专题02 二次函数综合题最值问题（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学（重庆专用）

专题02 二次函数综合题最值问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 线段和差最值（不含根号） 题型02 线段和差最值（含根号） 题型03 周长最值 题型04 面积最值 模块三、综合实战演练 一、线段和差最值（不含根号）的解题方法： 1. 将军饮马（和最小） 特征：两定点A、B在直线l同侧，求l上动点P使AP+BP最小。 解法：作A关于l的对称点A'，连接A'B，交点即为P，最小值就是A'B。 不含根号：A'B长度常设计为整数或简单有理数，可直接计算。 2. 造桥选址（和最小，线段含平移） 特征：两定点A、B位于两条平行线m、n之间，要在m、n上找M、N，使MN垂直两条线且AM+MN+NB最小（MN为定长）。 解法：将A沿垂直方向平移MN长度到A'，连接A'B，交点确定N，往回平移得M。 不含根号：定长MN已知，最终路径长 = A'B + MN，A'B通常可用勾股求整数。 3. 差最大（三角形三边关系） 特征：两定点A、B在直线l同侧/异侧，求l上动点P使|AP-BP|最大。 解法：作A关于l的对称点A'，连接A'B并延长交l于P。异侧时无需对称，直接连接AB并延长。 不含根号：AB长度通常为整数。 2、 线段和差最值（含根号）的解题方法： 1. 几何转化，确定最值对应的线段 · 将军饮马：作对称 → 连接 → 最值 = 对称点与另一点的线段长度 · 造桥选址：平移后连接 → 最值 = 线段长 + 定长（定长已知） 2. 坐标计算距离（可能含根号） 3. 化简为最简二次根式 三、周长最值的解题方法： 1. 三角形周长最小 两个定点 + 一个动点（在直线/圆上） 将军饮马（作对称） 化折为直 2. 四边形周长最小 两个定点 + 两个动点（分别在两条直线上） 两次对称或一次对称+平移 化折为直 3. 三角形周长最小（含圆） 一个定点 + 两个动点（在圆和直线上） 对称+一箭穿心 化折为直+放缩 四、面积最值的解题方法： 1. 三角形面积最值（铅垂法） 2.割补法：将四边形分割成两个三角形，分别用铅垂法或直接公式，若四边形有对角线平行于坐标轴，优先用梯形面积公式 3 圆内接三角形面积最值， 固定底边时，高最大时面积最大。固定角时，用正弦面积公式 4. 相似三角形面积比。面积比等于相似比的平方。若动点产生相似，面积最值往往在极端位置取得。 题型01 线段和差最值（不含根号） 1．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1)； (2)最小值为，； (3)，求解过程见详解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为， ∴抛物线的顶点式为，将代入得，即， 解得， ∴； （2）解：由题意可知，当时，即， 解得， ∴， 当时，，即， ∴，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时， ​最大， 设，则， ∴， ∵，开口向下，且， ∴当时，最大，此时​最大 ∴， ∴点关于直线l的对称点为， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 设直线则 解得 ∴，当时， ​， ∴； （3）解： ∵，， ∴抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到， ， 向下平移个单位为， ∴， ∴， 作，交x轴于E，交于G， 当即， ∴为等腰三角形， 作于F， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，解得， ∴， 则，解得或（舍去） 当时，代入得， ∴， 过点作轴，则满足， 解得 (舍) ∴， 综上，点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接、，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，过点作交抛物线对称轴于点，点为抛物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标以及的最小值； (3)在轴上有一点，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线恰好过点，交轴于点，连接．点在线段上运动（不与点重合），连接，且，现将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线交新抛物线于点，若直线与直线所成锐角等于，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)点的横坐标为或或或，过程见解析 【详解】（1）解：将点，，代入，得， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：先计算的最大值，如图，作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，即直线为， 设直线的解析式为， 把点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵轴，且点在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵点是线段下方， ∴， ①当时， ， ∵， ∴当时，取得最大值； ②当时， ， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为； 下面计算的最小值，如图，作直线交轴于点，使得，延长交直线于点，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，连接，设交轴于点， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为， 把点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵点为直线与轴的交点， ∴点的坐标为， ∴， 在中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：由题意可知，，， ∴沿射线平移等价于向左平移个单位，同时向上平移个单位， ∴新抛物线， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴新抛物线， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由（2）可知，， ∴直线、直线与直线所成锐角均为， ∵直线与直线所成锐角等于，即所成锐角为， ∴或， ①当时，如图， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的横坐标为或； ②当时，如图，延长交轴于点， 由①可知，，， 在中，， ∵， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的横坐标为或； 综上所述，点的横坐标为或或或． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接、，在直线上方且y轴左侧抛物线上有一动点P，过点P作，交于点D，过点P作，交y轴于点E，点F是线段上一动点，当最大时，求此时P点的坐标和此时的最小值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，函数沿射线方向平移得到函数，新函数的图象仍过点C，新函数图象与x轴交于点M、N（点M在点N左侧），P的对应点是，连接，，点K为抛物线上的一动点，且满足，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为； (3)或 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得， ； （2）解：令， ， 解得， ，即， 令，解得， ，即， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴于点T，交于点H，过点D作于点M， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大， 此时，， ∴此时， 过点A在轴下方作，过点作于点R， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、共线，且时最小， 设此时为，为，即最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即最小值为； （3）解：原抛物线， 由函数沿射线方向平移得到函数，且， ∴设抛物线水平向右平移个单位，竖直向上平移个单位， ∴新抛物线为， 将代入，得， 解得或0（舍）， 则， 故新抛物线解析式为， 令，故， 解得， ， 如图，连接，，，，过点P作轴于点T，过点作轴于点Z， 由P的对应点是，即P到点是水平向右平移3个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∴，即， 由，，可得A到点是水平向右平移3个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∴水平向右平移3个单位长度，竖直向上平移个单位长度得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点K在直线上方时，设K为，直线交轴于点L， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 得，即， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍），， ∴， 当点K在直线下方时，设K为，过点作交于点W， ∴， 由对称性可知， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍），， ∴， 综上，点K的坐标为或． 4．已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其对称轴与直线交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式： (2)如图1，为直线上方、对称轴左侧的抛物线上一点，作轴交直线于点，、、分别为对称轴、轴和直线上的动点，且始终满足，连接、、、，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线方向平移5个单位长度，得到新抛物线，延长交新抛物线于点（点在新抛物线对称轴的右侧）．在新抛物线上有一点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点，的最小值 (3)点的横坐标为或，过程见解析 【详解】（1）解：将点、代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，，， ∴，，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由勾股定理可得，， 由题意可知，， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，以、为边向下构造平行四边形，作点关于的对称点，连接，，，连接交于点，作轴于点，作于点， ∵点在轴上，且， 又∵为直线， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴点向右平移3个单位，再向下平移9个单位得到点， 又∵四边形是平行四边形， ∴点向右平移3个单位，再向下平移9个单位得到点，且 ∴点的坐标为， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分线段， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∵，，， ∴， ∴当、、、四点共线时，取得最小值， 综上，此时点，的最小值； （3）解：∵，， 又∵， ∴沿着射线方向平移5个单位长度等价于向右平移4个单位，向上平移3个单位， ∴新抛物线， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在新抛物线对称轴的右侧，即， ∴点的坐标为， ①当点在直线下方时，如图，在上取点，使得，过点分别作、的垂线，垂足为、， 由（2）可得，，，， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴在中，， ∵， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，， ∴在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， ∵， ∴，即直线的函数解析式为， 将点代入，得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得 ， 解得或， ∴点的横坐标为； ②当点在直线上方时，如图，设交轴于点，作于点， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理①可得，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得 ， 解得或， ∴点的横坐标为 综上所述，点的横坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作轴交BC于点M，作轴交抛物线于点N，点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE，PF，EF，当取得最大值时，求P点坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点得到抛物线，点G为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把点，代入，求解即可； （2）求出对称轴为直线，直线的解析式为，设，，得，得，得当有最大值时，作点P关于y轴的对称点Q，连接，得，，得，得当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，，取得最小值； （3）由，求出，得，由平移求出,作关于直线的对称，作交于点，交y轴于点E，过点H作轴于点I，过点C作于点J，可得，符合题意．证明，得，设(),则，由四边形是矩形,得，∴，求出，得,设直线解析式为，求出，直线的解析式为，联立，解得，得,由，求出,设点E关于x轴的对称点为，求出直线的解析式为，联立得，解得得． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得 抛物线的解析式为 （2）解： ∴对称轴为直线， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， 作点P关于y轴的对称点Q，连接， 则， ∵点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，， 取得最小值． （3）解：对， 令，则， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移后经过点得到抛物线， ∴设抛物线向左平移d个单位长度再向上平移d个单位长度经过点得到抛物线， ∴， 把代入， 得， 解得， 取， ∴， ∵， ∴作关于直线的对称，作交于点，交y轴于点E，过点H作轴于点I，过点C作于点J， 则， ∴， ∵， ∴，符合题意． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设()， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 对， 令，则， ∴， 设点E关于x轴的对称点为，直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 联立得， 解得或（舍去）， ∴． 综上，，． 【点睛】第（2）作轴对称图形，构建最短路径模型；第（3）小题，作轴对称图形，构建相似三角形． · 化折为直：对称、平移、旋转、放缩 · 三点共线取最值（两点间线段最短） · 垂线段最短（用于胡不归、点到直线） · 三角形三边关系（差最大） 题型02 线段和差最值（含根号） 6．如图，已知抛物线交轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，点是轴上一动点，连接，当最大时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值是 (3)点的坐标为， 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴于，交于， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取最大值， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，即取最大值， 当时，， ∴， 过点作于，过点作交直线于， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，取最小值，为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴此时，点与点重合，， ∴， ∴的最小值是． （3）解：如图，设平移后的抛物线的顶点为，平移前抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，，， ∵直线解析式为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴， 当点在轴下方时，交轴于， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 当点在轴上方时，交轴于， 同理可得，，直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 7．如图1，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线交抛物线的另一个交点为，已知，点是直线上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交于点，作轴分别交、于点、点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点、、为顶点的菱形的点的坐标，并写出其中一个点坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)最大为11； (3)或或；求解过程见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求得直线的解析式，根据为等腰直角三角形得出，，则，得出的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移得出设，，进而分别表示出，根据菱形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】（1）抛物线过 解得： 抛物线解析式为： （2）令解得： ∴ 令得 设直线的解析式为代入， ∴， 解得： ∴ ∵ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， 轴 为等腰直角三角形 ，故 设 ． ，开口向下，对称轴 而 当，即时，最大为11． （3）满足条件：或或 抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线， ∴对称轴 设， ∵ ∴，， 当为对角线时，由菱形的性质 ，即 解得 ∵ ∴ 同理得：或 综上：或或 8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)11或 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，先求出直线的解析式为，通过得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当F、N、M三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，利用锐角三角函数进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，由勾股定理可得，即；如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，设，根据列方程可得；再求得直线的解析式并与的解析式联立即可求解；利用轴对称的性质可得，然后求出直线的解析式并与的解析式联立即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 代入抛物线得： ，解得：， ∴． （2）解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 则，， ∴， ∵， ∴当时，最大， 此时，，即， 由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴最小值为． （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图：连接， ∴ ∴， ∴ 如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K， 设，则，， ∴，解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 与抛物线联立得， 解得：（舍），，即点K的横坐标为11； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K， 设，则，， ∴，解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 与抛物线联立得，解得：（舍），， 故点K的横坐标为． 综上所述，点K的横坐标为11或． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 【答案】(1)，， (2)的最大值为1，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）令，求出的坐标，令，求出的坐标； （2）通过证明是等腰直角三角形，得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，其中，进而表示出，再利用二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数平移的性质得到新抛物线，由题意得，再分2种情况讨论：①当在轴上方时；②当在轴下方时，分别求出对应直线的解析式，再联立直线与抛物线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则，其中， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1， 此时点的坐标为； （3）解：， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵， ∴， ①当在轴上方时，记此时点为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴； ②当在轴下方时，记此时点为， 延长与交于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上，所有符合条件点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的最值问题、等腰直角三角形的性质与判定、求一次函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合和分类讨论能力，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过B，C两点（点A在点B的左侧），其中，，与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交AC于点D，E是y轴上一动点，当线段PD长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点D且与直线AC相交于另一点M，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或，过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，假设，求出最大时的值，确定点坐标，通过等腰直角三角形的性质和锐角三角函数确定的最小值，然后利用解直角三角形进行求解即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质和等边，分别求出相关直线的解析式，然后联立解析式求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形， 当时，， 解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 假设， 则， 根据二次函数的性质，， 抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴其顶点横坐标为， ∴； 由等腰直角三角形的性质可得，， ∴当点在同一条直线上时，值最小，即的值最小； 此时，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）知，故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移2个单位得到的，则新抛物线的表达式为，当时，符合所有条件的点坐标有两种情况： 情况一： 如图所示，当，在下方时， 同上，通过点，，利用待定系数法求得直线的表达式为， 故设直线的表达式为，代入点得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 整理可得， 解得， ∴； 情况二：如图所示，当点在上方时，，延长交于点， ，， ，， 由以上可知直线表达式为， 设， ，即， ， 解得， ， 同理根据，，利用待定系数法可得直线的表达式为， 再与抛物线联立， 整理可得， ， 故， ， 综上，所有的点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数表达式，解直角三角形，函数图象的平移规律，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． · 化折为直：对称、平移、旋转、放缩 · 三点共线取最值（两点间线段最短） · 垂线段最短（用于胡不归、点到直线） · 三角形三边关系（差最大） 题型03 周长最值 11．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴，交于点，求的周长最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移个单位，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的周长的最大值为，此时点； (3)点的坐标为：或或，过程见解析 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及相关性质定理． （1）把，代入，求出b和c的值即可； （2）在中，易得，则，，进而得出的周长，求出直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点，则，即可解答； （3）先得出平移后的抛物线表达式为，设点的坐标为：， 然后进行分类讨论：当是对角线时，当或是对角线时，结合中点坐标公式，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：在中，， 则，， 则的周长， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点的坐标为：，则点， 则， 即的最大值为， 则的周长的最大值为：， 此时点； （3）解：平移后的抛物线表达式为：， 设点的坐标为：， 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：，则点； 当或是对角线时，由中点坐标公式得：或， 解得：或， 则点或， 综上，点的坐标为：或或 12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，，点，，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点F是线段上一点，过点F作轴交抛物线于点E，交于点M，点N是直线上一点，，当的周长最大时，求点E的坐标和此时周长最大值； (3)如图2，已知．点P为直线上一动点，连接，将抛物线上下平移，平移后的抛物线左侧部分经过点P；当是以为腰的等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．    【答案】(1)抛物线解析式为 (2)E点坐标为，的周长最大值为 (3)抛物线的平移距离为14或 【分析】（1）确定点坐标， ，，列方程组求解得解析式； （2）设点F的横坐标为m，则E的坐标为，确定直线AD的解析式为，于是M的坐标为，得；过点E作，得；可证，运用锐角三角函数，得，，则，于是；，当时，EM取最大值为；此时的周长最大值为；相应的，E点坐标为； （3）设点P的坐标为，设平移距离为d,可求得，由，，得，，，分情况讨论：①当时，②当时，分别构建方程求解，得n，进而求得d． 【详解】（1）∵， ∴A的坐标为，B的坐标为 因为A，B，C三点在抛物线上，且 ∴解得，， 故抛物线解析式为 （2）设点F的横坐标为m ∵轴，且点E在抛物线上 ∴点E的坐标为 ∵ ∴ 设直线的解析式为（） ∵， ∴解得 ∴直线的解析式为 ∵与直线交于点M ∴M的坐标为 则    过点E作 ∵ ∴ 由题得∵ ∴ ∵在内， ∴在， 故，则 ∵的周长 ∴ 当取最大值时，的周长有最大值 当时，取最大值为 此时的周长最大值为 当时，． ∴E点坐标为． （3）∵点P在直线上 ∴设点P的坐标为 设平移距离为d,上下平移后的抛物线为或，经过P, ∴或 ∴或 则 ∵， ∴，，    ∵是等腰三角形，且以为腰 ∴①当时 解得， 此时 ②当时 解得（舍），， 此时 综上，抛物线的平移距离为14或． 【点睛】本题考查确定二次函数解析式，图象和性质，图象平移，锐角三角函数；运用解析式确定点坐标，进而确定线段长是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，连接，点分别是轴上，直线上一动点，连接．当取得最大值时，求周长的最小值； (3)在（2）问周长取得最小值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线交于点，直线于点，可求直线，直线设，则，，由于，，则，那么当时，取得最大值，此时，同理可求直线，过点分别作轴和直线的对称点为点，则，连接，与直线交于点，求出，则，由对称可得，，则，故当点共线时，的周长取得最小值即为； （3）先求出抛物线连接交于点，过点作轴于点，然后证明出，则，求出直线，则联立直线和抛物线表达式得，解得或（舍），故；作点关于的对称点，射线交于点，则，此时射线与抛物线的交点也是符合题意的点，可得，设，则，解得，那么，可求直线，与抛物线联立可得，解得或（舍），故． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的平行线交于点，直线于点， 对于，当时，， ∴， 设直线， 则， 解得 ∴直线， 同理可求：直线 设，则， ∴, ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，此时， 同理可求直线， 过点分别作轴和直线的对称点为点， 则， 连接，与直线交于点， 设，由对称可得 ∴，即， 由对称可得， ∴， 解得或（舍）， ∴， ∴ 由对称可得，， ∴ ∴当点共线时，的周长取得最小值即为． （3）解：∵， ∴ ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位即可得到抛物线， 而 ∴抛物线 连接交于点，过点作轴于点， 由对称可得，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同上可求直线， 当时， 解得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵直线， ∴设直线， 代入点得，， 解得 ∴直线 ∴联立直线和抛物线表达式得， 解得或（舍）， ∴ 作点关于的对称点，射线交于点， 则 ∵， ∴， ∴此时射线与抛物线的交点也是符合题意的点 ∵， ∴， ∴， 设 ∴ 解得 ∴， 同理可求直线， 与抛物线联立可得， 解得或（舍） ∴ 综上：符合条件的点的坐标为或． 14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． (3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）先求出，，再由可得点B的坐标，将点B的坐标代入可得出b的值，即可得抛物线的解析式； （2）由，得直线解析式为，证明是等腰直角三角形，知，设，，则，根据二次函数性质可得答案； （3）先由抛物线y的解析式得到新抛物线的解析式，再得出新抛物线的对称轴和点N的坐标，再由已知得，进而得，画出满足条件的点M，分两种情况，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， 将，代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长， ∴当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， 当时，有最大值，为2，此时，， ∴当时，的周长有最大值，为； （3）解：∵， ∴将抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，，即， ∴， 令，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，分以下两种情况： 当时，， ∴， ∴； 当时，和y轴交于点F，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ∴． 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，全等三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）由抛物线对称轴，得到，再根据抛物线上点的坐标特征，求出的值，即可求解； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点，进而利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，得出，即当时，线段长度取得最大值，过点作关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称的性质可知，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，求出的长，即可得到答案； （3）利用待定系数法，求出直线的解析式为，进而得出，再利用待定系数法，求出平移后的抛物线解析式为，由勾股定理得，连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得到，，再利用等面积法和勾股定理，求出，，从而得到，设，分两种情况讨论：①若点在轴上方；②若点在轴下方，得到，分别过点作轴的垂线，利用正切值列方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 令，则，即， 令，则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，线段长度取得最大值， ， 过点作关于轴的对称点，则，连接， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， ，， ， 周长的最小值为； （3）解：由（2）可知，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 设平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点，且与x轴的左交点为， ，解得：， 平移后的抛物线解析式为， 令，则， 解得：或， ， ，， ， 如图，连接，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 设， ①若点在轴上方，此时， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为． ②若点在轴下方，此时或， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为， 综上可知，符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． · 画图：永远第一步。标出定点、动点位置和轨迹。 · 定型：判断属于“一定两动”、“两定一动”还是“两定两动”。 · 转化：用对称或平移将所有动点“翻”到同侧，用线段连接。 · 计算：距离公式要熟练，平方和别加错，根号化简要彻底。 题型04 面积最值 16．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是8 (3)或 【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可； （3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和， ∴设抛物线解析式为：． ∵， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为：． （2）解：连接，∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 过P作轴交直线于点Q， 设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值是8． 此时， ； （3）解：作的垂直平分线交x轴于F， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取， ∴， ∴， 当N在x轴上方时，， 此时，，， ∴同理可得：直线的解析式为：． ∴， 解得或， ∴； 当N在x轴下方时，， 此时，，， ∴同理：直线的解析式为：． 此时， ∴， 解得或， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积以及角度问题，锐角三角函数的应用，难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为，然后将，用的代数式表示出来，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值； （3）根据平移规律求出抛物线，分情况讨论平行四边形的存在性：以为边或以为对角线两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设抛物线的交点式为， 将点代入上式，得， 解得，， ，即； （2）设直线的解析式为，将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为过点作轴交于点，则点的坐标为， ， ， 当时，的最大值， 此时，点的纵坐标为，即； （3）原抛物线向左平移4个单位后，所得新抛物线，即， 抛物线的对称轴为轴， 设，， 情况1：以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 ，解得， 点的坐标为; 以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 以为对角线，四边形是平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 综上所述，点 的坐标为 或 或  ． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）将，，坐标代入解析式，建立方程组，求解即可； （2）过点P作轴交于点N，设P的横坐标为t，则可表示点P和点N的坐标，表示的面积，利用二次函数的性质求出最值； （3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可． 【详解】（1）解：将，，坐标代入解析式， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，点P作轴交于点N，， 设P的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线y的解析式为：， ∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线， ∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0， 令， 解得， ∴， 由（2）知点P的坐标为， 当以为平行四边形的一条边时：或． ∴或， 解得：或， ∴点Q的坐标分别为或． 当以为平行四边形的对角线时：， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 20．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大面积为 (3)存在，或或； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 将点代入中， ， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或， ， 过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大为， 此时； （3）解：存在一点，轴上一点使得是等腰直角三角形，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设， 如图1：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ，， ， 解得或， 或， 或； 如图2，当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点， 同理可证， ，， ， 此情况不存在； 如图3，当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， 同理可证， ，， ， ； 综上所述：点坐标为或或； 二次函数上动点+水平底边 铅垂法 水平宽固定，铅垂高是二次函数 二次函数上动点+斜边 坐标法（用距离公式）或转化为铅垂法 将三角形补成长方形再减 四边形 割补法（分成两个三角形） 让分割线平行于坐标轴 圆内接三角形 高过圆心时最大 注意底边是否固定 最后结论 二次函数顶点 开口向下 → 最大值；开口向上 → 最小值 1．二次函数，与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，连接与，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交线段于点，过点作垂直于直线，垂足为点，过点作直线且与轴交于点，点、为直线上两动点，在上方，且，当最大时，求出点的坐标及此时的最大值； (3)把函数沿射线平移个单位得到函数，直线上有一动点，在（）的条件下，当最大时，若，射线与函数的图象交于点，直接写出点的坐标，并写出求其中一个点的过程． 【答案】(1) (2)，取最大值为 (3)或 【分析】（1）将点，点代入二次函数解析式解出、的值即可； （2）延长交直线于点，过点作交延长线于点，过点作轴，先由三角函数将转化为，根据点的坐标可求出直线、直线的解析式，然后设，可表示出，即可求出有最大值时点的坐标，再由即可求出的最大值； （3）根据平移的方向和距离可求出，然后在直线上找到点能满足，可知在右侧时即为点，在左侧时点与点关于对称，分别求出直线与直线的解析式与联立，求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入二次函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：延长交直线于点， ∵轴， ∴， 由（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，， 将，，，代入得：，，解得：，， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，此时， 过点作交延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即当三点共线时，取最大值为的长度， 过点作轴， ∵， ∴， ∴点， ∴， 综上：，取最大值为． （3）解：∵函数沿射线平移个单位得到函数， 又∵， ∴线段平移后为线段，即平移后对应，即先向右平移1个单位，再向上平移3个单位， ∵，其顶点坐标为， ∴平移后的顶点坐标为，且平移不会改变抛物线的形状和开口方向， ∴， 当点在的右侧时，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴，即此时点与点重合，射线即为射线， 设，将点，代入得：，解得：， ∴，将其与联立， ∴，解得：（舍去）或， 当点在的左侧时，只需将点以为对称轴，找到在另一侧的对称点即可，即的中点为， ∴此时， 设，将点，代入得：，解得：， ∴，将其与联立， ∴，解得：（舍去）或． 综上：或． 2．如图，抛物线交轴于、，交轴于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式． (2)是线段上方抛物线上的一点，过点作轴交于，交于，当的面积最大时，求点的坐标；在轴上取两点、（在的上方）使，连接，，求的最小值． (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，是新抛物线上一点且位于对称轴的右侧，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)，，过程见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积的最值问题等知识点． （1）根据点以及对称轴为直线，可得、，联立方程组求解即可； （2）根据，，可得，利用相似三角形的性质得到，结合已知条件可得，利用抛物线解析式和直线直线解析式，设，则，其中，得，据此即可得当的面积最大时，求点的坐标，再利用将军饮马模型可得； （3）先求出平移后的抛物线，结合图形，由可推得，从而得到直线的斜率为，分情况讨论：直线为和直线为，联立抛物线和直线的解析式求解方程即可解答． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为； （2）令，得，，， 令，得，， ，， ， ，， ，， ， ， 又且， ， 如图，作轴交于点R，则， ， ， 当最大时，则有最大值 ， ，， 直线， 设，其中，则， ， 且， 当时，有最大值，此时点 ， 将向下平移1个单位得， ， 四边形是平行四边形， ， 作点关于轴的对称点， ， （当，M，三点共线时取等）， 点的坐标，的最小值为； （3）满足条件的点R的坐标为，， 理由如下： 将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线， 抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线， ， ，， ， ， 令直线与轴交于点， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 得，解得， 直线， 联立得：， （舍），， 点， 同理，当直线时， 联立得：， （舍），， 点， 综上，满足条件的点R的坐标为，． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交轴于，两点，交轴于点，连接，，其中，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式： (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，轴交直线于点．点是直线轴上的动点，当周长最大时，求的最小值； (3)将抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线顶点为且与轴交于点，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再由，求出，即可得到，再根据抛物线的对称轴求出点，即可设，再代入，即可求解抛物线表达式； （2）延长交轴于点，可求直线，而，设，则，那么，则当时，取得最大值，证明，求出，，则周长，因此可得当取得最大值时，周长取得最大值，此时，过点作的平行线，延长交平行线于点，过点作于点，连接，则由得到，故，那么，故的最小值为，设交轴于点，由求得，，则，那么，即可求解的最小值； （3）先求出平移后的抛物线，则顶点，，当点在上方抛物线上时，过点作，过点作，然后延长至点，使得，连接，可证明，则，求出，则，设，代入求得，再与抛物线联立求解即可；当点在下方抛物线上时，则，设直线交于点，则，设，得到方程，求出，那么，再与抛物线求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时， ∴，则， ∵ ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的交点， 设， 代入，则 解得， ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）解：延长交轴于点， 设直线， 代入点，得： ，解得， ∴直线， ∵， ∴， ∴， 设 ∵轴交直线于点 ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， ∵轴 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴周长， ∴当取得最大值时，周长取得最大值， ∴此时， 过点作的平行线，延长交平行线于点，过点作于点，连接， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为， 设交轴于点， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵的角平分线与轴正方向夹角为， ∴当抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∵， ∴平移后的抛物线，即 ∴顶点， 令，则 ∴， 当点在上方抛物线上时，过点作，过点作，然后延长至点，使得，连接， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴同（2）可求， ∴设， 代入得，， 解得， ∴， 与抛物线联立得， 解得，（舍去）， ∴； 当点在下方抛物线上时，则， 设直线交于点， ∴， 设 ∴， 解得 ∴， 同理可求， 与抛物线联立得，， 解得，（舍去）， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为，的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出，，即可得出结果； （2）先求出直线的函数表达式，令点的坐标为，点坐标为，可得表达式，过点作轴交于点，可得，故得出的表达式，得出其最小值时点的坐标，过点作平行线，过点作交于点，连接，证出，故的最小值为的最小值，即、、三点共线时，最小，过点作交于点，求出的值即可得出结果； （3）由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，得出新抛物线表达式，过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，由直角等腰三角形的性质求出坐标，作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，由对称的性质，求出点坐标，得出直线表达式，求出交点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 即， 将点代入 ， 得到， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：对于抛物线， 当时，解得或， 即点， 当时，， 得点， 令直线的函数表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 令点的坐标为， 则点坐标为， ∴， 过点作轴交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴当取最大值时，， 此时点， 过点作，过点作交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， 令直线的函数表达式为， 代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即、、三点共线时，最小， 过点作交于点， 故的最小值为的最小值，即的值， 令点的坐标为， 由点，， ∵， ∴， 即， 化简得， 解得（舍去）或， 点的坐标为， ∴， 即的最小值为； （3）解：由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， ∵，， ∴，， 且新抛物线表达式为， 过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，如下图所示： ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令点坐标为，则， ∴，， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 此时点坐标为； 作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，如下图所示： 令， 可得，中点在直线上， 故，解得（舍去），， 即， 令直线的表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立和， 得， 化简得， 解得（舍去）或， 得， ∴点坐标为； 综上，点的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在轴上有两个动点，，，且点在点的左侧，连接，当线段取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或，过程见解析 【分析】本题考查待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，一次函数与二次函数的图像与性质，图形的平移，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）待定系数法求二次函数的解析式的步骤，逐步计算求解即可； （2）先求出直线的解析式，设， 得到，推导出当时，取得最大值，此时，将作点关于x轴对称的点，将点向右平移1个单位到，连接与轴的交点即为点Q，此时取得最小值，求得，即可解答； （3）先推导出平移后的解析式为：，，，继而证明，分类讨论：①当点K在上方时，②当点K在下方时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：由题可得， 解得 抛物线的表达式； （2）解：设直线的解析式为， 将，分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则 ， ∴当时，取得最大值，此时， 作点关于x轴对称的点，将点向右平移1个单位到，连接与轴的交点即为点Q，如图， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，此时取得最小值， ， ∴． （3）解：或，理由如下： ∵， ∴平移后的解析式为：，，， 由，将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，得 ，，， ∴ ∴， ①当点K在上方时，如图 ∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联解， 得， 解得（舍去），， 当时，， ∴； ②当点K在下方时，如图，过点K作轴于点F， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则 ，， ∴， 解得（不符合题意，舍去） ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 6．已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，构建二次函数的最值确定点的坐标，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线的解析式和点的坐标，分两种情况讨论：若点在的下方时，若点在的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，通过证明，求得点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，再与抛物线的解析式联立确定交点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点和代入中得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ，解得， ， 设，则，其中， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，此时点的坐标为， 对于抛物线， 对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长， ，， ，， ， 即的最小值为； （3）解：将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为， ，， 若点在的下方时， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 若点在的上方时， 如图所示，过点作交于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，连接，，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上的一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)；的最小值为 (3)点的坐标为或，过程见详解 【分析】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的表达式求解，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形的面积结合，最短路径问题，抛物线的平移，二次函数与几何角度的结合问题．结合二次函数的图象和性质和几何图形的特点，综合运用以上知识，是解决问题的关键． （1）根据对称轴和已知与轴交点坐标，得到另一个与轴交点的坐标，继而得到抛物线的表达式． （2）根据抛物线的表达式得到与轴的交点坐标，设，继而根据已知点坐标和点坐标得到相关线段的长度，根据面积差表达出的面积，并且为二次函数的形式，根据二次函数的顶点式，得到面积的最小值，继而得到点坐标，根据轴对称的性质，得到的最小值． （3）根据抛物线的表达式转化为顶点式，根据平移距离和方向得到新抛物线的顶点式，根据点在直线上方和下方，分两种情况讨论，得到点所在的位置，及点的坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，对称轴为直线， 根据抛物线的对称性，设点坐标为，则， 解得，所以， 把，代入抛物线中， 得到方程组，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴点， 如图，过点作轴交轴于点，交抛物线于点，连接， 设，则有， ∴，，，，， ∵， 得：， ∴，即， ∴当时，面积取得最大值，最大值为， ∴, ∵点和点关于对称轴对称， ∴，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，，即取最小值， ∴此时，即， ∴的最小值为； （3）解：∵原抛物线表达式为，即， ∴原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线， ∴，即， 当点在直线上方时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴轴，即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴此时， 当点在直线下方时，如图， ∵， ∴， ∴点即为新抛物线与轴的交点， ∴解方程：，解得：，（舍去）， ∴此时点的坐标为， ∴点的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是射线上方抛物线上的一动点．过点作轴的平行线，交于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图，在（）中线段长度取得最大值的条件下，点是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，连接．当时，在轴上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】主要考查了抛物线的解析式求解、动点与线段最值的转化、对称性质的应用，以及利用距离相等建立方程求解坐标等二次函数综合问题的核心知识点． （）根据抛物线过已知点和对称轴，分别代入抛物线一般式和对称轴公式，得到关于的方程组，求解方程组得出的值，进而确定抛物线表达式； （）先求出抛物线与坐标轴的交点，点，进而得到直线的表达式；接着设出抛物线上动点的坐标，根据轴得到点的坐标，求出的长度表达式并确定其最大值及此时的坐标；再通过且证明四边形为平行四边形，得到；最后利用抛物线对称轴的性质转化，将转化为，根据“两点之间线段最短”，当三点共线时取得最小值，计算出该最小值为； （）首先根据已知条件求出中点的坐标，结合点的坐标求出直线的表达式；再利用及的性质，推出直线与关于对称，进而由点在上得到其对称点在上，求出直线的表达式并与抛物线联立得到点的坐标；最后设出点的坐标，根据建立方程求解，得出点的坐标为或． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：令，解得或4， 令，则， 故点，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为，点的坐标为， ， 故四边形为平行四边形， ， 连接， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ， ， 当点三点共线时，最小值为，点，点， ∴， 的最小值为 （3）解：点的坐标为或   ，      解析过程：∵点是的中点， ∴点， 由（）知点的坐标为， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 由（）知， ， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 由并解得（不合题意的值已舍去）， 故点的坐标为， 设点的坐标为， 由点的坐标得：， 由点的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点的坐标为或 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求出点P的坐标及线段的最大值，并求出的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物线交线段于点N，点M是新抛物线上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 【答案】(1) (2)，， (3)，过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，作，且，作，且，连接，推出，进而得到点在射线上，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由题意，平移后的抛物线的解析式为：， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 作轴，作，且，作，且，连接， 则：轴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴点在射线上， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 作过点作平行于，交轴于点，则， 由图可知，射线与新抛物线没有交点，故在轴下方不存在点使； 故 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，二次函数求最值，二次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 10．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于点，交轴于点，在线段、上分别有两个动点、，，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，再将新直线向右平移3个单位，向下平移5个单位得到直线，直线与直线相交于点，新抛物线上存在点．使得，请直接写出点的横坐标并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移，矩形的判定与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数之间的关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把代入可得出，，根据得出，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作于，过点作轴，交延长线于，连接、、，设，利用待定系数法可求出直线解析式为，证明四边形是正方形，可得，得出，利用二次函数的性质得出当时，有最大值，此时，，，根据直角三角形斜边中线的性质得出点在以为圆心，为半径的圆上，根据正方形的对称性得出，可求出的最小值，进而求出的最小值即可； （3）先根据平移的性质求出平移后的抛物线解析式，根据旋转及平移的性质得出，，，，进而求出点坐标，根据相似三角形的判定及三角函数求出直线、的解析式，联立直线、与新抛物线解析式，求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作于，过点作轴，交延长线于，连接、、，设，则， 设直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，此时，，， ∵，是的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴当、、三点在一条直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当与交于点时，有最小值， ∴， ∴，即的最小值是． （3）解：∵将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，，， ∴对应点，，此时，与重合， ∴同上，直线的解析式为， ∵再将新直线向右平移3个单位，向下平移5个单位得到直线， ∴，， ∴同上，直线的解析式为， 联立直线与解析式得：， 解得：， ∴， 如图，连接、、，过点作，交于，作轴于，设交于，交轴于，原抛物线向右平移个单位，向下平移个单位得到新抛物线， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，， ∴设直线的解析式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， ∴新抛物线的解析式为， ∵， ∴同上，可得直线的解析式为， 联立直线与的解析式得， 解得：， ∴， ∴，，，，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴同上，直线的解析式为， 联立直线与新抛物线解析式得， ∴， 解得：，； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴，， ∴直线的解析式为， 联立直线与新抛物线解析式得， ∴，即， 解得：，， 综上所述：点的横坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数、一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角函数、旋转的性质、平移的性质及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的最小值为 (3)当时，所有符合条件点的坐标为或 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ∵抛物线交轴于两点， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交直线于点，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点， ， ， ， ， ， ∴为的等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，取得最大值为，此时的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∵F为该抛物线对称轴上的一动点， ， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点在一条直线上时，取得最小值为， 过点作轴于点， ， ， ， ∴的最小值为； （3）解：当时，所有符合条件点的坐标为或． ， ， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴该抛物线向右平移了 1 个单位长度，向上平移利用 2 个单位长度， ， ， ， ， ， ， ∴，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ， 或（不合题意，舍去）， ， 设与轴交于点，如图， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴． 综上，当时，所有符合条件点的坐标为或． 12．如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数综合题最值问题 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴龈题型专练 题型01线段和差最值（不含根号） 题型02线段和差最值（含根号） 题型03周长最值 题型04面积最值 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、线段和差最值（不含根号）的解题方法： 1.将军饮马（和最小） 特征：两定点A、B在直线I同侧，求1上动点P使AP+BP最小。 解法：作A关于I的对称点A',连接AB,交点即为P,最小值就是AB。 不含根号：AB长度常设计为整数或简单有理数，可直接计算。 2.造桥选址（和最小，线段含平移） 特征：两定点A、B位于两条平行线m、n之间，要在m、n上找M、N,使N垂直两条线且AM +MN+NB最小(MN为定长)。 解法：将A沿垂直方向平移N长度到A',连接AB,交点确定N,往回平移得M。 不含根号：定长N己知，最终路径长=AB+N,AB通常可用勾股求整数。 3.差最大（三角形三边关系） 特征：两定点A、B在直线1同侧/异侧，求1上动点P使AP-BP最大。 解法：作A关于1的对称点A',连接AB并延长交1于P。异侧时无需对称，直接连接AB并延长。 不含根号：AB长度通常为整数。 二、线段和差最值（含根号）的解题方法： 1.几何转化，确定最值对应的线段 ·将军饮马：作对称→连接→最值=对称点与另一点的线段长度 ·造桥选址：平移后连接→最值=线段长+定长（定长已知） 1/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.坐标计算距离（可能含根号） 3.化简为最简二次根式 三、周长最值的解题方法： 1.三角形周长最小两个定点+一个动点（在直线/圆上）将军饮马（作对称）化折为直 2.四边形周长最小两个定点+两个动点（分别在两条直线上）两次对称或一次对称+平移化折为直 3.三角形周长最小（含圆）一个定点+两个动点（在圆和直线上）对称+一箭穿心化折为直+放缩 四、面积最值的解题方法： 1.三角形面积最值（铅垂法） 2割补法：将四边形分割成两个三角形，分别用铅垂法或直接公式，若四边形有对角线平行于坐标轴，优先 用梯形面积公式 3圆内接三角形面积最值，固定底边时，高最大时面积最大。固定角时，用正弦面积公式 4.相似三角形面积比。面积比等于相似比的平方。若动点产生相似，面积最值往往在极端位置取得。 压轴题型专练 模块二 题型01线段和差最值（不含根号） 1.已知抛物线y=a心2+bx+a≠0)与x轴交于点4-2.0)和点，与y轴交于点C,其顶点为D1-) B D T 备用图 ()求抛物线的解析式： (②)如图，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，点K是抛物线对称轴上的一个动点，过点D作直线 I⊥y轴，点T是直线l上的一个动点，过点P作PH⊥BC于点H,作PQ⊥x轴交BC于点Q,当△PHQ的 周长最大时，求PT+TK+KB的最小值及此时点K的坐标： (3)在(2)中PT+TK+KB取得最小值的条件下，将抛物线沿射线AC平移，使得平移后的点A与点C重合， 得到新抛物线y,点G为新抛物线上的一个动点，将点K向下平移〉个单位得到K',当∠GK8=∠ABK'时， 4 2/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出其中一个的求解过程。 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A-3,0)、B(5,0),与y轴交于点 C(0,-5),连接AC、BC,直线AC与抛物线的对称轴交于点D. C 备用图 (I)求抛物线的函数表达式： (②)若点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥y轴，交BC于点E,过点E作EF⊥CE交抛 物线对称轴于点F,点G为抛物线对称轴上一动点，连接PG,当PE+巨EF取得最大值时，求点P的坐 标以及PG+CD的最小值， (3)在y轴上有一点K(0,-6),将抛物线沿射线KA方向平移，平移后的新抛物线恰好过点A,交y轴于点T ,连接AT.点Q在线段AT上运动（不与点A重合），连接OQ,且∠AOQ=a,现将线段OA绕点O逆时针 旋转2a得到线段0A',直线OA'交新抛物线于点R,若直线QA'与直线BC所成锐角等于LOCB,请直接写 出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R的横坐标的其中一种情况的过程. 3.如图，二次函数y=ar'+bx+3a≠0)的图象与x轴交于点A-3,0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为 直线x=- 2 YA D B B 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)如图1，连接AC、BC,在直线AC上方且y轴左侧抛物线上有一动点P,过点P作PD∥BC,交AC于 点D,过点P作PE∥AB,交y轴于点E,点F是线段AB上一动点，当PD+PE最大时，求此时P点的 4 坐标和此时2PF+AF的最小值； 3/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ③)在(2)的条件下，当PD+PE取得最大值时，函数y=2+br+3沿射线AC方向平移得到函数y, 4 新函数的图象仍过点C,新函数图象与x轴交于点M、N(点M在点N左侧)，P的对应点是P,连接P'C, PN,点K为抛物线y上的一动点，且满足∠P'WK=∠PP'C,请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并 写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程 4.已知二次函数y=ax2+bx+6的图象与x轴交于点A-8,0)、B(2,0),与y轴交于点C,其对称轴与直线 AC交于点I,与x轴交于点H. VA B 图1 图2 (1)求该二次函数的解析式： (2)如图1，P为直线AC上方、对称轴左侧的抛物线上一点，作P2∥y轴交直线AC于点Q,M、N、D 分别为对称轴、y轴和直线BC上的动点，且始终满足MN∥BC,连接PM、MN、ND、DH,当 PQ-弓QI取待最大值时，求点P的坐标及PM+MV+ND+DH的最小值： (3)如图2，将抛物线沿着射线AC方向平移5个单位长度，得到新抛物线y,延长AC交新抛物线y于点K (点K在新抛物线对称轴的右侧).在新抛物线y上有一点R,当LBC0+LRKA=45°时，直接写出所有符 合条件的点R的横坐标，并写出求解点R的横坐标其中一种情况的过程. 5。如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2+x+c与x轴交于4,84,0)两点，与)轴交于点 C0,4. 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作PM∥y轴交BC于点M,作PN∥x轴 4/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交抛物线于点N,点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE,PF,EF,当2PM+PN 取得最大值时，求P点坐标及AE+EF+PF的最小值； 1 (3)将抛物线y=-二x2+bx+c沿射线BC方向平移后经过点(2,2)得到抛物线y,点G为抛物线y上一动点， 2 若2∠CA0-∠GAB=90°，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况的 过程. ●)类题点拨 ·化折为直：对称、平移、旋转、放缩 ·三点共线取最值（两点间线段最短） 垂线段最短（用于胡不归、点到直线) ·三角形三边关系（差最大） 题型02线段和差最值（含根号) 6.如图，已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)交x轴于点A(-2,0),B(4,0). VA D B A O 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接BC,AC,点P是BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D,点M是x轴上 动点，连接PM,当PD最大时，求出点P的坐标及PM+5OM的最小值， 5 (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移2√2个单位得到新抛物线y'，点Q为抛物线y'上一动点，连接BQ ,当∠OBQ+∠OCA=90°时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过 程. 7.如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,过B点的直线 1∥AC交抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D,已知B(1,0),D(-5,-6),点P是直线AC上方的抛物线 上一动点. 5/19 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； ②过点P作PE14C交4C于点E,作PF∥y轴分别交AC、1于点G、点F,求Y5PE+PF的最大值及 此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线y=-x2+bx+c向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线y,点M是新 抛物线y对称轴上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点A、C、M、N为顶点的菱 形的点N的坐标，并写出其中一个点N坐标的求解过程. 8.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C, 0B=0C,0A=0C. B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式 (②)如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD,点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E, 过点F作FH⊥y轴于点H,点N是x轴上一动点.连接FN,当V5EF+4FH取得最大值时，求出点F的 坐标及FN 25BN的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y,新抛物线y的顶点P(4,1),CA延长线交抛物线 6/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 y于点Q,点K为抛物线y上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为LACP的两倍时，请直接写出所有 符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程 9,如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为y=- x2+x+4交x轴于A、B两点，与y轴交于点C,连 2 接AC. 图1 图2 (1)求A,B,C三点的坐标： (2)如图1，P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交x轴于点N,求 2PM-√2BM的最大值及点P的坐标 (3)如图2，将该抛物线沿AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y,Q为新抛物线y上的一个动点.当 ∠QBC-∠ACO=45°时，请直接写出所有符合条件点Q的坐标. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过B,C两点（点A在点B的左侧)，其中 B(1,0,C0,4,与y轴交于点C,连接AC,BC. 图1 图2 (I)求抛物线的表达式： (②)如图1，点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交AC于点D,E是y轴上一动 点，当线段PD长度取得最大值时，求PE+2OE的最小值， 2 7/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过(2)中的点D且与直线AC相交于另一点 M,点Q为新抛物线上的一个动点，当∠MDQ=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出 求解点Q坐标的其中一种情况的过程. ●)类题点拨 ·化折为直：对称、平移、旋转、放缩 ·三点共线取最值（两点间线段最短） 垂线段最短（用于胡不归、点到直线） ·三角形三边关系（差最大） 题型03周长最值 11.如图，抛物线y= 3x2+bx+c经过点A(4,0),B0,3· 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PC⊥AB,垂足为点C,PD∥y轴，交AB于点D,求 △PCD的周长最大值及此时点P的坐标： (3)在(2)中△PCD的周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移2个单位，点M为平移 后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点P,A,M,N为顶点的四边形 是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， 12.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的右 侧)，与y轴交于点C,0A=4,0B=2,点C(0,-4,0D=3,连接AD. 图1 8/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)求抛物线的解析式； (2)点F是线段AO上一点，过点F作EF⊥x轴交抛物线于点E,交AD于点M,点N是直线AD上一点， EM=EN,当△EMN的周长最大时，求点E的坐标和此时△EMN周长最大值； 9 (3)如图2，已知2 ,0 点P为直线AD上一动点，连接P9,将抛物线上下平移，平移后的抛物线左侧 4 部分经过点P;当△APQ是以P9为腰的等腰三角形时，求抛物线的平移距离d. 图2 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点 C,连接BC. B 4 B 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)点P是线段BC上方抛物线上的一动点，连接AP,BP,CP,点M,N分别是x轴上，直线BP上一动点，连 接CN,CM,MN.当S。BCp-S4Cp取得最大值时，求aCMN周长的最小值； (3)在(2)问△CMN周长取得最小值的条件下，将抛物线沿射线AC方向平移√13个单位长度得到抛物线y ,点Q为y上的一动点.若∠CMN=2∠QPB,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的 坐标的其中一种情况的过程. 14在平面直角坐标系中，抛物线y=方+c+4与x销交于4、B(再点4在B的右侧.与)第交于点 C,且0B=OC. 9/19 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 图1 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1所示，在直线BC上方的抛物线上有一动点P,且PQ∥y轴交BC于点Q,PG⊥BC交BC于点G, 当△PGQ的周长取得最大值时，求点P的坐标及△PGQ周长的最大值， (3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线y,新抛物线y与y轴 交于点N,在新抛物线y的对称轴上是否存在点M,使得∠MWB=∠AC0,若存在，请直接写出点M的坐 标. 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点 与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1, C A B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D.点M是y轴上的一动点， 连接PM,DM.当线段PD长度取得最大值时，求△PDM周长的最小值； (3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2)中△PDM周长取得最小值时的点M,且与x轴交 于E(-4,0),F两点(E在F的左侧)，连接EM.点N为平移后的抛物线上的一动点，当 ∠MEF+∠NEF=45°时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标. ●类题点拨 10/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 画图：永远第一步。标出定点、动点位置和轨迹。 ·定型：判断属于“一定两动”、“两定一动”还是“两定两动”。 ·转化：用对称或平移将所有动点“翻”到同侧，用线段连接。 ·计算：距离公式要熟练，平方和别加错，根号化简要彻底。 题型04面积最值 16.如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴分别交于点A(-1,0)、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 3 对称轴为直线x= 2 备用图 (1)求拋物线解析式： (②)点P为直线BC下方拋物线上一点，连接PB,PC,当△PBC面积最大时，求此时点P的坐标和△PBC面 积的最大值： (3)点M为抛物线对称轴上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,连接MP,NB,当△PBC面积最大时，求 PM+MN+NB的最小值. 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4的图象交x轴于点A-4,0)和B(1,0),交y轴于点C. 点D(0,2),连接AD. O B (1)求抛物线的解析式： (②)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接AC,PC,PA,当PCA的面积最大时，求点P的坐标 和PCA的面积最大值： (3)抛物线上是否存在一点E,使得∠ABE=2∠DAB,若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于两点A(2,0),B(6,0),与y轴交 11/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 于点C(0,6. VA C A B 0 A B P 图1 图2 (1)求抛物线解析式. (2)在直线BC下方抛物线上有一点P,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值， (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线y,新抛物线y与原抛物线的交点为E(2,0),点F是新抛 物线对称轴上一点，在(2)的条件下，在新抛物线上是否存在点Q,使得以点P,E,F,Q为顶点的四 边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(2,0),B(6,0),与y轴交 于点C(0,6. 图1 图2 (1)求抛物线解析式。 (2)在直线BC下方抛物线上有一点P,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值， (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线y,新抛物线y与原抛物线的交点为E，点F是新抛物线 对称轴上一点，在(2)的条件下，在新抛物线上是否存在点Q,使得以点P,E,F,Q为顶点的四边形是 平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 20,如图，已知揽物线=+bx-a0经过点A3.2，与y䌷交于点B,其对称轴为直线x一} c0)为y维上-点，直线4C与物线交于另点D. 12/19 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B D 备用图 (I)求抛物线的函数表达式： (2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E,使得ADE的面积最大，并求出最大面积： (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F,x轴上一点N使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求点F 的坐标；如果不存在，请说明理由， ●)类题点拨 二次函数上动点+水平底边铅垂法水平宽固定，铅垂高是二次函数 二次函数上动点+斜边坐标法（用距离公式）或转化为铅垂法将三角形补成长方形再减 四边形割补法（分成两个三角形）让分割线平行于坐标轴 圆内接三角形高过圆心时最大注意底边是否固定 最后结论二次函数顶点开口向下→最大值；开口向上→最小值 综合实战演练 模块三 1.二次函数y=ax2+bx+3,与x轴交于点A-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C. y外 B B 备用图 ()求该二次函数的解析式： (②)如图，连接AC与BC,在直线BC上方抛物线上有一动点P,过点P作PD∥y轴交线段BC于点D,过 点P作PE垂直于直线AC,垂足为点E,过点A作直线AF∥BC且与y轴交于点F,点G、H为直线AF上 13/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两动点，G在H上方，且GH=2√2，当3PD-√0PE最大时，求出点P的坐标及此时PG-CH的最大值： (3)把函数y=ax2+bx+3沿射线AC平移√10个单位得到函数y,直线BC上有一动点M,在(2)的条件 下，当3PD-V10PE最大时，若∠PMD=∠ACO,射线PM与函数y的图象交于点N,直接写出点N的坐 标，并写出求其中一个点的过程 2.如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(-1,0)、B,交y轴于点C,对称轴为直线x=1. B 备用图 (1)求抛物线的解析式. (②)P是线段BC上方抛物线上的一点，过点P作PD∥x轴交BC于D,PE∥AC交BC于E,当△PDE的面 积最大时，求P点的坐标；在y轴上取两点M、N(N在M的上方)使MN=1,连接PN,BM,求 PN+NM+MB的最小值. (3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线CA的方向平移√10个单位得到新抛物线y,R是新抛物线上一点 且位于对称轴的右侧，若∠ABR+∠ABC=∠ACB,请直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点 R的坐标的其中一种情况的过程， 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y=ax2+bx+3(a≠0)分别交x轴于A,B两点，交y轴 于点C,连接AC，BC,其中S。4oc=3,抛物线对称轴为直线x=2. VA (1)求抛物线的解析式： (②)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC交直线BC于点D,PE∥y轴交直线BC于点 E,点F是直线x轴上的动点，当△PDE周长最大时，求V5PF+AF的最小值； (3)将抛物线y=ax2+bx+3沿∠C0B的角平分线方向平移2√2个单位长度得到新抛物线y,平移后的抛物线 y顶点为K且与y轴交于点Q,点M为抛物线y上一动点.若∠KQB=2∠QBA+∠MKQ,请直接写出符合 条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程。 14/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,对 2 称轴为直线x=-1. O 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (②)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作直线PD∥y轴，交直线AC于点D,E为y轴 上一动点，且满足DC=DE,点F为x轴上一动点，连接PF,当PD+。CE取最大值时，求点P的坐标及 +今BF的最小值 (3)如图2，将原抛物线沿射线AC方向平移√5个单位得到新抛物线y,新抛物线y与直线AC分别交于M、 N点，点G在新抛物线片上，连接GM.若LGMN+∠CA0=45°，请直接写出所有符合条件的点G的坐标， 并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,-4). B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点G为直线BC下方抛物线上一动点，过点G作GH∥y轴交BC于点H,在x轴上有两个动点P,Q, PQ=1,且点P在点Q的左侧，连接CP,QG,当线段GH取得最大值时，求CP+PQ+GQ的最小值： (3)将抛物线沿x轴向左平移2个单位后得到新抛物线y,A,B平移后的对应点分别为点M,N,点K为平移后 的抛物线y上一点，若∠BMK=∠ABC,请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标 的其中一种情况的过程 6.已知抛物线y=x+hr+c与y轴交于点C(0,2),与x轴交于点A-4,0)和B两点，连接AC. 2 15/19 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B B 图1 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (②)如图1，点P是线段AC下方抛物线上的一动点，连接PA,PC,点M是y轴上一动点，点N是抛物线 对称轴上一动点，当△PAC面积取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+CN的最小值； ③)抛物线y=+x+向右平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为4，连接4C,点Q是 抛物线片上一动点，当∠QA,C=45°时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其 中一种情况的过程， 7.如图1，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A-6,0),B两点，与y轴交于点C,连接AC,抛 物线的对称轴为直线x三) 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接AP,PC,点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接 PQ,AQ,当△APC面积取得最大值时，求点P的坐标及PQ+AQ的最小值： ③)将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移}个单位长度得到新抛物线人，点M是新地物线上的 动点，连接MA,当∠MAC=45°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其 中一种情况的过程。 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于A1,0),B两点，与y轴交于点C, 16/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 抛物线的对称轴是直线x= 图1 图2 (①)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是射线BC上方抛物线上的一动点.过点P作y轴的平行线，交BC于点D,连接OP,点E 是抛物线对称轴上的动点，连接AE,DE,当线段PD长度取得最大值时，求点P的坐标及OP+AE+DE的 最小值： (3)如图2，在(2)中线段PD长度取得最大值的条件下，点M是0C的中点，过点P的直线与抛物线相交 于点N,连接PM,BN.当∠MPN=2LOMP时，在y轴上存在点Q,使得BN=BQ,请直接写出所有符合 条件的点Q的坐标， 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A(-1,0),B两点 (A在B的左侧)，抛物线的对称轴是直线x=1,连接AC,BC. A N B B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥AC交BC于点D,点E,F为x轴上的两 个动点，点E在F的左侧，且EF=1,连接PE,PF.当线段PD的长度取得最大值时，求出点P的坐标及 线段PD的最大值，并求出PE+PF的最小值； (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得y,新抛物线y交线段BC于点 N,点M是新抛物线y上的一个动点，当∠MNB=∠ACB时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出 17/19 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 求解其中一个点M坐标的过程 10.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C,OC=30A. (1)求抛物线的解析式： (2)如图，已知点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PF∥y轴交BC于点F,交x轴于点M,在线 段OC、OB上分别有两个动点H、G,HG=2,Q是HG的中点，当PF-√2CF取得最大值时，在线段BC 上是否存在一点E,使得ME+EQ的值最小？若存在，请求出ME+EQ的最小值； (3)将抛物线沿射线4AC方向平移2√10个单位得到新抛物线y,将直线BC绕点0顺时针旋转90°得到新的直 线，再将新直线向右平移3个单位，向下平移5个单位得到直线B'C',直线B'C'与直线BC相交于点Q,新 抛物线y上存在点R.使得∠RAQ=45°，请直接写出点R的横坐标并写出求解点R的横坐标的其中一种情 况的过程， 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C, 连接AC,若0C=20A. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PN⊥BC于点N,若E为y轴上的一动点，F为该抛物线 对称轴上的一动点.当PN取得最大值时，求AF+EF+EP的最小值； (3)将该抛物线沿AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y,Q为新抛物线y上的一个动点，当 ∠QBC-∠ACO=45°时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程. 12.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点C. 18/19 扇学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 A B x B (1)求抛物线的解析式； (②)连接AC,点P是直线AC上方抛物线上一动点，当四边形ABCP的面积最大时，在x轴上是否存在一点 Q,使得PQ-CQ的值最大，请求出此时P的坐标及P?-CQ的最大值； (3)在(2)的条件下，将原抛物线沿射线AC方向平移22个单位后得到新抛物线y,M是新抛物线对称 轴上一点，N是新抛物线上一点，使得P、C、M、N四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出 点M的坐标，若不存在，请说明理由， 19/19