15.1 图形的轴对称-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

33 第十五章轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 01基础达标 知识点一 轴对称与轴对称图形 1.第24届北京冬奥会的主题是“一起向未来”.下列会标中不是轴对称图形的是 B 2.如图所示：其中，轴对称图形有 ,与甲成轴对称的图形有 甲 D 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 知识点二轴对称图形的性质 3.如图，∠A=30°，∠C=60°，△ABC与△A'B'C关于直线1对称，则∠B= 4.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上 (1)指出图中的两组对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线MN对称的三角形. 02能力提升 5.如图，这是小明在平面镜里看到背后镜上电子钟显示的时间，此刻的实际时间应该是 6.(哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC,垂足为D,△ADB与 △ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B',则∠CAB的度数为 7.已知点P在∠MON内.如图，点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是 H,连接OG,OH,OP. (1)若∠MON=50°，则∠GOH= (2)若PO=5,连接GH,请说明当∠MON为多少度时，GH=10. 34 15.1.2线段的垂直平分线 01基础达标 知识点一线段的垂直平分线的性质与判定 1.如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ACBD的周长是() A.3.9 cm B.7.8 cm C.4 cm D.4.6 cm D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.(上海中考)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D,DC平分∠ACB,若∠A=50°，则 ∠B的度数为 () A.25° B.30° C.35 D.40° 3.(枣庄中考)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6, AC=5,则△ACE的周长为 () A.8 B.11 C.16 D.17 4.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH,ED=FD,小明说不用测量就知道DH是EF的 垂直平分线.其中蕴含的道理是 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. 求证：AD垂直平分EF. 知识点二线段的垂直平分线的有关作图 6.如图，在某河道1的同侧有两个村庄A,B,现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位 置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ B A· 7.指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来. 35 8.如图，△ABC与△DEF关于直线1对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线. 02能力提升 9.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 A.AB-AD B.AC平分∠BCDC.△BEC≌△DECD.AB=BD G 第9题图 第10题图 第11题图 10.如图，在Rt△ABC中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是 A.∠BDE=∠BACB.∠BAD=∠B C.DE=DC D.AE=AC 11.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,交AC于点D,点P为直线EF上的任意一 点，则△ABP周长的最小值是。 12.如图，△ABC中，∠C=32°. (1)作BC的垂直平分线，交BC于点D,交AC于点E(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)连接BE,若BE平分∠ABC,求∠A的度数. 03思维拓展 13.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，连接AE,BE,延长AE交BC的延长 线于点F. (1)判断C与AD的数量关系，并说明理由； (2)若BE⊥AF,求证：AB=BC+AD明略。 即∠ACD=∠BCF. 实际应用：B(1,4) .BC=AC,CD=CF, 章末核心考点与素养提升 ∴.△ACD≌△BCF, 1.D2.C ∴AD=BF,∠BAC=∠FBC, 3.先证明∠ABE=∠BAD=135°， ∴.∠ABF=∠ABC+∠FBC= 再证明△ABE≌△BAD(SAS), ∠ABC+∠BAC=90°，即BF 可得∠D=∠E,再利用AAS证 ⊥AD. △OBE2△OAD. 第十五章轴对称 4.B 15.1图形的轴对称 5.(1)证明：连接AD, 15.1.1轴对称及其性质 在△ABD与△ACD中 1.A2.甲、乙、丙、丁丁3.90° (AB=AC 4.(1)B和D,C和E,A和A,F和 BD-CD F(任写两对即可). AD-AD (2)AC=AE,AB=AD,BC= ∴.△ABD≌△ACD(SSS) DE,BF-DF,CF-EF. ∠B=∠C: (3)△AFB和△AFD,△AEF (2)∠B+∠C+∠BAC+∠BDC 和△ACF. =360°且∠B=∠C 5.12:506.10 ∠B=360°-120°-80 =80° 7.(1)100° (2)由轴对称性质可知，GO=HO 6.C7.①②③ =PO, 8.(1)证明：∠BAE=∠CAD, ,OP=5,∴.GO=HO=5, ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD ,GH=10,.G、O、H三点共线， ∠DAE,即∠BAD=∠CAE, .∠G0H=180°， 在△ABD和△ACE中， ∴.∠MON=90° (AB-AC 15.1.2线段的垂直平分线 ∠BAD=∠CAE, 1.B2.B3.B AD-AE 4.与线段两个端点距离相等的点在 ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 这条线段的垂直平分线上 (2),△ABD≌△ACE,∠ABD 5.,AD是△ABC的角平分线，DE =20°， ⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠ACE=∠ABD=20°， ..DE=DF, ∠BAC=82°， ∴.点D在EF的垂直平分线上， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-82 在Rt△ADE和Rt△ADF中， =98°， LAD-AD ∴.∠FBC+∠FCB=∠ABC+ DE=DF ∠ACB-(∠ACE+∠ABD) ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), =58°， ∴.AE=AF, .∠BFC=180°-（∠FBC+ ∴点A在EF的垂直平分线上， ∠FCB)=122°. .AD垂直平分EF. 9.35 6.连接AB,作线段AB的垂直平分 10.(1)证明：，DE⊥AB于E,DF 线，与直线1的交点即为所求的 LAC于F, 点，图略. ∴.∠E=∠DF℃=90°， 7.4个图形对称轴的条数分别为： ∴.△BDE与△CDF均为直角 一条、两条、两条、四条，图略. 三角形 8.图略.9.D10.B11.7 0-C0 12.(1)图略； (2).DE垂直平分BC, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴EB=EC, ∴.DE=DF,即AD平分∠BAC; ∴.∠EBC=∠C=32°， (2)AB+AC=2AE :BE平分∠ABC, 11.(1)垂直相等 ∴.∠ABC=2∠EBC=64°， (2)成立.理由如下： :∠A+∠ABC+∠C=180°， CD⊥EF,∴.∠DCF=90 ∴.∠A=84°. ∠ACB=90°， 13.(1)结论：CF=AD.理由： ∴.∠DCF+∠BCD=∠ACB :AD∥BC, +∠BCD, ∴.∠ADC=∠ECF, 55 ,E是CD的中点， ∴.∠DAC=∠C=∠ABC= .DE=EC, 2∠D. ,在△ADE与△FCE中， 12.(1)①.AD=AE, '∠ADE=∠FCE .∠AED=∠ADE=70°， ED=EC ∠DAE=40°， ∠AED=∠FEC 又.AB=AC,∠ABC=60°， ∴.△ADE≌△FCE(ASA). ∴.∠BAC=∠C=∠ABC=60°， (2)证明：由(1)知△ADE .a=∠BAC-∠DAE=60° ≌△FCE, 40°=20°， AE=EF,,BE⊥AF B=∠AED-∠C=70°-60° ∴BE是线段AF的垂直平分线， =10°； ∴AB=BF=BC+CF, ②AB=AC,AD=AE, 即AB=BC+AD. ∴.∠B=∠C,∠ADE=∠AED, 15.2画轴对称的图形 ,∠ADC=∠B+a,∴.∠ADE 第1课时作轴对称图形 +B=∠B+a, 1.图略.2.图略.3.C4.5 又∠AED=∠C+B, 5.图略. ∠C+B+B-∠B+a, 第2课时用坐标表示轴对称 .a=28. 1.A2.(-2,3)3.2-2 (2)a=23-180° 4.(1)图略； 第2课时等腰三角形的判定 (2)(3,3) (-1,-3)(0,4) 1.A2.B3.C (3)S=11 4.证明：AE∥BC,.∠2=∠C. 5.C6.B ∠1=∠B. 7.(1,-2)或(1,6)8.(3，-2) ,∠1=∠2，∴∠B=∠C.∴.AB 9.(1)图略； =AC.∴.△ABC是等腰三角形. (2)A2(-1,5),B2(-3,1),C2 5.△AEG是等腰三角形，理由略， (-1,3) 6.D7.C8.80海里9.1010. (3)△A1BC与△A2B,C2关于 8或5或2 直线x=一2对称，图略. 11.(1)由①②或①③可以判定 (4)(1,7)或(5,1)或(5,7) △ABC是等腰三角形； 15.3等腰三角形 (2)选①②判定△ABC是等腰 15.3.1等腰三角形 三角形，理由如下： 第1课时等腰三角形的性质 在△BOE和△COD中， 1.D2.D3.36°或90° ∠EBO=∠DCO,∠BOE= 4.在△ABE和△DCE中， ∠COD,BE=CD, ∠1=∠2 ∴.△BOE≌△COD(AAS), ∠AEB=∠DEC, ..OB=OC, AB-DC ∴.∠OBC=∠OCB, ∴.△ABE≌△DCE(AAS), ∴.∠OBC+∠EBO=∠OCB+ ∴BE=CE, ∠DCO,即∠ABC=∠ACB, ∴.∠EBC=∠ECB. .AB=AC,即△ABC是等腰三 5.B6.D 角形. 7.AB=AC,D是BC的中点， 12.(1)D(2)图略， .AD平分∠BAC, 微课堂 ,∠BAC=50°. 1.162.63.等腰 :∠DAE=2∠BAC-25 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 DE⊥AC,.∠AED=90 1.C2.B3.90° .∠ADE=90°-∠DAE=90° 4.△ABC是等边三角形，BD平 25°=65° 分∠ABC, 8.A9.3710.15 ∴.∠BCA=60°，∠DBC=30°， 11..AD∥BC, .CD=CE, ∴.∠DAC=∠C,∠D=∠DBC, ∠CDE=∠E, ,AB=AC,.∠C=∠ABC, ∴.∠BCA=∠CDE+∠E=2∠E ,AB=AD,∠D=∠ABD, =60°， ∴.∠ABC=∠ABD+∠DBC= .∠E=30°， ∠D+∠D=2∠D. ∴.∠DBC=∠E=30°， 56 ∴.DB=DE ..ED=EC. 5.D6.B 第2课时含30°角的直角 7.:DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别 三角形的性质 为点E,F, 1.B2.23.1cm .∠AED=∠CFD=90°， 4.在△ABC中， ,D为AC的中点， ∠ACB=90°，∠A=30°， ..AD=DC, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴BC-号AB,∠B=60. (AD=DC 又△BCD中，CD⊥AB DE-DF ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ÷∠BCD=30.∴BD=号BC ∠A=∠C, .BA=BC,.'AB=AC, BD=子AB,即AB=4BD, ∴.AB=BC=AC, 5.3 ∴.△ABC是等边三角形 6.过点P作PC⊥MN于点C,易求 8.C9.C10.60 OC=1 11.(1)△ODE是等边三角形.理由 2 OP 6,MC CN= 如下： ,△ABC是等边三角形， 2MN-1.从而OM=0x-MC ∴.∠ABC=∠ACB=60°； =5. ,OD∥AB,OE∥AC, 7.(1).∠PAB=90°-75°=15°， ∴.∠ODE=∠ABC=60°， .∠APB=180°-15°-90°-60 ∠OED=∠ACB=60°， =15°. ∴.△ODE为等边三角形： ∴.∠PAB=∠APB..BP=AB (2).OB平分∠ABC,OD∥AB, =7海里. .∠ABO=∠DOB, (2)过点P作PD⊥AB于点D. ∠ABO=∠DBO, .∠PBD=90°-60°=30°， ∴.∠DOB=∠DBO, ∠PDB=90°， ∴.BD=OD: PD=PB=35海里 同理可证CE=OE; .△ODE的周长=BC=10. 3.5>3, 12.(1)在等边△ABC中， ∴该轮船继续向东航行，没有触 AB=BC=AC, 礁的危险 .∠ABC=∠ACB=∠A=60°， 专题四“三线合一”的应用技巧 .AE=EB=BD, 1.作CH⊥AB于H, 1 ,AC=BC,CH⊥AB, ∴.∠ECB= ∠ACB=30°， .'.AH=BH. ,CD=CE,CH⊥ED, ∠EDB=∠DEB= ∠ABC .'DH=EH. =30°. .'.AD=BE. ∴.∠EDB=∠ECB, 2..AB=AC,BD=CD, .'EC=ED; ∴∠1=∠2. (2).EF∥BC, ,DE⊥AB,DF⊥AC, .∠AEF=∠ABC=60°， .∠AED=∠AFD=90°. ∠AFE=∠ACB=60°， 在△ADE和△ADF中， ∴.△AEF为等边三角形； ∠1=-∠2 (3)EC=ED; ∠AED=∠AFD, 理由：，∠AFE=∠ACB=60°， AD-AD .∠EFC=∠DBE=120°， ∴.△ADE≌△ADF(AAS) .AB=AC,AE=AF, ..AE=AF. .AB-AE=AC-AF,即BE= 3..'AB=AC, FC, ∠B=∠C 在△DBE和△EFC中， DE∥AB, DB-=EF ∴.∠EDC=∠B. ∠DBE=∠EFC, .∠EDC=∠C, BE=FC ∴.ED=EC. ∴.△DBE≌△EFC(SAS), ,EF⊥BC 57