2026年甘肃兰州中考数学模拟卷2

2026兰州中考数学模拟卷2 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．﹣4的相反数是（　　） A． B．4 C．2 D．±2 2．下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．化简（a+b+c）2﹣（a﹣b+c）2的结果为（　　） A．4b（a+c） B．4ac C．2ac D．4ab﹣4bc 4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1.5 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1 5．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 6．关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．当x＞0时，y的值随x的增大而减小 C．当x＞﹣1时，y＜﹣3 D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上 7．植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 8．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4cm，蜡烛火焰的像的高度是8cm，物距为16cm，则像距是（　　） A．18cm B．20cm C．24cm D．32cm 9．如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠BOC＝120°，则∠BAC等于（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 10．从某校八年级学生中随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分，5分．将测试结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，则这些学生得分的平均数是（　　） A．3分 B．3.1分 C．3.2分 D．3.4分 11．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，动点P从点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点P作AB的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记△APQ的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．因式分解：x2﹣x＝　 　 ． 13．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比是　 　 ． 14．黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑等方面，在小提琴的设计中，也经常会使用黄金分割数．如图，一架小提琴中琴头顶端到共鸣箱顶端的长度AC，共鸣箱的高度BC，以及小提琴总长AB各部分的长度比满足，经测量AC＝18cm，则BC的长为　 　 cm．（结果保留整数） 15．人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若该女士怀孕后所生的孩子是女孩的概率是 　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：6． 17．（5分）解二元一次方程组：． 18．（5分）先化简，再求值：，其中，y＝4． 19．（7分）如图，一次函数y＝ax图象与x轴，y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y（k≠0）的图象相交于点E、F，过F作y轴的垂线，垂足为点C，已知点A（﹣3，0），点F（3，t）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点E的坐标并求△EOF的面积； （3）结合该图象写出满足不等式ax的解集． 20．（7分）风能是一种清洁能源，我国风能资源非常丰富，风力发电发展迅速．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．某校数学综合与实践小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，风电塔筒是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，它的高度是一个重要的设计参数．于是该小组成员开展了测量风电塔筒高度（即风力发电的塔杆）的实践活动．形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 风电塔筒的高度 测量目的 运用三角函数有关知识解决实际问题 测量工具 测角仪、激光测距仪等 测量示意图 测量方案 1．在风电塔筒前的空轴上取测量点C，利用测角仪PC测得此时点A的仰角∠APQ＝53°； 2．改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点D，利用测角仪MD测得此时点A的仰角∠AMN＝45°； 3．测得PC＝1米，MD＝0.5米，CD＝200米．（图中各点均在同一竖直平面内） 请根据以上测量数据，求风电塔筒AB的高度（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，． 21．（7分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMasslndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BM＜18.5为偏瘦：18.5≤BM1＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖，某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BM数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BM＜20；B.20≤BM1＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32． 将所得数据进行收集、整理、描述，并绘制了如图所示的扇形统计图． 【收集数据】 七年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高/m 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重/kg 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 BM1 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6 七年级10名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高/m 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重/kg 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 BMI 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 【整理、描述数据】 组别 BMI 男生频数 女生频数 A 16≤BMI＜20 3 2 B 20≤BMI＜24 4 6 C 24≤BMI＜28 t 2 D 28≤BMI＜32 1 0 （1）s＝　 　 ，t＝　 　 ，α＝　 　 ； （2）已知该校七年级有男生260人、女生240人．估计该校七年级学生BMl≥24的人数． （3）根据以上统计数据，计对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出两条合理化建议． 22．（7分）小红在解决“如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为MN，点M、N分别在边AD、BC上，求折痕MN的长度”这一道数学题后，她发现AE＝MN，进一步研究发现点A落在边CD上任一点E处均有AE＝MN．其解决思路是简化条件利用矩形的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在正方形ABCD中，将四边形ABNM沿着MN翻折使得A落在CD上任一点E处，连接AE，则AE＝MN．用尺规过点M作MH⊥BC于点H（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：正方形ABCD中，AE⊥MN于点G，MH⊥BC．求证：AE＝MN． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°，　 　 ， ∵MH⊥BC， ∴∠MHN＝∠MHC＝90°， ∴∠D＝∠C＝∠MHC＝90°， ∴　 　 ， ∴MH＝CD， ∴　 　 ， ∵AE⊥MN， ∴∠EGN＝90°， ∴∠GNC+∠AEC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 又∵∠AED+∠AEC＝180°， ∴∠MNH＝∠AED， ∴△MNH≌　 　 （AAS）， ∴AE＝MN． 此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段的数量关系为　 　 ． 23．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF，垂足为E，AF平分∠EAC，AG＝BG，连接AG，BF． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若，AF＝8，求线段EF的长． 24．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC边上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）如图1，点G在BC边上时（不与B、C重合），求证：AF﹣BF＝EF． （2）如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），写出线段EF与AF、BF的等量关系，并说明理由． 25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数）经过点A（1，0），B（4，3）． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当6﹣t≤x≤t时，记函数的最大值为M，最小值为N． ①当t＝5时，求N的值． ②当t≥4时，求证：M﹣N≥4． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A在半径为1的⊙O上，B，C为平面内不重合的两点，对于⊙O与直线BC给出如下定义：称点A到直线BC的距离为⊙O与直线BC关于点A的理想距离，记为d（⊙O，BC，A），特别地，点A在直线BC上时，d（⊙O，BC，A）＝0． （1）已知A（﹣1，0），B（0，2）． ①若C1（0，0），则d（⊙O，BC1，A）＝　 　 ，若C2（2，2），则d（⊙O，BC2，A）＝　 　 ； ②若点C在直线y＝kx+3（0＜k＜2）上，则d（⊙O，BC，A）的取值范围是　 　 ； （2）若点D（3，4），且CD＝2，点B在函数y＝x+2（﹣2＜x＜0）的图象上，对于每一个点B，记d（⊙O，BC，A）的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标． 第11页 ◎ 第12页 学科网（北京）股份有限公司 2026兰州中考数学模拟试卷2 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A D A C D D B C C 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．（3分）﹣4的相反数是（　　） A． B．4 C．2 D．±2 【答案】B 【解答】解：﹣4的相反数是4． 故选：B． 2．（3分）下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 3．（3分）化简（a+b+c）2﹣（a﹣b+c）2的结果为（　　） A．4b（a+c） B．4ac C．2ac D．4ab﹣4bc 【答案】A 【解答】解：原式＝[（a+b+c）+（a﹣b+c）][（a+b+c）﹣（a﹣b+c）] ＝2b（2a+2c） ＝4b（a+c）． 故选：A． 4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1.5 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0， 解得：m＜1， ∴m的取值范围是m＜1． 故选：D． 5．（3分）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 【答案】A 【解答】解：A、∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠5， 因为“同旁内角互补，两直线平行”， 所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2＝∠3， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意． 故选：A． 6．（3分）关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．当x＞0时，y的值随x的增大而减小 C．当x＞﹣1时，y＜﹣3 D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上 【答案】C 【解答】解：对于反比例函数， ∵k＝3＞0， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限，y的值随x的增大而减小， ∴A、B正确，不合题意；C错误，符合题意； 若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上，正确，不合题意； 故选：C． 7．（3分）植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设男生有x人，女生有y人， 根据题意可得：， 故选：D． 8．（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4cm，蜡烛火焰的像的高度是8cm，物距为16cm，则像距是（　　） A．18cm B．20cm C．24cm D．32cm 【答案】D 【解答】解：如图， 蜡烛火焰的高度为4cm，蜡烛火焰的像的高度是8cm，物距为16cm， ∴AB＝4cm，OE＝16cm，CD＝8cm，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠CDO，∠ABO＝∠DCO， ∴△BAO∽△CDO， ∴，即， 解得OF＝32cm， 即像距是32cm． 故选：D． 9．（3分）如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠BOC＝120°，则∠BAC等于（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠D∠BOC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAC＝180°﹣∠D＝180°﹣60°＝120°． 故选：B． 10．（3分）从某校八年级学生中随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分，5分．将测试结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，则这些学生得分的平均数是（　　） A．3分 B．3.1分 C．3.2分 D．3.4分 【答案】C 【解答】解：参加体育测试的人数是：6÷10%＝60（人）， 成绩是2分的人数是：60×20%＝12（人）， 成绩是4分的人数是：60﹣6﹣12﹣15﹣9＝18（人）， 则平均分是：3.2（分）． 故选：C． 11．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，动点P从点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点P作AB的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记△APQ的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠A＝60°， 当点P在边AB上，且点Q在边AD上，即0＜x≤2时， 如图， AP＝x，，， 即图象为开口向上的抛物线； 当点P在边BC上，且点Q在边CD上，即4＜x≤8时， 如图， BP＝x﹣4， ∵∠ABC＝120°，PQ⊥AB， ∴∠BPF＝120°﹣90°＝30°， ∴，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 当点P在边AB上，且点Q在边CD上，即2＜x≤4时， 如图， AP＝x，，， 即图象为直线； 综上所述，y与x之间的函数图象大致． 故选：C． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．（3分）因式分解：x2﹣x＝x（x﹣1）　 ． 【答案】x（x﹣1）． 【解答】解：通过提公因式法进行因式分解可得： x2﹣x＝x（x﹣1）． 故答案为：x（x﹣1）． 13．（3分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比是　1：9　 ． 【答案】1：9． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△ABO∽△DEO， ∴， ∴， ∴△ABC和△DEF的面积比为1：9， 故答案为：1：9． 14．（3分）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑等方面，在小提琴的设计中，也经常会使用黄金分割数．如图，一架小提琴中琴头顶端到共鸣箱顶端的长度AC，共鸣箱的高度BC，以及小提琴总长AB各部分的长度比满足，经测量AC＝18cm，则BC的长为　29　 cm．（结果保留整数） 【答案】29． 【解答】解：已知，且AC＝18cm． 根据比例关系：， 变形得：， 计算得：BC≈29cm． 故答案为：29． 15．（3分）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，若该女士怀孕后所生的孩子是女孩的概率是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种， ∴该小孩为女孩的概率为， 故答案为：． 三．解答题（共11小题，满分76分） 16．（5分）计算：6． 【答案】6． 【解答】解：原式＝33610 ＝618310 ＝6． 17．（5分）解二元一次方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①×2得：2x+4y＝2③， ②+③得：5x＝25， 解得：x＝5， 将x＝5代入①得：5﹣2y＝1， 解得：y＝2， 故原方程组的解为． 18．（5分）先化简，再求值：，其中，y＝4． 【答案】﹣2x2y，原式＝﹣2． 【解答】解： ＝2x2y+6xy﹣8x2y﹣6xy+4x2y ＝﹣2x2y， 当，y＝4时，原式＝﹣2×（）2×4＝﹣24＝﹣2． 19．（7分）如图，一次函数y＝ax图象与x轴，y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y（k≠0）的图象相交于点E、F，过F作y轴的垂线，垂足为点C，已知点A（﹣3，0），点F（3，t）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点E的坐标并求△EOF的面积； （3）结合该图象写出满足不等式ax的解集． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（﹣3，0）代入一次函数解析式得：0＝﹣3a， 解得：a，即一次函数解析式为yx， 把F（3，t）代入一次函数解析式得：t＝3， 则反比例解析式为y； （2）联立得：， 解得：或， ∴点E（﹣6，）， 则S△EOF＝S△AOE+S△AOB+S△BOF333； （3）根据图象得：不等式ax的解集为﹣6≤x＜0或x≥3． 20．（7分）风能是一种清洁能源，我国风能资源非常丰富，风力发电发展迅速．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．某校数学综合与实践小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，风电塔筒是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，它的高度是一个重要的设计参数．于是该小组成员开展了测量风电塔筒高度（即风力发电的塔杆）的实践活动．形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 风电塔筒的高度 测量目的 运用三角函数有关知识解决实际问题 测量工具 测角仪、激光测距仪等 测量示意图 测量方案 1．在风电塔筒前的空轴上取测量点C，利用测角仪PC测得此时点A的仰角∠APQ＝53°； 2．改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点D，利用测角仪MD测得此时点A的仰角∠AMN＝45°； 3．测得PC＝1米，MD＝0.5米，CD＝200米．（图中各点均在同一竖直平面内） 请根据以上测量数据，求风电塔筒AB的高度（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，． 【答案】风电塔筒AB的高度约为115m． 【解答】解：延长PQ交AB于点E，延长MN交AB于点F，则PE⊥AB，MF⊥AB， 由题意得：PC＝EB＝1米，FB＝MD＝0.5米，PE＝CB，FM＝BD， ∵CD＝200米， ∴CB+BD＝PE+FM＝200米， 设PE＝x米，则FM＝（200﹣x）米， 在Rt△APE中，∠APQ＝53°， ∴AE＝PE•tan53°x（米）， 在Rt△AMF中，∠AMN＝45°， ∴AF＝MF•tan45°＝（200﹣x）米， ∵AE+EB＝AF+FB， ∴x+1＝200﹣x+0.5， 解得：x＝85.5， ∴AB＝AF+FB＝200﹣x+0.5＝115（m）， ∴风电塔筒AB的高度约为115m． 21．（7分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMasslndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的BMI数值标准为：BM＜18.5为偏瘦：18.5≤BM1＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖，某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BM数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BM＜20；B.20≤BM1＜24；C.24≤BMI＜28；D.28≤BMI＜32． 将所得数据进行收集、整理、描述，并绘制了如图所示的扇形统计图． 【收集数据】 七年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高/m 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重/kg 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 BM1 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6 七年级10名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高/m 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重/kg 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 BMI 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 【整理、描述数据】 组别 BMI 男生频数 女生频数 A 16≤BMI＜20 3 2 B 20≤BMI＜24 4 6 C 24≤BMI＜28 t 2 D 28≤BMI＜32 1 0 （1）s＝　22　 ，t＝　2　 ，α＝　72°　 ； （2）已知该校七年级有男生260人、女生240人．估计该校七年级学生BMl≥24的人数． （3）根据以上统计数据，计对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出两条合理化建议． 【答案】（1）22，2，72°； （2）126人； （3）答案不唯一，合理均可． 【解答】解：（1）由题意得，s22， t＝10﹣3﹣4﹣1＝2， α＝360°72°， 故答案为：22，2，72°； （2）240260126（人）， 答：估计该校七年级学生BMl≥24的人数为126人； （3）由统计表可知，该校七年级学生的偏瘦、偏胖或肥胖的人数约半数，建议该校加强学生的体育锻炼，加强科学饮食习惯的宣传．（答案不唯一）． 22．（8分）小红在解决“如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为MN，点M、N分别在边AD、BC上，求折痕MN的长度”这一道数学题后，她发现AE＝MN，进一步研究发现点A落在边CD上任一点E处均有AE＝MN．其解决思路是简化条件利用矩形的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在正方形ABCD中，将四边形ABNM沿着MN翻折使得A落在CD上任一点E处，连接AE，则AE＝MN．用尺规过点M作MH⊥BC于点H（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：正方形ABCD中，AE⊥MN于点G，MH⊥BC．求证：AE＝MN． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD ， ∵MH⊥BC， ∴∠MHN＝∠MHC＝90°， ∴∠D＝∠C＝∠MHC＝90°， ∴　四边形CDMH是矩形　 ， ∴MH＝CD， ∴MH＝AD ， ∵AE⊥MN， ∴∠EGN＝90°， ∴∠GNC+∠AEC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 又∵∠AED+∠AEC＝180°， ∴∠MNH＝∠AED， ∴△MNH≌　△AED （AAS）， ∴AE＝MN． 此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段的数量关系为　相等　 ． 【答案】（1）如图，MH即为求； ； （2）AD＝CD； 四边形CDMH是矩形； MH＝AD； △AED； 相等． 【解答】解：（1）如图，MH即为求； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD． ∵MH⊥BC， ∴∠MHN＝∠MHC＝90°． ∴∠D＝∠C＝∠MHC＝90°， ∴四边形CDMH是矩形． ∴MH＝CD， ∴MH＝AD． ∵AE⊥MN， ∴∠EGN＝90°， ∴∠GNC+∠AEC＝360°﹣90°﹣90°＝180°． 又∵∠AED+∠AEC＝180°， ∴∠MNH＝∠AED， 在△MNH和△AED中： ， ∴△MNH≌△AED（AAS）． ∴AE＝MN． 此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段，如图所示： 同理可证明E1F1＝M1N1， 因此，两条线段的数量关系为相等． 23．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF，垂足为E，AF平分∠EAC，AG＝BG，连接AG，BF． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若，AF＝8，求线段EF的长． 【答案】（1）连接OF， ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵AF平分∠EAC， ∴∠OAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠OFA， ∴OF∥AE， ∵AE⊥CF， ∴OF⊥CF， ∵OF是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线； （2）． 【解答】（1）证明：如图，连接OF， ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵AF平分∠EAC， ∴∠OAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠OFA， ∴OF∥AE， ∵AE⊥CF， ∴OF⊥CF， ∵OF是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AGB＝∠AFB＝90°， ∵BG＝AG＝6， ∴AB12， ∴BF4， ∵∠E＝∠AFB，∠EAF＝∠FAB， ∴△AEF∽△AFB， ∴，即， 解得：EF． 24．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC边上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）如图1，点G在BC边上时（不与B、C重合），求证：AF﹣BF＝EF． （2）如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），写出线段EF与AF、BF的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）EF＝BF﹣AF，理由见解答过程； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG， ∴∠AED＝∠DEF＝90°， ∵BF∥DE， ∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BF，DE＝AF， ∵AF﹣AE＝EF， ∴AF﹣BF＝EF； （2）解：EF＝BF﹣AF，理由如下： ∵BF⊥AG，DE⊥AG， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BF， ∴EF＝AE﹣AF＝BF﹣AF； 25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数）经过点A（1，0），B（4，3）． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当6﹣t≤x≤t时，记函数的最大值为M，最小值为N． ①当t＝5时，求N的值． ②当t≥4时，求证：M﹣N≥4． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①N＝﹣1；②证明见解析． 【解答】（1）解：由题意，把A（1，0）和B（4，3）代入y＝ax2+bx+3， ∴． ∴． ∴函数表达式为y＝x2﹣4x+3． （2）①解：当t＝5时，1≤x≤5， 由（1）得：y＝x2﹣4x+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． ∴当x＝2时，函数的最小值N＝﹣1． ②证明：由题意可得，抛物线开口向上，抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线上点离对称轴越近函数值越小． ∵当t≥4时， ∴6﹣t≤2≤t， 又∵t﹣2﹣[2﹣（t﹣6）]＝2t﹣6＞0， ∴t﹣2＞2﹣（t﹣6）， ∴当x＝t时，M＝t2﹣4t+3，N＝﹣1． ∴M﹣N＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0． ∴当t≥2时，M﹣N随t的增大而增大， ∴当t≥4时，M﹣N≥4． 26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A在半径为1的⊙O上，B，C为平面内不重合的两点，对于⊙O与直线BC给出如下定义：称点A到直线BC的距离为⊙O与直线BC关于点A的理想距离，记为d（⊙O，BC，A），特别地，点A在直线BC上时，d（⊙O，BC，A）＝0． （1）已知A（﹣1，0），B（0，2）． ①若C1（0，0），则d（⊙O，BC1，A）＝　1　 ，若C2（2，2），则d（⊙O，BC2，A）＝　2　 ； ②若点C在直线y＝kx+3（0＜k＜2）上，则d（⊙O，BC，A）的取值范围是　0≤d（⊙O，BC，A）　 ； （2）若点D（3，4），且CD＝2，点B在函数y＝x+2（﹣2＜x＜0）的图象上，对于每一个点B，记d（⊙O，BC，A）的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标． 【答案】（1）①1，2；②0≤d（⊙O，BC，A）； （2）d的取值范围是，点C的坐标为或． 【解答】解：（1）①如图，由定义可知，点A到BC1的距离为AC1＝1， 点A到BC2的距离为， 故答案为：1，2； ②∵当k＝0时，直线为过点（0，3）的水平线MN， 当k＝2时，直线PQ：y＝2x+3且与AB平行， 又∵点C是直线y＝kx+3上一点， ∴如图，当0＜k＜2时，点C的轨迹是射线DM，射线DQ组成的区域和射线DP，射线DN组成的区域， ∵直线BC是绕点B旋转的直线， ∴当AB⊥BC时，A到直线BC的距离取得最大值，此时， 当直线BC过点A时，d＝0， ∴取值范围是0≤d（⊙O，BC，A）， 故答案为：0≤d（⊙O，BC，A）． （2）由题意知，令点A为动点，则点B、C为定点， 如图，在y＝x+2（﹣2＜x＜0）上取一点B，在⊙D取一点C， ∵点A是⊙O上的动点， ∴过点A作直线BC'的垂线，当A'O⊥BC′时，点A到直线BC'距离最大值为A'H＝OA+OH， 再令点B为定点，点C为动点， ∴当OB⊥BC''时，OH取得最大值，点A到直线BC的距离最大值为A''B＝OA+OB， ∴d（⊙O，BC，A）的最大值为d＝A''B，此时OB⊥BC''， ∵当点B和点A同时移动时，如图，直线A1B1：y＝x+2时，d取得最小值， ∴，dmax＝A2B2＝3， ∵﹣2＜x＜0，点B不能在x轴上， ∴d的取值范围是， ∵当d取得最小值时，B1C1⊥OB1， ∴点C在直线y＝x+2上， 设点C坐标为（m，m+2）， ∵CD＝2， ∴（m﹣3）2+（m+2﹣4）2＝22， 解得：， ∴；． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/17 8:57:48；用户：绘学B区资料下载；邮箱：15693311191；学号：65108399 第1页 ◎ 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $