抢分秘籍05 锐角三角函数及实际问题（六大题型+三大易错+跟踪训练）2026年中考复习冲刺

抢分秘籍05 锐角三角函数及实际问题 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】求某一角的三角函数值 【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长 【题型三】三角函数中的仰角俯角问题 【题型四】三角函数中的方位角问题 【题型五】三角函数中的坡度坡比问题 【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错 易错点二：与三角函数中图形未定产生多解 易错点三：实物情景未抽象出几何图形 ：锐角三角函数及实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，特殊角（30°、45°、60°）三角函数值计算、解直角三角形（含仰角俯角、坡度坡角等实际应用）为高频，常与几何图形结合求边长、高度。 2．从题型角度看，选择填空直接考定义及特殊值，解答题以实际测量、几何综合（如与圆、相似结合）为主，侧重建模与边角转化，分值8分左右，着实不少！ ：熟记特殊角函数值及定义，掌握“构造直角三角形”“双直角三角形”等模型，多练实际应用题（如测高、测距），注意单位换算与图形分析，强化方程思想（设未知数解边角关系）。 【题型一】求某一角的三角函数值 【例1】（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点 变式1：（2026·上海闵行·二模）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 【答案】 【分析】如图，过点F作于点G，设，，得到，利用勾股定理表示出，设，证明出，得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G ∵ ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，， 根据题意得，， ∴ ∴ 设 ∵，平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的正切值是． 变式2：（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 【答案】 【分析】连接，由折叠得，，，，，，证明，得，， ，即可得，最终可求出的值． 【详解】解：连接，由题意可得：，，，， 由折叠得，，， ，，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3：（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、圆上点到定点的最短距离问题、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的计算，熟练掌握相关图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）根据折叠的性质得到，结合点为定点，判断出点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆弧，再根据 “圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，结合勾股定理求出的长度，进而得到的最小值； （2）当取最小值时，点在线段上，由折叠性质得到，从而推出，利用相似三角形的性质求出的长度，再结合正方形边长求出的长度，最后根据正切的定义计算． 【详解】（1）解：点为的中点，正方形的边长为， ， 由折叠知，如图1， 点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，连接DE， ，，， 中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图，当取最小值时，点在线段上，由折叠知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长 【例1】（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，利用勾股定理求得，由旋转可得，，，得到，然后解，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为点， ∵矩形中，， ∴，，， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键 变式1：（2026·浙江·模拟预测）如图，钝角三角形绕点A逆时针旋转得到，点在直线上，．已知，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用．通过延长交于点H，构造直角三角形，利用正切值设未知数，结合旋转性质证明三角形相似，建立方程求解． 【详解】解：延长交于点H， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ 设，则， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 绕点旋转得到， ∴ ，，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 设， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴ 代入得， ∴整理，得， ∴ 解得或， ∴ 当时，，不合题意，舍去， ∴ ， ∴ ，， ∴ 在中，． 变式2：（2026·山西运城·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据锐角三角函数以及相似三角形的判定和性质求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 变式3：（25-26九年级下·重庆·月考）如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交的延长线于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则________． 【答案】 【分析】由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【题型三】三角函数中的仰角俯角问题 【例1】（2026·安徽阜阳·二模）某数学实践活动小组测量某电视塔的高度，如图，是长为的斜坡，坡角为，坡底到塔底的距离为．是垂直地面的测角仪，从点测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高为，试求电视塔的高度．（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据：，，，，，） 【答案】电视塔的高度约为 【分析】如图，解求出、，进而可求、，再解，进而求出，根据即可求解． 【详解】解：如答图，过点和点分别作于点，于点，延长交的延长线于点，则， 四边形和四边形是矩形， ，，， 在中，，，， ， ， 又， ，， 在中，，， ， ， 答：电视塔的高度约为． 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 变式1：（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 变式2：（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 变式3：（2026·山东淄博·一模）综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，由题易知，，设，结合解直角三角形的相关计算表示出，再结合建立等式求出，进而即可求出物体的高度． 【详解】解：连接，延长交于点， ，， 由题意知，， 设， 则，， ， ， 解得， ． 【题型四】三角函数中的方位角问题 【例1】（2026·江苏南通·一模）如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）． 【答案】海里 【分析】首先作辅助线拆分：过点作于，将拆分为，得到两个含特殊角的直角三角形，再解三角形即可． 【详解】解：过点作于点． 在中，， ． 在中，． ． ． 答：航程的值为海里． 方位角问题(解直角三角形的应用)，考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 变式1：（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度． 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 变式2：（2026·重庆·一模）如图，四边形是某小区步道，点，，，在同一平面内，点在点的南偏东方向，点在点的正东方向，点在点的正东方向，点在点的北偏西方向，且两地相距米．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小昆从点出发沿步行到终点，同时小萱从点出发，沿步行到终点，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点的距离（结果保留整数）． 【答案】(1) (2)当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求得，； （2）设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，分别求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 依题意，（米） ∴（米） ∴（米） （2）解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点， ∴米 ∵小昆与小萱步行的速度之比为， ∴ 设米，则米，米， 在中， ∴米，米 ∴米 在中， ∴ 解得：（不是第一次相距100米，舍去） ∴（米） 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米． 变式3：（2026·重庆·模拟预测）如图，某运动公园有跑道和自行车道，C在A的正东方向上；B在A的北偏东的方向上600米处，在C的北偏西的方向上；D在A的南偏东的方向上，在C的南偏西的方向上． (1)求的长度： (2)小明和小刚两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有能相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最大距离是米．小明从A处沿方向以4米/秒匀速跑向C；同时小刚也从A处出发，骑自行车沿骑行，段的速度为米/秒，段的速度为6米/秒．小明与小刚在运动过程中，因两人距离的原因，对讲机从可相互通话→无法通话→恢复通话．从出发开始计时，经过多长时间他们刚好恢复正常通话． 【答案】(1)米： (2)200秒 【分析】（1）由题意可得，，求出，，根据勾股定理即可求出答案； （2）根据题意求出恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中，利用勾股定理和解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴是等腰三角形，， 过点作于点，则， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的长度为米： （2）解：小刚从到D的时间为（秒）， 小明从到B的时间为（秒）， 此时两人的距离为米，大于米，处于无法通话的状态， 故恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中， 设经过秒，他们刚好恢复通话， 此时小明在上，距离C点为米，小刚在上，距离C点为米，设分别为小明和小刚到达的地点，过点作于点，则 ，， ， ∴， 当时，解得， 即．从出发开始计时，经过秒他们刚好恢复正常通话． 【题型五】三角函数中的坡度坡比问题 【例1】（2026·甘肃陇南·一模）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，在离C点30米的D处测得教学楼顶端A的仰角为．求教学楼的高度约为多少米？（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】教学楼的高度约为米． 【分析】延长交延长线于点，在中利用坡度的定义得到，设米，利用勾股定理表示出，求出的值，得出的长，在中，利用正切的定义求出的长，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，则， 在中，， ， 设米，则米， （米）， 又米， ， 解得：， （米）， ∵米， 米， 在中，， （米）， （米）． 答：教学楼的高度约为米． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题 变式1：（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 变式2：（2026·安徽滁州·一模）冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图1是某滑雪赛道，图2是其侧面简化示意图，是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长10米．小华从处测得处的仰角为，从处测得处的仰角为，求滑雪赛道的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】设米，米，根据勾股定理得出，求出米，米，设米，作，垂足为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】解：斜坡坡比， ， 设米，米， 根据勾股定理得：， 解得， 米，米， 设米，作，垂足为， ， 米， 米，米， 在中，，， 即， 解得， 答：滑雪赛道高度约为米． 变式3：（2026·河南焦作·一模）在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度与其水平投影长度的比值，即坡度（）． (1)一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度为_____． (2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，，，三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在处竖直向上放飞无人机，无人机在处测得坡顶的俯角为，坡底的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度．（参考数据：） 【答案】(1)这个坡道的垂直高度为米 (2)坡道的坡度为 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而求得，，再根据坡度的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为， ∴， 解得：米； 答：这个坡道的垂直高度为米． （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，，米， ∴米， 依题意，，则是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴坡道的坡度为， 答：坡道的坡度为． 【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合 【例1】（2026·安徽蚌埠·一模）敏敏同学在物理课上学过平面镜成像的知识后，在老师的指导下，去某处仓库作验证实验．如图，老师在仓库房顶的角落安装一面平面镜，且与竖直墙面的夹角．已知仓库高6米（即米），房顶与地面平行，敏敏同学在点N的正下方C处观察平面镜，能看到的最远处为点D（A，B，M，N，C，D在同一竖直平面内），则点D到敏敏同学的距离是多少米？ 参考数据：，，． 【答案】点D到敏敏同学的距离约为16.5米 【分析】过点N作的垂线，则，根据平面镜成像特点可知入射角等于反射角，由此可得到相关角度关系，再利用正切的定义来求解线段长度． 【详解】解：如图，过点N作的垂线，则， 由平面镜成像性质可知，入射角等于反射角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴（米）， 即点D到敏敏同学的距离约为16.5米． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键 变式1：（2026·广东江门·一模）《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 【答案】(1) (2)点到点的距离为米 【分析】（1）由题意可得，则，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）作于点，则米，由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得：，， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴点到点的距离为米． 变式2：（2026·河南许昌·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 变式3：（2026·海南·模拟预测）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到；理由见解析 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ． 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错 求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 例1．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 变式1：（2026·北京西城·一模）如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】连接、，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据正切的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， 是直径， ， ， 由网格可知，， ． 变式2：（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，设交格点于点，连接，由题意可得，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 变式3：（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键． 设，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据的面积为3，得到，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为， ∴， 即， ， ∴， 解得，（舍去）， 即； 在中，， 故， ∴． 故答案为：，． 易错点二：与三角函数中图形未定产生多解 本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用． 例1．（2026·河南南阳·一模）在中，，，将边绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．若，则的长为______． 【答案】或 【分析】过作于，由旋转的性质得到，然后通过等腰三角形的性质得，因为，所以，，由勾股定理求出，得到，，由勾股定理求出，当靠近时，得到；当靠近时，得到，于是得到答案． 【详解】解：过作于，由旋转的性质得到， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 由勾股定理得到：， ∴， ∴，， 当靠近时，如图， ∵， ∴， ∴ ∴； 当靠近时，如图， ∵，， ∴ ∴的长为或． 变式1：（2026·上海松江·二模）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 【答案】或 【分析】先由勾股定理求出的长度，根据是以为腰的等腰三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理得：， 当时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，则，过点于点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（舍负）， ∴ 综上所述，的长为或． 变式2：（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 【答案】4或5 【分析】在中，解直角三角形得，过点O作于点P，作于点Q，根据、O为的中点得、是的中位线，从而得，，根据M为边的三等分点，分两种情况讨论，分别为和，分别证明，求出，根据计算即可． 【详解】解：在中，， 过点O作于点P，作于点Q， ∵，O为的中点， ∴，是的中位线，， ∴，， 分两种情况：①如图1，当时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，，， ∴， 同理易证得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为4或5． 变式3：（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在矩形中，，，点是上一点，且，点是线段上的一个动点，将四边形沿所在直线翻折，点，的对应点分别为，，直线与边交于点，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】依题意，为直角三角形时，只有两种情况，为直角顶点或为直角顶点，根据题意画出图形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，为直角三角形时，只有两种情况，为直角顶点或为直角顶点 ①当为直角顶点时，如图， ∴， ∵在上， ∴ ∴ ∵四边形沿所在直线翻折， ∴ ∴四边形是矩形， ∴； ②当为直角顶点时，如图， ∵， ∴共线， ∵矩形中， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，，则， ∵， ∴ ∴ ∴， 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 易错点三：实物情景未抽象出几何图形 本题主要考查了解直角三角形的应用，主要是抽象出几何图形。 例1．（2026·湖南长沙·一模）我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 【答案】219米 【分析】在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度约为219米． 变式1：（2026·安徽淮北·二模）如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标．小明绘制了这棵古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干高约2米，一树枝的长约5米，且与主树干所在直线的夹角约为． (1)求枝条末梢点到地面的距离； (2)图2中，一束与地面的夹角约的光线照射古树形成树荫，树枝末梢点在地面上的影子记为点，求点到主树干的距离．（参考数据，，，，，） 【答案】(1)枝条末梢点到地面的距离为6.16米 (2)点到主树干的距离为0.795米 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形得出米，再证明四边形是矩形，得出米，即可得解； （2）解直角三角形得出米，米，由（1）知四边形是矩形，则米，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，（米）， ， 四边形是矩形， （米）， （米） 答：枝条末梢点到地面的距离为米； （2）解：在中，， （米）， 在中，， （米）， 由（1）知四边形是矩形， （米）， （米）， 答：点到主树干的距离为米． 变式2：（2026·海南·一模）如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图③，杯托E处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）． 求 (1)________度； (2)乘客水杯的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质、垂线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点B作，根据平行线的性质得到，利用垂线的性质求出的度数，从而求出的度数； （2）过点E作，交于点F，根据题意求出的度数，进而求出的度数，在中，利用求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作， ， 垂直于地面， ， ， ， ； （2）解：如图，过点E作，交于点F， ， 靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， 乘客水杯的最大高度约为：． 变式3：（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可； （2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； （2）解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 一、单选题 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据求出，进而求出长，利用勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 2．（2026·河南周口·一模）如图，在直角三角形纸片中，，，，是斜边的中点．把纸片沿直线折叠，点落在点处，连接，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理和直角三角形的性质可得，由折叠可知，，所以，即是等腰三角形，过点作于点，过点作于点，通过等面积求出，在中，，再得出，则，再代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由折叠可知：，， ∴，即是等腰三角形， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵点在直线的同侧， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·安徽淮北·二模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义的变换规则，先对点作平移变换，再结合旋转的性质，利用三角函数计算旋转后点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点， 根据题意，点先向上平移1个单位得到点，再绕点逆时针旋转得到点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴点的坐标为． 4．（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，是边上的三等分点，连接，相交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A    作于点H，设，则，；由三线合一定理得到，则，进而得到，；证明，推出，则；过点G作于点M，解直角三角形得到，，则，据此可得，即． 【详解】解：如图所示，过点A    作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∵是边上的三等分点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点G作于点M， ∴，， ∴， ∴，即． 二、填空题 6．（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，则点到的距离为_____． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、角平分线的性质及解直角三角形，解题关键是由作图得出平分，再利用角平分线的性质将点到的距离转化为的长度求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， 根据角平分线的性质可得：． 故答案为：． 7．（2026·湖南永州·一模）如图，在中，，，点D为的中点，点P为边上的一个动点，当最小时，______． 【答案】2 【分析】作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，，得到，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接，然后证明出是等边三角形，得到，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，， ∴， ∴， ∴如图，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接， ∵点A和点关于对称， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∴． 8．（2026·广东广州·一模）如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，首先根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，再确定，，进一步利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵的半径为4，即，且， ∴，， ∴， ∴． 9．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，正方形的顶点 D，E，G 分别在边上，若 则正方形的边长为_________． 【答案】 【分析】过点G作于点H，证明，得到；求出，解直角三角形得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 10．（2026·上海虹口·二模）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，联结，把沿翻折得到，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 【答案】2 【分析】  设与交于点，根据正切的定义得到，求出，根据勾股定理得到，根据翻折的性质得到，，设，根据平行四边形的性质得到，，，通过证明，得到，列出关于的方程，求出的值，得到，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， 在中，， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， 在中，， 即的长是2． 三、解答题 11．（2026·辽宁锦州·一模）随着城郊乡村休闲游持续升温，不少农户在自家院内打造特色菜园吸引游客体验农事．某农户计划借助自家院内、两面墙（墙长足够），用栅栏围建一块梯形菜园，已知，，． (1)如图1，若段墙的长度为，求此时与间的距离（结果精确到）； (2)如图2，该农户计划购买的栅栏进行围建，并在边上留一个宽的门．若围建的梯形菜园的面积为，求此时的长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)3m 【分析】（1）过点作于点，求出，再利用余弦值求解即可； （2）过点作于点，连接．证明四边形是矩形．设，利用正切值得到，再根据梯形面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ， ， ， 在中，， ， 答：此时与间的距离约为． （2）解：如图2，过点作于点，连接， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， ， ， 整理得，， 解得， 答：当围建的梯形菜园的面积为时，的长约为． 12．（2026·天津东丽·一模）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】 【分析】过点A作于D，由正切的定义表示出和，再根据为等量关系列出等式即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于D， 根据题意得：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：所测量的这段大运河的宽度约为． 13．（2026·山西阳泉·一模）太原晋阳湖水域面积5.1平方公里、蓄水量达2400万立方米，是华北地区最大的人工湖．周末小颖和同学到晋阳湖欢乐谷游玩．有“晋阳湖之眼”美称的摩天轮如图1所示，图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径，点距地面的距离为5米．小颖和同学运用数学知识实地估测该摩天轮的直径，她在距地面11米高的观测点A处（米）测得摩天轮顶端的仰角即为，小颖的同学从点A正下方的点P处走到摩天轮支架所在的点B，观察到支架经过摩天轮圆心O，测得支架与水平面的夹角为，为28米．图中各点均在同一竖直平面内，点C、B、P在同一水平直线上．请你根据他们所测得的数据，计算摩天轮的直径．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米） 【答案】摩天轮直径约为88米 【分析】延长交于点，证明四边形是矩形，得，设摩天轮的半径为米，即（米），在中，得，求出，在中，得，用含x的式子表示出，列方程求解即可． 【详解】解：延长交于点， 根据题意得，，， 四边形是矩形． ． （米）． 在中，， ． 设摩天轮的半径为米，即（米）， 米． ， ． 在中，， ． 米，米， ， ． 解得， （米） 答：摩天轮直径约为88米． 14．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 15．（2026·辽宁沈阳·一模）申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图    测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求和的长． (2)求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 【答案】(1)， (2)的高度约为 【分析】（1）根据坡度的定义可得，结合勾股定理得，列出方程，可求出和的长； （2）过点作于点，令，可用表示、的长度，再结合，即可得出的高度． 【详解】（1）解：∵倾斜步道的坡度为，， 故， ∴， 由，得， 解得，． （2）解：过点作于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， 解得， 故的高度约为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $抢分秘籍05锐角三角函数及实际问题 CO 题型概览 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】求某一角的三角函数值 【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长 【题型三】三角函数中的仰角俯角问题 【题型四】三角函数中的方位角问题 【题型五】三角函数中的坡度坡比问题 【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错 易错点二：与三角函数中图形未定产生多解 易错点三：实物情景未抽象出几何图形 CCO 解密中考 ]考情分析：锐角三角函数及实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都 有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1.从考点频率看，特殊角(30°、45°、60°)三角函数值计算、解直角三角形（含仰角俯角、坡度 坡角等实际应用)为高频，常与几何图形结合求边长、高度。 2.从题型角度看，选择填空直接考定义及特殊值，解答题以实际测量、几何综合（如与圆、相似结合） 为主，侧重建模与边角转化，分值8分左右，着实不少！ |备考策略：熟记特殊角函数值及定义，掌握“构造直角三角形”“双直角三角形”等模型，多练实 际应用题（如测高、测距），注意单位换算与图形分析，强化方程思想（设未知数解边角关系）。 ◇>题型特训提分 【题型一】求某一角的三角函数值 【例1】(2026江苏泰州一模)如图，AB为⊙0的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙0相切， 切点分别为C,D.若AB=8,PC=6,则tan∠CAD= 1/19 0 B 子解恩技巧 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点 变式1：(2026上海闵行二模)如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰 好落在B1延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F,连接BF,如果45-8， AB15,那么 ∠FBE的正切值是 B 变式2：(2026江苏无锡·二模)如图所示为一张矩形纸片ABCD,点E为边AD的中点，点F在边BC上， 把该纸片沿EF折叠，点A,B的对应点分别为G,H,GH与BC交于点O,HG的延长线过点C.若 BF 3 C04则sin∠8CH=. E D G 变式3：(2026·安微铜陵二模)一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4的正方形纸片ABCD, 点E为AB的中点，点N为AD上任意一点，将△EAN沿NE所在的直线折叠得到△EAN,连接DA. C E (1)DA的最小值为 (2)当DA取最小值时，tan ZAEN= 2/19 【题型二】由每一角的三角函数值求线段的长 【例1】(2026四川绵阳.二模)矩形ABCD中，BC=2AB=4,连接BD,将△BCD绕点D逆时针旋转得到 aED,连接BE,CF,若n∠CFE=日，则BE= 解题技巧 本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键 变式1：(2026浙江模拟预测)如图，钝角三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',点C在直线BC上， 1B'1BC.已知8c=5,anC=2,则AC的长为 B 变式2：(2026山西运城二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,点D是AC边上一点，连接 BD并延长到点E,使DE=2BD,点F在BC的延长线上，且BC=2CF,连接EA,EF,若EB=EF, n∠ACB,则AE的长为 变式3：(25-26九年级下.重庆月考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交 4C的延长线于点D,连接D0并延长，交O0于点E,连接AB,CE.若4B=4,cos∠AEC=5,则 3 3/19 OD= D 【题型三】三角函数中的仰角俯角问题 【例1】(2026·安微阜阳.二模)某数学实践活动小组测量某电视塔的高度DE，如图，BC是长为15m的斜 坡，坡角为36.5°，坡底C到塔底D的距离为37m,AB是垂直地面的测角仪，从点A测得塔顶E的仰角为 42.7°，已知测角仪AB的高为1.5m,试求电视塔DE的高度.（己知图上所有的点都在同一平面，参考数据： sin36.5°≈0.59，c0s36.5°≈0.80，tan36.5°≈0.74，sin42.7°≈0.68，c0s42.7°≈0.73，tan42.7≈0.92) E 42.7A B 36.5° D C 解题技巧 仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 变式1：(2026江苏徐州.一模)小涵和小字想测量公园山坡上二个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们 带着工具前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE,测得信号杆顶端A 的仰角a为45°，DE与坡面的夹角B为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m.已知 DE=1.Tm点A,B,C在同一条直线上，AB,DE均与水平线FC垂直.求信号杆的高AB,(参考数据： sin72.5°≈0.95，c0s72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17) 4/19 B D C 变式2：(2026山东临沂·一模)某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最 北端的“北水门”高度进行了实地测量.操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为23.5°，在测角仪和大门之间水平光滑的地 面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位 于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得 CE=2米.已知测角仪的高度CD=1米，点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，且点B,E,C在同一条 水平直线上.求北水门AB的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin23.5°≈0.40，c0s23.5°≈0.92， tan23.5°≈0.43) 33PD B 变式3：(2026山东淄博.一模)综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.如图所示，要测量 物体MN的高度，可以按下列步骤进行： M B A (1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角. (2)在测点A与物体MN之间的B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上)，测得此时M的仰角阝. (3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A和测点B之间的水平距离AB=b,根据测量数据，请求 出物体MN的高度. 【题型四】三角函数中的方位角问题 5/19 【例1】(2026江苏南通.一模)如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔60√5海里的A处，它沿正 东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）. 45160° B 中解题技巧 方位角问题（解直角三角形的应用），考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质， 此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力.计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似 三角形是解题的关键 变式1：(2026天津红桥。二模)在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里二个池塘两端的距离4B(如 图).某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西53°方向，再沿正西方向前 行220到达C处，测得B处在C处的北偏东48°方向.根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离 AB(结果保留整数).参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan42°≈0.90. B 东 89 变式2：(2026重庆.一模)如图，四边形ABCD是某小区步道，点A,B,C,D在同一平面内，点B在点 A的南偏东30°方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西45°方向，且 A、C两地相距300米.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45） D A 30 45 B (1)求A、B两地的距离（结果保留根号）： (2)小昆从点B出发沿BA步行到终点A,同时小萱从点A出发，沿AD步行到终点D,小昆与小萱步行的速 度之比为3：2，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）. 6/19 变式3：(2026·重庆模拟预测)如图，某运动公园有跑道A台B:C和自行车道A分D:C,C在A的正东 方向上；B在A的北偏东60°的方向上600米处，在C的北偏西60°的方向上；D在A的南偏东30°的方向 上，在C的南偏西60°的方向上. 西 →东 60° 60南 60° 30° D (1)求BD的长度： (2)小明和小刚两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有能相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最 大距离是200√万米.小明从A处沿A→B→C方向以4米/秒匀速跑向C;同时小刚也从A处出发，骑自行 车沿A→D→C骑行，A→D段的速度为25米/秒，D→C段的速度为6米/秒.小明与小刚在运动过程 中，因两人距离的原因，对讲机从可相互通话→无法通话一→恢复通话.从出发开始计时，经过多长时间他 们刚好恢复正常通话 【题型五】三角函数中的坡度坡比问题 【例1】(2026·甘肃陇南一模)某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC,已知 BC的长为8米，它的坡比i=1:√5，在离C点30米的D处测得教学楼顶端A的仰角为37°.求教学楼AB 的高度约为多少米？（结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， √3≈1.73) D C - ◇ 器- B 口口 在RtaBCF中， B D C .CF =3BF, 设BF=k米，则CF=√3k米， BC=VBF2+CF2=2k(米)， 7/19 又：BC=8米， 2k=8, 解得：k=4, CF=45(米)， 解题技巧 本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题 变式1：(2026湖北襄阳.二模)暑假期间，小明二家到某旅游风景区登山.他们从山底A处出发，先步行 200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角a=16°，缆车的行驶路线BC与水平 面的夹角B=37°，这座山的高度CD=296m,A,B,C,D在同一平面内.（参考数据： sinl6°≈0.28，cosl6≈0.96，tanl6°≈0.29：sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75) BSB A D (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）. 变式2：(2026·安徽滁州一模)冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择.图1是某滑雪赛道，图2是 其侧面简化示意图，CD是滑雪赛道的高度，斜坡AB的坡比i=1.5:2,坡面长10米.小华从A处测得C处 的仰角为22°，从B处测得C处的仰角为45°，求滑雪赛道的高度CD.(结果精确到0.1米，参考数据： sin22°≈0.37，c0s22°≈0.93，tan22°≈0.40) 00 222工1A 45 B 图(1) 图(2) 变式3：(2026河南焦作.一模)在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以 百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度h与其水平投影长度d的比值，即坡度(%) 垂直高度h ×100%. 水平投影长度d 8/19 坡道 垂直高度h 一水平投影长度d 图1 图2 图3 (1)一个坡道的水平投影长度d为200m,这个坡道的坡度为5%，则这个坡道的垂直高度h为m. (2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，AC是该 匝道的坡道，AB是坡道AC的垂直高度，BC是它的水平投影长度，B,C,D三点在同一水平面且在同 一条直线上，同学们在D处竖直向上放飞无人机，无人机在E处测得坡顶A的俯角为14°，坡底C的俯角为 45°，其中BC=150米，DE=62米，求出坡道AC的坡度.（参考数据：tan14°≈0.25） 【题型六】三角函数中的实际问题和其他学科综合 【例1】(2026安微蚌埠.一模)敏敏同学在物理课上学过平面镜成像的知识后，在老师的指导下，去某处仓 库作验证实验.如图，老师在仓库房顶的角落安装一面平面镜MN,且MN与竖直墙面AB的夹角 ∠NMB=125°.已知仓库高6米（即AB=6米），房顶与地面平行，敏敏同学在点N的正下方C处观察平面 镜，能看到的最远处为点D(A,B,M,N,C,D在同一竖直平面内)，则点D到敏敏同学的距离CD是多 少米？ 参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75. 屋顶 地面 D 解题技巧 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键 变式1：(2026广东江门.一模)《准南方毕术》记载：“取天镜高悬，悬水盆宇其下，则见西邻矣”这是世界 上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角)，如图1所示.其简易图如图2所 示：A,B呈水平状态，在A点上方C处放置一面小镜，从目标B射来的光线经C点反射后到达A点，再经 过A点反射到达观察者眼中.图中AE,CD为法线（即AE⊥AB,CD⊥镜面） 9/19 大镜农 镜面 D B 图1 图2 (1)如图2，若∠BCD=30°，∠CAE=15°，求∠ABC的度数， (2)在(1)的条件下，若AB=12米，求点C到点A的距离（答案保留根号）， 变式2：(2026河南许昌.一模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高 锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处， 已知试管AB=30cm,试管倾斜角a=10° 高锰酸钾 蓬松的棉花团 (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度： (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D,N,F在一 条直线上)，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长度.（参考数据： sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tanl0°≈0.18) 变式3：(2026海南模拟预测)综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度， 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图.己知支架AB长 为2.5米，且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF=2米.当伞面 完全张开时，点D、E、F始终共线.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化， 自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直， B 图1 图2 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 10/19 时刻 12点 13点 14点 15点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点？. (1)【任务1】某一时刻测得AD=0.8米， ①请直接写出sin ZADE= ②请求出此时影子GH的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说 明理由。 误区点拨 易错点一：网格中求三角函数的值，构造直角三角形易错 香易混点因 求角的正切值、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 例1.(2026江苏扬州二模)在如图所示的小正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，线段AB和 CD相交于点O,则sin∠AOC的值为 变式1：(2026北京西城一模)如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以 AB为直径的圆经过点C,D,则tanZADC的值为 B 变式2：(2026河北张家口.一模)如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为 11/19 60°，且点A,B,C都在格点上，则sin∠ABC的值为 B 变式3：(2026·湖南邵阳一模)如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点A的一条直线，把 网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则(1)AN=,(2)si∠MNB的值为 易错点二：与三角函数中图形未定产生多解 叶易混点拨 本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值.也考查了矩 形的性质以及分类讨论思想的运用. 例1.(2026：河南南阳.一模)在ABC中，48=4C=20,anB= 将边AB绕点A旋转，B的对应点为 点D,连接AD交边BC于点E,若AE=3ED,则BE的长为 · 变式1：(2026上海松江·二模)已知ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点P、Q分别在边AB、 BC上，如果△ACP是以AP为腰的等腰三角形，且CP⊥PQ,那么PQ的长是 变式2：(2026河南周口·一模)定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形 斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”.如图，AB=3√5，∠ACB=30°，ABC和 △DOE为对角直角三角形（∠A=∠D0E=90°），O为BC的中点，AB与OD交于点M,OE与AC交于点N. 若M为边AB的三等分点，则CN的长为 M 变式3：(2026黑龙江齐齐哈尔一模)在矩形ABCD中，AB=5,BC=15,点E是BC上一点，且BE=3, 点P是线段AD上的一个动点，将四边形ABEP沿EP所在直线翻折，点A,B的对应点分别为，B,直 线AB与边AD交于点G,连接B'D.当△B'GD为直角三角形时，AP的长为 12/19 易错点三：实物情景未抽象出几何图形 叶易混点拨 本题主要考查了解直角三角形的应用，主要是抽象出几何图形。 例1.(2026·湖南长沙.一模)我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某 段河面宽度MN,工作人员操控无人机在P处测得M,N两处的俯角分别为a=45°，B=30°，测得无人机 高于水平地面的高度P9为300米，且Q,M,N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度MW为多少米？ (参考数据：√3≈1.73，结果保留整数) Q 答：这条河的宽度MW约为219米 变式1：(2026·安徽准北·二模)如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距 今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标.小明绘制了这棵 古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干AB高约2米，一树枝BC的长约5米，且与主树干 所在直线的夹角约为34°. 34 B 72 AD 图1 图2 (1)求枝条末梢C点到地面的距离； (2)图2中，一束与地面的夹角约72°的光线照射古树形成树荫，树枝末梢C点在地面上的影子记为点D,求 点D到主树干的距离.（参考数据sin34°≈0.559，cos34°≈0.832，tan34°≈0.675，sin72°≈0.951， c0s72°≈0.309，tan72°≈3.080) 变式2：(2026海南一模)如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支 架BC连接靠背AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得 CE=10cm,∠ABC=35°，靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图③，杯托E处凹 陷深度为0.7cm.若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E). 13/19 CE D CA 图① 图② 图③ 求 (1)∠BCD= 度； (2)乘客水杯的最大高度.（结果精确到1cm,参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70） 变式3：(2026山东淄博.一模)如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手AM 与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如 图2，点M,D,E在一条直线上，ME⊥EC,其中AM=10cm,ME=28cm,∠ACE=60°. B 60X C 图1 图2 (1)求EC的长： (2)如果出水口B与点C间的距离为20cm,出水管BD与DM的夹角∠MDB=60°，求出水管BD的长.（参 3 4 考数据：5=1.7，sin37°*写cos37°*行tam37°*子. (结果保留整数) 4 跟踪训练 一、单选题 1.(2026安微阜阳二模)如图，在ABC中，AB=0,BC=4,cosB-30,则AC边的长度为() 10 B A.32 B.√2 C.33 D.5 2 14/19 2.(2026河南周口一模)如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，4C=25,AB=10,D是斜边 AB的中点.把纸片沿直线CD折叠，点B落在点E处，连接AE,则AE的长为() D A.6 B.8 C.35 D.45 3 3.(2026安徽准北二模)定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移aa>0)个单位长度，再绕 原点按逆时针方向旋转O角度，这样的图形变换叫做图形的p(a,0)变换.如：点P(2,)按照p(1,90°)变换 后得到点P的坐标为(-2,2)，则点Q(1,-1)按照p(1,150°)变换后得到点Q的坐标为() V31 A.22 4.(2026广东佛山一模)如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AE,若∠BEC=90°， 则cos∠BCE=() D A.2 B.1 D.V5 3 c. 3 5 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，在菱形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE,AF相交 于点G,若AB=AF,则tan∠GCF的值是() D B E A. 2W2 B.32 5 5 c 二、填空题 6.(2026湖南模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2√3，以A为圆心，适当长 15/19 为半径画弧分别交AB,AC于点D,E,再分别以D,E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在 ∠BAC内部交于点P,连接AP并延长交BC于点F,则点F到AB的距离为· C 4 B 7.(2026湖南永州一模)如图，在ABC中，AB=2,∠B=30°，点D为AB的中点，点P为BC边上 的一个动点，当PD+PA最小时，BP= A D 8.(2026广东广州一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，已知O0的半径为4，∠BCD=120°， 则BD= A Q 9.(2026辽宁.模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=7,正方形DEFG的顶点D,E, G分别在边AC,BC,AB上，若BG=42,则正方形DEFG的边长为 G CE B Q.(2026上海虹口三模)如图，在R△ABC中，∠C=90°，4C=4,amB=):点D在边AB上，点E 在边BC上，联结DE,把BDE沿DE翻折得到FDE,联结AF、AE,如果四边形AFDE为平行四边形， 那么CE的长是 16/19 B 三、解答题 11.(2026辽宁锦州一模)随着城郊乡村休闲游持续升温，不少农户在自家院内打造特色菜园吸引游客体 验农事.某农户计划借助自家院内BE、BF两面墙（墙长足够），用栅栏围建一块梯形菜园ABCD,己知 AB∥CD,∠BAD=90°，∠ABC=153.4° D F D MN C F B 图1 图2 (1)如图1，若BC段墙的长度为5m,求此时AB与CD间的距离（结果精确到0.1m); (2)如图2，该农户计划购买11m的栅栏进行围建，并在CD边上留一个1m宽的门MW.若围建的梯形菜园 的面积为18m2,求此时AD的长.（参考数据：sin63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45，tan63.4°≈2） 12.(2026天津东丽·一模)某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动.数学兴趣小组想测量两 岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河 岸边任取两点B,C(点A,B,C在同一平面内)，测得LABC=53°，∠ACB=60°，BC=50m,求这段大 运河的宽度（结果取整数）. 参考数据：tan53°≈1.3，√3≈1.7. 人53 60以 B C 13.(2026山西阳泉.一模)太原晋阳湖水域面积5.1平方公里、蓄水量达2400万立方米，是华北地区最大 的人工湖.周末小颖和同学到晋阳湖欢乐谷游玩.有“晋阳湖之眼”美称的摩天轮如图1所示，图2为其简化 示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径，N点距地面的距离为5米.小颖和同学 运用数学知识实地估测该摩天轮的直径，她在距地面11米高的观测点A处(AP=11米)测得摩天轮顶端 M的仰角∠MAD即∠1为54°，小颖的同学从点A正下方的点P处走到摩天轮支架所在的点B,观察到支架 经过摩天轮圆心O,测得支架OB与水平面的夹角∠2为58°，BP为28米.图中各点均在同一竖直平面内， 点C、B、P在同一水平直线上.请你根据他们所测得的数据，计算摩天轮的直径MW.(参考数据： sin54°=0.8，c0s54°=0.6，tan54°=1.4，sin58°=0.8，c0s58°=0.5，tan58°≈1.6，结果精确到1米) 17/19 图1 图2 14.(2026山东滨州一模)在我们的生活中，处处都蕴含着数学.小刚所在的数学社团开展了一项关于学 校门锁的调查研究.他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手 间内的旋转门锁（如图②）. 图① 图② 图③ 图④ 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图 (I)图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由B,DC和矩形ABCD组成，且AB=DC,圆 心是倒锁按钮点F，若CD的弓形高EG=2cm,CD=8cm,请求出此时图③中圆心F到AB的距离， (②)图④是图②门锁的工作简化图，锁芯0固定在门边P右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达 K处，把手绕锁芯0旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时∠N0S=20°，将0N绕点O 顺时针旋转90°得到O0,过点2作OM⊥PR于点M·若QN所在圆的半径ON=10cm,请求出此时MN的 长度（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364） 15.(2026辽宁沈阳一模)申伯楼是信阳狮河区狮河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮 河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点.某综合与实践小组开展测量申伯楼AB高度的活动， 记录如下 活动主题 测量申伯楼AB高度 18/19 B 实物图和测量示意图 D C E 图1 图2 申伯楼前有一座高为DE的观景台，已知观景台的倾斜步道 测量说明 CD的坡度为i.该小组在观景台C处测得申伯楼顶部B的仰 角为，在观景台D处测得申伯楼顶部B的仰角为B. 测量数据 CD=6.25m,i=3:4,a=45°，B=33 点E,C,A在同一条水平直线上.参考数据： 备注 sin33°≈0.54，tan33°≈0.65 根据以上信息，解决下列问题： (I)分别求CE和DE的长. (2)求申伯楼AB的高度.（此问结果精确到1m) 19/19