧 .AE=EB=BD, 1.作CH⊥AB于H, 1 ,AC=BC,CH⊥AB, ∴.∠ECB= ∠ACB=30°， .'.AH=BH. ,CD=CE,CH⊥ED, ∠EDB=∠DEB= ∠ABC .'DH=EH. =30°. .'.AD=BE. ∴.∠EDB=∠ECB, 2..AB=AC,BD=CD, .'EC=ED; ∴∠1=∠2. (2).EF∥BC, ,DE⊥AB,DF⊥AC, .∠AEF=∠ABC=60°， .∠AED=∠AFD=90°. ∠AFE=∠ACB=60°， 在△ADE和△ADF中， ∴.△AEF为等边三角形； ∠1=-∠2 (3)EC=ED; ∠AED=∠AFD, 理由：，∠AFE=∠ACB=60°， AD-AD .∠EFC=∠DBE=120°， ∴.△ADE≌△ADF(AAS) .AB=AC,AE=AF, ..AE=AF. .AB-AE=AC-AF,即BE= 3..'AB=AC, FC, ∠B=∠C 在△DBE和△EFC中， DE∥AB, DB-=EF ∴.∠EDC=∠B. ∠DBE=∠EFC, .∠EDC=∠C, BE=FC ∴.ED=EC. ∴.△DBE≌△EFC(SAS), ,EF⊥BC 57 点F为线段CD的中点. AF=FC=- AC. ,∠ABD=∠FBD, 4.GE⊥BC,理由： BD=BD, .AB=AC,D为BC中点， .AC=2AB,∴.AF=AB. ∠ADB=∠FDB=90°， ∴.AD⊥BC,AD平分∠BAC, :AD平分∠BAC,.∠BAD .△ABD≌△FBD(ASA). ∠B=∠C, =∠CAD. .∠BAD=∠BFD. ∠BAD=∠CAD-Z∠BAC 在△ABE和△AFE中， ,∠BFD=∠CAD+∠C, AB=AF, ∴.∠BAD=∠CAD+∠C ,AE=AF,∴.∠E=∠AFE, ∠BAE=∠FAE, 3.(截长法)在BC上取点E使BE ,∠BAC=∠BAD+∠CAD= AE-AE, =BA,连DE, ∠AEF+∠AFE, '.△ABE≌△AFE(SAS). ,BD平分∠ABC, .∠AEF=∠BAD,.AD∥EG .∠ABE=∠AFE=90°. ∴.∠ABD=∠EBD, .∴.EG⊥BC. ∴.EB⊥AB. 在△ABD和△EBD中， 5.(1)70° 2.连接OC. (AB=EB (2)连接BF. :'AC=BC,∠ACB=90°，点O ∠ABD=∠EBD, :AB=BC,且点F是AC的 为AB的中点， BD-BD 中点， ∴.∠B=∠ACO=∠BCO=45°，CO ∴.△ABD≌△EBD(SAS), ∴.BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= ⊥AB. .∠BAC=∠BED=108°，AB 1 ∠ABC, ∴.OC=OB,∠COB=90° =EB, 又∠EOF=90°， .∠DEC=72°， ∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF ∴.∠EOC=∠FOB. .AB=AC, +∠BFD=90°， 在△EOC和△FOB中， .∠C=∠ABC=36°， .∠CFD=∠CBF, '∠EOC=∠FOB, .∠CDE=72°， ∴∠CFD=∠ABC OC=OB, ∴.∠CDE=∠CED=72°， ∠OCE=∠OBF, ∴.CD=CE, 专题五等腰三角形中的分类讨论 ∴.△EOC≌△FOB(ASA). 则BC=BE+EC=AB+CD; 1.D2.253.20°或80°4.110 ∴.OE=OF 专题八共顶点的等腰三角形 5.45或72°6.63或27 3.连接AD. 1.(1)利用SAS证△AEB≌△ACD. 7.设腰长为2xcm,由题意，得 :AB=AC,∠BAC=120°， (2)120 (2x+x)-(5+x)=3或(5+x) D为BC的中点， 2.(1)证△ABC与△DEF是等边 -(2x十x)=3, ∴.∠DAC= ∠BAC=60°， 三角形，再证△BEC≌△ADC 解得x=4或x=1, 2 (SAS)得BE=AD,AB=AE+ .2x=8或2. ∠ADC=90°. BE-AE+AD=AF; ①当三角形的三边长分别为8， ,DE⊥AC,.∠ADE=90°-60 (2)在AF上截取FM=AE,连接 8,5时，符合三角形三边关系； =30°. DM,由∠BAC=∠EDF知 ②当三角形的三边长分别为2， .AD=2AE=4. ∠AED=∠AFD,再证△AED≌ 2,5时， 又，∠C=90°-∠DAC=30°， △MFD(SAS)得AD=MD=AB 2+2<5, ∴.AC=2AD=8. =AC,∠ADE=∠MDF,从而得 不符合三角形三边关系. ∴.CE=AC-AE=8-2=6. ∠ADM=∠EDF=∠BAC,证 ∴该等腰三角形的周长为8十8 4.25.2 △ABC≌△DAM(SAS),得AM +5=21cm. 专题七构造等腰三角形 =BC,.AF=AM+MF=AE 8.①当AB的垂直平分线MN与 的常用方法 +BC. AC相交时，图略，则∠A=90° 1.过点D作DM∥AC交BC于 3.(1)证明：利用SAS证△ADB≌ 40°=50°. 点M. △AEC,得BD=CE; .AB=AC, ∴.∠DMB=∠ACB, (2)由(1)证∠ABD=∠ACE, ∠B=∠C=180°，∠A=65, ∠FDM=∠E .∠BFC=∠BAC=, 2 .'AB=AC, .∠DFC=180°-&. ②当AB的垂直平分线MN与 ∠B=∠ACB. 4.(1)证明：利用SAS证△ACE CA的延长线相交时，图略，则 .∠B=∠DMB. 2△BCD, ∠DAB=90°-40°=50° ∴.BD=MD. 得AE=BD: .AB=AC, BD=CE,∴.MD=CE. (2)由(1)证，∠CAE=∠CBD, ∴.∠B=∠C= 2∠DAB=25°. 在△DMF和△ECF中， 从而得∠AFB=∠ACB=60°； '∠MDF=∠E, (3)过点C作CM⊥AE,CNI 9.A ∠MFD=∠CFE, BD,垂足分别为M,N, 专题六特殊三角形中 MD=CE. 由S△CE=S△D,且AE=BD,得 常见辅助线的作法 ∴.△DMF≌△ECF(AAS). CM=CN,再利用角平分线的性 1.作EF⊥AC于点F. .DF-EF. 质得证； .EA=EC, 2.延长AD交BC于点F, (4)CF=EF+DF. 58 综合与实践最短路径问题 =16; 第2课时 单项式乘以多项式 1.B2.4≤CE≤73.略.4.D (2),2￥(2x+1)=64, 1.A2.D 5.C6.4 22X22+1=2,22+红+1=25， 3.(1)12a-18ab;(2)-6x2+ 7.作A关于BC和CD的对称点 3 A1,A2,连接A1A2,交BC于E, 2x+3=6,x= 18y;(3)-x3y-6xy+2x;(4) xy-2xy. 交CD于F,则A1A2即为△AEF 16.1.2幂的乘方与积的乘方 4.D5.D 的周长最小值.作DA延长线 第1课时幂的乘方 6.(1)-6x3y+4x2y AH,在四边形ABCD中，∠B= 1.A2.A3.C4.B5.b (2)2x3y2-4xy+2xy ∠D=90°，∠C=70°，.∠DAB 6.33729 7.C8.D =110°，在△AAA2中，∠A+ 7.(1)a2m4;(2)(x-y)12;(3) 9.(1)a3+3a;(2)4x3y+x2y. ∠A2=180°-110°=70°，由对称 -2a". 性质可知∠BAE=∠A1,∠DAF 8.B9.225 6由题意得日中合-0： =∠A2,∴.∠BAE+∠DAF= 10.(1)-8a2;(2)-3x6; 70°，∴.∠EAF=110°-70°=40°. (3)2x+5y-3=0,.2x+5y 舒得侣2. 章未核心考点与素养提升 =3,.4·32”=22x·25= 原式=3ab2-6a3-4a(ab)= 1.B2.113.(1)图略.(2)2.5 22+5=28=8. 3ab2-6a3-4ab2=-6a 4.C5.B6.C7.45 11.（1)x3·x+》=x3++8= -a56, 8.(1)图略. (x2")2=16. 当a=2,b=-1时，原式=-6 (2)连接AD, (2)9(x3")2-13(x2)2m=9(x2m)3 ×23-25×(-1)2=-48-32 :AB=AC,∠A=108°， -13(x2")2=9×43-13×42 =-80. ∴∠B=∠C=36°， =368. 由(1)得：AD=CD, 第2课时 积的乘方 1.(DS-ab+a(a+6) .∠DAC=∠C=36°， 1.D2.C3.C4.x28 5 ∴.∠ADB=∠DAC+∠C=72°， 5. +号a+a+6:h ∠BAD=∠BAC-∠DAC=108° 1 1 -36°=72°， 一2 6.B7.2.9791×10 ab+d+ab+ah+6 = .∠BAD=∠BDA, 8.(1)-27ab;(2)4×10; ∴AB=BD, (3)-48.x°. -+6+. ∴.△ABD是等腰三角形. 9.B10.18411.5×10 (2)将a=2cm,b=3cm代入原 9.D10.B11.612.30 12.(1)18x8;(2)8. 式得 13.(1)△BDC≌△AEC 13.(1)2+3·3+8=(2X3)+8 2+号×2X3+×3=号 2 (2)AE∥BC =6+3, 23.5cm. (3)成立 362=62r-2)」 证明：△ABC,△EDC为等边 .x+3=2(x-2),解得x=7. 12.(1)由愿意得：B=-专[(3 三角形， (2)6=(2×3)6=25×36= 3b)x2+(a+2)x+3y-10 ∴.BC=AC,DC=CE,∠BCA= (23)2×(32)3=mn3. ∠DCE=60°. (3x2+ax-3y+2)] 16.2整式的乘法 ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+ 第1课时单项式乘以单项式 =一 [(3-36)r+a+2)x+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE. 3y-10-3x2-ax+3y-2] 在△DBC和△EAC中， 1.C2.D3.9a 号6 BC=AC, ∠BCD=∠ACE, 4.)-4:(2号r. 号（-3动r+2x+6y-12 DC=EC, 5.3.6×10cm36.4.8×10 =br-景-2y+4: ∴.△DBC≌△EAC(SAS). ∴.∠EAC=∠B=60°. 7.ary(2)-m (2)由题意，得3-3b=0,a十2 =0, 又：∠ACB=60°，.∠EAC 解得b=1,a=-2, =∠ACB. 8.由题意，得”一6+3m+1=4 -2-n+2n=1' ab(abi-ab-b)=ab-ab ∴.AE∥BC. 解得： /m=2 -ab 第十六章整式的乘法 n=3 =(-2)3×15-(-2)2×1- 16.1幂的运算 9.(1)-2-1 (-2)×12 16.1.1同底数幂的乘法 (2)当x=-2,y=-1时， =-10. 1.D2.C3.A4.8×10 原式=-24xy°=192. 第3课时 多项式乘以多项式 5.(1)-a5;(2)-2;(3)x5m-2 10.(1)-2°x2" 1.A2.B 6.ab82x5正确 (2)x·(-2x2)·4x3·(-8x)3.(1)a2+2a-3;(2)x3+1:(3) 7.38.19.1850 ·…·(-2”x10) 12a2-7ab-10b. 10.(1)x°；(2)-(n-m)8. =一21+2+3+4+…+9x+2+3+4+…+10 11.(1)由题意得：1*3=2×2 =-245x5. 4c5.(e+ia+16) 6.D 60