14.3 角的平分线-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

27 14.3角的平分线 第1课时角平分线的性质 01基础达标 知识点 角平分线的定义及性质 1.如图，用尺规作已知角的平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS A D D D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点E,F;再分别 以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点D.若CD=6, 则点D到AB的距离是 3.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一 动点，则PM的最小值为 02能力提升 4.如图，在△BCD中，∠D=90°，BE平分∠DBC交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等 于 【变式提问】若S△DE:S△BEc=4:5,则BC:BD= 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F,且DE=DG,则∠AED十∠AGD的度数是 6.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=9,AC=6,BC=10,则CD的 长为 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上，有 且BD=DF. (1)求证：CF=EB; (2)请你判断AE,AF与BE之间的数量关系，并说明理由. 28 第2课时角平分线的判定 01基础达标 知识点一角平分线的判定 1.如图，AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等，则∠BPC= A.60° B.90° C.100° D.不确定 D 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图 2.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA,PE⊥OB,下列条件中：① ∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线 的有 知识点二三角形的角平分线 3.到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的 A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E,DE=DC,且E恰好为AB中 点，则∠B 02能力提升 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BA和CD的延长线相交于点E,若存在点P,使得S△PAB S△PcD,则满足此条件的点P () A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外) 6.如图，11、2、13是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公 路的距离相等，这个加油站的位置共有处， 7.(教材改编题)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE 平分∠ADC. (1)求证：CE平分∠BCD; (2)求证：AD+BC=CD; (3)若AB=12,CD=13,求S△cDE.理由：△ABC≌△DAE, ∠DCE,∴∠BAC=∠DCE, ∴.△ABD≌△ACD(SSS). .∠ACB=∠E=90°， ,∠BAC=a,∠DCE=B, 5.D6.126 又，∠ACB+∠BCE=180°， ∴a=B. 7.略 .∠BCE=90°， ②a+3=180° 8.C9.B10.(2,0)或(2,4) ·∠BCE=∠E,∴.BC∥DE.故 第2课时运用“角边角(ASA)”和 11.(1)证明：.AC=AD+DC,DF 当△ABC满足∠ACB为直角时， “角角边(AAS)”证三角形全等 =DC+CF,且AD=CF, BC∥DE. 1.CBA DAB CAB DBA AB ..AC=DF. 14.2三角形全等的判定 BA DAB CBA ASA 在△ABC和△DEF中， 第1课时运用“边角边(SAS)” 2.AC∥DF, AB=DE 证三角形全等 .∠ACB=∠DFE, BC=EF, 1.D2.∠DCE=∠ACB .BF=CE, AC-DE 3.TAB TAC AF AE .BC=EF, AB .△ABC≌△DEF(SSS); 在△ABC和△DEF中， (2)由(1)可知，∠F=∠ACB, AC BAE CAF AE AF SAS ∠B=∠E ∠A=55°，∠B=88°， 4.90° 元6-d) BC=EF ∴.∠ACB=180°-（∠A+∠B) ∠ACB=∠DFE =180°-(55°+88)=37°， 6..AE=BF, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). ∴.∠F=∠ACB=37°. ∴AE+EF=BF+EF, 3.D 12.(1)证明：如图1中， 即AF=BE 4.∠1=∠2， .AF=CE, .AC∥BD, ∴.∠ACB=∠ACD. ∴.AF+EF=EF+CE,即AE ∴.∠CAF=∠DBE. 在△ABC与△ADC中， =CF, 在△ACF和△BDE中， ∠B=∠D ∠ACB=∠ACD, 在△ADE和△CBF中， (AC=BD, (AD=CB ∠CAF=∠DBE, AC-AC AE-CF, AF=BE, ∴.△ABC≌△ADC(AAS), DE-BE .△ACF≌△BDE(SAS): .CB=CD. ∴.△ADE≌△CBF(SSS). ∴.CF=DE 5.(1)利用AAS证明△BED≌ 7.D8.D9.50 △CFD,∴.DE=DF: (2)成立. 10.7 (2)80° 理由：如图2中，AF=CE .AF-EF=CE-EF,即AE 11.(1)∠BAC=∠DAE, 6.A7.A8.D =CE. ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE 9.答案不唯一，如AH=CB 10..BF=EC, 在△ADE和△CBF中， -∠DAC, 即∠BAD=∠1， ∴.BF+CF=EC+CF,即BC (AD=CB =EF. AE=CF, 在△ABD与△ACE中， DE-BE (AB-AC :AB∥ED,AC∥FD, ∴.∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. .△ADE≌△CBF(SSS), ∠BAD=∠1， 在△ABC和△DEF中， (3)结论：AD∥BC. AD-AE ∠B=∠E, 如图1,2中， ∴.△ABD≌△ACE(SAS); BC=EF, ,△ADE≌△CBF, (2)由(1)可知，△ABD≌△ACE, ∠ACB=∠DFE ∴.∠A=∠C,∴.AD∥BC. .∠ABD=∠2， .△ABC≌△DEF(ASA), 第4课时运用“斜边、直角边 ∴.∠3=∠BAD+∠ABD=∠1 ..AB=DE. (HL)”证三角形全等 +∠2. 在△AOB和△DOE中， 1.C2.A 12.(1).∠DAE=∠BAC, ∠AOB=∠DOE, 3.CB=DA.理由：由题意易知AC .∠DAE+∠CAD=∠BAC ∠B=∠E, =BD. +∠CAD, AB=DE, .CB⊥AB,DA⊥AB, ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.△AOB≌△DOE(AAS), ∴.∠DAB=∠CBA=90°. 在△BAD和△CAE中 .'BO=EO. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， (AB=AC 11.(1)C(-3,1):(2)C(2,4). BD=AC. {∠BAD=∠CAE, 第3课时运用“边边边(SSS)” AB=BA, AD-AE 证三角形全等 .Rt△DAB≌Rt△CBA(HL. .△BAD≌△CAE(SAS); 1.③2.△ACD△DBC3.D ∴.DA=CB. (2)①当点D在线段BC的延长：4.D是BC的中点， 4.(1)AB=DC HL 线上移动时，a与B之间的数量 .'BD=CD, (2)AC=DB HL 关系是α=B,理由是： 在△ABD和△ACD中， (3)∠ABC=∠DCB AAS 由(1)知△BAD≌△CAE, AB=AC (4)∠ACB=∠DBC AAS ∴.∠B=∠ACE,.∠ACD= BD=CD, 5.不正确.直角三角形全等的判定 ∠B+∠BAC=∠ACE+ AD-AD 中没有“SSA”,而应该是“HL”. 52 正确的证明过程：，AD⊥BC, 即BC=EF. .∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABC和Rt△DFE中， 长线于P,:AE=合(AB+ 在Rt△BFD和Rt△ACD中， (AB=DF, AD),..AB+AD=2AE, (BF=AC, BC=FE, .AC平分∠BAD,即∠DAC= FD=CD, ..Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). ∠CAB,且CE⊥AB,CF⊥AD, ∴.Rt△BFD≌Rt△ACD(HL). 4.∠1=∠2， .CE=CF,又AC=AC, ∴.∠DAC=∠DBF. ∴.∠ABE=∠DBC. ∴.Rt△ACF≌Rt△ACE(HL), 6.C7.C8.132°9.5或10 在△ABE和△DBC中， ∴.AF=AE, 10.连接AC, (AB=DB, ..AB+AD=AE+AF, 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∠ABE=∠DBC, ∴AB-AE=AF-AD,即BE=DF, .'AB=AD,AC=AC, BE=BC, ∴.Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS), ∴.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL), .△ABE≌△DBC(SAS) ∴.∠ABC=∠CDF, ∴.BC=DC 5.由∠ECB=70°得∠ACB=110°. .∠ABC+∠ADC=∠CDF+ BE⊥EF,DF⊥EF, 又，∠D=110°， ∠ADC=180°. .∠E=∠F=90°. ∴.∠ACB=∠D=110°. 2.延长AD至E,使DE=AD,连接 在Rt△BCE和Rt△DCF中， AB∥DE, CE,AE=2m BC=DC, ∠CAB=∠E. ,AD是BC边上的中线， BE=DF, 在△ABC和△EAD中， ∴.CD=BD, .Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). I∠ACB=∠D, 在△ABD和△EDC中， 11.(1)证明：BD⊥DE于点D, ∠CAB=∠E, ,AD=DE,∠ADB=∠EDC, CE⊥DE于点E, AB=EA, BD=CD, ∴.△ABD和△CAE均为直角 ∴.△ABC≌△EAD(AAS). ∴.△ADB≌△EDC(SAS). 三角形. 14.3角的平分线 .EC=AB=5. 在Rt△ABD和Rt△CAE中， 第1课时角平分线的性质 在△AEC中，EC-AC<AE< (AD=CE 1.D2.63.3 AC+EC, AB=CA* 4.5【变式提问】5：4 .1<m<4. ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), 5.180°6.4 3.(1).∠1+∠2+∠3+∠4= .∠ABD=∠CAE. 7.(1)证明：.AD平分∠BAC,DE 180°-∠B=120°， 又∠ABD+∠BAD=90°， ⊥AB,∠C=90°， ∴.∠2+∠3=60°， ∴.∠CAE+∠BAD=90°， .'DC=DE. .∠AOC=180°-60°=120° ∴.∠BAC=180°-（∠CAE+ 在Rt△DCF和Rt△DEB中， (2)在AC上截取AF=AE,连 ∠BAD)=90°， DC-=DE 接OF, .AB⊥AC. DF-DB' AE=AF,∠1=∠2，AO=AO, (2)成立，证明如下： ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB(HL), ∴.△AEO≌△AFO(SAS), 同(1)可证出： :.CF=EB; ∴.∠AOE=∠AOF, Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), (2)AF+BE=AE. .∠AOC=120°， ∴.∠ABD=∠CAE. 证Rt△ADC≌Rt△ADE(HL), .∠AOE=60°， 又∠ABD+∠BAD=90°， 得AC=AE, ∴.∠AOF=∠COF=60°， ∴.∠BAC=∠CAE+∠BAD .AF+FC=AE,即AF+BE 在△OFC和△ODC中， =90°， =AE. ∠DOC=∠FOC=60°， .AB⊥AC. 第？课时角平分线的判定 OC=OC, 专题二证明三角形全等的解题思路 1.B2.①②③④3.B4.30° ∠3=∠4， 1.'DE=BF, 5.D6.4 .△OFC≌△ODC(ASA), ..DE-EF=BF一EF, 7.(1)作EH⊥DC于H, .'FC=DC, 即DF=BE. :∠ADE=∠EDH, .AF+FC=AC, 在△ABE和△CDF中， ∠A=∠DHE=90°， ∴.AC=AE+CD. (AB=CD, ..AE=EH 4.利用AAS易证△AEF≌△BAG, BE=DF, AE=BE,∴.EH=BE. △BGC≌△CHD,从而AF=BG AE-CF, .∠BCE=∠DCE: =3,AG=EF=8,CG=DH=4, ∴.△ABE≌△CDF(SSS). (2)由(1)知AD=DH,BC= CH=BG=3. 2.在△ABD和△CDB中， CH,..AD+BC=CD; S阴影=S倦形EFHD一2S△AEF一2S△CHD ∠ABD=∠CDB, BD=DB, (3)Sae=CD·EH= CD· =2×4+8》X18-2x号×8x ∠ADB=∠CBD, ∴.△ABD≌△CDB(ASA). AB=×13X号×12=-39. 3-2X号×4X3=72. 3.BE=CF, 专题三构造全等三角形的常用方法5.问题背景：BD十CE. .BE+EC=CF+EC, 1.过点C作CF⊥AD交AD的延拓展延伸：DE=BD+CE,证 54