专题三 构造全等三角形的常用方法-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

C29 专题三构造全等三角形的常用方法 方法一利用角平分线作垂线构造全等 1.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=号(AB+AD),求 ∠ABC+∠ADC的度数， B 方法二中线倍长法构造全等 2.如图，△ABC中，AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线，设AD长为m,求m的取值范围. 方法三截长补短法构造全等 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：AC=AE+CD. D 30 方法四利用“一线等三角”构造全等三角形 4.如图，已知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，求图中阴影部分 图形的面积. 5.【问题背景】如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BDL直线m,CEL 直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE,BD和CE之间的数量关系为DE= 【拓展延伸】如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并 且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并证明， 【实际应用】如图3，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,点C的坐标为(-2,0)，点A的坐标为 (一6,3)，请直接写出B点的坐标. 个y m 图2 图3理由：△ABC≌△DAE, ∠DCE,∴∠BAC=∠DCE, ∴.△ABD≌△ACD(SSS). .∠ACB=∠E=90°， ,∠BAC=a,∠DCE=B, 5.D6.126 又，∠ACB+∠BCE=180°， ∴a=B. 7.略 .∠BCE=90°， ②a+3=180° 8.C9.B10.(2,0)或(2,4) ·∠BCE=∠E,∴.BC∥DE.故 第2课时运用“角边角(ASA)”和 11.(1)证明：.AC=AD+DC,DF 当△ABC满足∠ACB为直角时， “角角边(AAS)”证三角形全等 =DC+CF,且AD=CF, BC∥DE. 1.CBA DAB CAB DBA AB ..AC=DF. 14.2三角形全等的判定 BA DAB CBA ASA 在△ABC和△DEF中， 第1课时运用“边角边(SAS)” 2.AC∥DF, AB=DE 证三角形全等 .∠ACB=∠DFE, BC=EF, 1.D2.∠DCE=∠ACB .BF=CE, AC-DE 3.TAB TAC AF AE .BC=EF, AB .△ABC≌△DEF(SSS); 在△ABC和△DEF中， (2)由(1)可知，∠F=∠ACB, AC BAE CAF AE AF SAS ∠B=∠E ∠A=55°，∠B=88°， 4.90° 元6-d) BC=EF ∴.∠ACB=180°-（∠A+∠B) ∠ACB=∠DFE =180°-(55°+88)=37°， 6..AE=BF, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). ∴.∠F=∠ACB=37°. ∴AE+EF=BF+EF, 3.D 12.(1)证明：如图1中， 即AF=BE 4.∠1=∠2， .AF=CE, .AC∥BD, ∴.∠ACB=∠ACD. ∴.AF+EF=EF+CE,即AE ∴.∠CAF=∠DBE. 在△ABC与△ADC中， =CF, 在△ACF和△BDE中， ∠B=∠D ∠ACB=∠ACD, 在△ADE和△CBF中， (AC=BD, (AD=CB ∠CAF=∠DBE, AC-AC AE-CF, AF=BE, ∴.△ABC≌△ADC(AAS), DE-BE .△ACF≌△BDE(SAS): .CB=CD. ∴.△ADE≌△CBF(SSS). ∴.CF=DE 5.(1)利用AAS证明△BED≌ 7.D8.D9.50 △CFD,∴.DE=DF: (2)成立. 10.7 (2)80° 理由：如图2中，AF=CE .AF-EF=CE-EF,即AE 11.(1)∠BAC=∠DAE, 6.A7.A8.D =CE. ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE 9.答案不唯一，如AH=CB 10..BF=EC, 在△ADE和△CBF中， -∠DAC, 即∠BAD=∠1， ∴.BF+CF=EC+CF,即BC (AD=CB =EF. AE=CF, 在△ABD与△ACE中， DE-BE (AB-AC :AB∥ED,AC∥FD, ∴.∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. .△ADE≌△CBF(SSS), ∠BAD=∠1， 在△ABC和△DEF中， (3)结论：AD∥BC. AD-AE ∠B=∠E, 如图1,2中， ∴.△ABD≌△ACE(SAS); BC=EF, ,△ADE≌△CBF, (2)由(1)可知，△ABD≌△ACE, ∠ACB=∠DFE ∴.∠A=∠C,∴.AD∥BC. .∠ABD=∠2， .△ABC≌△DEF(ASA), 第4课时运用“斜边、直角边 ∴.∠3=∠BAD+∠ABD=∠1 ..AB=DE. (HL)”证三角形全等 +∠2. 在△AOB和△DOE中， 1.C2.A 12.(1).∠DAE=∠BAC, ∠AOB=∠DOE, 3.CB=DA.理由：由题意易知AC .∠DAE+∠CAD=∠BAC ∠B=∠E, =BD. +∠CAD, AB=DE, .CB⊥AB,DA⊥AB, ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.△AOB≌△DOE(AAS), ∴.∠DAB=∠CBA=90°. 在△BAD和△CAE中 .'BO=EO. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， (AB=AC 11.(1)C(-3,1):(2)C(2,4). BD=AC. {∠BAD=∠CAE, 第3课时运用“边边边(SSS)” AB=BA, AD-AE 证三角形全等 .Rt△DAB≌Rt△CBA(HL. .△BAD≌△CAE(SAS); 1.③2.△ACD△DBC3.D ∴.DA=CB. (2)①当点D在线段BC的延长：4.D是BC的中点， 4.(1)AB=DC HL 线上移动时，a与B之间的数量 .'BD=CD, (2)AC=DB HL 关系是α=B,理由是： 在△ABD和△ACD中， (3)∠ABC=∠DCB AAS 由(1)知△BAD≌△CAE, AB=AC (4)∠ACB=∠DBC AAS ∴.∠B=∠ACE,.∠ACD= BD=CD, 5.不正确.直角三角形全等的判定 ∠B+∠BAC=∠ACE+ AD-AD 中没有“SSA”,而应该是“HL”. 52 正确的证明过程：，AD⊥BC, 即BC=EF. .∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABC和Rt△DFE中， 长线于P,:AE=合(AB+ 在Rt△BFD和Rt△ACD中， (AB=DF, AD),..AB+AD=2AE, (BF=AC, BC=FE, .AC平分∠BAD,即∠DAC= FD=CD, ..Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). ∠CAB,且CE⊥AB,CF⊥AD, ∴.Rt△BFD≌Rt△ACD(HL). 4.∠1=∠2， .CE=CF,又AC=AC, ∴.∠DAC=∠DBF. ∴.∠ABE=∠DBC. ∴.Rt△ACF≌Rt△ACE(HL), 6.C7.C8.132°9.5或10 在△ABE和△DBC中， ∴.AF=AE, 10.连接AC, (AB=DB, ..AB+AD=AE+AF, 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∠ABE=∠DBC, ∴AB-AE=AF-AD,即BE=DF, .'AB=AD,AC=AC, BE=BC, ∴.Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS), ∴.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL), .△ABE≌△DBC(SAS) ∴.∠ABC=∠CDF, ∴.BC=DC 5.由∠ECB=70°得∠ACB=110°. .∠ABC+∠ADC=∠CDF+ BE⊥EF,DF⊥EF, 又，∠D=110°， ∠ADC=180°. .∠E=∠F=90°. ∴.∠ACB=∠D=110°. 2.延长AD至E,使DE=AD,连接 在Rt△BCE和Rt△DCF中， AB∥DE, CE,AE=2m BC=DC, ∠CAB=∠E. ,AD是BC边上的中线， BE=DF, 在△ABC和△EAD中， ∴.CD=BD, .Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). I∠ACB=∠D, 在△ABD和△EDC中， 11.(1)证明：BD⊥DE于点D, ∠CAB=∠E, ,AD=DE,∠ADB=∠EDC, CE⊥DE于点E, AB=EA, BD=CD, ∴.△ABD和△CAE均为直角 ∴.△ABC≌△EAD(AAS). ∴.△ADB≌△EDC(SAS). 三角形. 14.3角的平分线 .EC=AB=5. 在Rt△ABD和Rt△CAE中， 第1课时角平分线的性质 在△AEC中，EC-AC<AE< (AD=CE 1.D2.63.3 AC+EC, AB=CA* 4.5【变式提问】5：4 .1<m<4. ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), 5.180°6.4 3.(1).∠1+∠2+∠3+∠4= .∠ABD=∠CAE. 7.(1)证明：.AD平分∠BAC,DE 180°-∠B=120°， 又∠ABD+∠BAD=90°， ⊥AB,∠C=90°， ∴.∠2+∠3=60°， ∴.∠CAE+∠BAD=90°， .'DC=DE. .∠AOC=180°-60°=120° ∴.∠BAC=180°-（∠CAE+ 在Rt△DCF和Rt△DEB中， (2)在AC上截取AF=AE,连 ∠BAD)=90°， DC-=DE 接OF, .AB⊥AC. DF-DB' AE=AF,∠1=∠2，AO=AO, (2)成立，证明如下： ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB(HL), ∴.△AEO≌△AFO(SAS), 同(1)可证出： :.CF=EB; ∴.∠AOE=∠AOF, Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), (2)AF+BE=AE. .∠AOC=120°， ∴.∠ABD=∠CAE. 证Rt△ADC≌Rt△ADE(HL), .∠AOE=60°， 又∠ABD+∠BAD=90°， 得AC=AE, ∴.∠AOF=∠COF=60°， ∴.∠BAC=∠CAE+∠BAD .AF+FC=AE,即AF+BE 在△OFC和△ODC中， =90°， =AE. ∠DOC=∠FOC=60°， .AB⊥AC. 第？课时角平分线的判定 OC=OC, 专题二证明三角形全等的解题思路 1.B2.①②③④3.B4.30° ∠3=∠4， 1.'DE=BF, 5.D6.4 .△OFC≌△ODC(ASA), ..DE-EF=BF一EF, 7.(1)作EH⊥DC于H, .'FC=DC, 即DF=BE. :∠ADE=∠EDH, .AF+FC=AC, 在△ABE和△CDF中， ∠A=∠DHE=90°， ∴.AC=AE+CD. (AB=CD, ..AE=EH 4.利用AAS易证△AEF≌△BAG, BE=DF, AE=BE,∴.EH=BE. △BGC≌△CHD,从而AF=BG AE-CF, .∠BCE=∠DCE: =3,AG=EF=8,CG=DH=4, ∴.△ABE≌△CDF(SSS). (2)由(1)知AD=DH,BC= CH=BG=3. 2.在△ABD和△CDB中， CH,..AD+BC=CD; S阴影=S倦形EFHD一2S△AEF一2S△CHD ∠ABD=∠CDB, BD=DB, (3)Sae=CD·EH= CD· =2×4+8》X18-2x号×8x ∠ADB=∠CBD, ∴.△ABD≌△CDB(ASA). AB=×13X号×12=-39. 3-2X号×4X3=72. 3.BE=CF, 专题三构造全等三角形的常用方法5.问题背景：BD十CE. .BE+EC=CF+EC, 1.过点C作CF⊥AD交AD的延拓展延伸：DE=BD+CE,证 54 明略。 即∠ACD=∠BCF. 实际应用：B(1,4) .BC=AC,CD=CF, 章末核心考点与素养提升 ∴.△ACD≌△BCF, 1.D2.C ∴AD=BF,∠BAC=∠FBC, 3.先证明∠ABE=∠BAD=135°， ∴.∠ABF=∠ABC+∠FBC= 再证明△ABE≌△BAD(SAS), ∠ABC+∠BAC=90°，即BF 可得∠D=∠E,再利用AAS证 ⊥AD. △OBE2△OAD. 第十五章轴对称 4.B 15.1图形的轴对称 5.(1)证明：连接AD, 15.1.1轴对称及其性质 在△ABD与△ACD中 1.A2.甲、乙、丙、丁丁3.90° (AB=AC 4.(1)B和D,C和E,A和A,F和 BD-CD F(任写两对即可). AD-AD (2)AC=AE,AB=AD,BC= ∴.△ABD≌△ACD(SSS) DE,BF-DF,CF-EF. ∠B=∠C: (3)△AFB和△AFD,△AEF (2)∠B+∠C+∠BAC+∠BDC 和△ACF. =360°且∠B=∠C 5.12:506.10 ∠B=360°-120°-80 =80° 7.(1)100° (2)由轴对称性质可知，GO=HO 6.C7.①②③ =PO, 8.(1)证明：∠BAE=∠CAD, ,OP=5,∴.GO=HO=5, ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD ,GH=10,.G、O、H三点共线， ∠DAE,即∠BAD=∠CAE, .∠G0H=180°， 在△ABD和△ACE中， ∴.∠MON=90° (AB-AC 15.1.2线段的垂直平分线 ∠BAD=∠CAE, 1.B2.B3.B AD-AE 4.与线段两个端点距离相等的点在 ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 这条线段的垂直平分线上 (2),△ABD≌△ACE,∠ABD 5.,AD是△ABC的角平分线，DE =20°， ⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠ACE=∠ABD=20°， ..DE=DF, ∠BAC=82°， ∴.点D在EF的垂直平分线上， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-82 在Rt△ADE和Rt△ADF中， =98°， LAD-AD ∴.∠FBC+∠FCB=∠ABC+ DE=DF ∠ACB-(∠ACE+∠ABD) ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), =58°， ∴.AE=AF, .∠BFC=180°-（∠FBC+ ∴点A在EF的垂直平分线上， ∠FCB)=122°. .AD垂直平分EF. 9.35 6.连接AB,作线段AB的垂直平分 10.(1)证明：，DE⊥AB于E,DF 线，与直线1的交点即为所求的 LAC于F, 点，图略. ∴.∠E=∠DF℃=90°， 7.4个图形对称轴的条数分别为： ∴.△BDE与△CDF均为直角 一条、两条、两条、四条，图略. 三角形 8.图略.9.D10.B11.7 0-C0 12.(1)图略； (2).DE垂直平分BC, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴EB=EC, ∴.DE=DF,即AD平分∠BAC; ∴.∠EBC=∠C=32°， (2)AB+AC=2AE :BE平分∠ABC, 11.(1)垂直相等 ∴.∠ABC=2∠EBC=64°， (2)成立.理由如下： :∠A+∠ABC+∠C=180°， CD⊥EF,∴.∠DCF=90 ∴.∠A=84°. ∠ACB=90°， 13.(1)结论：CF=AD.理由： ∴.∠DCF+∠BCD=∠ACB :AD∥BC, +∠BCD, ∴.∠ADC=∠ECF, 55 ,E是CD的中点， ∴.∠DAC=∠C=∠ABC= .DE=EC, 2∠D. ,在△ADE与△FCE中， 12.(1)①.AD=AE, '∠ADE=∠FCE .∠AED=∠ADE=70°， ED=EC ∠DAE=40°， ∠AED=∠FEC 又.AB=AC,∠ABC=60°， ∴.△ADE≌△FCE(ASA). ∴.∠BAC=∠C=∠ABC=60°， (2)证明：由(1)知△ADE .a=∠BAC-∠DAE=60° ≌△FCE, 40°=20°， AE=EF,,BE⊥AF B=∠AED-∠C=70°-60° ∴BE是线段AF的垂直平分线， =10°； ∴AB=BF=BC+CF, ②AB=AC,AD=AE, 即AB=BC+AD. ∴.∠B=∠C,∠ADE=∠AED, 15.2画轴对称的图形 ,∠ADC=∠B+a,∴.∠ADE 第1课时作轴对称图形 +B=∠B+a, 1.图略.2.图略.3.C4.5 又∠AED=∠C+B, 5.图略. ∠C+B+B-∠B+a, 第2课时用坐标表示轴对称 .a=28. 1.A2.(-2,3)3.2-2 (2)a=23-180° 4.(1)图略； 第2课时等腰三角形的判定 (2)(3,3) (-1,-3)(0,4) 1.A2.B3.C (3)S=11 4.证明：AE∥BC,.∠2=∠C. 5.C6.B ∠1=∠B. 7.(1,-2)或(1,6)8.(3，-2) ,∠1=∠2，∴∠B=∠C.∴.AB 9.(1)图略； =AC.∴.△ABC是等腰三角形. (2)A2(-1,5),B2(-3,1),C2 5.△AEG是等腰三角形，理由略， (-1,3) 6.D7.C8.80海里9.1010. (3)△A1BC与△A2B,C2关于 8或5或2 直线x=一2对称，图略. 11.(1)由①②或①③可以判定 (4)(1,7)或(5,1)或(5,7) △ABC是等腰三角形； 15.3等腰三角形 (2)选①②判定△ABC是等腰 15.3.1等腰三角形 三角形，理由如下： 第1课时等腰三角形的性质 在△BOE和△COD中， 1.D2.D3.36°或90° ∠EBO=∠DCO,∠BOE= 4.在△ABE和△DCE中， ∠COD,BE=CD, ∠1=∠2 ∴.△BOE≌△COD(AAS), ∠AEB=∠DEC, ..OB=OC, AB-DC ∴.∠OBC=∠OCB, ∴.△ABE≌△DCE(AAS), ∴.∠OBC+∠EBO=∠OCB+ ∴BE=CE, ∠DCO,即∠ABC=∠ACB, ∴.∠EBC=∠ECB. .AB=AC,即△ABC是等腰三 5.B6.D 角形. 7.AB=AC,D是BC的中点， 12.(1)D(2)图略， .AD平分∠BAC, 微课堂 ,∠BAC=50°. 1.162.63.等腰 :∠DAE=2∠BAC-25 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 DE⊥AC,.∠AED=90 1.C2.B3.90° .∠ADE=90°-∠DAE=90° 4.△ABC是等边三角形，BD平 25°=65° 分∠ABC, 8.A9.3710.15 ∴.∠BCA=60°，∠DBC=30°， 11..AD∥BC, .CD=CE, ∴.∠DAC=∠C,∠D=∠DBC, ∠CDE=∠E, ,AB=AC,.∠C=∠ABC, ∴.∠BCA=∠CDE+∠E=2∠E ,AB=AD,∠D=∠ABD, =60°， ∴.∠ABC=∠ABD+∠DBC= .∠E=30°， ∠D+∠D=2∠D. ∴.∠DBC=∠E=30°， 56 ∴.DB=DE ..ED=EC. 5.D6.B 第2课时含30°角的直角 7.:DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别 三角形的性质 为点E,F, 1.B2.23.1cm .∠AED=∠CFD=90°， 4.在△ABC中， ,D为AC的中点， ∠ACB=90°，∠A=30°， ..AD=DC, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴BC-号AB,∠B=60. (AD=DC 又△BCD中，CD⊥AB DE-DF ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), ÷∠BCD=30.∴BD=号BC ∠A=∠C, .BA=BC,.'AB=AC, BD=子AB,即AB=4BD, ∴.AB=BC=AC, 5.3 ∴.△ABC是等边三角形 6.过点P作PC⊥MN于点C,易求 8.C9.C10.60 OC=1 11.(1)△ODE是等边三角形.理由 2 OP 6,MC CN= 如下： ,△ABC是等边三角形， 2MN-1.从而OM=0x-MC ∴.∠ABC=∠ACB=60°； =5. ,OD∥AB,OE∥AC, 7.(1).∠PAB=90°-75°=15°， ∴.∠ODE=∠ABC=60°， .∠APB=180°-15°-90°-60 ∠OED=∠ACB=60°， =15°. ∴.△ODE为等边三角形： ∴.∠PAB=∠APB..BP=AB (2).OB平分∠ABC,OD∥AB, =7海里. .∠ABO=∠DOB, (2)过点P作PD⊥AB于点D. ∠ABO=∠DBO, .∠PBD=90°-60°=30°， ∴.∠DOB=∠DBO, ∠PDB=90°， ∴.BD=OD: PD=PB=35海里 同理可证CE=OE; .△ODE的周长=BC=10. 3.5>3, 12.(1)在等边△ABC中， ∴该轮船继续向东航行，没有触 AB=BC=AC, 礁的危险 .∠ABC=∠ACB=∠A=60°， 专题四“三线合一”的应用技巧 .AE=EB=BD, 1.作CH⊥AB于H, 1 ,AC=BC,CH⊥AB, ∴.∠ECB= ∠ACB=30°， .'.AH=BH. ,CD=CE,CH⊥ED, ∠EDB=∠DEB= ∠ABC .'DH=EH. =30°. .'.AD=BE. ∴.∠EDB=∠ECB, 2..AB=AC,BD=CD, .'EC=ED; ∴∠1=∠2. (2).EF∥BC, ,DE⊥AB,DF⊥AC, .∠AEF=∠ABC=60°， .∠AED=∠AFD=90°. ∠AFE=∠ACB=60°， 在△ADE和△ADF中， ∴.△AEF为等边三角形； ∠1=-∠2 (3)EC=ED; ∠AED=∠AFD, 理由：，∠AFE=∠ACB=60°， AD-AD .∠EFC=∠DBE=120°， ∴.△ADE≌△ADF(AAS) .AB=AC,AE=AF, ..AE=AF. .AB-AE=AC-AF,即BE= 3..'AB=AC, FC, ∠B=∠C 在△DBE和△EFC中， DE∥AB, DB-=EF ∴.∠EDC=∠B. ∠DBE=∠EFC, .∠EDC=∠C, BE=FC ∴.ED=EC. ∴.△DBE≌△EFC(SAS), ,EF⊥BC 57