专题01 二次函数综合题角度问题（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学（重庆专用）

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01二次函数综合题角度问题 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01角相等 题型02两角互余 题型03角的和差关系 题型04角的倍数关系 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、角相等的解题方法： 1.构造全等/相似：用边相等或比例找点。 2.利用锐角三角函数：tan值相等→斜率关系（一次函数k值）。 3等腰/平行：角平分线+平行线；以已知角顶点作等腰。 二、俩角互余的解题方法： 1.正切乘积为1 2.构造“一线三直角”全等/相似 互余经常出现在“K型图”中： 过直角顶点作水平、竖直线，可得两个直角三角形相似（若对应边相等则全等）。当出现“等腰直角三 角 形”时，两个锐角互余。可以构造以这两角为锐角的直角三角形，利用边比例关系列方程。 3.转化为垂直关系 当两个角分别是某两条直线的倾斜角（或倾斜角的补角）时，可直接用垂直关系。 4.转化为等角关系 利用“同角或等角的余角相等”： 可通过补角或作垂线，将互余条件转化为两个角相等，再用常规等角方法求解。 三、角的和差关系的解题方法： 1.将目标角拆解为两个可计算正切的角之和或差。 2.利用正切的和差公式，用已知角的正切求出目标角的正切。 3.再结合点坐标，用“一线三垂直”等方法构造出目标角的正切表达式，建立方程。 四、角的倍关系的解题方法： 1/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01二次函数综合题角度问题 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01角相等 题型02两角互余 题型03角的和差关系 题型04角的倍数关系 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、角相等的解题方法： 1.构造全等/相似：用边相等或比例找点。 2.利用锐角三角函数：tan值相等→斜率关系（一次函数k值）。 3等腰/平行：角平分线+平行线；以已知角顶点作等腰。 二、俩角互余的解题方法： 1.正切乘积为1 2.构造“一线三直角”全等/相似 互余经常出现在“K型图”中： 过直角顶点作水平、竖直线，可得两个直角三角形相似（若对应边相等则全等）。当出现“等腰直角三 角 形”时，两个锐角互余。可以构造以这两角为锐角的直角三角形，利用边比例关系列方程。 3.转化为垂直关系 当两个角分别是某两条直线的倾斜角（或倾斜角的补角）时，可直接用垂直关系。 4.转化为等角关系 利用“同角或等角的余角相等”： 可通过补角或作垂线，将互余条件转化为两个角相等，再用常规等角方法求解。 三、角的和差关系的解题方法： 1.将目标角拆解为两个可计算正切的角之和或差。 2.利用正切的和差公式，用已知角的正切求出目标角的正切。 3.再结合点坐标，用“一线三垂直”等方法构造出目标角的正切表达式，建立方程。 四、角的倍关系的解题方法： 1/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.构造等腰三角形 利用“三角形外角等于不相邻两内角和”或“等边对等角”。 2二倍角：作二倍角的平分线，或构造外角等于另一个角。 3半角：作半角的二倍角，或翻折半角顶点构造等腰。 4.三角函数法（二倍角公式） 5.转化为等角关系（共圆或相似） 圆周角定理：同弧所对圆心角是圆周角的2倍。若有二倍角，可尝试构造外接圆，转化为圆心角与圆周角。 直角三角形斜边中线：等腰三角形顶角的外角等于底角2倍。相似三角形：将倍角关系放入两三角形中， 若对应角成倍数，通常需比例或勾股列方程。 压轴题型专练 模块二 题型01角相等 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)与x轴分别交于A-4,0)、B(2,0),与y轴交 于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD∥y轴交AC于点D,过D作DE∥BC交x 于点·线段在直线4C上移动LNN万当PD-DE取得最大值时，求此时点的坐标 E 5 △PMN的周长的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移3√2个单位得到新抛物线y',点C的对应点为点H,平移后的新 抛物线y的对称轴上有一点F(m,-2),点G为新抛物线y'上一动点，若∠CHG=∠CAF,请直接写出点 G的坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程。 【答案】()y=-2-x+4 2/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.构造等腰三角形 利用“三角形外角等于不相邻两内角和”或“等边对等角”。 2二倍角：作二倍角的平分线，或构造外角等于另一个角。 3半角：作半角的二倍角，或翻折半角顶点构造等腰。 4.三角函数法（二倍角公式） 5.转化为等角关系（共圆或相似） 圆周角定理：同弧所对圆心角是圆周角的2倍。若有二倍角，可尝试构造外接圆，转化为圆心角与圆周角。 直角三角形斜边中线：等腰三角形顶角的外角等于底角2倍。相似三角形：将倍角关系放入两三角形中， 若对应角成倍数，通常需比例或勾股列方程。 压轴题型专练 模块二 题型01角相等 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)与x轴分别交于A-4,0)、B(2,0),与y轴交 于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD∥y轴交AC于点D,过D作DE∥BC交x 于点·线段在直线4C上移动LNN万当PD-DE取得最大值时，求此时点的坐标 E 5 △PMN的周长的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移3√2个单位得到新抛物线y',点C的对应点为点H,平移后的新 抛物线y的对称轴上有一点F(m,-2),点G为新抛物线y'上一动点，若∠CHG=∠CAF,请直接写出点 G的坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程。 【答案】()y=-2-x+4 2/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a引9 567\ 3)7,-5)或39 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-x+C(a≠0)与x轴分别交于A-4,0、B2,0), 1 a= 0=16a+4+c,解得： 0=4a-2+c c=4 心抛物线的解析式为：y=2-x+4 (2)解：？抛物线y=-x+4与y轴交于点 .C0,4),即0C=4 A-4,0、B(2,0), .OB=2, ∴.BC=VOC2+BC2=2√5， ∴sin∠0BC=OC=4-2W5 BC255， DE∥BC, ∴.∠AED=∠OBC, 如图：过D DF⊥AB于F则sin∠AED=sn∠OBC=25 M :DF-25 DE 5， 即DF=25 DE, :PD-25 DE=PD-DF, 设直线AC的函数解析式为y=c+b, 3/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a引9 567\ 3)7,-5)或39 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-x+C(a≠0)与x轴分别交于A-4,0、B2,0), 1 a= 0=16a+4+c,解得： 0=4a-2+c c=4 心抛物线的解析式为：y=2-x+4 (2)解：？抛物线y=-x+4与y轴交于点 .C0,4),即0C=4 A-4,0、B(2,0), .OB=2, ∴.BC=VOC2+BC2=2√5， ∴sin∠0BC=OC=4-2W5 BC255， DE∥BC, ∴.∠AED=∠OBC, 如图：过D DF⊥AB于F则sin∠AED=sn∠OBC=25 M :DF-25 DE 5， 即DF=25 DE, :PD-25 DE=PD-DF, 设直线AC的函数解析式为y=c+b, 3/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=-4k+b [k=1 则了4=b 解得： b=4 直线AC的函数解析式为y=x+4, 设点P2p-p+44<p<0,则Dp+4F(p.0 ∴Pm=2P-p+4-(p+4=p2-2p,Fn=p+4-0=p+4: .D-25 DE-PD-DF 5 2p*3+2 当p=-3时，Pm250E段小此时P》03 要求△PMN的周长的最小值，即求PM+PN+MN的最小值，即求出PM+PN的最小值， 如图：过P作PH∥BC,在PH上截取PP=MN=2V2,此时四边形PMNP是平行四边形， P P A .PM=PN, ∴.PM+PN=PN+PN的最小值， A-4,0、C0,4), ∴.0A=0C=4,即∠0AC=45°， 如图：过P作PG∥x轴，过R作PGy轴， :PH∥BC, .∠PPG=45°， PG-PG=PR LRPG-2x=2 2 点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即P-》： 如图：作点P关于直线AC的对称点B,连接PN,PP, .PN=BN, 4/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=-4k+b [k=1 则了4=b 解得： b=4 直线AC的函数解析式为y=x+4, 设点P2p-p+44<p<0,则Dp+4F(p.0 ∴Pm=2P-p+4-(p+4=p2-2p,Fn=p+4-0=p+4: .D-25 DE-PD-DF 5 2p*3+2 当p=-3时，Pm250E段小此时P》03 要求△PMN的周长的最小值，即求PM+PN+MN的最小值，即求出PM+PN的最小值， 如图：过P作PH∥BC,在PH上截取PP=MN=2V2,此时四边形PMNP是平行四边形， P P A .PM=PN, ∴.PM+PN=PN+PN的最小值， A-4,0、C0,4), ∴.0A=0C=4,即∠0AC=45°， 如图：过P作PG∥x轴，过R作PGy轴， :PH∥BC, .∠PPG=45°， PG-PG=PR LRPG-2x=2 2 点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即P-》： 如图：作点P关于直线AC的对称点B,连接PN,PP, .PN=BN, 4/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :PN+PN≥PB, ∴.当？N、B共线时，PN+BN有最小值P2,即PM+PN的最小值为RB, :点P与点P关于直线AC对称， ∴.∠RPP=90°，即∠GPR=90°-∠GPR=45°， ∴.∠DPP=90°-∠GPB=45°， ∴DP=DR, P-3》-3 3 ADR=PD专1剂 3+引即( -9 52 PM+PN的最小值为之， PM+PN+w的最小值为y+22-巨 2 2 9√2 APMN的周长的最小值为2 (3)解：A-4,0、C(0,4, ∴.0A=0C=4,即∠0AC=45°， ,将抛物线沿射线AC方向平移3V2个单位得到新抛物线y', .将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线y, 新猫物线-x--x-引+4-3--2+5 ∴平移后的对称轴为x=2,即F(2,-2) 点C的对应点为点H, .H3,7), 如图：过H作HⅢ上x轴于1，则I3,0),Hl=7, 5/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :PN+PN≥PB, ∴.当？N、B共线时，PN+BN有最小值P2,即PM+PN的最小值为RB, :点P与点P关于直线AC对称， ∴.∠RPP=90°，即∠GPR=90°-∠GPR=45°， ∴.∠DPP=90°-∠GPB=45°， ∴DP=DR, P-3》-3 3 ADR=PD专1剂 3+引即( -9 52 PM+PN的最小值为之， PM+PN+w的最小值为y+22-巨 2 2 9√2 APMN的周长的最小值为2 (3)解：A-4,0、C(0,4, ∴.0A=0C=4,即∠0AC=45°， ,将抛物线沿射线AC方向平移3V2个单位得到新抛物线y', .将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线y, 新猫物线-x--x-引+4-3--2+5 ∴平移后的对称轴为x=2,即F(2,-2) 点C的对应点为点H, .H3,7), 如图：过H作HⅢ上x轴于1，则I3,0),Hl=7, 5/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :A-4,0) .A=3-(-4=7, .A=H=7, .∠HAI=∠AH, .FB=2,AB=2-（-4=6, ÷tan∠1AF=2=1 63 如图：当点G在HⅢ右侧时， ,∠CHG=∠AHⅢ+∠KHG=∠CAF=∠HAI+∠IAF, ∴.∠KHG=∠IAF, .tan∠KHG=tan∠AF 3 设0g+号)g>3如国：过G作K1知于k则-g-2+号) K=7-[&-2+]-g-2-片0Kg-3 tan∠KHG=KG-l HK3” 8-3 1 85,解： .1 8-7 ∴.G7,-5): 如图：当点G在Ⅲ左侧时，如图：过H作对称轴的垂线山交对称轴于J,则J(2,),在对称轴上取一点， 使得∠UHJ=∠IAF,连接HU交新抛物线于G, ÷an∠UW=tan∠AF=3,HW=3-2=1' 1 6/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :A-4,0) .A=3-(-4=7, .A=H=7, .∠HAI=∠AH, .FB=2,AB=2-（-4=6, ÷tan∠1AF=2=1 63 如图：当点G在HⅢ右侧时， ,∠CHG=∠AHⅢ+∠KHG=∠CAF=∠HAI+∠IAF, ∴.∠KHG=∠IAF, .tan∠KHG=tan∠AF 3 设0g+号)g>3如国：过G作K1知于k则-g-2+号) K=7-[&-2+]-g-2-片0Kg-3 tan∠KHG=KG-l HK3” 8-3 1 85,解： .1 8-7 ∴.G7,-5): 如图：当点G在Ⅲ左侧时，如图：过H作对称轴的垂线山交对称轴于J,则J(2,),在对称轴上取一点， 使得∠UHJ=∠IAF,连接HU交新抛物线于G, ÷an∠UW=tan∠AF=3,HW=3-2=1' 1 6/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “tan∠UHW=W_1nw1 况即号-：解得：w= .U2,75 3/ 设直线HU的函数解析式为y=kx+b, 7=-2k+ 1 3 则 ,解得： k3, 7=3k+b b=8 1 ∴直线HU的函数解析式为y= 3+8 1 y= 3+8 x= 联立 P=2r-22+15 解得： 1 67或x=3(不合题意舍弃)， y 9 y=7 567Y :.G39” 567 综上，点G的坐标为(7，-5)或39 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br-4a≠0)与x轴交于点A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD. MN A B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E,过点P作PF∥y轴交AD 于点p点MN为，上两个动点，点在点y的左御，=LQ-》. 连接pN,MH,当 P+5PE取得最大值时，求，点的坐标及pW+M的最小值： (3)将抛物线y=ar2+br-4(a≠0)沿射线BC方向平移、5个单位长度，得到新抛物线片，过点A作 AR⊥BC于点R,点Q是新抛物线M上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点Q的横 7/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “tan∠UHW=W_1nw1 况即号-：解得：w= .U2,75 3/ 设直线HU的函数解析式为y=kx+b, 7=-2k+ 1 3 则 ,解得： k3, 7=3k+b b=8 1 ∴直线HU的函数解析式为y= 3+8 1 y= 3+8 x= 联立 P=2r-22+15 解得： 1 67或x=3(不合题意舍弃)， y 9 y=7 567Y :.G39” 567 综上，点G的坐标为(7，-5)或39 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br-4a≠0)与x轴交于点A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD. MN A B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E,过点P作PF∥y轴交AD 于点p点MN为，上两个动点，点在点y的左御，=LQ-》. 连接pN,MH,当 P+5PE取得最大值时，求，点的坐标及pW+M的最小值： (3)将抛物线y=ar2+br-4(a≠0)沿射线BC方向平移、5个单位长度，得到新抛物线片，过点A作 AR⊥BC于点R,点Q是新抛物线M上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点Q的横 7/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程. 【答秦】(0y=2+x-4 711】 (2)P点坐标为 2-8 PW+M阳的最小值为④ ③)点。的横坐标为，5-2或101圆 3 【详解】(1)解：在抛物线y=ax2+bx-4中，令x=0,则y=-4,则C(0,-4), ∴.0C=4, :OA=OC,A在x轴负半轴， .A-4,0), 16a-4b-4=0 将A-4,0)·B(2,0)代入抛物线得： 4a+2b-4=0’ 解得：a= ,b=1, 六抛物线表达式为：y弓+-4。 2)解：：抛物线表达式为：y=方式+x一4， 顶点 设直线AD解析式为y=x+b', 2-k+6 3 k=- 则 ，解得： 2 0=-4k+b' b'=-6 3 …直线 4D解析式为y= 2-6 设直线BC解析式为y=你-4， 则0=2k'-4,解得：k'=2, 直线BC解析式为y=2x-4, ·PE∥BC,BC=V22+42=2√5， ∴.∠PEC=∠BCO, sin PEC--sin ZBCO=BC PE 8/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程. 【答秦】(0y=2+x-4 711】 (2)P点坐标为 2-8 PW+M阳的最小值为④ ③)点。的横坐标为，5-2或101圆 3 【详解】(1)解：在抛物线y=ax2+bx-4中，令x=0,则y=-4,则C(0,-4), ∴.0C=4, :OA=OC,A在x轴负半轴， .A-4,0), 16a-4b-4=0 将A-4,0)·B(2,0)代入抛物线得： 4a+2b-4=0’ 解得：a= ,b=1, 六抛物线表达式为：y弓+-4。 2)解：：抛物线表达式为：y=方式+x一4， 顶点 设直线AD解析式为y=x+b', 2-k+6 3 k=- 则 ，解得： 2 0=-4k+b' b'=-6 3 …直线 4D解析式为y= 2-6 设直线BC解析式为y=你-4， 则0=2k'-4,解得：k'=2, 直线BC解析式为y=2x-4, ·PE∥BC,BC=V22+42=2√5， ∴.∠PEC=∠BCO, sin PEC--sin ZBCO=BC PE 8/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 pE. 5 1 .PF=yr-yp=- 2 m-2, 2 :.PF+5 PE=-1m-5m m-2, 5 2 -24-=m-子 2 2 这是开口向下的二次高数，故当烟=了时，PF+5E取得级大价。 5 将烟=子代入得少=号， 7 ∴.P点坐标为 “W=1将p向左移1个单位得P?智） 珠 B D 则PP'=MN=L,PP'∥MN, ∴.四边形PP'MN是平行四边形， .P'M=NP, 作点HQ公)关于，轴的对称点H0)。 21 则PN=P'M,MH=MH', .PN+MH P'M+MH'z P'H', 当点P,M,H'共线时，PN+MH最小，最小值为P'H', P'H'= +9+24 V145 0+2)+8+8) 2 9/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 pE. 5 1 .PF=yr-yp=- 2 m-2, 2 :.PF+5 PE=-1m-5m m-2, 5 2 -24-=m-子 2 2 这是开口向下的二次高数，故当烟=了时，PF+5E取得级大价。 5 将烟=子代入得少=号， 7 ∴.P点坐标为 “W=1将p向左移1个单位得P?智） 珠 B D 则PP'=MN=L,PP'∥MN, ∴.四边形PP'MN是平行四边形， .P'M=NP, 作点HQ公)关于，轴的对称点H0)。 21 则PN=P'M,MH=MH', .PN+MH P'M+MH'z P'H', 当点P,M,H'共线时，PN+MH最小，最小值为P'H', P'H'= +9+24 V145 0+2)+8+8) 2 9/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PN+M的最小值为 2 (3)解：BC=V22+42=25,B2,0),C(0,-4), ∴港物线y方+-4+号消射战BC方向平移5个单位长度，即将地物线y-方+-4向下 平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新胸线群折式人41-号2宁+2之-子 1 ①当点Q位于直线AR上方时， ,AR⊥BC, .∠ARC=90°， ∠1=∠2，∠AOK=∠ARC=90°， ∴.∠OAK=∠KCR, 即∠QAR=∠OCB,点Q是y与x轴的交点， 在+2x中，令%+2x号=0， 解得：x=-3-2(舍去)或x=V13-2, .点Q的横坐标为V13-2: ②当点Q位于直线AR下方时，如图，∠LAK=∠OAK, :∠OAK=∠KCR, :tan∠OAK=OS=tan∠kCR=tan∠OCB=OB=} OA 0C2' A-4,0), .A0=4, .OK=2, 过点K作KG⊥AL,则KG=OK=2, 设KL=x,GL=y,则x2=y2+4, 10/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PN+M的最小值为 2 (3)解：BC=V22+42=25,B2,0),C(0,-4), ∴港物线y方+-4+号消射战BC方向平移5个单位长度，即将地物线y-方+-4向下 平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新胸线群折式人41-号2宁+2之-子 1 ①当点Q位于直线AR上方时， ,AR⊥BC, .∠ARC=90°， ∠1=∠2，∠AOK=∠ARC=90°， ∴.∠OAK=∠KCR, 即∠QAR=∠OCB,点Q是y与x轴的交点， 在+2x中，令%+2x号=0， 解得：x=-3-2(舍去)或x=V13-2, .点Q的横坐标为V13-2: ②当点Q位于直线AR下方时，如图，∠LAK=∠OAK, :∠OAK=∠KCR, :tan∠OAK=OS=tan∠kCR=tan∠OCB=OB=} OA 0C2' A-4,0), .A0=4, .OK=2, 过点K作KG⊥AL,则KG=OK=2, 设KL=x,GL=y,则x2=y2+4, 10/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tan∠AL0=A =tan∠GLk= GL' 4=2 六2+xy,即x=2y-2 .(2y-2)2=y2+4, 8 解得：y=3或y=0(舍去)， x- 2-2-9 oL=3+216 3, 设直线4 的解析式为y=kx-6 ，则0=4h“-1 3，解得：”=-4 -3’ 之直线4L的解析式为少=一x-16 X- 33 联立y=一 和=分+2x-号，整理得3+20r+5=0 416 r- 解得：x=0+V⑧ 或x=-10-V85 3 3 (舍去，此时∠QAR为纯角)， 六点g的横坐标为-10+v85 综上，点g的横坐标为、5-2成10生8丽 3 3.如图，抛物线y=ax+br+3与x轴交于点A,点B(A在B的左侧)，与y轴相交于点C,A、B的坐标 分别为：（-2,0)、(4,0)，连接AC,BC. 图1 备用图 ()求抛物线的解析式： (2)如图L,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作P№1BC,交直线BC于点Q,过点Q作 11/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tan∠AL0=A =tan∠GLk= GL' 4=2 六2+xy,即x=2y-2 .(2y-2)2=y2+4, 8 解得：y=3或y=0(舍去)， x- 2-2-9 oL=3+216 3, 设直线4 的解析式为y=kx-6 ，则0=4h“-1 3，解得：”=-4 -3’ 之直线4L的解析式为少=一x-16 X- 33 联立y=一 和=分+2x-号，整理得3+20r+5=0 416 r- 解得：x=0+V⑧ 或x=-10-V85 3 3 (舍去，此时∠QAR为纯角)， 六点g的横坐标为-10+v85 综上，点g的横坐标为、5-2成10生8丽 3 3.如图，抛物线y=ax+br+3与x轴交于点A,点B(A在B的左侧)，与y轴相交于点C,A、B的坐标 分别为：（-2,0)、(4,0)，连接AC,BC. 图1 备用图 ()求抛物线的解析式： (2)如图L,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作P№1BC,交直线BC于点Q,过点Q作 11/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 QML)轴，交y销于点从点K为宜战1C一减点，当治0-0最大时，求以+2 13 AK的最小值： 85 (3)将该抛物线沿射线BC方向平移6个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接AB'CE'当 ∠AEC=∠ACO时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程. 【答案】(I)y=- 4 (2)3 (3)点E的坐标为 过程见详解 【详解】(1)解：抛物线y=ar2+bx+3与x轴交于A-2,0)、B(4,0), 4a-2b+3=0 心16a+4h+3=0' a=- 8 解得 3, b= 4 :礼物线的解新式为y=+子+5， 4 (2)解：如图，过P作PE⊥x轴交于E,交BC于F,延长MQ交PE,于G, CL M B .PE,∥y轴， ∴.∠PFQ=∠BCO, 当x=0时，y=3, .C0,3), ∴.0C=3,OB=4, ∴.BC=VOB2+OC2=5, 在RIABOC中，sin∠BC0=OB-4 BC5,Cos∠BCO=3 12/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 QML)轴，交y销于点从点K为宜战1C一减点，当治0-0最大时，求以+2 13 AK的最小值： 85 (3)将该抛物线沿射线BC方向平移6个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接AB'CE'当 ∠AEC=∠ACO时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程. 【答案】(I)y=- 4 (2)3 (3)点E的坐标为 过程见详解 【详解】(1)解：抛物线y=ar2+bx+3与x轴交于A-2,0)、B(4,0), 4a-2b+3=0 心16a+4h+3=0' a=- 8 解得 3, b= 4 :礼物线的解新式为y=+子+5， 4 (2)解：如图，过P作PE⊥x轴交于E,交BC于F,延长MQ交PE,于G, CL M B .PE,∥y轴， ∴.∠PFQ=∠BCO, 当x=0时，y=3, .C0,3), ∴.0C=3,OB=4, ∴.BC=VOB2+OC2=5, 在RIABOC中，sin∠BC0=OB-4 BC5,Cos∠BCO=3 12/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴sin∠PFQ= 4 3 COs LPFO=5 PO 4 PF5' :.PQ=4PF, 设直线BC的解析式为y=c+b, [4k+b=0 则有 b=3 3 k=- 解得： 4 b=3 直线BC的解析式为y= 4+3, 3 3 设Pm,-。m2+二m+3, 4 .Fm,- 3 m+3 、4 3 PF=-3 +3- 73 4 m+3 4 3 2m2+m, 82 0-+g :∠P2G+∠FQG=90°，∠PFQ+∠FQG=90°， .∠POG=∠PFQ, cos∠PQG=3 0G3 P05' 0G=-2Pg, 5 ..0G= 3(3 510 50m2 9 18 m, 25 13/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴sin∠PFQ= 4 3 COs LPFO=5 PO 4 PF5' :.PQ=4PF, 设直线BC的解析式为y=c+b, [4k+b=0 则有 b=3 3 k=- 解得： 4 b=3 直线BC的解析式为y= 4+3, 3 3 设Pm,-。m2+二m+3, 4 .Fm,- 3 m+3 、4 3 PF=-3 +3- 73 4 m+3 4 3 2m2+m, 82 0-+g :∠P2G+∠FQG=90°，∠PFQ+∠FQG=90°， .∠POG=∠PFQ, cos∠PQG=3 0G3 P05' 0G=-2Pg, 5 ..0G= 3(3 510 50m2 9 18 m, 25 13/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.MQ=MG-QG=m- 9 50 25m 9 -m2+ 50 25 m, :.5 1 m2+m, 2 当ns =1 29 时，16Pg-M0取最大值， 15 3 3 27 此时y= ×1+3= 8 8 ,27Y P) 如图，过AA,⊥x轴，过P作PA⊥AA,过K作KH⊥x轴交于H,作KA LAA,交于A, y A G HO ∴.KH∥y轴，四边形AHK4、AKK4,、AEPA,均是矩形， .△AHK∽△AOC,AH=AK,A,P=AE=3, 悠调 在RteAOC中，AC=VOA2+0C2=√22+32=√3， AKAH ·2 AH=23 AK, 13 14/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.MQ=MG-QG=m- 9 50 25m 9 -m2+ 50 25 m, :.5 1 m2+m, 2 当ns =1 29 时，16Pg-M0取最大值， 15 3 3 27 此时y= ×1+3= 8 8 ,27Y P) 如图，过AA,⊥x轴，过P作PA⊥AA,过K作KH⊥x轴交于H,作KA LAA,交于A, y A G HO ∴.KH∥y轴，四边形AHK4、AKK4,、AEPA,均是矩形， .△AHK∽△AOC,AH=AK,A,P=AE=3, 悠调 在RteAOC中，AC=VOA2+0C2=√22+32=√3， AKAH ·2 AH=23 AK, 13 14/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·4K=23 13 AK, ·PK+23 AK=PK+AK, 13 如图， A,(A) D iG Fi B E 当P、K、A三点共线时，PK+AK的值最小，此时PK+AK=A,P=3, ,.PK+ 23 AK的最小值为3： 13 (③)解：：c0s∠0BC-号，该抛物线沿射线BC方向平移8个单位， 85 器号 7 ∴·该抛物线向左平移 4 个单位长度，1-17.13 44 平移后的对称轴为直线x=- ①当E在x轴上方时，如图，过E作EN⊥y轴交于N,过A作AT⊥x轴交EC于T,交EN于S, E S -W T B W A O ∴.AS∥ON,四边形ONEW、ASEW、AONS是矩形， 15/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·4K=23 13 AK, ·PK+23 AK=PK+AK, 13 如图， A,(A) D iG Fi B E 当P、K、A三点共线时，PK+AK的值最小，此时PK+AK=A,P=3, ,.PK+ 23 AK的最小值为3： 13 (③)解：：c0s∠0BC-号，该抛物线沿射线BC方向平移8个单位， 85 器号 7 ∴·该抛物线向左平移 4 个单位长度，1-17.13 44 平移后的对称轴为直线x=- ①当E在x轴上方时，如图，过E作EN⊥y轴交于N,过A作AT⊥x轴交EC于T,交EN于S, E S -W T B W A O ∴.AS∥ON,四边形ONEW、ASEW、AONS是矩形， 15/170 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠AC0=∠-HC.ESTENC,BS=,BN- 4'EW=ON' ES ET …ENEC' ET 设ET=5n,则EC=13n, ∴.TC-EC-ET=8n, :∠AEC=∠ACO, .∠AEC=∠TAC, :∠ACE=∠TCA, ∴.△ACE∽aTCA, %器 ..TC.CE=AC2=13, ∴.8n×13n=13, 解得：%=2 4 上（舍去）， ·EC=13V2 4 & EW=c .CN=ON-OC=c-3, 在RtAENC中，EN2+ON2=EC2, 时得c- 解得：-=（合去）， ②当E在x轴下方时，如图， 16/170 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠AC0=∠-HC.ESTENC,BS=,BN- 4'EW=ON' ES ET …ENEC' ET 设ET=5n,则EC=13n, ∴.TC-EC-ET=8n, :∠AEC=∠ACO, .∠AEC=∠TAC, :∠ACE=∠TCA, ∴.△ACE∽aTCA, %器 ..TC.CE=AC2=13, ∴.8n×13n=13, 解得：%=2 4 上（舍去）， ·EC=13V2 4 & EW=c .CN=ON-OC=c-3, 在RtAENC中，EN2+ON2=EC2, 时得c- 解得：-=（合去）， ②当E在x轴下方时，如图， 16/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 同理可求：N2+ON2=EC2, +8-=B5. 4 1 25 解得：6=4,6=4（舍去)， 131) .E44) 综上所述，E的坐标为一 翠)县别 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴 交于C(0,4) E A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴，交AC于D,E为直线BC上一动点，连接PE, 当pD取得最大值时，求PE+ BE的最小值： PD 17 (3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y'经过点M(-4,4及原点0，点Q为平移后新抛物线上一动 点，已知点N(-2,0),当∠OMN=∠QMC时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 【答案】(1)y=-x2-3x+4 (2)3 17/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 同理可求：N2+ON2=EC2, +8-=B5. 4 1 25 解得：6=4,6=4（舍去)， 131) .E44) 综上所述，E的坐标为一 翠)县别 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴 交于C(0,4) E A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴，交AC于D,E为直线BC上一动点，连接PE, 当pD取得最大值时，求PE+ BE的最小值： PD 17 (3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y'经过点M(-4,4及原点0，点Q为平移后新抛物线上一动 点，已知点N(-2,0),当∠OMN=∠QMC时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 【答案】(1)y=-x2-3x+4 (2)3 17/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 444) 226 3)点g的坐标为 39或39 【详解】(1)解：将于A-4,0),B1,0)、C0,4代入y=ar2+bx+c(a≠0)得： [0=16a-4b+c a=-1 0=a+b+c,解得： b=-3, 4=c c=4 所以抛物线的表达式为y=-x2-3x+4. (2)解：设AC的解析式为y=mx+n, 「0=-4m+n m=1 则4=n ，解得： (n=4 .AC的解析式为y=x+4, 设Pp,-p2-3p+4,则D(p,p+4), ∴.PD=-p2-3p+4-(p+4=-p2-4p=-(p+2+4. .当p=-2时，PD取得最大值为4， .P(-2,6), B1,0、C0,4, ∴.0B=1,0C=4, ..AC=OC2+0B2=17, 17 :.sin20CB=而17 D 设直线BC的解析式为y=x+v, 0=u+v 4=-4 则4=v，解得： p=4· ∴.直线BC的解析式为y=-4x+4, 18/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 444) 226 3)点g的坐标为 39或39 【详解】(1)解：将于A-4,0),B1,0)、C0,4代入y=ar2+bx+c(a≠0)得： [0=16a-4b+c a=-1 0=a+b+c,解得： b=-3, 4=c c=4 所以抛物线的表达式为y=-x2-3x+4. (2)解：设AC的解析式为y=mx+n, 「0=-4m+n m=1 则4=n ，解得： (n=4 .AC的解析式为y=x+4, 设Pp,-p2-3p+4,则D(p,p+4), ∴.PD=-p2-3p+4-(p+4=-p2-4p=-(p+2+4. .当p=-2时，PD取得最大值为4， .P(-2,6), B1,0、C0,4, ∴.0B=1,0C=4, ..AC=OC2+0B2=17, 17 :.sin20CB=而17 D 设直线BC的解析式为y=x+v, 0=u+v 4=-4 则4=v，解得： p=4· ∴.直线BC的解析式为y=-4x+4, 18/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图：过E作EF∥x轴，作BF⊥x轴，设E(e,-4e+4),则F(1,-4e+4), ∴.BF∥OC, ∠EBF=∠OCB, ·sin∠EBF= EF BE =sin∠0cB=1=7 而，即F-E, 17 PE+ -BE=PE+EF≥PF, 17 当且仅当， 时，PE+TBE有最小值PE PF⊥PD 17 .F1,6), P(-2,6), ∴.PF=1-(-2=3 (3)解：“抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y经过点M(-4,4及原点0， ∴抛物线沿着水平方向作平移一个平移得到新抛物线y, :y=-x2-3x+4, ∴.y=-x+1-3(x+1+4=-x2-5x, 如图：连接MA、MC, A NO B M(-4,4),A-4,0),C0,4, ∴.AM=MC=OC=0A=4,∠A0C=90°，OM=4V2, .四边形AMCO是正方形， 如图：连接MO,则∠AOM=∠MOC=45°，设G(0,q)时，∠GMC=∠NOM, ∴.∠QMO=∠AMN, 如图：过G作GF⊥OM, G04, 19/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图：过E作EF∥x轴，作BF⊥x轴，设E(e,-4e+4),则F(1,-4e+4), ∴.BF∥OC, ∠EBF=∠OCB, ·sin∠EBF= EF BE =sin∠0cB=1=7 而，即F-E, 17 PE+ -BE=PE+EF≥PF, 17 当且仅当， 时，PE+TBE有最小值PE PF⊥PD 17 .F1,6), P(-2,6), ∴.PF=1-(-2=3 (3)解：“抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y经过点M(-4,4及原点0， ∴抛物线沿着水平方向作平移一个平移得到新抛物线y, :y=-x2-3x+4, ∴.y=-x+1-3(x+1+4=-x2-5x, 如图：连接MA、MC, A NO B M(-4,4),A-4,0),C0,4, ∴.AM=MC=OC=0A=4,∠A0C=90°，OM=4V2, .四边形AMCO是正方形， 如图：连接MO,则∠AOM=∠MOC=45°，设G(0,q)时，∠GMC=∠NOM, ∴.∠QMO=∠AMN, 如图：过G作GF⊥OM, G04, 19/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0G,=q' FG-Fo- 29, ÷MF=0M-oF=4W5- 29, ÷tan∠fMG= FG 29 =9 MF 4w52,8-g 29 N(-2,0),A-4,0),M(-4,4), .NA=2,MA=4, ∴.tan∠WMA= AN 21 AM421 9=1 8 8-g2,解得：9=3 c. 设直线MG的解析式为y=mx+n, .1 4=-4m+n m= 3 则 8 解得： 8 3 3 所以直线MG的解析式为y=-x+ 2 18 联立y=3x+3,解得： =3 6或x=-4(舍弃)， y=-x2-5x y=9 y=4 226 .39月 如：作G关于NC的对称点。·则) 2,12 同理可得：直线MG,的解析式为：y=一了x+ 3, 4 或∫x=-4(舍弃)， y=-x2-5x 4=9 =4 20/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0G,=q' FG-Fo- 29, ÷MF=0M-oF=4W5- 29, ÷tan∠fMG= FG 29 =9 MF 4w52,8-g 29 N(-2,0),A-4,0),M(-4,4), .NA=2,MA=4, ∴.tan∠WMA= AN 21 AM421 9=1 8 8-g2,解得：9=3 c. 设直线MG的解析式为y=mx+n, .1 4=-4m+n m= 3 则 8 解得： 8 3 3 所以直线MG的解析式为y=-x+ 2 18 联立y=3x+3,解得： =3 6或x=-4(舍弃)， y=-x2-5x y=9 y=4 226 .39月 如：作G关于NC的对称点。·则) 2,12 同理可得：直线MG,的解析式为：y=一了x+ 3, 4 或∫x=-4(舍弃)， y=-x2-5x 4=9 =4 20/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 444 .0-39 444.226 综上，的坐标为39或39 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点 C,连接AC,若tan∠CAO=2. (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过点P作PN⊥BC于点 心H为直线aC上的动点：当PM+ 之PN取得最大值时，求AH-PH的最大值： (3)将该抛物线沿CA方向平移5个单位长度得到得新抛物线y',Q为新抛物线y上的一个动点.当 ∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点Q的坐标. 【答案】0y=7r+x+4 1 (2)2√2 1+V274-15-V274 3)2 79 g,1-1o,o-3 【详解】(1)：抛物线y=ar2+br+4(a≠0) .当x=0时，y=4 ∴.C(0,4,即0C=4 :tam∠C40-0C-4=2 OAOA ∴.OA=2 .A-2,0 ∴.将A-2,0),B4,0)代入y=ar2+br+4a≠0)得 21/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 444 .0-39 444.226 综上，的坐标为39或39 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点 C,连接AC,若tan∠CAO=2. (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过点P作PN⊥BC于点 心H为直线aC上的动点：当PM+ 之PN取得最大值时，求AH-PH的最大值： (3)将该抛物线沿CA方向平移5个单位长度得到得新抛物线y',Q为新抛物线y上的一个动点.当 ∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点Q的坐标. 【答案】0y=7r+x+4 1 (2)2√2 1+V274-15-V274 3)2 79 g,1-1o,o-3 【详解】(1)：抛物线y=ar2+br+4(a≠0) .当x=0时，y=4 ∴.C(0,4,即0C=4 :tam∠C40-0C-4=2 OAOA ∴.OA=2 .A-2,0 ∴.将A-2,0),B4,0)代入y=ar2+br+4a≠0)得 21/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [4a-2b+4=0 16a+4b+4=0 b=1 1 .y= 2+x+4: (2):P是直线BC上方抛物线上的一动点， 设P+m+4 :B(4,0),C(0,4) .可得直线BC表达式为y=-x+4 ,过点P作PM∥x轴交直线BC于点M, 设Mm2-mm2+m+4 1 .PM =m- 2m2-m=- m2+2m OC=OB=4 ∴.△OBC是等腰直角三角形 .∠OBC=∠OCB=45° ,PM∥x ∴.∠OCN=∠OBC=45° ,PN⊥BC ∴.△PMN是等腰直角三角形 :.PN=PM 2 PN-p3 2 22 =31 3 m2+2m= 42 8 2 3 0 当x=2时，取得最大值2 …此时P(2,4,M(0,4 22/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [4a-2b+4=0 16a+4b+4=0 b=1 1 .y= 2+x+4: (2):P是直线BC上方抛物线上的一动点， 设P+m+4 :B(4,0),C(0,4) .可得直线BC表达式为y=-x+4 ,过点P作PM∥x轴交直线BC于点M, 设Mm2-mm2+m+4 1 .PM =m- 2m2-m=- m2+2m OC=OB=4 ∴.△OBC是等腰直角三角形 .∠OBC=∠OCB=45° ,PM∥x ∴.∠OCN=∠OBC=45° ,PN⊥BC ∴.△PMN是等腰直角三角形 :.PN=PM 2 PN-p3 2 22 =31 3 m2+2m= 42 8 2 3 0 当x=2时，取得最大值2 …此时P(2,4,M(0,4 22/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴此时点M和点C重合，如图所示，延长PN交y轴于点D,连接AH,PH,DH,AD y个 (M)C D H BY .△PCD,△CDN是等腰直角三角形， ∴.CD=CP=2 ∴·点D和点P关于直线BC对称 D(0,2),即0D=2 ∴.DH=PH .AH-PH=AH-DH≤AD :当点A,D,H三点共线时，AH-PH取得最大值，即AD的长度 ∴.AD=VOA2+OD2=22 .AH-PH的最大值为2√2： (3).tan∠CAO=2, ·sin∠C40=2 5,cos∠CA0=5 ,将该抛物线沿CA方向平移V5个单位长度得到得新抛物线y ∴.平移方式为向左平移V5×cos∠CAO=1个单位，向下平移V5×si∠CAO=2个单位， y=- 平移后的新抛物线y表达式为矿之x-1++号2=方产+， .:∠QAC=∠BCA .当点Q在y轴右边时，如图所示，延长AQ交直线BC于点D,交y于点Q, 23/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴此时点M和点C重合，如图所示，延长PN交y轴于点D,连接AH,PH,DH,AD y个 (M)C D H BY .△PCD,△CDN是等腰直角三角形， ∴.CD=CP=2 ∴·点D和点P关于直线BC对称 D(0,2),即0D=2 ∴.DH=PH .AH-PH=AH-DH≤AD :当点A,D,H三点共线时，AH-PH取得最大值，即AD的长度 ∴.AD=VOA2+OD2=22 .AH-PH的最大值为2√2： (3).tan∠CAO=2, ·sin∠C40=2 5,cos∠CA0=5 ,将该抛物线沿CA方向平移V5个单位长度得到得新抛物线y ∴.平移方式为向左平移V5×cos∠CAO=1个单位，向下平移V5×si∠CAO=2个单位， y=- 平移后的新抛物线y表达式为矿之x-1++号2=方产+， .:∠QAC=∠BCA .当点Q在y轴右边时，如图所示，延长AQ交直线BC于点D,交y于点Q, 23/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA ∴.DAC=∠DCA .AD=CD,即AD2=CD2 设D(t,-1+4) .A-2,0),C0,4 AD2=(t+22+-1+4)2=22-4f+20,CD2=(t-0)2+-t+4-42=22 .22-4t+20=22 解得t=5 .D(5,-1 :A-2,0 可得直线 0表达式为= 12 y=- 7x-7 联立得， y-- 解得x=1±V274 > (负值不符合题意，舍去) 1+√274-15-V274 .9 当点Q在y轴左边时，如图所示，过点A作A巴∥BC交y'于点Q, ∴.∠BCA=∠CAQ .设直线AQ表达式为y=-x+n 将A-2,0)代入得，0=2+n ∴.n=-2 .直线AQ表达式为y=-X-2 24/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA ∴.DAC=∠DCA .AD=CD,即AD2=CD2 设D(t,-1+4) .A-2,0),C0,4 AD2=(t+22+-1+4)2=22-4f+20,CD2=(t-0)2+-t+4-42=22 .22-4t+20=22 解得t=5 .D(5,-1 :A-2,0 可得直线 0表达式为= 12 y=- 7x-7 联立得， y-- 解得x=1±V274 > (负值不符合题意，舍去) 1+√274-15-V274 .9 当点Q在y轴左边时，如图所示，过点A作A巴∥BC交y'于点Q, ∴.∠BCA=∠CAQ .设直线AQ表达式为y=-x+n 将A-2,0)代入得，0=2+n ∴.n=-2 .直线AQ表达式为y=-X-2 24/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x-2 联立得， + y=- 2 解得x=1-√10或x=1+10(舍去) ∴.2,1-10,10-3 1+√274-15-V274 综上所述，点Q的坐标为Q 7 g,1-0,io-3 ●)类题点拨 边上找点→一线三等角 等腰提示→距离相等（列平方方程避根号） 出现分角→角平分线性质 ·平行条件→平行线+等角转换 题型02两角互余 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+2(a≠0)与x轴交于A-l,0)、B两点(A在B的左 侧)，与y轴交于点C,已知△ABC的面积为3. B 图1 图2 ()求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H,作PQ∥AC交 BC于点Q,点G是y轴上的动点，连接G,GH.当线段PO长度取得最大值时，求OG+GH的最小值： (3)将该抛物线沿射线AC方向平移，使得新抛物线经过点C,且与直线BC交于另一点D.点K为新抛物 线上的一个动点，当∠CDK+∠CAB=90°时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情 况的求解过程. 25/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x-2 联立得， + y=- 2 解得x=1-√10或x=1+10(舍去) ∴.2,1-10,10-3 1+√274-15-V274 综上所述，点Q的坐标为Q 7 g,1-0,io-3 ●)类题点拨 边上找点→一线三等角 等腰提示→距离相等（列平方方程避根号） 出现分角→角平分线性质 ·平行条件→平行线+等角转换 题型02两角互余 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+2(a≠0)与x轴交于A-l,0)、B两点(A在B的左 侧)，与y轴交于点C,已知△ABC的面积为3. B 图1 图2 ()求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作PH⊥x轴，垂足为H,作PQ∥AC交 BC于点Q,点G是y轴上的动点，连接G,GH.当线段PO长度取得最大值时，求OG+GH的最小值： (3)将该抛物线沿射线AC方向平移，使得新抛物线经过点C,且与直线BC交于另一点D.点K为新抛物 线上的一个动点，当∠CDK+∠CAB=90°时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情 况的求解过程. 25/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()y=-x2+x+2 母 24) ③)点K的坐标为3g或(2,4 【详解】(1)解：对于y=ax2+bx+2,当x=0时，y=2, C0,2), .0C=2, :△ABC的面积为3， S=)AB-0C=5AB2=3 AB=3, A-1,0, .B2,0) a-b+2=0 将A-10)·B倒2,0代入y=am+x+2得14a+2b+2=0 a=-1 解得b=1’ ∴.抛物线的解析式为y=-x2+x+2: (2)解：A(-1,0),B(2,0),C(0,2), ∴.设直线AC的解析式为y=kx+2, 代入A-1,0)得0=-k+2, 解得k=2, ∴.直线AC的解析式为y=2x+2, :PQ∥AC, 设直线BC的解析式为y=k2x+2, 代入B(2,0)得0=2k2+2, 解得k=-1, 直线BC的解析式为y=-x+2, 如图，作AM∥BC交y轴于M,令PH交BC于N, 26/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()y=-x2+x+2 母 24) ③)点K的坐标为3g或(2,4 【详解】(1)解：对于y=ax2+bx+2,当x=0时，y=2, C0,2), .0C=2, :△ABC的面积为3， S=)AB-0C=5AB2=3 AB=3, A-1,0, .B2,0) a-b+2=0 将A-10)·B倒2,0代入y=am+x+2得14a+2b+2=0 a=-1 解得b=1’ ∴.抛物线的解析式为y=-x2+x+2: (2)解：A(-1,0),B(2,0),C(0,2), ∴.设直线AC的解析式为y=kx+2, 代入A-1,0)得0=-k+2, 解得k=2, ∴.直线AC的解析式为y=2x+2, :PQ∥AC, 设直线BC的解析式为y=k2x+2, 代入B(2,0)得0=2k2+2, 解得k=-1, 直线BC的解析式为y=-x+2, 如图，作AM∥BC交y轴于M,令PH交BC于N, 26/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .设直线AM的解析式为y=-x+b, 将A-1,0)代入解析式可得-(-1)+b=0, 解得b=-1, ∴.直线AM的解析式为y=-x-1, 当x=0时，y=-1,即M(0,-1), CM=2-(-1=3, :AM∥BC, ∴.∠AMC=∠BCM,∠MAC+∠ACQ=180°， ,PH⊥x轴， .PH∥OC, ∴.∠HNB=∠BCM, :∠HNB=∠PNQ, .∠AMC=∠PNQ, :PQ∥AC, ∴.∠ACQ=∠PQC, .∠PQN+∠PQC=180°， .∠PQN=∠MAC, ∴.△ACM∽aQPN, 06 :AC=V-1-0)2+(0-22=V5, :g、5 PN 3 o -PN, 27/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .设直线AM的解析式为y=-x+b, 将A-1,0)代入解析式可得-(-1)+b=0, 解得b=-1, ∴.直线AM的解析式为y=-x-1, 当x=0时，y=-1,即M(0,-1), CM=2-(-1=3, :AM∥BC, ∴.∠AMC=∠BCM,∠MAC+∠ACQ=180°， ,PH⊥x轴， .PH∥OC, ∴.∠HNB=∠BCM, :∠HNB=∠PNQ, .∠AMC=∠PNQ, :PQ∥AC, ∴.∠ACQ=∠PQC, .∠PQN+∠PQC=180°， .∠PQN=∠MAC, ∴.△ACM∽aQPN, 06 :AC=V-1-0)2+(0-22=V5, :g、5 PN 3 o -PN, 27/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.当PN最大时，PQ取得最大值 设Pt,-2+t+2且>0，则N(t,-t+2), .PN=-t2+t+2-(-t+2)=-t+2t=-(t-1+1, -1<0, .当t=1时，PN的值最大为1，此时P2的值也最大， 当1=1时，-2+t+2=-12+1+2=2,即P(1,2), .H1,0 .A、H关于y轴对称， 连接AQ交y轴于G,连接GH, 由轴对称的性质可得：GH=AG', ∴.QG+GH的最小值为AQ的长， .设直线P的解析式为y=2x+b, 将P(1,2)代入解析式可得2×1+b,=2, 解得b=0, .直线PQ的解析式为y=2x, 2 x= 3 联立y=2x ，解得 4 即 y=-x+2 y=3 3 1 (③)解：：原抛物线为y=-r++2=-x-2)+年直线4C的解折式为y=2x+2 ∴.设将该抛物线沿射线AC方向平移（即向右平移k个单位长度，向上平移2k的单位长度）得到新的抛物 线， 新超物线解折式为)=（分小2必， 2 4 ,新抛物线经过点C, 0+2-2 解得：k=1或k=0(不符合题意，舍去)， 28/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.当PN最大时，PQ取得最大值 设Pt,-2+t+2且>0，则N(t,-t+2), .PN=-t2+t+2-(-t+2)=-t+2t=-(t-1+1, -1<0, .当t=1时，PN的值最大为1，此时P2的值也最大， 当1=1时，-2+t+2=-12+1+2=2,即P(1,2), .H1,0 .A、H关于y轴对称， 连接AQ交y轴于G,连接GH, 由轴对称的性质可得：GH=AG', ∴.QG+GH的最小值为AQ的长， .设直线P的解析式为y=2x+b, 将P(1,2)代入解析式可得2×1+b,=2, 解得b=0, .直线PQ的解析式为y=2x, 2 x= 3 联立y=2x ，解得 4 即 y=-x+2 y=3 3 1 (③)解：：原抛物线为y=-r++2=-x-2)+年直线4C的解折式为y=2x+2 ∴.设将该抛物线沿射线AC方向平移（即向右平移k个单位长度，向上平移2k的单位长度）得到新的抛物 线， 新超物线解折式为)=（分小2必， 2 4 ,新抛物线经过点C, 0+2-2 解得：k=1或k=0(不符合题意，舍去)， 28/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 新抛物线解折式为y=--2x1=2+3x+2。 、2 4 y=-x2+3x+2 联立 y=-x+2 x=4 x=0 解得： =-2或=2 (不符合题意，舍去)， D(4,-2): 如图，当点K在直线BC的上方时，连接DK交x轴于F,取OC的中点E,连接AE,则EO,, y◆ E A D ..OA=OE=1, ∴.△AOE为等腰直角三角形， .∠OAE=∠OEA=45°， ∴.∠CAB=∠CAE+∠BAE=∠CAE+45°， .∠CDK+∠CAB=90°， .∠CDK+∠CAE+45°=90°， .∠CDK+∠CAE=45°， :∠ACE+∠CAE=∠AEO=45°， .∠ACE=∠CDK, .OB=OC=2, ∴.△BOC为等腰直角三角形， .∠0BC=45°， ∴.∠FBD=∠OBC=45°， 作FL⊥BC于L,则△BFL为等腰直角三角形， ∴.BL=FL, 设F0,则Br=-28L=M= 2(-21, 29/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 新抛物线解折式为y=--2x1=2+3x+2。 、2 4 y=-x2+3x+2 联立 y=-x+2 x=4 x=0 解得： =-2或=2 (不符合题意，舍去)， D(4,-2): 如图，当点K在直线BC的上方时，连接DK交x轴于F,取OC的中点E,连接AE,则EO,, y◆ E A D ..OA=OE=1, ∴.△AOE为等腰直角三角形， .∠OAE=∠OEA=45°， ∴.∠CAB=∠CAE+∠BAE=∠CAE+45°， .∠CDK+∠CAB=90°， .∠CDK+∠CAE+45°=90°， .∠CDK+∠CAE=45°， :∠ACE+∠CAE=∠AEO=45°， .∠ACE=∠CDK, .OB=OC=2, ∴.△BOC为等腰直角三角形， .∠0BC=45°， ∴.∠FBD=∠OBC=45°， 作FL⊥BC于L,则△BFL为等腰直角三角形， ∴.BL=FL, 设F0,则Br=-28L=M= 2(-21, 29/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=V4-22+(-2-0)2=2W2, :DL=BD-BL-2-(s-2). 2 :an∠ACE=40_1 C02, ·tan∠CDK=L 2 (s-2 DL 22-5-22 2 解得：=1 ， 即I0 3 设直线DK的解析式为y=kx+b,(k≠O), 4k3+b=-2 (3,0 代入解析式可得： D4,-2 g6+=0 k=-3 解得： b=10 .直线DK的解析式为y=-3x+10, y=-3x+10 联立=-x2+3x+2' x-2x=4 解得： by=4或y=-2(不符合题意，舍去)， .K(2,4): 如图，当点K在直线BC的下方时，延长FL交DK于R, C A R 则∠CDK=∠CDK, :FL⊥DL, 30/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=V4-22+(-2-0)2=2W2, :DL=BD-BL-2-(s-2). 2 :an∠ACE=40_1 C02, ·tan∠CDK=L 2 (s-2 DL 22-5-22 2 解得：=1 ， 即I0 3 设直线DK的解析式为y=kx+b,(k≠O), 4k3+b=-2 (3,0 代入解析式可得： D4,-2 g6+=0 k=-3 解得： b=10 .直线DK的解析式为y=-3x+10, y=-3x+10 联立=-x2+3x+2' x-2x=4 解得： by=4或y=-2(不符合题意，舍去)， .K(2,4): 如图，当点K在直线BC的下方时，延长FL交DK于R, C A R 则∠CDK=∠CDK, :FL⊥DL, 30/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DLR=∠DLF, DL=DL, .△DLF≌ADLR(ASA), .RL=FL,DR=FD, -1×一 3+2=n+0 则 2 R(m,n) 3+-2-02=4-m2+1-2-m2 m=2 14 m= 解得： ns、 4或3（不符合题意，舍去）， 3n=-4 12 同理可得： 直线DK的解析式为y=~3~3, y=-x2+3x+2 联立 12 y=- x=- 解得 4或x=4 (不符合题意，舍去)， y= 9y=-2 724 综上所述，点K的坐标为3g)或(2,4) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合一角度问题、二次函数综合一线段问 题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点 并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键. 7.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=4 2+b+c经过4-8,0)和2,0)两点，与y轴交于点C 连接AC. 31/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DLR=∠DLF, DL=DL, .△DLF≌ADLR(ASA), .RL=FL,DR=FD, -1×一 3+2=n+0 则 2 R(m,n) 3+-2-02=4-m2+1-2-m2 m=2 14 m= 解得： ns、 4或3（不符合题意，舍去）， 3n=-4 12 同理可得： 直线DK的解析式为y=~3~3, y=-x2+3x+2 联立 12 y=- x=- 解得 4或x=4 (不符合题意，舍去)， y= 9y=-2 724 综上所述，点K的坐标为3g)或(2,4) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合一角度问题、二次函数综合一线段问 题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点 并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键. 7.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=4 2+b+c经过4-8,0)和2,0)两点，与y轴交于点C 连接AC. 31/170 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 ()求抛物线的解析式： (2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ上AC于Q,PD∥AC交y轴于点D,求 5P0+25PD的最大值及此时点。的坐标： (3)将该抛物线沿射线AC方向平移25个单位长度，点R为平移后的抛物线上一动点，使得 ∠ABR+∠ACO=90°，请直接写出符合条件的点R的横坐标. 【谷10yr+ 2-4 (2)最大值为9，P(-6,-4: (3)-6或2-4vW2. 【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可； (2)作PM∥y轴交直线AC于点M,作PNLy轴于点N,则∠PMO=∠ACO,求出直线AC的解析式为 -4,呢出AC:得到P阳-25M,得到05pw,设点P的坐标为a女+号0-4：则 点M的坐标是a0-4得到50之5pm=+6+9,即可得到类： 5 (3)由题意得到抛物线沿射线AC方向平移2√5个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， 求出平修后的类物线为yx-一兰一宁-8，分两种情况画出图形，分别利用相议三角彩判 定和性质进行解答即可. 【详解】()解：抛物线=+b低+C经过-80和B20丙点， 32/170 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 ()求抛物线的解析式： (2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ上AC于Q,PD∥AC交y轴于点D,求 5P0+25PD的最大值及此时点。的坐标： (3)将该抛物线沿射线AC方向平移25个单位长度，点R为平移后的抛物线上一动点，使得 ∠ABR+∠ACO=90°，请直接写出符合条件的点R的横坐标. 【谷10yr+ 2-4 (2)最大值为9，P(-6,-4: (3)-6或2-4vW2. 【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可； (2)作PM∥y轴交直线AC于点M,作PNLy轴于点N,则∠PMO=∠ACO,求出直线AC的解析式为 -4,呢出AC:得到P阳-25M,得到05pw,设点P的坐标为a女+号0-4：则 点M的坐标是a0-4得到50之5pm=+6+9,即可得到类： 5 (3)由题意得到抛物线沿射线AC方向平移2√5个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， 求出平修后的类物线为yx-一兰一宁-8，分两种情况画出图形，分别利用相议三角彩判 定和性质进行解答即可. 【详解】()解：抛物线=+b低+C经过-80和B20丙点， 32/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -82-8b+c=0 4 4×2+2b+c=0 63 解得 2 c=-4 ∴.抛物线的解析式为y= 24 (2)作PM∥y轴交直线AC于点M,作PN⊥y轴于点N,则∠PMO=∠ACO, A B D 3 令=0则y= 2+ 4 x-4=-4, ∴点C的坐标为0，一4)， ·点A的坐标为-8,0)， 设直线AC的解析式为y=mr+n,则 [-8m+n=0 n=-4 1 m=- 解得 2, n=-4 ·直线AC的解析式为y= 2t-4, :A0=8,0C=4, ∴.AC=VA02+0C2=V82+42=4V5, sin∠AC0= 82W5 45-5 33/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -82-8b+c=0 4 4×2+2b+c=0 63 解得 2 c=-4 ∴.抛物线的解析式为y= 24 (2)作PM∥y轴交直线AC于点M,作PN⊥y轴于点N,则∠PMO=∠ACO, A B D 3 令=0则y= 2+ 4 x-4=-4, ∴点C的坐标为0，一4)， ·点A的坐标为-8,0)， 设直线AC的解析式为y=mr+n,则 [-8m+n=0 n=-4 1 m=- 解得 2, n=-4 ·直线AC的解析式为y= 2t-4, :A0=8,0C=4, ∴.AC=VA02+0C2=V82+42=4V5, sin∠AC0= 82W5 45-5 33/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P0=PM sin∠PMc.25Pw :PD∥AC, ∴.∠PDN=∠ACO, PN ∴.PD= 5 PN, sin∠PDC2 设点P的坐标为 则点M的坐标是a,2a-4 50+25pp525pM+25x5pN 25 5 0-4-1 =PM+PN=-1 +2a-4a -a2-3a=- 4 a+62+9 1 <0,-8<a<0 .当 26时，5PQ+25PD的最大值为9. 2 5 3 4a2+2a-4=x-6+,-6-4=4 2 2 即此时点P的坐标为(-6，一4)： (3):A0=8,0C=4,AC=VA02+0C=√82+42=45 am∠4c0-及-2 ∴抛物线沿射线AC方向平移25个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， +-4-+- :y=4 4 平移后的能物线为-x43-4-车-2，即y女-是女--8，图， 34/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P0=PM sin∠PMc.25Pw :PD∥AC, ∴.∠PDN=∠ACO, PN ∴.PD= 5 PN, sin∠PDC2 设点P的坐标为 则点M的坐标是a,2a-4 50+25pp525pM+25x5pN 25 5 0-4-1 =PM+PN=-1 +2a-4a -a2-3a=- 4 a+62+9 1 <0,-8<a<0 .当 26时，5PQ+25PD的最大值为9. 2 5 3 4a2+2a-4=x-6+,-6-4=4 2 2 即此时点P的坐标为(-6，一4)： (3):A0=8,0C=4,AC=VA02+0C=√82+42=45 am∠4c0-及-2 ∴抛物线沿射线AC方向平移25个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， +-4-+- :y=4 4 平移后的能物线为-x43-4-车-2，即y女-是女--8，图， 34/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R G B H 设点R--8),过点R作RH上x轴于点 .∠BHR=∠AOC=90°」 .∠ABR+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90° .∠ABR=∠OAC, ∴.∠HBR∽△OAC .HR HB, 2- OC OA 8 解得r=2-4V2或r=2+4V2(不合题意，舍去) 则42-42-4-8=42-45-2=25， 即点R(2-42,-22, 设点R--8,过点尾作GLr轴于点G, ∴.∠BGR2=∠AOC=90 ,∠ABR2+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90° .∠ABR2=∠OAC, .∠GBR,∽aOAC 12_1 ∴.GR2_GB,即42 r-82-r, OC OA 4 8 解得r=-6或r=6(不合题意，舍去) 则好-66利-8=4， 即点R(-6,4, 35/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R G B H 设点R--8),过点R作RH上x轴于点 .∠BHR=∠AOC=90°」 .∠ABR+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90° .∠ABR=∠OAC, ∴.∠HBR∽△OAC .HR HB, 2- OC OA 8 解得r=2-4V2或r=2+4V2(不合题意，舍去) 则42-42-4-8=42-45-2=25， 即点R(2-42,-22, 设点R--8,过点尾作GLr轴于点G, ∴.∠BGR2=∠AOC=90 ,∠ABR2+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90° .∠ABR2=∠OAC, .∠GBR,∽aOAC 12_1 ∴.GR2_GB,即42 r-82-r, OC OA 4 8 解得r=-6或r=6(不合题意，舍去) 则好-66利-8=4， 即点R(-6,4, 35/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上可知，点R的横坐标为-6或2-4√2 【点晴】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的 相关计算、函数的最值等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键， 8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,如图所示。点D为抛物线的顶点，点E,月 是抛物线上的一点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M,PN∥x轴交直线AE于点 求4 PM+PN的最大值及此时点P的坐标： W5 (3)将抛物线沿AE方向平移 2 个单位长度得到新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的 对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF.当∠DBF+∠FBG=9O°时，请直接写出所有符合条件的点 G的坐标. 【答案】()抛物线的解析式为y=-2r-x+4: 2 5 PM+PN的最大值为，P,4 8 4’32 10-2W318V31-16 3)点G的坐标为2+2√5,0或 3 9 【分析】(I)将B、E两点的坐标代入抛物线的解析式，求得a,C,进一步得出结果： 2)作PD1B于D设P2-1+4 可求得(40)”BC的值及AB的解析式)y=x+2,根据 *2=+4得 ，进而求得，根据 得出PM 12-+4 =2 从而表示出 =-2-2t+4 PN APDM∽△COB254 36/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上可知，点R的横坐标为-6或2-4√2 【点晴】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的 相关计算、函数的最值等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键， 8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,如图所示。点D为抛物线的顶点，点E,月 是抛物线上的一点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M,PN∥x轴交直线AE于点 求4 PM+PN的最大值及此时点P的坐标： W5 (3)将抛物线沿AE方向平移 2 个单位长度得到新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的 对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF.当∠DBF+∠FBG=9O°时，请直接写出所有符合条件的点 G的坐标. 【答案】()抛物线的解析式为y=-2r-x+4: 2 5 PM+PN的最大值为，P,4 8 4’32 10-2W318V31-16 3)点G的坐标为2+2√5,0或 3 9 【分析】(I)将B、E两点的坐标代入抛物线的解析式，求得a,C,进一步得出结果： 2)作PD1B于D设P2-1+4 可求得(40)”BC的值及AB的解析式)y=x+2,根据 *2=+4得 ，进而求得，根据 得出PM 12-+4 =2 从而表示出 =-2-2t+4 PN APDM∽△COB254 36/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 pw-2（-+ 进一步得出结果； (3)作E01AB于Q,可求得F(4,4),D(2,6),进而得出DB1x轴，从而求得符合条件的G,作G关于 的对称点。作射线G作GRL 轴于点，可求得G 从而得出的解析式为 BF G G"R⊥x R BG" y=-48 3+3,进一步得出结果 【详解】(1)解：由题意得， [a.22-2+c=0 5 a-1+c= 2 a=- c=4 抛物线的解析式为y= x2-x+4: 2 (2)解：如图1， A D MO B 图1 作 于n设P-+4 DL⊥ABD 由2-x+4=0得， 1 x=2,X2=-4, .A(-4,0) .BC=V0B2+0C2=V22+42=25, 设AB的解析式为：y=cx+b, 「-4k+b=0 k+b=5, 2 37/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 pw-2（-+ 进一步得出结果； (3)作E01AB于Q,可求得F(4,4),D(2,6),进而得出DB1x轴，从而求得符合条件的G,作G关于 的对称点。作射线G作GRL 轴于点，可求得G 从而得出的解析式为 BF G G"R⊥x R BG" y=-48 3+3,进一步得出结果 【详解】(1)解：由题意得， [a.22-2+c=0 5 a-1+c= 2 a=- c=4 抛物线的解析式为y= x2-x+4: 2 (2)解：如图1， A D MO B 图1 作 于n设P-+4 DL⊥ABD 由2-x+4=0得， 1 x=2,X2=-4, .A(-4,0) .BC=V0B2+0C2=V22+42=25, 设AB的解析式为：y=cx+b, 「-4k+b=0 k+b=5, 2 37/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 k= (b=2 1 y=2x+2, +2=-+4得， x=-12-2t+4, .PN=-2-3t+4, ,PM∥BC, ∠PMD=∠OBC, :∠PDM=∠BOC=90°， .△PDM∽△COB, PM PD .BC OC' 4 .25 4 :PM=255-14. 42 5 1=- 时， 45PW+PN的最大值为？1 当=脚（引4罗 4 P5143 （4329 (3)解：如图2， y D G MO OB x RO 图2 图3 38/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 k= (b=2 1 y=2x+2, +2=-+4得， x=-12-2t+4, .PN=-2-3t+4, ,PM∥BC, ∠PMD=∠OBC, :∠PDM=∠BOC=90°， .△PDM∽△COB, PM PD .BC OC' 4 .25 4 :PM=255-14. 42 5 1=- 时， 45PW+PN的最大值为？1 当=脚（引4罗 4 P5143 （4329 (3)解：如图2， y D G MO OB x RO 图2 图3 38/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作EQ⊥AB于2， .∠AQE=90°， 40 tan∠EaQ=,2=, 1+42 sim∠Ea0= 5，cos∠BA0=25 35533525 -X .2 52’2 =3, 5 即F(4,4)' x2-x+4=- D'(2,6), 如图3， :B(2,0), .D'B⊥x轴， ∠D'BF+∠FBG=90°， ∴·新抛物线与x轴右交点满足条件， 由-29+6=0得， x=2+25,2=2-25(舍去)， G2+23,0), 作G关于BF的对称点G”,作射线BG”,作GR⊥x轴于点R, .G'G”⊥BF,BG'=BG”, 4 .tan∠FBG'= 4-2 =2, m∠aGG- GR 1 .GR2, 设GR=m,则GR=2m, BR=2m-2N5, 在Rt△BRG"中，BG”=BG'=25,BR=2m-2V5,G"R=m, 39/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作EQ⊥AB于2， .∠AQE=90°， 40 tan∠EaQ=,2=, 1+42 sim∠Ea0= 5，cos∠BA0=25 35533525 -X .2 52’2 =3, 5 即F(4,4)' x2-x+4=- D'(2,6), 如图3， :B(2,0), .D'B⊥x轴， ∠D'BF+∠FBG=90°， ∴·新抛物线与x轴右交点满足条件， 由-29+6=0得， x=2+25,2=2-25(舍去)， G2+23,0), 作G关于BF的对称点G”,作射线BG”,作GR⊥x轴于点R, .G'G”⊥BF,BG'=BG”, 4 .tan∠FBG'= 4-2 =2, m∠aGG- GR 1 .GR2, 设GR=m,则GR=2m, BR=2m-2N5, 在Rt△BRG"中，BG”=BG'=25,BR=2m-2V5,G"R=m, 39/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m2+2m-2V32=252, 85 .m=0, m2= RG=8 ，BR=2m-2N5=65 G2- 6v38V5 55 BG的解析式为：y=-4x+8 3x+3 由2x-2+6=4x+8 3x+3得， g=10+2V3 (舍去)，x=10-23 3 3 当x10-25①时，y=-4×10-25+885-16, X 3 3 3 3 9 10-231831-16 ∴.G 3 9 10-2√318V31-16 综上所述：点G的坐标为2+2√5,0或 3 9 【点晴】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角 三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力. 9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0,-4).点P在抛 物线上，连接BC,BP G 1图 2图 (1)求抛物线的解析式： (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E,若∠BEP=45°，连接 CE,记△DCE的面积为S,△DBP的面积为S,当2S=S2时，求点P的坐标： (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴I与线段BC交于点G,当 ∠PBC+∠CFG=90°时，求点P的横坐标. 40/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m2+2m-2V32=252, 85 .m=0, m2= RG=8 ，BR=2m-2N5=65 G2- 6v38V5 55 BG的解析式为：y=-4x+8 3x+3 由2x-2+6=4x+8 3x+3得， g=10+2V3 (舍去)，x=10-23 3 3 当x10-25①时，y=-4×10-25+885-16, X 3 3 3 3 9 10-231831-16 ∴.G 3 9 10-2√318V31-16 综上所述：点G的坐标为2+2√5,0或 3 9 【点晴】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角 三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力. 9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0,-4).点P在抛 物线上，连接BC,BP G 1图 2图 (1)求抛物线的解析式： (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E,若∠BEP=45°，连接 CE,记△DCE的面积为S,△DBP的面积为S,当2S=S2时，求点P的坐标： (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴I与线段BC交于点G,当 ∠PBC+∠CFG=90°时，求点P的横坐标. 40/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)y=x2-3x-4 (844 239 0- 【分析】(1)将将B(4,0)、C(0,-4)两点代入y=x2+bx+c即可求解： (2)证明△EDB为等腰直角三角形，∠EDB=9O°，得到EP⊥BC,ED=BD,求出直线BC的解析式为 y=x-4;过点P作PM1x轴分别交BC、x轴于点R、M.设点PP,p-3p-4),则R(p,p-4), M(p,0),可求出PR=-p2+4p,PM=-p2+3p+4,OM=p,可证明EM=PM=-p2+3p+4,则可 求出Ep-2p-4,0,设EP与y轴的交点为S,可得CS=p2-2p,S0,p-2p-4),求出直线ES解析 式为y=-x+p2-2p-4,得到点D坐标为 p-p2--4 根据2S=3,得到 2xCS(x,-x)=PR(。小，解方程即可得到答案： 2 (3)作正⊥1，PQ⊥BC,PN⊥X轴，连接PC交x轴于点H,设Pn,n2-3n-4,求出直线PC的表达式， 由SPB=SPB+SHcs可表示PQ、PB,分别求EF、CF,证△CEF∽△PQB,利用相似三角形的性质列出 比例式即可求解： [16+4b+c=0 b=-3 【详解】()解：将B4,0)·C0,-4)两点代入y=x2+bx+c:得0+0+c=-4,解得： c=-4' ∴抛物线的解析式为：y=x2-3x-4: (2)解：B4,0)、C(0-4), .OB=4,OC=4,即OB=OC, ∴.△BOC为等腰直角三角形， .∠OBC=45°， :∠BEP=45°， ∴∠OBC=∠BEP=45°，即△EDB为等腰直角三角形，∠EDB=90°， ∴，EP⊥BC,ED=BD, 设直线BC的解析式为y=cx+d, 0=4k+d 将B4,0)~C0,4两点分别代入y=+日得， -4=0+d” 41/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)y=x2-3x-4 (844 239 0- 【分析】(1)将将B(4,0)、C(0,-4)两点代入y=x2+bx+c即可求解： (2)证明△EDB为等腰直角三角形，∠EDB=9O°，得到EP⊥BC,ED=BD,求出直线BC的解析式为 y=x-4;过点P作PM1x轴分别交BC、x轴于点R、M.设点PP,p-3p-4),则R(p,p-4), M(p,0),可求出PR=-p2+4p,PM=-p2+3p+4,OM=p,可证明EM=PM=-p2+3p+4,则可 求出Ep-2p-4,0,设EP与y轴的交点为S,可得CS=p2-2p,S0,p-2p-4),求出直线ES解析 式为y=-x+p2-2p-4,得到点D坐标为 p-p2--4 根据2S=3,得到 2xCS(x,-x)=PR(。小，解方程即可得到答案： 2 (3)作正⊥1，PQ⊥BC,PN⊥X轴，连接PC交x轴于点H,设Pn,n2-3n-4,求出直线PC的表达式， 由SPB=SPB+SHcs可表示PQ、PB,分别求EF、CF,证△CEF∽△PQB,利用相似三角形的性质列出 比例式即可求解： [16+4b+c=0 b=-3 【详解】()解：将B4,0)·C0,-4)两点代入y=x2+bx+c:得0+0+c=-4,解得： c=-4' ∴抛物线的解析式为：y=x2-3x-4: (2)解：B4,0)、C(0-4), .OB=4,OC=4,即OB=OC, ∴.△BOC为等腰直角三角形， .∠OBC=45°， :∠BEP=45°， ∴∠OBC=∠BEP=45°，即△EDB为等腰直角三角形，∠EDB=90°， ∴，EP⊥BC,ED=BD, 设直线BC的解析式为y=cx+d, 0=4k+d 将B4,0)~C0,4两点分别代入y=+日得， -4=0+d” 41/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=1 解得d=4' .直线BC的解析式为y=x-4: 如图，过点P作PMLx轴分别交BC、x轴于点R、M.设点P(P,p2-3p-4,则R(p,p-4),M(p,O), 答1图 .PR=-p2-3p-4-(p-4)=-p2+4p,PM=-p2+3p+4,OM=p, ,∠BEP=45°，PM⊥EM, .EM=PM=-p2+3p+4, .E0=EM-OM=-p2+2p+4, Ep2-2p-4,0, 设EP与y轴的交点为S, :∠0ES=45,∠E0S=90°， ∴.△EOS是等腰直角三角形， ∴.0S=0E=-p2+2p+4, .CS=4-(-p2+2p+4=p2-2p,S0p2-2p-4), 设直线ES解析式为y=K+b', 0=kp2-2p-4+b' b=p2-2p-4 「'=-1 ∴6=p2-2p-4 ∴.直线ES解析式为y=-x+p2-2p-4, x=2p2-p 联立〔 y=x-4 ，解得 y=-x+p2-2p-4 y=2p2-p-4 点D坐标为2P-P-p-4 2S1=S2, 42/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k=1 解得d=4' .直线BC的解析式为y=x-4: 如图，过点P作PMLx轴分别交BC、x轴于点R、M.设点P(P,p2-3p-4,则R(p,p-4),M(p,O), 答1图 .PR=-p2-3p-4-(p-4)=-p2+4p,PM=-p2+3p+4,OM=p, ,∠BEP=45°，PM⊥EM, .EM=PM=-p2+3p+4, .E0=EM-OM=-p2+2p+4, Ep2-2p-4,0, 设EP与y轴的交点为S, :∠0ES=45,∠E0S=90°， ∴.△EOS是等腰直角三角形， ∴.0S=0E=-p2+2p+4, .CS=4-(-p2+2p+4=p2-2p,S0p2-2p-4), 设直线ES解析式为y=K+b', 0=kp2-2p-4+b' b=p2-2p-4 「'=-1 ∴6=p2-2p-4 ∴.直线ES解析式为y=-x+p2-2p-4, x=2p2-p 联立〔 y=x-4 ，解得 y=-x+p2-2p-4 y=2p2-p-4 点D坐标为2P-P-p-4 2S1=S2, 42/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .2xc5(-PR-x-xo) *(-2m--p+p+4j--pim-+pi 解得：B=0P=3 :点P在第四象限， 8 p=3 将p=8代入抛物线得：p2-3p-4= 8)2 33x 4=-4 844 此时点P坐标为39 (3)解：如图，作E⊥I,PQ⊥BC,PN⊥LX轴，连接PC交x轴于点H, B 答2图 设Pn,n2-3n-4),直线PC的表达式为：y=kx+d(k≠0)， [n2-3n-4=nk+d k=n-3 将P,C的坐标代入y=kx+得， 1-4=0+d ，解得： d=-4 .直线PC的表达式为：y=(n-3)x-4, 将，=0代入y=n-3到x-4得，0=n-列x-4,即x=4 -3 SPCB=SPHB+SHCB: .PQ·BC=PN.HB+OC·HB, BC=VOA2+0B2=V42+42=4V2, 43/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .2xc5(-PR-x-xo) *(-2m--p+p+4j--pim-+pi 解得：B=0P=3 :点P在第四象限， 8 p=3 将p=8代入抛物线得：p2-3p-4= 8)2 33x 4=-4 844 此时点P坐标为39 (3)解：如图，作E⊥I,PQ⊥BC,PN⊥LX轴，连接PC交x轴于点H, B 答2图 设Pn,n2-3n-4),直线PC的表达式为：y=kx+d(k≠0)， [n2-3n-4=nk+d k=n-3 将P,C的坐标代入y=kx+得， 1-4=0+d ，解得： d=-4 .直线PC的表达式为：y=(n-3)x-4, 将，=0代入y=n-3到x-4得，0=n-列x-4,即x=4 -3 SPCB=SPHB+SHCB: .PQ·BC=PN.HB+OC·HB, BC=VOA2+0B2=V42+42=4V2, 43/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 4- 心Pg= PN.HB+OC·HB n2-3n-4+4 n-3 BC 4W2 -4n' 2 :PB=VPW2+NB2=n2-3n-4+(4-m2=(4-m川Vn+12+l, -33 由题可知，：x=- 2×12 3 .'EC= 将x=2代入y=-3x-4得，y=号号4=25 42 4 EF=25-4=9 4 :PQ⊥BC,CE⊥I, ∴.∠PQB=∠CEG=90° ,∠PBC+∠CFG=∠CFG+∠FCE=90°， ∴.∠PBQ=∠FCE, ∴.△CEF∽△BQP, 3v3 PO EF 9 3 (4-mVn+12+1_3 . 2-4n 3, 6 解得：4=-兮%=6（舍去） 【点晴】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的 性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解(2)的关键在于推出点E和点S的坐标，解(3)的 关键在于作出辅助线构造相似三角形. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+4x+c(a≠0)与x轴交于点A(-l,0)和点B,且点A在点 B的左侧，与y轴交于点C(0,5). 44/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 4- 心Pg= PN.HB+OC·HB n2-3n-4+4 n-3 BC 4W2 -4n' 2 :PB=VPW2+NB2=n2-3n-4+(4-m2=(4-m川Vn+12+l, -33 由题可知，：x=- 2×12 3 .'EC= 将x=2代入y=-3x-4得，y=号号4=25 42 4 EF=25-4=9 4 :PQ⊥BC,CE⊥I, ∴.∠PQB=∠CEG=90° ,∠PBC+∠CFG=∠CFG+∠FCE=90°， ∴.∠PBQ=∠FCE, ∴.△CEF∽△BQP, 3v3 PO EF 9 3 (4-mVn+12+1_3 . 2-4n 3, 6 解得：4=-兮%=6（舍去） 【点晴】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的 性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解(2)的关键在于推出点E和点S的坐标，解(3)的 关键在于作出辅助线构造相似三角形. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+4x+c(a≠0)与x轴交于点A(-l,0)和点B,且点A在点 B的左侧，与y轴交于点C(0,5). 44/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 ()求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线y=-x+2与x轴交于点D,与y轴交于点E,动点P为抛物线第一象限上的一点， PG⊥ED于点G,PH∥y轴交ED于点H,求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标： (3)如图2，连接AE,将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y,使平移后的新抛物线y经过点B, 新抛物线y与x轴的另一交点为点M,请问在新抛物线y'上是否存在一点T,使得∠TMB+∠AEO=90°？ 若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由. 【答案】(1)y=-x2+4x+5: 37N2+37 535 (2)周长的最大值为 ,此时点P的坐标为34)： 4 (3)存在，坐标为(7,4)或(3，-12) 【分析】(1)用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+5: （2)设P(p,-p2+4p+5),则H(p,-p+2,PH=-p2+5p+3:求出D(2,0),E(0,2),可得 ∠ODE-∠OED=4S,即可知△PGH是等腰直角三角形，放PG=GH=5PH,有 Ca=+GH+m-号m+9H+m-5-im=-小-0o-+y 2 4 根据二次函 数性质可得答案： (3)当T在x轴上方时，延长AE,MT交于K,求出B(5,O),设新抛物线函数表达式为 y'=-(x-)?+4x-)+5-t,把B(5,0)代入可解得新抛物线函数表达式为 y'=-(x-5)2+4(x-5)+5-5=-x2+14x-45,可得M(9,0),而直线4E函数表达式为y=2x+2，设 K(m,2m+2),根据∠AE0+∠EAO=90°，∠TMB+∠AE0=90°，得AK=MK,即 (m+1)2+(2m+2)2=(m-9)2+(2m+2)2,解得m得K(4,10),故直线MK函数表达式为y=-2x+18,联立 45/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 ()求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线y=-x+2与x轴交于点D,与y轴交于点E,动点P为抛物线第一象限上的一点， PG⊥ED于点G,PH∥y轴交ED于点H,求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标： (3)如图2，连接AE,将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y,使平移后的新抛物线y经过点B, 新抛物线y与x轴的另一交点为点M,请问在新抛物线y'上是否存在一点T,使得∠TMB+∠AEO=90°？ 若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由. 【答案】(1)y=-x2+4x+5: 37N2+37 535 (2)周长的最大值为 ,此时点P的坐标为34)： 4 (3)存在，坐标为(7,4)或(3，-12) 【分析】(1)用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+5: （2)设P(p,-p2+4p+5),则H(p,-p+2,PH=-p2+5p+3:求出D(2,0),E(0,2),可得 ∠ODE-∠OED=4S,即可知△PGH是等腰直角三角形，放PG=GH=5PH,有 Ca=+GH+m-号m+9H+m-5-im=-小-0o-+y 2 4 根据二次函 数性质可得答案： (3)当T在x轴上方时，延长AE,MT交于K,求出B(5,O),设新抛物线函数表达式为 y'=-(x-)?+4x-)+5-t,把B(5,0)代入可解得新抛物线函数表达式为 y'=-(x-5)2+4(x-5)+5-5=-x2+14x-45,可得M(9,0),而直线4E函数表达式为y=2x+2，设 K(m,2m+2),根据∠AE0+∠EAO=90°，∠TMB+∠AE0=90°，得AK=MK,即 (m+1)2+(2m+2)2=(m-9)2+(2m+2)2,解得m得K(4,10),故直线MK函数表达式为y=-2x+18,联立 45/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-2x+18 =-X+14-45’即可解得T7,4:当在，轴下方时，设K(410关于x轴的对称点为则 T K K'(4,-10),由轴对称性质可知，T为直线KM与新抛物线的交点，同理可解得T'(3,-l12) a-4+c=0 【详解】()解：把A(-1,0)·C0,5)代入y=ar2+4x+c得：c=5 a=-1 解得c=5’ .抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+5. (2)解：设Pp,-p2+4p+5), PH∥y轴，H在直线y=-x+2上， .Hp,-p+2), .PH=-p2+4p+5-(-p+2)=-p2+5p+3: 在y=-x+2中，令x=0得y=2,令y=0得x=2, ∴D(2,0),E0,2, ∴.OD=OE=2, ∴.∠ODE=∠OED=45°， PH∥y轴， ∴.∠PHG=∠OED=45°， PG⊥ED, △PGH是等腰直角三角形， .PG-GH-PH 2 .C.m-PG+GH+P Cw-5+-p45p+到-=-+lp-多+375+37， 4 -2+1<0, 当-时，C取最大，最大位为75+” 4 此时p+40+5=原435 35 41 △PGH的周长的最大值为3 7√2+37 535 4 此时点P的坐标为24 46/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-2x+18 =-X+14-45’即可解得T7,4:当在，轴下方时，设K(410关于x轴的对称点为则 T K K'(4,-10),由轴对称性质可知，T为直线KM与新抛物线的交点，同理可解得T'(3,-l12) a-4+c=0 【详解】()解：把A(-1,0)·C0,5)代入y=ar2+4x+c得：c=5 a=-1 解得c=5’ .抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+5. (2)解：设Pp,-p2+4p+5), PH∥y轴，H在直线y=-x+2上， .Hp,-p+2), .PH=-p2+4p+5-(-p+2)=-p2+5p+3: 在y=-x+2中，令x=0得y=2,令y=0得x=2, ∴D(2,0),E0,2, ∴.OD=OE=2, ∴.∠ODE=∠OED=45°， PH∥y轴， ∴.∠PHG=∠OED=45°， PG⊥ED, △PGH是等腰直角三角形， .PG-GH-PH 2 .C.m-PG+GH+P Cw-5+-p45p+到-=-+lp-多+375+37， 4 -2+1<0, 当-时，C取最大，最大位为75+” 4 此时p+40+5=原435 35 41 △PGH的周长的最大值为3 7√2+37 535 4 此时点P的坐标为24 46/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：在新抛物线y'上存在一点T,使得∠TMB+∠AEO=90°，理由如下： 当T在x轴上方时，延长AE,MT交于K,如图： B 在y=-x2+4x+5中，令y=0得x=-1或x=5, B5,0), 由OD=OE=2,设抛物线y=-x2+4x+5向右平移1个单位，再向下平移1个单位， :新抛物线函数表达式为y=-(x-)+4(x-)+5-1, 把B5,0)代入得：0=-(5-)2+4(5-)+5-1， 解得t=0(舍去)或t=5, :.新抛物线函数表达式为y'=-(x-5)2+4x-5)+5-5=-x2+14x-45, 在y=-x2+14x-45中，令y'=0得x=5或x=9, .M(9,0), 由A-1,0),E(0,2)可得直线4E函数表达式为y=2x+2, 设K(m,2m+2), ∠AEO+∠EAO=90°，∠TMB+∠AEO=90°， ∴.∠EAO=∠TMB, .∴AK=MK, A-1,0), ∴.(m+1)2+(2m+2)2=(m-9)2+(2m+2)2, 解得m=4, .K(4,10）, 由M(9,0),K(4,10)可得直线MK函数表达式为y=-2x+18, 47/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：在新抛物线y'上存在一点T,使得∠TMB+∠AEO=90°，理由如下： 当T在x轴上方时，延长AE,MT交于K,如图： B 在y=-x2+4x+5中，令y=0得x=-1或x=5, B5,0), 由OD=OE=2,设抛物线y=-x2+4x+5向右平移1个单位，再向下平移1个单位， :新抛物线函数表达式为y=-(x-)+4(x-)+5-1, 把B5,0)代入得：0=-(5-)2+4(5-)+5-1， 解得t=0(舍去)或t=5, :.新抛物线函数表达式为y'=-(x-5)2+4x-5)+5-5=-x2+14x-45, 在y=-x2+14x-45中，令y'=0得x=5或x=9, .M(9,0), 由A-1,0),E(0,2)可得直线4E函数表达式为y=2x+2, 设K(m,2m+2), ∠AEO+∠EAO=90°，∠TMB+∠AEO=90°， ∴.∠EAO=∠TMB, .∴AK=MK, A-1,0), ∴.(m+1)2+(2m+2)2=(m-9)2+(2m+2)2, 解得m=4, .K(4,10）, 由M(9,0),K(4,10)可得直线MK函数表达式为y=-2x+18, 47/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-2x+18 联立 y=-x2+14x-45 x=7 x=9 解得 y=4或y=0' T7,4: 当T'在x轴下方时，设K(4,10)关于x轴的对称点为K',则K'(4,-10),由轴对称性质可知，T为直线 K'M与新抛物线的交点， 由K'(4,-10),M(9,0)得直线KM函数表达式为y=2x-18, y=2x-18 联立 y=-x2+14x-45 x=3 x=9 解得 y=-12或y=0 T'(3,-12): 综上所述，T的坐标为(7,4或(3-12 ●类题点拨 见互余，算正切（乘积为1） 有直角，构K字（一线三直角相似） 有直线，看垂直（斜率负倒数） ·多角时，互换成等角 题型03角的和差关系 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y-子+6x+c与x轴交于48.0、8引-20两点，与y轴交 4 于点C,连接BC,AC H A 图1 备用图 ()求抛物线的表达式： 48/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-2x+18 联立 y=-x2+14x-45 x=7 x=9 解得 y=4或y=0' T7,4: 当T'在x轴下方时，设K(4,10)关于x轴的对称点为K',则K'(4,-10),由轴对称性质可知，T为直线 K'M与新抛物线的交点， 由K'(4,-10),M(9,0)得直线KM函数表达式为y=2x-18, y=2x-18 联立 y=-x2+14x-45 x=3 x=9 解得 y=-12或y=0 T'(3,-12): 综上所述，T的坐标为(7,4或(3-12 ●类题点拨 见互余，算正切（乘积为1） 有直角，构K字（一线三直角相似） 有直线，看垂直（斜率负倒数） ·多角时，互换成等角 题型03角的和差关系 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y-子+6x+c与x轴交于48.0、8引-20两点，与y轴交 4 于点C,连接BC,AC H A 图1 备用图 ()求抛物线的表达式： 48/170 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图1，直线CD交x轴于点D(2,O),点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线 CD于点H,在直线CD上取点Q,连接PO,使得HQ=P2,点M,N为x轴上的动点（点M在左，点N 在），具N2连接CPN当2PQPH取最太值时，求P的坐标及CPV的最小面 4 (3)把原抛物线y=4+br+c沿射线BC方向平移25个单位长度，点F为新抛物线上一动点并在对称 轴右侧，过点F作EF∥BC交新抛物线于点E,连接AF,AE,若∠AEF+∠FAE=9O°+∠OCA.请直接 写出所有符合条件的点F,并写出求解点F的其中一种情况的过程， 【答案】()y=4 23x-4 2 CM+Pw的最小值为5④ 4 √209+727-3V209 3)点F的坐标为8，-8)或 2 8 【分析】(I)根据题意利用二次函数的交点式即可求得抛物线解析式： (2)通过构造辅助线证明AOCD∽AEPQ:得到PE=2PQ,进而推出2PQ=PH,利用待定系数法求出 直线cD的解析式，再设点H坐标为m.2m4,点P坐标为mm2- 1 m-4 4 2 求出PH 的表达式，此 时PH为开口向下的二次函数，当m-7时，2P0-5PH= PH-5PH=5PH有最大值，从而求出此 4 2 4 4 时点P的坐标，再通过对称的性质即可得出最终结果： (3)先证得∠ACB=90°，再求出平移后的抛物线解析式，结合已知条件推导出∠AFE=∠OAC,分点A在 直线EF的上方与下方两种情况考虑，利用角度和差关系，等腰三角形的性质，平行线的性质等即可求得 每种情况下点F的坐标. 1 【详解】(1)解：抛物线与x轴交于A8,0)、B(-2,0)两点，a= 4 ∴抛物线解折式为y=x-x+2小-子- x-4. 12 (2)解：由(1)知，y=4 24, 令x=0,则y=-4, ∴.C0,-4),即0C=4, D(2,0), 49/170 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图1，直线CD交x轴于点D(2,O),点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线 CD于点H,在直线CD上取点Q,连接PO,使得HQ=P2,点M,N为x轴上的动点（点M在左，点N 在），具N2连接CPN当2PQPH取最太值时，求P的坐标及CPV的最小面 4 (3)把原抛物线y=4+br+c沿射线BC方向平移25个单位长度，点F为新抛物线上一动点并在对称 轴右侧，过点F作EF∥BC交新抛物线于点E,连接AF,AE,若∠AEF+∠FAE=9O°+∠OCA.请直接 写出所有符合条件的点F,并写出求解点F的其中一种情况的过程， 【答案】()y=4 23x-4 2 CM+Pw的最小值为5④ 4 √209+727-3V209 3)点F的坐标为8，-8)或 2 8 【分析】(I)根据题意利用二次函数的交点式即可求得抛物线解析式： (2)通过构造辅助线证明AOCD∽AEPQ:得到PE=2PQ,进而推出2PQ=PH,利用待定系数法求出 直线cD的解析式，再设点H坐标为m.2m4,点P坐标为mm2- 1 m-4 4 2 求出PH 的表达式，此 时PH为开口向下的二次函数，当m-7时，2P0-5PH= PH-5PH=5PH有最大值，从而求出此 4 2 4 4 时点P的坐标，再通过对称的性质即可得出最终结果： (3)先证得∠ACB=90°，再求出平移后的抛物线解析式，结合已知条件推导出∠AFE=∠OAC,分点A在 直线EF的上方与下方两种情况考虑，利用角度和差关系，等腰三角形的性质，平行线的性质等即可求得 每种情况下点F的坐标. 1 【详解】(1)解：抛物线与x轴交于A8,0)、B(-2,0)两点，a= 4 ∴抛物线解折式为y=x-x+2小-子- x-4. 12 (2)解：由(1)知，y=4 24, 令x=0,则y=-4, ∴.C0,-4),即0C=4, D(2,0), 49/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OD=2, 如图，过点Q作QE⊥PH交PH于点E, VA :OC∥PH, ∴.∠OCD=∠QHP, 又：H0=QP, ∴.∠QHP=∠QPH, ∴.∠OCD=∠QPH, ∠COD=∠PEQ=90°. ∴.△OCD∽△EPg g PE PO C0CD,即423 8P四=)5pE, HQ=QP,QE⊥PH, .HE=PE,即PH=2PE, 2P0=5pH, 设直线CD的解析式为y=ac+b, 0=2k+b 1k=2 将点C,D代入得： -4=b 解得b=-4' .直线CD的解析式为y=2x-4, :点H在直线CD上，点P在抛物线上， 设点H坐标m2m4点P坐标为m- m-4 2 ·PH=yh-yp=2m-4- 3 m2 1 7 4 2m+4=- +7m=m-7列2+49 2Pe-5pH=5pH-5pH=5pH 4 2 4 4 50/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OD=2, 如图，过点Q作QE⊥PH交PH于点E, VA :OC∥PH, ∴.∠OCD=∠QHP, 又：H0=QP, ∴.∠QHP=∠QPH, ∴.∠OCD=∠QPH, ∠COD=∠PEQ=90°. ∴.△OCD∽△EPg g PE PO C0CD,即423 8P四=)5pE, HQ=QP,QE⊥PH, .HE=PE,即PH=2PE, 2P0=5pH, 设直线CD的解析式为y=ac+b, 0=2k+b 1k=2 将点C,D代入得： -4=b 解得b=-4' .直线CD的解析式为y=2x-4, :点H在直线CD上，点P在抛物线上， 设点H坐标m2m4点P坐标为m- m-4 2 ·PH=yh-yp=2m-4- 3 m2 1 7 4 2m+4=- +7m=m-7列2+49 2Pe-5pH=5pH-5pH=5pH 4 2 4 4 50/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 :4 0, m=7时， 当 5PH有最大值， 将m=7代入点P坐标， 六xp=7,p= *723 7-4=-9 点P份坐标为》 如图，过点C向右平移MN的长度得到点C',作点C关于x轴的对称点C”，连接C"P,与x轴交点为点 N', ∴.四边形MNCC是平行四边形， .'CC'=MN=2,CM=CN, .C0,-4), ∴.C'(2,-4), ,点C与点C”关于x轴对称， .C"2,4, ..(CM+PN)=CN'+PN'=C"N'+PN'=C"P, 4 CW+PN的最小值为Y④ 4 (3)解：A80),B-2,0),C0,-4), .AB=8-(-2=10,0B=2,0C=4,0A=8, ∴.BC=VOB2+0C2=V22+4?=25,AC=V0AP+0C=V82+42=4V5, .'BC2+AC2=AB2, 51/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 :4 0, m=7时， 当 5PH有最大值， 将m=7代入点P坐标， 六xp=7,p= *723 7-4=-9 点P份坐标为》 如图，过点C向右平移MN的长度得到点C',作点C关于x轴的对称点C”，连接C"P,与x轴交点为点 N', ∴.四边形MNCC是平行四边形， .'CC'=MN=2,CM=CN, .C0,-4), ∴.C'(2,-4), ,点C与点C”关于x轴对称， .C"2,4, ..(CM+PN)=CN'+PN'=C"N'+PN'=C"P, 4 CW+PN的最小值为Y④ 4 (3)解：A80),B-2,0),C0,-4), .AB=8-(-2=10,0B=2,0C=4,0A=8, ∴.BC=VOB2+0C2=V22+4?=25,AC=V0AP+0C=V82+42=4V5, .'BC2+AC2=AB2, 51/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°， ,抛物线y= 23 4 2x-4沿射线BC方向平移25个单位长度， ∴抛物线y= --4先向省平移2个单位长，再狗下平移4个单位长度 12 5 小平移后的抛物线表达式为y=4-2-4, .∠AEF+∠FAE=90°+∠OCA, ∴.180°-∠AFE=90°+∠OCA, ∴.∠OCA+∠AFE=90°， 在RtAOCA中，∠OCA+∠OAC=90°， .∠AFE=∠OAC, :EF∥BC,∠ACB=90°， .EF⊥AC, :点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧， ·点F的横坐标取值范围是xr>5, 此时分情况讨论： ①如图，当点A在直线EF的上方时，设E,与AC交点G, ,EE⊥AC, .∠AFE+∠EAG=90°， ∴.∠OAC+∠FAG=90°， 即AE⊥OA, E ∴.A=rR=8 将x=g代入抛物线)--4。 52/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°， ,抛物线y= 23 4 2x-4沿射线BC方向平移25个单位长度， ∴抛物线y= --4先向省平移2个单位长，再狗下平移4个单位长度 12 5 小平移后的抛物线表达式为y=4-2-4, .∠AEF+∠FAE=90°+∠OCA, ∴.180°-∠AFE=90°+∠OCA, ∴.∠OCA+∠AFE=90°， 在RtAOCA中，∠OCA+∠OAC=90°， .∠AFE=∠OAC, :EF∥BC,∠ACB=90°， .EF⊥AC, :点F为新抛物线上一动点并在对称轴右侧， ·点F的横坐标取值范围是xr>5, 此时分情况讨论： ①如图，当点A在直线EF的上方时，设E,与AC交点G, ,EE⊥AC, .∠AFE+∠EAG=90°， ∴.∠OAC+∠FAG=90°， 即AE⊥OA, E ∴.A=rR=8 将x=g代入抛物线)--4。 52/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得y=-8, F(8-8): ②如图，当点A在直线EF的下方时， 延长FA,CA,E,F交CA延长线于点G,交FA延长线于点M, B :OA⊥FM, ∴.∠OAC+∠G2AM=180°-∠MAO=90°， :EE2⊥AC, .∠AMG2+∠G2AM=90°， ∴.∠OAC=∠AMG2, ∠OAC=∠AFE2, ∴.∠AMG3=∠AE2, :AM=AF2, 设直线BC的解析式为y=Sr+t, 0=-2s+t 将点B,C分别代入得： -4=t, S=-2 解得=-4’ 53/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得y=-8, F(8-8): ②如图，当点A在直线EF的下方时， 延长FA,CA,E,F交CA延长线于点G,交FA延长线于点M, B :OA⊥FM, ∴.∠OAC+∠G2AM=180°-∠MAO=90°， :EE2⊥AC, .∠AMG2+∠G2AM=90°， ∴.∠OAC=∠AMG2, ∠OAC=∠AFE2, ∴.∠AMG3=∠AE2, :AM=AF2, 设直线BC的解析式为y=Sr+t, 0=-2s+t 将点B,C分别代入得： -4=t, S=-2 解得=-4’ 53/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴直线BC的解析式为y=-2x-4, BC∥E2F, .kBc=k,5=-2, 设直线E的解析式为，=-2r+e·点0女-4小月 1 将点E代入得：4 2-n-4=-2n+c, 2 2-4, 解得：c=2n 直线E,E的解析式为y=-2x+- 42-4, :FM∥y轴，FM交x轴于点A, ..x=XM=8, 将，=8代入直线E万的解析式，得：w=-2x8+好2一-4= 21-20, 4w=w=r--20, -a-+日多-4 a-8-r-a-4---20。 7-V209 解得：n= 2 (舍去)，h=29+7, 2一，2=8（舍去） √209+727-3W209 2 8 √209+727-3V209 综上所述，点F的坐标为8-8或 2 P 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与y轴交于点C,与x轴交于A1,0),B3,0)两点， 点D为x轴负半轴上一点，且OD=OC,直线CD与抛物线交于另一点E. 54/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴直线BC的解析式为y=-2x-4, BC∥E2F, .kBc=k,5=-2, 设直线E的解析式为，=-2r+e·点0女-4小月 1 将点E代入得：4 2-n-4=-2n+c, 2 2-4, 解得：c=2n 直线E,E的解析式为y=-2x+- 42-4, :FM∥y轴，FM交x轴于点A, ..x=XM=8, 将，=8代入直线E万的解析式，得：w=-2x8+好2一-4= 21-20, 4w=w=r--20, -a-+日多-4 a-8-r-a-4---20。 7-V209 解得：n= 2 (舍去)，h=29+7, 2一，2=8（舍去） √209+727-3W209 2 8 √209+727-3V209 综上所述，点F的坐标为8-8或 2 P 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与y轴交于点C,与x轴交于A1,0),B3,0)两点， 点D为x轴负半轴上一点，且OD=OC,直线CD与抛物线交于另一点E. 54/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线CE下方抛物线上的一动点，过点P作PF∥y轴交CE于点F,过点P作PG∥x轴交 y轴于点G,点M,N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且MN=1,点H为直线CE上的一个动点， 连接PN,MH.当PF+PG取得最大值时，求PN+MW+MH的最小值： (3)如图2，在(2)的条件下，连接PC,将抛物线沿着PC的方向平移V0个单位得y,点Q是新抛物线 y的对称轴上的一个动点，当∠CQD+∠OCA=∠ECP时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其 中一个Q点坐标的求解过程. 【答案】0y=子- x+2 3 ②PN+MN+MH的最小值为： 3 7+V34 ③)o的坐标为： 3 或 【分析】(1)把A1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2,再建立方程组求解即可： 2如国，求解直载0为，=X+2,可得=5，设P行-号+2，则下K+2:其中 05<5”G+m=+2-子学-2=后+片，利用=次属流所性质可等P仍8》 如图， 3 3 3 2'6 过作R∥P%交pG于g而pG铺，可得R》 55 26作。关于，轴的对称点7'则73) R MR=TM=PN,当TM⊥CD于H时，TM与y轴交于点Q,可得 HM+MN+PN=HM+MT+MN=HT+MN=HT+1,此时最小，再进一步求解即可： 55/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线CE下方抛物线上的一动点，过点P作PF∥y轴交CE于点F,过点P作PG∥x轴交 y轴于点G,点M,N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且MN=1,点H为直线CE上的一个动点， 连接PN,MH.当PF+PG取得最大值时，求PN+MW+MH的最小值： (3)如图2，在(2)的条件下，连接PC,将抛物线沿着PC的方向平移V0个单位得y,点Q是新抛物线 y的对称轴上的一个动点，当∠CQD+∠OCA=∠ECP时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其 中一个Q点坐标的求解过程. 【答案】0y=子- x+2 3 ②PN+MN+MH的最小值为： 3 7+V34 ③)o的坐标为： 3 或 【分析】(1)把A1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2,再建立方程组求解即可： 2如国，求解直载0为，=X+2,可得=5，设P行-号+2，则下K+2:其中 05<5”G+m=+2-子学-2=后+片，利用=次属流所性质可等P仍8》 如图， 3 3 3 2'6 过作R∥P%交pG于g而pG铺，可得R》 55 26作。关于，轴的对称点7'则73) R MR=TM=PN,当TM⊥CD于H时，TM与y轴交于点Q,可得 HM+MN+PN=HM+MT+MN=HT+MN=HT+1,此时最小，再进一步求解即可： 55/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)求解an∠CPG=CG人、J 76-1 PG3,可得 可得将抛物线沿着 的方向平移 2 CG:PG:CP=1:3:10 PC V0个单位得y,即把抛物线y=x8 3 3+2向左平移3个单位，再向上平移，个单位，可得平移后抛物 25 线为22 6、1 4,如图，tam∠CPG=76=3 31 1,可得 ,过作 y= tan∠OCA= 31 2 ∠CPG+∠OCA=45°C CK∥PG,交原抛物线于K,而PG∥x轴，证明∠ECP=∠ACK,取T4,O),连接CT,证明 ∠OCA=∠CTO=∠KCT,结合∠ECK=45°，证明∠CQD=∠ACT,过A作AZ⊥CT于Z,求解 m∠COD=m乙4CT子，取CD的中点M-l小作直线oM同理可得：om的解折式为y=-,在 ON上取点g使%-可利0M-子5，∠4CT=∠C0M以o为圆心，为半径面到，则 CM 3 3 ∠COM=∠CQD,设O(x,-x),再进一步求解即可. 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+br+2与x轴交于A1,0),B3,0)两点， a+b+2=0 19a+3b+2=0' 2 a= 解得： 8 b=- “抛物线为：y=名28 x+2 33 (2)解：如图，：y=x2- 2 x+2, 3 3 ∴.C0,2), .OC=OD. .D-2,0), 设直线CD为y=x+2, .-2k+2=0,解得：k=1, .直线CD为：y=x+2, 56/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)求解an∠CPG=CG人、J 76-1 PG3,可得 可得将抛物线沿着 的方向平移 2 CG:PG:CP=1:3:10 PC V0个单位得y,即把抛物线y=x8 3 3+2向左平移3个单位，再向上平移，个单位，可得平移后抛物 25 线为22 6、1 4,如图，tam∠CPG=76=3 31 1,可得 ,过作 y= tan∠OCA= 31 2 ∠CPG+∠OCA=45°C CK∥PG,交原抛物线于K,而PG∥x轴，证明∠ECP=∠ACK,取T4,O),连接CT,证明 ∠OCA=∠CTO=∠KCT,结合∠ECK=45°，证明∠CQD=∠ACT,过A作AZ⊥CT于Z,求解 m∠COD=m乙4CT子，取CD的中点M-l小作直线oM同理可得：om的解折式为y=-,在 ON上取点g使%-可利0M-子5，∠4CT=∠C0M以o为圆心，为半径面到，则 CM 3 3 ∠COM=∠CQD,设O(x,-x),再进一步求解即可. 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+br+2与x轴交于A1,0),B3,0)两点， a+b+2=0 19a+3b+2=0' 2 a= 解得： 8 b=- “抛物线为：y=名28 x+2 33 (2)解：如图，：y=x2- 2 x+2, 3 3 ∴.C0,2), .OC=OD. .D-2,0), 设直线CD为y=x+2, .-2k+2=0,解得：k=1, .直线CD为：y=x+2, 56/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+2 y=2x2-x+2 3 解得：x=0或x=5.5, e=5.5, 设P号+2小则F1+2英中0r55 PG+P=x+x+2-2+8x-2=-2x+4x 3 3 3 14 3 7 2 2时， 最大， PG+PF 如图，过M作MR∥PN交PG于R,而PG∥x轴， ∴.四边形PNMR为平行四边形， .PN=MR,PR=MN=1, 侣》 作关于，销的对称点，则r侣引 MR=TM=PN' C H R G M D A 、XB 当TM⊥CD于H时，TM与y轴交于点O, ∴.HM+MN+PN=HM+MT+MN=HT+MN=HT+I,此时最小， OC=OD ∴.∠CD0=∠DC0=45°， 57/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+2 y=2x2-x+2 3 解得：x=0或x=5.5, e=5.5, 设P号+2小则F1+2英中0r55 PG+P=x+x+2-2+8x-2=-2x+4x 3 3 3 14 3 7 2 2时， 最大， PG+PF 如图，过M作MR∥PN交PG于R,而PG∥x轴， ∴.四边形PNMR为平行四边形， .PN=MR,PR=MN=1, 侣》 作关于，销的对称点，则r侣引 MR=TM=PN' C H R G M D A 、XB 当TM⊥CD于H时，TM与y轴交于点O, ∴.HM+MN+PN=HM+MT+MN=HT+MN=HT+I,此时最小， OC=OD ∴.∠CD0=∠DC0=45°， 57/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0M0=∠00M=45°， ∴.设O0=OM=e, ∴.(0，e,Me,0, 设直线QM为y=r+e, ∴.ef+e=0,解得：f=-l, ∴.直线QM为y=-x+e, 5 5 、m{今，一>入寻方+=一石” 解得：e=3 5 直线QM为y=-x+ 3 y=x+2 解得 6 11 y=-x+ 3 y 6 68) 即： PN+MN+MH 的最小值为： 3 75 (3)解：：P八26C0,2 CG 2、5 .tan∠CPG= PG 7 2 ∴.CG:PG:CP=1:3:V10, 将物线沿者心的方向平移而个单位得)y即把抛物线y一号-含 一3+2向左平移3个单位，再向上 平移1个单位， :平移后超物校为y一号 3x+1,对称轴为直线x=-1 如图，矩形ABCD中，AB=CD=2a,AD=BC=3a,E,F分别在BC,CD上，且BE=CF=DF=a, CE=2a,∠B=∠C=∠D=90°， 58/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0M0=∠00M=45°， ∴.设O0=OM=e, ∴.(0，e,Me,0, 设直线QM为y=r+e, ∴.ef+e=0,解得：f=-l, ∴.直线QM为y=-x+e, 5 5 、m{今，一>入寻方+=一石” 解得：e=3 5 直线QM为y=-x+ 3 y=x+2 解得 6 11 y=-x+ 3 y 6 68) 即： PN+MN+MH 的最小值为： 3 75 (3)解：：P八26C0,2 CG 2、5 .tan∠CPG= PG 7 2 ∴.CG:PG:CP=1:3:V10, 将物线沿者心的方向平移而个单位得)y即把抛物线y一号-含 一3+2向左平移3个单位，再向上 平移1个单位， :平移后超物校为y一号 3x+1,对称轴为直线x=-1 如图，矩形ABCD中，AB=CD=2a,AD=BC=3a,E,F分别在BC,CD上，且BE=CF=DF=a, CE=2a,∠B=∠C=∠D=90°， 58/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3a D a 2a a E 2a C ∴.△ABE≌△ECF, .∠BAE=∠CEF,AE=EF, ∴.∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠BAE=9O°， .∠AEF=90°， ∴.∠EAF=45°， ∴.∠DAF+∠BAE=45°， 而an∠DAF= tan∠BAE= 5 2 如图，tan∠CPG= 6-1 =3an∠0CA=2 1 2 由原理得：∠CPG+∠OCA=45°， E B D 过C作CK∥PG,交原抛物线于K,而PG∥x轴， ∴.∠KCP=∠CPG,CK∥PG∥x轴， .∠KC0=90°， ∴.∠KCP+∠OCA=45°， .∠ACP=45°， ∴.∠ECP=∠ACK, 取T(4,0),连接CT, 59/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3a D a 2a a E 2a C ∴.△ABE≌△ECF, .∠BAE=∠CEF,AE=EF, ∴.∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠BAE=9O°， .∠AEF=90°， ∴.∠EAF=45°， ∴.∠DAF+∠BAE=45°， 而an∠DAF= tan∠BAE= 5 2 如图，tan∠CPG= 6-1 =3an∠0CA=2 1 2 由原理得：∠CPG+∠OCA=45°， E B D 过C作CK∥PG,交原抛物线于K,而PG∥x轴， ∴.∠KCP=∠CPG,CK∥PG∥x轴， .∠KC0=90°， ∴.∠KCP+∠OCA=45°， .∠ACP=45°， ∴.∠ECP=∠ACK, 取T(4,0),连接CT, 59/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tan∠CT0=}-tan∠0CA, 2 .∠OCA=∠CTO,而CK∥x轴， :.∠OCA=∠CTO=∠KCT, ,直线CD为y=x+2, .∠ECK=45°， ∴.∠ACT+∠KCT=∠ECK+∠OCA=∠OCA+∠CQD, .∠CQD=∠ACT, 过A作AZ⊥CT于Z, 由勾股定理可得：CT=V22+4?=2√5，AC=P+22-V5, *82-x2w5x2. 2 2,c-c 5 tan∠CQD=tan∠4CT=3 4 取CD的中点M(-1,1),作直线OM,同理可得：OM的解析式为y=-x, OMCD.CM-TCD- CM 3 在oM上取点o使OM-4 :oM-5,∠AcT=∠c0M 以O为圆心，0'C为半径画圆，则 ∠CO'M=∠CQD, 设O'x,-x), (x+2+(-x-12=32 9 解得：=子名 1 o 设(-l,e,而0'0=OC, 旷3(+g- 60/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tan∠CT0=}-tan∠0CA, 2 .∠OCA=∠CTO,而CK∥x轴， :.∠OCA=∠CTO=∠KCT, ,直线CD为y=x+2, .∠ECK=45°， ∴.∠ACT+∠KCT=∠ECK+∠OCA=∠OCA+∠CQD, .∠CQD=∠ACT, 过A作AZ⊥CT于Z, 由勾股定理可得：CT=V22+4?=2√5，AC=P+22-V5, *82-x2w5x2. 2 2,c-c 5 tan∠CQD=tan∠4CT=3 4 取CD的中点M(-1,1),作直线OM,同理可得：OM的解析式为y=-x, OMCD.CM-TCD- CM 3 在oM上取点o使OM-4 :oM-5,∠AcT=∠c0M 以O为圆心，0'C为半径画圆，则 ∠CO'M=∠CQD, 设O'x,-x), (x+2+(-x-12=32 9 解得：=子名 1 o 设(-l,e,而0'0=OC, 旷3(+g- 60/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：e=7+V34 4或e=7-v54 3 (舍去)· 同理可得： Q-1, 1+V34 3 -1 7+V34 综上：。的坐标为： 3 【点晴】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，轴对称的性质， 二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用， 作出合适的辅助线是解本题的关键。 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+br-4a≠0)交x轴于点A、C,交y轴于点B,其中 OC=4,OA=1. y 图1 图2 (1)求抛物线的表达式 (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD∥y轴交BC于点D,点M是x轴上一动点， 点N是BC上一动点.请求出当PD-√2CD取最大值时点P的坐标，及此时PM+MN+AW的最小值： (3)如图2，在(2)条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使新抛物线y经过点D.点 O为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与x轴交于点H,过Q作EQ‖OP交y轴的正半轴于点E,连 接AE,AQ.当LAEQ-∠BOP=∠QAH时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点 的坐标的求解过程， 【答案】(1)y=x2-3x-4 (2)P3,-4):此时PM+MN+AN的最小值V82 96+V58 见解析 【分析】(I)根据题意得到点A、C的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案： 61/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：e=7+V34 4或e=7-v54 3 (舍去)· 同理可得： Q-1, 1+V34 3 -1 7+V34 综上：。的坐标为： 3 【点晴】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，轴对称的性质， 二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用， 作出合适的辅助线是解本题的关键。 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+br-4a≠0)交x轴于点A、C,交y轴于点B,其中 OC=4,OA=1. y 图1 图2 (1)求抛物线的表达式 (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD∥y轴交BC于点D,点M是x轴上一动点， 点N是BC上一动点.请求出当PD-√2CD取最大值时点P的坐标，及此时PM+MN+AW的最小值： (3)如图2，在(2)条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使新抛物线y经过点D.点 O为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与x轴交于点H,过Q作EQ‖OP交y轴的正半轴于点E,连 接AE,AQ.当LAEQ-∠BOP=∠QAH时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点 的坐标的求解过程， 【答案】(1)y=x2-3x-4 (2)P3,-4):此时PM+MN+AN的最小值V82 96+V58 见解析 【分析】(I)根据题意得到点A、C的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案： 61/170 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)先利用待定系数法求得直线BC的表达式，作DJ⊥x轴于点J,可推出√2CD=2DJ,设 Pm,m2-3m-4,则D(m,m-4),表示出PD和DJ,然后把PD-√2CD=PD-2DJ用m表示出来，根 据二次函数的性质推出最大值时m的值，得到点P的坐标；然后利用轴对称作点P关于x轴的对称点P', 作点A关于直线BC的对称点，可知当、N、M、P共线时，PM+MN+AN取得最小值，即可得 到答案： (3)根据题意可推出原抛物线水平方向上向右平移了3个单位，即新抛物线y的对称轴为直线 -3-?,设Q?”直线E0的表达式为，=gs+p根据B01Op求得50的表达式，得到点 79 AO OE E(0,6+n),结合∠AEQ-∠BOP=∠Q4H和平行线的性质可证AABO∽AQAH,从而得到QH4H,然 后分点Q在x轴的上方和下方，代入比例式求得n值即可. 【详解】(1)解：OC=4,OA=1, .C4,0),A-1,0), 将C(4,0),A-1,0)代入y=ar+br-4a≠0)，得， [16a+4b-4=0 a-b-4=0 a=1 解得b=3' .抛物线的表达式为y=x2-3x-4 (2)解：由(1)可知，抛物线的表达式为y=x2-3x-4,且交y轴于点B, 当x=0时，y=-4, B(0,-4), C(4,0 设直线BC的表达式为y=Cx+d, d=-4 则4e+d=0 c=1 解得d=4' ∴.直线BC的表达式为y=x-4; 延长PD交x轴于点J,如图所示，则∠PJA=90°， 62/170 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)先利用待定系数法求得直线BC的表达式，作DJ⊥x轴于点J,可推出√2CD=2DJ,设 Pm,m2-3m-4,则D(m,m-4),表示出PD和DJ,然后把PD-√2CD=PD-2DJ用m表示出来，根 据二次函数的性质推出最大值时m的值，得到点P的坐标；然后利用轴对称作点P关于x轴的对称点P', 作点A关于直线BC的对称点，可知当、N、M、P共线时，PM+MN+AN取得最小值，即可得 到答案： (3)根据题意可推出原抛物线水平方向上向右平移了3个单位，即新抛物线y的对称轴为直线 -3-?,设Q?”直线E0的表达式为，=gs+p根据B01Op求得50的表达式，得到点 79 AO OE E(0,6+n),结合∠AEQ-∠BOP=∠Q4H和平行线的性质可证AABO∽AQAH,从而得到QH4H,然 后分点Q在x轴的上方和下方，代入比例式求得n值即可. 【详解】(1)解：OC=4,OA=1, .C4,0),A-1,0), 将C(4,0),A-1,0)代入y=ar+br-4a≠0)，得， [16a+4b-4=0 a-b-4=0 a=1 解得b=3' .抛物线的表达式为y=x2-3x-4 (2)解：由(1)可知，抛物线的表达式为y=x2-3x-4,且交y轴于点B, 当x=0时，y=-4, B(0,-4), C(4,0 设直线BC的表达式为y=Cx+d, d=-4 则4e+d=0 c=1 解得d=4' ∴.直线BC的表达式为y=x-4; 延长PD交x轴于点J,如图所示，则∠PJA=90°， 62/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OB=OC=4∠BOC=90° ∠0CB=45°， .sin∠JCD= CD,即sin45°=D/ DJ CD' 2 DJ 2CD,即V2cD=2w 设Pm,m2-3m-4,则D(m,m-4), PD=m-4-m2-3m-4=-m2+4m,DJ=-(m-4=4-m, .PD-V2CD=PD-2DJ=-m2+4m-24-m=-m2+6m-8=-(m-32+1, :-1<0,点P为直线BC下方抛物线上的一动点，即0<m<4, ·.当m=3时，PD-V2CD最大，此时m2-3m-4=32-3×3-4=-4, P3,-4): 作点P关于x轴的对称点P',连接P'M,作点A关于直线BC的对称点A,连接A'N,CA',PA,如图 所示， OM P(3,4),PM=PM,AN=4'N,4C=4C=4-(-1)=5, :∠0CB=45°， ∴∠ACA=2∠OCB=90°，即AC⊥x轴， 0C=4, .A(4,-5), .PM+MN+AN=P'M+MN+A'Nz P'A' 当A、N、M、P'共线时，PM+MN+AW取得最小值， 63/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OB=OC=4∠BOC=90° ∠0CB=45°， .sin∠JCD= CD,即sin45°=D/ DJ CD' 2 DJ 2CD,即V2cD=2w 设Pm,m2-3m-4,则D(m,m-4), PD=m-4-m2-3m-4=-m2+4m,DJ=-(m-4=4-m, .PD-V2CD=PD-2DJ=-m2+4m-24-m=-m2+6m-8=-(m-32+1, :-1<0,点P为直线BC下方抛物线上的一动点，即0<m<4, ·.当m=3时，PD-V2CD最大，此时m2-3m-4=32-3×3-4=-4, P3,-4): 作点P关于x轴的对称点P',连接P'M,作点A关于直线BC的对称点A,连接A'N,CA',PA,如图 所示， OM P(3,4),PM=PM,AN=4'N,4C=4C=4-(-1)=5, :∠0CB=45°， ∴∠ACA=2∠OCB=90°，即AC⊥x轴， 0C=4, .A(4,-5), .PM+MN+AN=P'M+MN+A'Nz P'A' 当A、N、M、P'共线时，PM+MN+AW取得最小值， 63/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最小值为PA=V3-42+[4-(-5)]=82 (3)解：由(1)可知，抛物线的表达式为y=x2-3x-4, 原抛物线的对称轴为直线x=-子=？ 22 由(2)可知，点D的横坐标为3，B(0,-4), :将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使新抛物线y经过点D, 3 原抛物线水平方向上向右平移了3个单位，即新抛物线Y的对称销为直线x+3” 2 ·点Q为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与x轴交于点H, .∠QHA=90°， 设侣小.直线E0的表达式为，=+p直线op的表达式为，=太： P(3,-4, -4=3k, 即k=-4 ..EQ//OP, 9=k=-4 3 9) 将代入，=+p得m= 3x+p,即p=n+6 直线E0的表达式为y= 4 3+n+6, 点E在y轴的正半轴， .E0,n+6: EQ∥OP, .∠BOP=∠OEQ, ∴.∠AEQ-∠BOP=∠AEQ-∠OEQ=∠AEO=∠QAH, :∠AEQ-∠BOP=∠OAH, .∠AEO=∠QAH, ∠AOE=∠QHA=90°， .△AEO△QAH, AO OE QH AH' 64/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最小值为PA=V3-42+[4-(-5)]=82 (3)解：由(1)可知，抛物线的表达式为y=x2-3x-4, 原抛物线的对称轴为直线x=-子=？ 22 由(2)可知，点D的横坐标为3，B(0,-4), :将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使新抛物线y经过点D, 3 原抛物线水平方向上向右平移了3个单位，即新抛物线Y的对称销为直线x+3” 2 ·点Q为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与x轴交于点H, .∠QHA=90°， 设侣小.直线E0的表达式为，=+p直线op的表达式为，=太： P(3,-4, -4=3k, 即k=-4 ..EQ//OP, 9=k=-4 3 9) 将代入，=+p得m= 3x+p,即p=n+6 直线E0的表达式为y= 4 3+n+6, 点E在y轴的正半轴， .E0,n+6: EQ∥OP, .∠BOP=∠OEQ, ∴.∠AEQ-∠BOP=∠AEQ-∠OEQ=∠AEO=∠QAH, :∠AEQ-∠BOP=∠OAH, .∠AEO=∠QAH, ∠AOE=∠QHA=90°， .△AEO△QAH, AO OE QH AH' 64/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 01'0E=n+601=w4h--=53, .①当点2在x轴的上方时，此时QH=n, 1n+6 n5.5, 则 整理得2n2+12n-11=0 解得n=6±V58 .n>0, n=-6+V58 -； 2 ②当点Q在x轴的下方时，此时QH=-n, 1=n+6 则35，整理得2m+12m+11=0 解得n=6±4 2 9-6+V58 9-6+V14 22 9-6-V14 符合条件的点。坐标为Q 2 022 【点晴】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的图像 的平移，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，两点之间线段最短，灵活应用以上知 识点是解题的关键， 14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x+br+c(a≠0)交轴于A(-4,0,B(8,0)两点，交y轴于C, 8 连接AC,BC C 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,点E和点F是直 线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=5,连接AF,EP,当PH有最大值时，求 AF+EF+EP的最小值； (3)将抛物线沿射线CB方向平移25个单位得新抛物线y',点Q是新抛物线y'上的一点，连接QB，当 65/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 01'0E=n+601=w4h--=53, .①当点2在x轴的上方时，此时QH=n, 1n+6 n5.5, 则 整理得2n2+12n-11=0 解得n=6±V58 .n>0, n=-6+V58 -； 2 ②当点Q在x轴的下方时，此时QH=-n, 1=n+6 则35，整理得2m+12m+11=0 解得n=6±4 2 9-6+V58 9-6+V14 22 9-6-V14 符合条件的点。坐标为Q 2 022 【点晴】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的图像 的平移，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，两点之间线段最短，灵活应用以上知 识点是解题的关键， 14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x+br+c(a≠0)交轴于A(-4,0,B(8,0)两点，交y轴于C, 8 连接AC,BC C 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,点E和点F是直 线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=5,连接AF,EP,当PH有最大值时，求 AF+EF+EP的最小值； (3)将抛物线沿射线CB方向平移25个单位得新抛物线y',点Q是新抛物线y'上的一点，连接QB，当 65/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标. 【答10-g-4 (2)v6ī+V5 3)点2的横坐标为-22+2√229或2-213 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： 2待定系数法求出直线c的解折式为，-号-，设Pmr-如-4小0<mc8,则Hm-4 表示出PH=专m-4+2,由=次函数的性质可得当m=4时，PH最大为2此时P44,将点4沿 CB方向平移√5个单位长度（即向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度）得到A,连接AE，A'P, 由平移的性质可得AA=EF=V5,A4'∥EF,4(-2,,得出四边形A4EF为平行四边形，由平行四边 形的性质可得AF=AE,结合AF+EP=AE+EP≥AP得出AF+EP的最小值为A'P=V61,即可得解： (3)求出y=x-3 =g-x+2,∠AC0=45再分两种情况：当点Q在直线BC的上方时：当点g,在直线 BC的下方时，作点O关于直线BC的对称点为D,作直线BD交抛物线y于O,分别求解即可. 【详解】（山)解抛物线yg++eu40交，鞋于40,880两点， 「2-4b+c=0 8+8b+c=0 1 b二 解得： 2, c=-4 六抛物线的解析式为少=。x 82-4: 121 (2)解：在y=8-2x-4中，当x=0时，y=-4即C(0,4 设直线BC的解析式为y=c+b(k≠O), 8k+b=0 将B8,0’C0,4代入解析式可得6=-4。 k=- 解得 2 b=-4 六直线BC的解析式为y=x-4, 66/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标. 【答10-g-4 (2)v6ī+V5 3)点2的横坐标为-22+2√229或2-213 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： 2待定系数法求出直线c的解折式为，-号-，设Pmr-如-4小0<mc8,则Hm-4 表示出PH=专m-4+2,由=次函数的性质可得当m=4时，PH最大为2此时P44,将点4沿 CB方向平移√5个单位长度（即向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度）得到A,连接AE，A'P, 由平移的性质可得AA=EF=V5,A4'∥EF,4(-2,,得出四边形A4EF为平行四边形，由平行四边 形的性质可得AF=AE,结合AF+EP=AE+EP≥AP得出AF+EP的最小值为A'P=V61,即可得解： (3)求出y=x-3 =g-x+2,∠AC0=45再分两种情况：当点Q在直线BC的上方时：当点g,在直线 BC的下方时，作点O关于直线BC的对称点为D,作直线BD交抛物线y于O,分别求解即可. 【详解】（山)解抛物线yg++eu40交，鞋于40,880两点， 「2-4b+c=0 8+8b+c=0 1 b二 解得： 2, c=-4 六抛物线的解析式为少=。x 82-4: 121 (2)解：在y=8-2x-4中，当x=0时，y=-4即C(0,4 设直线BC的解析式为y=c+b(k≠O), 8k+b=0 将B8,0’C0,4代入解析式可得6=-4。 k=- 解得 2 b=-4 六直线BC的解析式为y=x-4, 66/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 <0. 8 ÷当m4时P以最大为2此时-0-4=4，即P叫A- 如图：将点A沿CB方向平移V5个单位长度（即向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度）得到A, 连接A'E,A'P, 由平移的性质可得A=EF=V5,，AA∥EF,A-2,), ∴.四边形AA'EF为平行四边形， :AF=A'E, ∴.AF+EP=AE+EP≥AP, 六AF+EP的最小值为4P=V-2-4)+[1-(-4]了=V, AF+EF+EP的最小值为V61+V5: 解：y君--4r-树-4x-2- ∴·将抛物线沿射线CB方向平移2V5个单位（即向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度）得新抛物 线y,则-x-2-4-+2-- 82x+2 :A-4,0),B(8,0),C(0,-4), ∴.0A=0C=4, “.△ACO为等腰直角三角形， ∴.∠AC0=45°， 如图，当点Q在直线BC的上方时， 67/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 <0. 8 ÷当m4时P以最大为2此时-0-4=4，即P叫A- 如图：将点A沿CB方向平移V5个单位长度（即向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度）得到A, 连接A'E,A'P, 由平移的性质可得A=EF=V5,，AA∥EF,A-2,), ∴.四边形AA'EF为平行四边形， :AF=A'E, ∴.AF+EP=AE+EP≥AP, 六AF+EP的最小值为4P=V-2-4)+[1-(-4]了=V, AF+EF+EP的最小值为V61+V5: 解：y君--4r-树-4x-2- ∴·将抛物线沿射线CB方向平移2V5个单位（即向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度）得新抛物 线y,则-x-2-4-+2-- 82x+2 :A-4,0),B(8,0),C(0,-4), ∴.0A=0C=4, “.△ACO为等腰直角三角形， ∴.∠AC0=45°， 如图，当点Q在直线BC的上方时， 67/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y :∠QBC=∠ABC+∠ACO,∠QBC=∠ABC+∠QBA, .∠2BA=45°， 设直线B2的解析式为y=-x+b, 将B(8,0)代入解析式可得：-8+b,=0, .b2=8, 直线BQ的解析式为y=-x+8, y=-x+8 联立 y--2 解得：x=2-2V13或x=2+2W13(不符合题意，舍去)， 故此时点Q的横坐标为2-25，此时点Q,的纵坐标为2-213)+8=6+23： 当点O在直线BC的下方时，作点Q关于直线BC的对称点为D,作直线BD交抛物线y于O, B D 由轴对称的性质可得：∠QBC=∠QBC,QB=DB, .2B2=DB2 68/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y :∠QBC=∠ABC+∠ACO,∠QBC=∠ABC+∠QBA, .∠2BA=45°， 设直线B2的解析式为y=-x+b, 将B(8,0)代入解析式可得：-8+b,=0, .b2=8, 直线BQ的解析式为y=-x+8, y=-x+8 联立 y--2 解得：x=2-2V13或x=2+2W13(不符合题意，舍去)， 故此时点Q的横坐标为2-25，此时点Q,的纵坐标为2-213)+8=6+23： 当点O在直线BC的下方时，作点Q关于直线BC的对称点为D,作直线BD交抛物线y于O, B D 由轴对称的性质可得：∠QBC=∠QBC,QB=DB, .2B2=DB2 68/170 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 s+2-2W132W13+6+t 设Ds,d则D 的中点坐标为 2 2 在直线上， BC s+2-25x1-4=23+6+1 2 2 (2-213-82+3+6-0=(s-8)2+t-02 46+213 解得： 5 t= -14v13-42' 5 D 46+2W13-14V13-42 5 5 设直线BD的解析式为y=k,x+b(k2≠0)， 8k2+b=0 将D 46+213-1413-42 代入解析式可得： 5 5 B8.0 46+255+6=145-42: 5 5 k2=-7 解得： b=56, .直线BD的解析式为y=-7x+56, y=-7x+56 联立 +2' 2 解得：x=-22+2√229或x=-22-2√229（不符合题意，舍去）， 故此时点92的横坐标为-22+2√229： 综上所述，点2的横坐标为-22+2√229或2-23. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合一线段周长问题，二次函数综合一角 度问题，平移的性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵 活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键. 15.如图，抛物线y=a2+bx+3与x轴交于A-l,0),B(6,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C, 连接AC,BC. 69/170 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 s+2-2W132W13+6+t 设Ds,d则D 的中点坐标为 2 2 在直线上， BC s+2-25x1-4=23+6+1 2 2 (2-213-82+3+6-0=(s-8)2+t-02 46+213 解得： 5 t= -14v13-42' 5 D 46+2W13-14V13-42 5 5 设直线BD的解析式为y=k,x+b(k2≠0)， 8k2+b=0 将D 46+213-1413-42 代入解析式可得： 5 5 B8.0 46+255+6=145-42: 5 5 k2=-7 解得： b=56, .直线BD的解析式为y=-7x+56, y=-7x+56 联立 +2' 2 解得：x=-22+2√229或x=-22-2√229（不符合题意，舍去）， 故此时点92的横坐标为-22+2√229： 综上所述，点2的横坐标为-22+2√229或2-23. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合一线段周长问题，二次函数综合一角 度问题，平移的性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵 活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键. 15.如图，抛物线y=a2+bx+3与x轴交于A-l,0),B(6,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C, 连接AC,BC. 69/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交BC于点Q,点M是线段AB上一点，当 PO最大时，求PM+ 10 -AM的最小值， (③)将抛物沿射线AC方向平移V10个单位长度，得到新抛物线，点D坐标为0,6)，点N是新抛物线y 对称轴上一动点，当∠DB=∠ACD+∠BO时，直接写出所有符合条件的点N的坐标. 1 5 【答案】(1)y=-亏x2+。x+3 2 2 、11W10 (2) 5 3)N 2’2月 【分析】(1)将点A-l,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3,即可求解： （②先求出直线Rc解行式为y=方+3，设点，的坐标为+-小 BC 则点o的坐标为 +3)得P0=+=-+号得当，-3时：0取得最大值，此时点。的坐标为 (3,6),过点M作MH∥AC,过点A作AH⊥MH于点H,则AH⊥AC,得出∠MAH=∠ACO,证明 DAM,则PM+D4M=PM+M,则当点p'M'三点依次共线.且 1 时， 10 PH⊥AH PM+AM取得最小值，最小值为pH的长，求出直线4C的解折式为，=3x+3”则可得直线PH的解 10 析式为y=3x-3,得点M的坐标为L,O),分别计算PM和HM即可； 7 (3)利用平移得出新抛物线y的对称轴为直线x=2,在，轴负半轴上取点E,使得OE=OB=2,得出 70/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交BC于点Q,点M是线段AB上一点，当 PO最大时，求PM+ 10 -AM的最小值， (③)将抛物沿射线AC方向平移V10个单位长度，得到新抛物线，点D坐标为0,6)，点N是新抛物线y 对称轴上一动点，当∠DB=∠ACD+∠BO时，直接写出所有符合条件的点N的坐标. 1 5 【答案】(1)y=-亏x2+。x+3 2 2 、11W10 (2) 5 3)N 2’2月 【分析】(1)将点A-l,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3,即可求解： （②先求出直线Rc解行式为y=方+3，设点，的坐标为+-小 BC 则点o的坐标为 +3)得P0=+=-+号得当，-3时：0取得最大值，此时点。的坐标为 (3,6),过点M作MH∥AC,过点A作AH⊥MH于点H,则AH⊥AC,得出∠MAH=∠ACO,证明 DAM,则PM+D4M=PM+M,则当点p'M'三点依次共线.且 1 时， 10 PH⊥AH PM+AM取得最小值，最小值为pH的长，求出直线4C的解折式为，=3x+3”则可得直线PH的解 10 析式为y=3x-3,得点M的坐标为L,O),分别计算PM和HM即可； 7 (3)利用平移得出新抛物线y的对称轴为直线x=2,在，轴负半轴上取点E,使得OE=OB=2,得出 70/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OBE=∠ACO' 过点c作CF1BE于点万，求出Cr-3 2， 证明BF=CF'得∠CBF=45o,则 ∠DNB=∠C0+∠CB0=∠0E+C80=∠CBr-45设N}）. 分两种情况：当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利用全等性质和 次函数求解即可. 【详解】(1)解：把点A-l,0),B6,0)代入y=ax2+bx+3, a-b+3=0 得： 36a+6b+3=0' a=- 2 解得： 抛物线的表达式为y=占+ x+3: (2)解：当x=0时，y=3, ·点C0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把点B(6,0),C(0,3)代入， [6k+b=0 得： b=3 1 K= 解得： b=3 直线C的解析式为y=-2+3, 设点。的坐标为++3 则点o的坐标为玉+3 .P=-2+3t=- 13)2+9 <0, 2 .当t=3时，PO取得最大值， 此时点P的坐标为(3,6)， 如图，过点M作MH∥AC,过点A作AH⊥MH于点H, 71/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OBE=∠ACO' 过点c作CF1BE于点万，求出Cr-3 2， 证明BF=CF'得∠CBF=45o,则 ∠DNB=∠C0+∠CB0=∠0E+C80=∠CBr-45设N}）. 分两种情况：当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利用全等性质和 次函数求解即可. 【详解】(1)解：把点A-l,0),B6,0)代入y=ax2+bx+3, a-b+3=0 得： 36a+6b+3=0' a=- 2 解得： 抛物线的表达式为y=占+ x+3: (2)解：当x=0时，y=3, ·点C0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把点B(6,0),C(0,3)代入， [6k+b=0 得： b=3 1 K= 解得： b=3 直线C的解析式为y=-2+3, 设点。的坐标为++3 则点o的坐标为玉+3 .P=-2+3t=- 13)2+9 <0, 2 .当t=3时，PO取得最大值， 此时点P的坐标为(3,6)， 如图，过点M作MH∥AC,过点A作AH⊥MH于点H, 71/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则AH⊥AC, YA B .∠MWH+∠O4C=90, :∠AOC=90°， .∠ACO+∠OAC=90°， :.∠MAH=∠ACO 根据题意得：OA=1,OC=3, ∴AC=V0, .sin∠ACO= O4 10 AC10, sin∠H=MH=V1o M-10, ..MI= 10 AM, PM+10 AM PM+MH, 10 当点p'M'H €点依次共线，且PH1A时，PM+0取得最小值，最小值为p的的 10 设直线AC的解析式为y=k2x+b, 把点A(-1,0),C(0,3)代入， -k2+b2=0 得： b2=3 k2=3 解得： b=3' .直线AC的解析式为y=3x+3, ∴.可设直线PH的解析式为y=3x+b, 把点P(3,6代入得：6=9+b, 解得：b=-3, 72/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则AH⊥AC, YA B .∠MWH+∠O4C=90, :∠AOC=90°， .∠ACO+∠OAC=90°， :.∠MAH=∠ACO 根据题意得：OA=1,OC=3, ∴AC=V0, .sin∠ACO= O4 10 AC10, sin∠H=MH=V1o M-10, ..MI= 10 AM, PM+10 AM PM+MH, 10 当点p'M'H €点依次共线，且PH1A时，PM+0取得最小值，最小值为p的的 10 设直线AC的解析式为y=k2x+b, 把点A(-1,0),C(0,3)代入， -k2+b2=0 得： b2=3 k2=3 解得： b=3' .直线AC的解析式为y=3x+3, ∴.可设直线PH的解析式为y=3x+b, 把点P(3,6代入得：6=9+b, 解得：b=-3, 72/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .直线PH的解析式为y=3x-3, 当y=0时，0=3x-3, .x=1, 点M的坐标为(1,0)， ·AM=2,PM=V3-12+(6-0=2V10, ..HM= 5 , PH PM+H=11/10 5； (3)解：OA=1,OC=3,AC=V10, 1 5 ∴抛物线y=-)x+)x+3沿射线4C方向平移V0个单位长度，即水平向右平移，个单位长度，竖直向上 22 平移3个单位长度， x2+x+3的对称轴为直线x=2, 5 ,抛物线y=一 2 2 1s7 心新抛物线，的对称轴为直线= 2 2 在y轴负半轴上取点E使得OE=08=2, an∠OBE=OE=1 OB 3, .tan∠ACO= A0 1 c0=3, ∴.tan∠OBE=tan∠ACO, ∴.∠OBE=∠ACO, 过点C作CF⊥BE于点F, E0CE-OB-E-C 225622iocr, 2 ..cr=310 2 .BC=OC2+OB2=35, BF =BC2-CFZ =310 73/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .直线PH的解析式为y=3x-3, 当y=0时，0=3x-3, .x=1, 点M的坐标为(1,0)， ·AM=2,PM=V3-12+(6-0=2V10, ..HM= 5 , PH PM+H=11/10 5； (3)解：OA=1,OC=3,AC=V10, 1 5 ∴抛物线y=-)x+)x+3沿射线4C方向平移V0个单位长度，即水平向右平移，个单位长度，竖直向上 22 平移3个单位长度， x2+x+3的对称轴为直线x=2, 5 ,抛物线y=一 2 2 1s7 心新抛物线，的对称轴为直线= 2 2 在y轴负半轴上取点E使得OE=08=2, an∠OBE=OE=1 OB 3, .tan∠ACO= A0 1 c0=3, ∴.tan∠OBE=tan∠ACO, ∴.∠OBE=∠ACO, 过点C作CF⊥BE于点F, E0CE-OB-E-C 225622iocr, 2 ..cr=310 2 .BC=OC2+OB2=35, BF =BC2-CFZ =310 73/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BF=CF, .∠CBF=45°， .∠DNB=∠ACO+∠CBO=∠OBE+∠CBO=∠CBF=45°， ,7 设2” 当点N在x轴上方时，如图，过点B作BV⊥BN,交DN于点V,过点B作x轴的垂线KL,过点N作 NK⊥KL于点K,过点V作L⊥KL于点L, YA E ∴.∠NBV=∠K=∠L=90°，∠NVB=∠BNW=45°， ∴.BN=BV,∠NBK+∠VBL=90°，∠NBK+∠BNK=90°， ∴.∠VBL=∠BNK, △VBL≌△BNK, BL-NK=6-2-2 BK-VL= .(o-n-3). 设直线DN的解析式为y=px+9, 9=-6 得： +q=n 7 2(n+6) D= 解得： 7， 9=-6 六直线Dv的解析式为y=2n+6 7 x-6, 将6-m入 74/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BF=CF, .∠CBF=45°， .∠DNB=∠ACO+∠CBO=∠OBE+∠CBO=∠CBF=45°， ,7 设2” 当点N在x轴上方时，如图，过点B作BV⊥BN,交DN于点V,过点B作x轴的垂线KL,过点N作 NK⊥KL于点K,过点V作L⊥KL于点L, YA E ∴.∠NBV=∠K=∠L=90°，∠NVB=∠BNW=45°， ∴.BN=BV,∠NBK+∠VBL=90°，∠NBK+∠BNK=90°， ∴.∠VBL=∠BNK, △VBL≌△BNK, BL-NK=6-2-2 BK-VL= .(o-n-3). 设直线DN的解析式为y=px+9, 9=-6 得： +q=n 7 2(n+6) D= 解得： 7， 9=-6 六直线Dv的解析式为y=2n+6 7 x-6, 将6-m入 74/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得-；-20+66-m-6, 2 解得：n= (负值舍)， 2 7V95 ..N 22 当点N在x轴下方时，如图，过点B作BW⊥BN,交直线ND于点W,过点B作x轴的垂线ZU,过点N 作NU⊥ZU于点U,过点W作WZ⊥ZU于点Z, W二二 N 同理可得△WBZ≌△BNU, .BZ=NU= 2’BU=WZ=-n' .). 同理可得直线 DN 的解析式为y 2n+6x-6, 7 5 将mn+6,2)代入， 52(n+6) 7 n+6)-6, 解得：n=6- 2 或-6+19 2 (舍) 75/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得-；-20+66-m-6, 2 解得：n= (负值舍)， 2 7V95 ..N 22 当点N在x轴下方时，如图，过点B作BW⊥BN,交直线ND于点W,过点B作x轴的垂线ZU,过点N 作NU⊥ZU于点U,过点W作WZ⊥ZU于点Z, W二二 N 同理可得△WBZ≌△BNU, .BZ=NU= 2’BU=WZ=-n' .). 同理可得直线 DN 的解析式为y 2n+6x-6, 7 5 将mn+6,2)代入， 52(n+6) 7 n+6)-6, 解得：n=6- 2 或-6+19 2 (舍) 75/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●】类题点拨 一个角太大→内部作小角（作差法） 两个小角太散→旋转在一起（构造全等） 知道正切值→直接套公式（和差角公式） ·想不到辅助线一先建系用向量夹角公式 题型04角的倍数关系 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+br+2(a≠0)与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点 3 C’点4的坐标是(-4,0)，抛物线的对称轴是直线x= 2· 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直线AC相交于 点e连接Op:线款Op与直线C相交于点p求当阳取料反人值时白，的伞标，当线股Oc在，轴 上滑动（线段OC长度保持不变），连接PC,OB,求PC+CO+OB的最小值： (3)若点P是y轴左侧抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,若∠OPD=2∠CAO,请直接写 出所有符合条件的点P的横坐标，并写出求解点P的横坐标的其中一种情况的过程. PE ②)FO最大值时，点p的坐标为-2,3)：PC+C0+OB的最小值为2+V0 6)点，的横坐标为3-历成9-45 4 4，见解析 3 【详解】(1)解：点4的坐标是(-4,0)，对称轴是直线=一2 B1,0) 将点A-4,0),B(1,0)代入抛物线中，得 76/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●】类题点拨 一个角太大→内部作小角（作差法） 两个小角太散→旋转在一起（构造全等） 知道正切值→直接套公式（和差角公式） ·想不到辅助线一先建系用向量夹角公式 题型04角的倍数关系 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+br+2(a≠0)与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点 3 C’点4的坐标是(-4,0)，抛物线的对称轴是直线x= 2· 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直线AC相交于 点e连接Op:线款Op与直线C相交于点p求当阳取料反人值时白，的伞标，当线股Oc在，轴 上滑动（线段OC长度保持不变），连接PC,OB,求PC+CO+OB的最小值： (3)若点P是y轴左侧抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,若∠OPD=2∠CAO,请直接写 出所有符合条件的点P的横坐标，并写出求解点P的横坐标的其中一种情况的过程. PE ②)FO最大值时，点p的坐标为-2,3)：PC+C0+OB的最小值为2+V0 6)点，的横坐标为3-历成9-45 4 4，见解析 3 【详解】(1)解：点4的坐标是(-4,0)，对称轴是直线=一2 B1,0) 将点A-4,0),B(1,0)代入抛物线中，得 76/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [0=16a-4b+2 (0=a+b+2, 1 a=- 2 解得 3 b=- 2 该抛物线的解析式为y=-}x-3x 2 2+2. (2)y= 23 x+2,当x=0时，y=2 .C0,2), .0C=2, 设直线AC的解析式为y=kx+b, 直线AC经过点A(-4,0),C0,2), [0=-4k+b (2=b 1 k1 解得 -2 b=2 直线4C的解折式为y-方+2， 设点P-+2 -4<m<0) 1 D(m.0)2 1 PE=- m2-2m, 2 DE∥y轴， .△PEF∽aOCF, 1 PE PF 2 .OC OF 2 4m2-m=-m+22+1 <0, 4 PF ·当m=-2时，F0有最大值：此时，点p的坐标为-2,3列： 设滑动后O,C的对应点分别为O,C, 77/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [0=16a-4b+2 (0=a+b+2, 1 a=- 2 解得 3 b=- 2 该抛物线的解析式为y=-}x-3x 2 2+2. (2)y= 23 x+2,当x=0时，y=2 .C0,2), .0C=2, 设直线AC的解析式为y=kx+b, 直线AC经过点A(-4,0),C0,2), [0=-4k+b (2=b 1 k1 解得 -2 b=2 直线4C的解折式为y-方+2， 设点P-+2 -4<m<0) 1 D(m.0)2 1 PE=- m2-2m, 2 DE∥y轴， .△PEF∽aOCF, 1 PE PF 2 .OC OF 2 4m2-m=-m+22+1 <0, 4 PF ·当m=-2时，F0有最大值：此时，点p的坐标为-2,3列： 设滑动后O,C的对应点分别为O,C, 77/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H B 将点B向上平移2个单位到点H(1,2 .O'BIC'H,O'B=CH, ∴.四边形OBHC是平行四边形， ∴，PC+C0O+OB=PC'+C'O'+OB=PC'+C'H+2≥PH+2, 当且仅当P,C',H三点共线时，PC+CO+OB取得最小值. P-2,3), ·.PC'+C'H=PH=V1+22+2-32=o, .PC+CO+OB的最小值为2+V10: (3)解：点。的横坐标为3-V万 -9-V145 或 4 4 ,理由如下 如图，在x轴负半轴上取点M,使得MC=MA,连接MC, 设点M的坐标为n,0),则OM=-n,MC=MA=n+4. 在Rt△MOC中， ..OM2+OC2=MC2, .(-n)2+22=(n+4)2, 解得8=子 -80） ou- MA=MC, .∠MAC=∠MCA, 78/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H B 将点B向上平移2个单位到点H(1,2 .O'BIC'H,O'B=CH, ∴.四边形OBHC是平行四边形， ∴，PC+C0O+OB=PC'+C'O'+OB=PC'+C'H+2≥PH+2, 当且仅当P,C',H三点共线时，PC+CO+OB取得最小值. P-2,3), ·.PC'+C'H=PH=V1+22+2-32=o, .PC+CO+OB的最小值为2+V10: (3)解：点。的横坐标为3-V万 -9-V145 或 4 4 ,理由如下 如图，在x轴负半轴上取点M,使得MC=MA,连接MC, 设点M的坐标为n,0),则OM=-n,MC=MA=n+4. 在Rt△MOC中， ..OM2+OC2=MC2, .(-n)2+22=(n+4)2, 解得8=子 -80） ou- MA=MC, .∠MAC=∠MCA, 78/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CMO=∠MAC+∠MCA=2∠CAO, :∠OPD=2∠CAO, .∠OPD=∠CMO 在RtMOC中，tan∠Cwo-OC-4 OM 3' tan∠OPD=tan∠CMo=4 设P式-+2<0 在RtsOPD中，tan∠OPD=O DP -t + 3, 解得1=-3-V7 或-9-V145 4 4 点的横坐标为二或二时，∠OPD=2∠C4D 4 4 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+br+3(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A-1,0),B 两点(A在B的左侧)，抛物线的对称轴是直线x=1,连接AC,BC. D 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图I,点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD‖AC交BC于点D,点E,F为x轴上的 两个动点，点E在F的左侧，且EF=I,连接PE,PF.当线段PD的长度取得最大值时，求PE+PF的最 小值： (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得y,新抛物y交BC于点N,点 M是新抛物y上对称轴左侧的一个动点，点K在y的对称轴上，连接MN,MK,当∠NMK=2∠ACO且 MN=MK时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程。 【答案】(1)y=-x2+2x+3 79/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CMO=∠MAC+∠MCA=2∠CAO, :∠OPD=2∠CAO, .∠OPD=∠CMO 在RtMOC中，tan∠Cwo-OC-4 OM 3' tan∠OPD=tan∠CMo=4 设P式-+2<0 在RtsOPD中，tan∠OPD=O DP -t + 3, 解得1=-3-V7 或-9-V145 4 4 点的横坐标为二或二时，∠OPD=2∠C4D 4 4 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+br+3(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A-1,0),B 两点(A在B的左侧)，抛物线的对称轴是直线x=1,连接AC,BC. D 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图I,点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD‖AC交BC于点D,点E,F为x轴上的 两个动点，点E在F的左侧，且EF=I,连接PE,PF.当线段PD的长度取得最大值时，求PE+PF的最 小值： (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得y,新抛物y交BC于点N,点 M是新抛物y上对称轴左侧的一个动点，点K在y的对称轴上，连接MN,MK,当∠NMK=2∠ACO且 MN=MK时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程。 【答案】(1)y=-x2+2x+3 79/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2229 17-V241-13-V241 2,5)或 6 18 【分析】(1)根据抛物线的对称轴是直线x=1,得到b=-2a,将A(-1,0)代入抛物线解析式计算即可： (2)先求出C(0,3),B(3,0),直线BC的解析式为y=-x+3,过点P作x轴平行线，交BC延长线于点 G.证明。4 BCPGD推出设-D, 后=4即PD10PG,设Pp,-p'+2p+3,则G点纵坐标为 4 求出PG=-P-引+子利用=次函豪的性质求出P》:将点P向右平移1个单位到 329 p2+2p+3’ 点Q,作点Q关于x轴的对称点Q,连接FO,QF,QQ,PQ'，易证四边形PEFO是平行四边形，得到 PE=QF,当P,F,Q三点共线时，PF+QF有最小值，即PE+PF有最小值，最小值为PQ的长，利用勾 股定理求解即可； (3)分点M在N点上方和下方，利用相似三角形和等腰三角形的性质分类讨论即可. 【详解】（少解根据题意：品1，则，26 将A(-1,0)代入抛物线解析式得：0=a+2a+3, 解得：a=-1,则b=2, .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3: (2)解：将x=0代入y=-x2+2x+3,则y=3, 令y=-x2+2x+3=0,解得：x=-1或x=3, .C0,3,B3,0), 设直线BC的解析式为y=k+3,则0=3k'+3, 解得：k=-1, .直线BC的解析式为y=-x+3, 过点P作x轴平行线，交BC延长线于点G, ,PD‖AC,PGIAB ∴，∠ABC=∠PGD,∠ACB=∠PDG, ∴.△ABCP△PGD, PD AC PG AB' 80/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2229 17-V241-13-V241 2,5)或 6 18 【分析】(1)根据抛物线的对称轴是直线x=1,得到b=-2a,将A(-1,0)代入抛物线解析式计算即可： (2)先求出C(0,3),B(3,0),直线BC的解析式为y=-x+3,过点P作x轴平行线，交BC延长线于点 G.证明。4 BCPGD推出设-D, 后=4即PD10PG,设Pp,-p'+2p+3,则G点纵坐标为 4 求出PG=-P-引+子利用=次函豪的性质求出P》:将点P向右平移1个单位到 329 p2+2p+3’ 点Q,作点Q关于x轴的对称点Q,连接FO,QF,QQ,PQ'，易证四边形PEFO是平行四边形，得到 PE=QF,当P,F,Q三点共线时，PF+QF有最小值，即PE+PF有最小值，最小值为PQ的长，利用勾 股定理求解即可； (3)分点M在N点上方和下方，利用相似三角形和等腰三角形的性质分类讨论即可. 【详解】（少解根据题意：品1，则，26 将A(-1,0)代入抛物线解析式得：0=a+2a+3, 解得：a=-1,则b=2, .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3: (2)解：将x=0代入y=-x2+2x+3,则y=3, 令y=-x2+2x+3=0,解得：x=-1或x=3, .C0,3,B3,0), 设直线BC的解析式为y=k+3,则0=3k'+3, 解得：k=-1, .直线BC的解析式为y=-x+3, 过点P作x轴平行线，交BC延长线于点G, ,PD‖AC,PGIAB ∴，∠ABC=∠PGD,∠ACB=∠PDG, ∴.△ABCP△PGD, PD AC PG AB' 80/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC=0+1)2+3-0)2=V10,AB=3-(-1)=4, .Ppvio PG a,即PD=0PG 设Pp,-p2+2p+3, 则G点纵坐标为-p2+2p+3, ∴.-p2+2p+3=-x6+3, ∴.xc=p2-2p, -1<0, PG有最大值为9，即pD有最大位口Q 16 此时，-p2+2p+3=- 2 将点P向右平移1个单位到点Q,作点Q关于x轴的对称点Q,连接FO,QF,OQ,Pg, 则e}3). ∠PQg'=90°，QF=Q'F· .PQ=EF=L,PQ‖EF, ∴.四边形PEFQ是平行四边形， .'PE =OF, ∴.PE+PF=PF+QF=PF+QF 当P,F,Q三点共线时，PF+QF有最小值，即PE+PF有最小值，最小值为PQ的长； Pg'=VPg+eg=22四 2， PE+P6的最小值为 2； 81/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC=0+1)2+3-0)2=V10,AB=3-(-1)=4, .Ppvio PG a,即PD=0PG 设Pp,-p2+2p+3, 则G点纵坐标为-p2+2p+3, ∴.-p2+2p+3=-x6+3, ∴.xc=p2-2p, -1<0, PG有最大值为9，即pD有最大位口Q 16 此时，-p2+2p+3=- 2 将点P向右平移1个单位到点Q,作点Q关于x轴的对称点Q,连接FO,QF,OQ,Pg, 则e}3). ∠PQg'=90°，QF=Q'F· .PQ=EF=L,PQ‖EF, ∴.四边形PEFQ是平行四边形， .'PE =OF, ∴.PE+PF=PF+QF=PF+QF 当P,F,Q三点共线时，PF+QF有最小值，即PE+PF有最小值，最小值为PQ的长； Pg'=VPg+eg=22四 2， PE+P6的最小值为 2； 81/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (3)解：根据题意y'=-(x-22+2(x-2)+3+2=-x2+6x-3, 令-x+3=-x2+6x-3,解得：x=1或x=6, 根据题意：0≤xw≤3， .xw=1, .N(1,2, 6 ,二次函 y图象的对称轴为=2x=3, .xw<3, MN =MK :.△MNK是等腰三角形， 过点M作MH⊥NK于点H,过点N作x轴平行线交抛物线y对称轴于点T,过点H作y轴平行线SL,交 NT于点S,过点M作x轴平行线交SL于点L,则∠NMH=∠KMH,NH=HK,∠MLS=∠NSH=90°， 当点M在N点上方时， M N S ◇ 82/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (3)解：根据题意y'=-(x-22+2(x-2)+3+2=-x2+6x-3, 令-x+3=-x2+6x-3,解得：x=1或x=6, 根据题意：0≤xw≤3， .xw=1, .N(1,2, 6 ,二次函 y图象的对称轴为=2x=3, .xw<3, MN =MK :.△MNK是等腰三角形， 过点M作MH⊥NK于点H,过点N作x轴平行线交抛物线y对称轴于点T,过点H作y轴平行线SL,交 NT于点S,过点M作x轴平行线交SL于点L,则∠NMH=∠KMH,NH=HK,∠MLS=∠NSH=90°， 当点M在N点上方时， M N S ◇ 82/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠NMK=2∠ACO, ∠NMH=∠ACO,即an ZNMI=片s 号-mac0-把 .∠NSH=∠MLH=90°， .∴.△MLH∽△HSN, 贤袋 ...SLI BK, ∴.△NHS∽aNKT, =M1 NT NK2 三S=7, B(3,0),N(1,2), .NT=2, .NS=1, .T(3,2),S2,2),点H横坐标为2， 设Mm,-m2+6m-3),H2,h),则L(2,-m2+6m-3, ∴.ML=2-m,SH=h-2,HL=-m2+6m-3-h, :=从=3，即2m=-m+6m-3-h=3, SH NS h-2 1 ∴.2-m=3h-6,-m2+6m-3-h=3, 2h=8m=-m2+6m-6, 3 .3m2-19m+26=0, 解得：m=2或m=13>3(舍去)， 则-m2+6m-3=5, .M(2,5); 当点M在N点下方时， 83/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠NMK=2∠ACO, ∠NMH=∠ACO,即an ZNMI=片s 号-mac0-把 .∠NSH=∠MLH=90°， .∴.△MLH∽△HSN, 贤袋 ...SLI BK, ∴.△NHS∽aNKT, =M1 NT NK2 三S=7, B(3,0),N(1,2), .NT=2, .NS=1, .T(3,2),S2,2),点H横坐标为2， 设Mm,-m2+6m-3),H2,h),则L(2,-m2+6m-3, ∴.ML=2-m,SH=h-2,HL=-m2+6m-3-h, :=从=3，即2m=-m+6m-3-h=3, SH NS h-2 1 ∴.2-m=3h-6,-m2+6m-3-h=3, 2h=8m=-m2+6m-6, 3 .3m2-19m+26=0, 解得：m=2或m=13>3(舍去)， 则-m2+6m-3=5, .M(2,5); 当点M在N点下方时， 83/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y A B ML LH MH 1 同上得M=2-m'NS=1'SH=2-,HL=m2-6m+3+h'.SHS NH3' :0-货=3，即m-m-6m+3+h-3, SH NS 2-h 1 ∴.2-m=6-3h,m2-6m+3+h=3, h=m+4=-m2+6m, 3 ∴.3m2-17m+4=0, 解得：m=17-24或m=17+24>≥1（含去)， 6 6 17-241+4 则-m2+6m-3=m+4-3=6。 -3=-13-241, 3 3 18 17-√241-13-√241 ..M 6 18 17-V241-13-√241 综上，所有符合条件的点M的坐标为(2,5)或 6 18 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及求抛物线解析式，二次函数的平移，平行四边形的判定与性 质，两点间距离公式，相似三角形的判定与性质及解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是：构 造三角形相似。 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+2与x轴交于点A-2,0,B(4,0),过点B的直线与y轴 交于点D(0,-3). 84/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y A B ML LH MH 1 同上得M=2-m'NS=1'SH=2-,HL=m2-6m+3+h'.SHS NH3' :0-货=3，即m-m-6m+3+h-3, SH NS 2-h 1 ∴.2-m=6-3h,m2-6m+3+h=3, h=m+4=-m2+6m, 3 ∴.3m2-17m+4=0, 解得：m=17-24或m=17+24>≥1（含去)， 6 6 17-241+4 则-m2+6m-3=m+4-3=6。 -3=-13-241, 3 3 18 17-√241-13-√241 ..M 6 18 17-V241-13-√241 综上，所有符合条件的点M的坐标为(2,5)或 6 18 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及求抛物线解析式，二次函数的平移，平行四边形的判定与性 质，两点间距离公式，相似三角形的判定与性质及解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是：构 造三角形相似。 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+2与x轴交于点A-2,0,B(4,0),过点B的直线与y轴 交于点D(0,-3). 84/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 ()求抛物线的表达式： (2)如图1，点E是抛物线顶点，P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作PR∥y轴交直线BD于点R,过 点p作直线0的垂线交0于点p:点M、N为，轴上们时点（点y在点N的上方》，且N一启当 △PRQ的周长取得最大值时，求PM+MN+NE的最小值； (3)如图2，把抛物线沿射线D6的方向平移2个单位得到新抛物线y,点1在新抛物线y的对称轴上，过 点H作直线BD的平行线，交x轴于点G,连接HA.若∠HAO=2∠HGO,直接写出所有符合条件的点 H的坐标. 【答案】0y=式+方+2 (2)PM+MN+NE= 2,15 216 【分析】(1)由待定系数法即可求解 (2)设直线BD的表达式为y=mx+n,求出表达式，当PR最大时，△PRQ的周长最大，设 2 周长最大，得P裙)作pWPW:我取pW=Py,连接pE户NE三点共接时pN+E数水 ®由抛物线沿射线方狗平花个跄，得出新抛物线的顶点坐标为1+2+)网3号 对称轴 为直线x=3,设H3,h),直线x=3交x轴于点M,分两种情况： ①当点H在x轴上方时，②当点H在x轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可. 85/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 ()求抛物线的表达式： (2)如图1，点E是抛物线顶点，P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作PR∥y轴交直线BD于点R,过 点p作直线0的垂线交0于点p:点M、N为，轴上们时点（点y在点N的上方》，且N一启当 △PRQ的周长取得最大值时，求PM+MN+NE的最小值； (3)如图2，把抛物线沿射线D6的方向平移2个单位得到新抛物线y,点1在新抛物线y的对称轴上，过 点H作直线BD的平行线，交x轴于点G,连接HA.若∠HAO=2∠HGO,直接写出所有符合条件的点 H的坐标. 【答案】0y=式+方+2 (2)PM+MN+NE= 2,15 216 【分析】(1)由待定系数法即可求解 (2)设直线BD的表达式为y=mx+n,求出表达式，当PR最大时，△PRQ的周长最大，设 2 周长最大，得P裙)作pWPW:我取pW=Py,连接pE户NE三点共接时pN+E数水 ®由抛物线沿射线方狗平花个跄，得出新抛物线的顶点坐标为1+2+)网3号 对称轴 为直线x=3,设H3,h),直线x=3交x轴于点M,分两种情况： ①当点H在x轴上方时，②当点H在x轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可. 85/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：把A-2,0),B4,0)代入y=a2+bx+2, 「4a-2b+2=0 得16a+4b+2=0' 1 a=-1 4 解得 1 b=2 1 抛物线的表达式为y= 4++2: (2)解：设直线BD的表达式为y=mr+n, 4m+n=0 把B4,0,D0,-3代入y =m+n得 n=-3 3 m= 4 解得： n=-3 直线BD的表达式为y 43, OB=4,OD=3, ..BD=OB2+OD2=5, .sin∠ODB OB 4 BD5,Cos∠OBD= OD 3 BD 5' PR∥y轴， .∠PRD=∠ODB, sin∠PRD=4_Pg 5 PR' cos∠OBD=Rg-3 PR 5' RPR. .C.mo-PR+PQ+RQ-12pR, 当PR最大时，△PRO的周长最大， 设Pn寸++.则n-月 限-p+P- -44 P+5 86/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：把A-2,0),B4,0)代入y=a2+bx+2, 「4a-2b+2=0 得16a+4b+2=0' 1 a=-1 4 解得 1 b=2 1 抛物线的表达式为y= 4++2: (2)解：设直线BD的表达式为y=mr+n, 4m+n=0 把B4,0,D0,-3代入y =m+n得 n=-3 3 m= 4 解得： n=-3 直线BD的表达式为y 43, OB=4,OD=3, ..BD=OB2+OD2=5, .sin∠ODB OB 4 BD5,Cos∠OBD= OD 3 BD 5' PR∥y轴， .∠PRD=∠ODB, sin∠PRD=4_Pg 5 PR' cos∠OBD=Rg-3 PR 5' RPR. .C.mo-PR+PQ+RQ-12pR, 当PR最大时，△PRO的周长最大， 设Pn寸++.则n-月 限-p+P- -44 P+5 86/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当p=一2时，PR最大，此时△PRQ的周长最大， PR +*2 16 p-2） (2'16 1-2- 4 x+ 1 的顶点的坐标为 y=一 x+2 4 E 2 作P'N∥PM,截取P'N=PM,连接P'E, D R P281即P2》 .PM+MN+NE P'N+MN+NE, MN=15 , 若使PM+N+NE最小，则PN+NE最小即可， .P'N+NE Z P'E, ∴.P',N,E三点共线时P'N+NE最小， ..P'N+NE=P'E .PM+MN+NE= 3V2,15 2161 (3)解：把驰物线沿射线D3方向平移个单位，相当于向上平移号号-个单位，向右平移号2个 533 单位， 87/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当p=一2时，PR最大，此时△PRQ的周长最大， PR +*2 16 p-2） (2'16 1-2- 4 x+ 1 的顶点的坐标为 y=一 x+2 4 E 2 作P'N∥PM,截取P'N=PM,连接P'E, D R P281即P2》 .PM+MN+NE P'N+MN+NE, MN=15 , 若使PM+N+NE最小，则PN+NE最小即可， .P'N+NE Z P'E, ∴.P',N,E三点共线时P'N+NE最小， ..P'N+NE=P'E .PM+MN+NE= 3V2,15 2161 (3)解：把驰物线沿射线D3方向平移个单位，相当于向上平移号号-个单位，向右平移号2个 533 单位， 87/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 新地骑线偷顶点坐标为+2号引，号》 .对称轴为直线x=3, 设H(3,h),直线x=3交x轴于点M, ①当点H在x轴上方时， 如图，当HG∥BD时， G ∠HGO=∠DBO,∠HAO=2∠HGO, :∠HAO=∠HGO+∠AHG=2∠HGO, ∴∠AHG=∠HGO, ∴.AG=AH, ,tan∠DBO= OD 3 OB 4' .∴tan∠HG0= HM 3 GM 4' A-2,0,M(3,0), .AM=5, :.AG=GM-AM=4h-5=AH, 在Rt△AHM中AH2=HM2+AM2, -5)-ks 2 4=0(舍去)，4=120 7 9) ②当点H在x轴下方时，如图， 88/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 新地骑线偷顶点坐标为+2号引，号》 .对称轴为直线x=3, 设H(3,h),直线x=3交x轴于点M, ①当点H在x轴上方时， 如图，当HG∥BD时， G ∠HGO=∠DBO,∠HAO=2∠HGO, :∠HAO=∠HGO+∠AHG=2∠HGO, ∴∠AHG=∠HGO, ∴.AG=AH, ,tan∠DBO= OD 3 OB 4' .∴tan∠HG0= HM 3 GM 4' A-2,0,M(3,0), .AM=5, :.AG=GM-AM=4h-5=AH, 在Rt△AHM中AH2=HM2+AM2, -5)-ks 2 4=0(舍去)，4=120 7 9) ②当点H在x轴下方时，如图， 88/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时MH=-h, 作A-2,0)关于直线x=3的对称点A'8,0),连接AH, ∴.AH=AH, .∠HAO=∠HAO, HG∥BD, ∴.∠HGO=∠DBO, ∠HAO=2∠HGO,∠HAO=∠HGO+∠A'HG, ∴.∠A'HG=∠HGO, ∠AG=A'H, 圆@可得MG=-3,M=M53 16=h=音-5， 在Rt△AMH中A'H2=A'M2+MH2, -到-5+-， 4=0（舍去)，，=120 7 综上所，点，的标为3”）1”) 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决 相关问题， 19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 4+hr+C与直线4B交于点A20,B0,3到·直线BC经 89/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时MH=-h, 作A-2,0)关于直线x=3的对称点A'8,0),连接AH, ∴.AH=AH, .∠HAO=∠HAO, HG∥BD, ∴.∠HGO=∠DBO, ∠HAO=2∠HGO,∠HAO=∠HGO+∠A'HG, ∴.∠A'HG=∠HGO, ∠AG=A'H, 圆@可得MG=-3,M=M53 16=h=音-5， 在Rt△AMH中A'H2=A'M2+MH2, -到-5+-， 4=0（舍去)，，=120 7 综上所，点，的标为3”）1”) 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决 相关问题， 19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 4+hr+C与直线4B交于点A20,B0,3到·直线BC经 89/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点C(-4,0). 备用图 ()求该抛物线的函数表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥BC于点M,作PV⊥AB于点N,求 5PM-V13PN的最大值及此时点P的坐标： (3)将抛物线沿射线BA方向平移V13个单位长度得到新抛物线y',点D为平移后的抛物线y'与x轴负半轴 的交点，将点D向下平移一个单位得到点E,在直线AE上确定一点Q,使得∠BAE=2∠BQA,请直接写 出所有符合条件的点Q的坐标， 【答案】(1)y=-x2-x+3 4 (2)5PM-V13PW最大值为6，点P的坐标为(-2,4) 34+4V221V221 -6-4V221-√221-10 3) 17 17 或 17 17 【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可： (2)求出直线AB和BC的解析式，然后过点P作PG⊥x轴，交BC,AB于点G,F,设点P的坐标为 表示出 PM'PV的值，利用三角函数计算5PM-3PN即可解题： (3)根据题意得到即抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y,即可得到y的解析式， 然后求出点E的坐标，当点Q在点A右侧时，根据QA=AB计算；当点Q在点A左侧时，根据对称性计算 解题 【详解】（少解：把利2,0：B0,3代入=+ax+e可得： -1+2b+c=0 b=-1 c=3 ，解得{c=3 4-x+3: 12 ,抛物线的函数表达式为y= (2)解：设直线AB的解析式为y=mx+n,把A(2,0),B(0,3)代入得： 90/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点C(-4,0). 备用图 ()求该抛物线的函数表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥BC于点M,作PV⊥AB于点N,求 5PM-V13PN的最大值及此时点P的坐标： (3)将抛物线沿射线BA方向平移V13个单位长度得到新抛物线y',点D为平移后的抛物线y'与x轴负半轴 的交点，将点D向下平移一个单位得到点E,在直线AE上确定一点Q,使得∠BAE=2∠BQA,请直接写 出所有符合条件的点Q的坐标， 【答案】(1)y=-x2-x+3 4 (2)5PM-V13PW最大值为6，点P的坐标为(-2,4) 34+4V221V221 -6-4V221-√221-10 3) 17 17 或 17 17 【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可： (2)求出直线AB和BC的解析式，然后过点P作PG⊥x轴，交BC,AB于点G,F,设点P的坐标为 表示出 PM'PV的值，利用三角函数计算5PM-3PN即可解题： (3)根据题意得到即抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y,即可得到y的解析式， 然后求出点E的坐标，当点Q在点A右侧时，根据QA=AB计算；当点Q在点A左侧时，根据对称性计算 解题 【详解】（少解：把利2,0：B0,3代入=+ax+e可得： -1+2b+c=0 b=-1 c=3 ，解得{c=3 4-x+3: 12 ,抛物线的函数表达式为y= (2)解：设直线AB的解析式为y=mx+n,把A(2,0),B(0,3)代入得： 90/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2m+n=0,解得： 1m= 2, n=3 n=3 心直线4B的解析武为y= 2+3, 同理可得直线B℃的解析式为：) x+3, 3 y=-x+3 4 x=-7 解方程组 1 得〔x=0? 9 y=- x2-x+3 y=- 4 y=3 A2,0),B(0,3),C(-4,0), ∴.0A=2,0B=3,0C=4, ∴.BC=VOB2+0C=V32+42=5,AB=VOB2+0A2=32+22=V13, c0瓷-手m2ia0-0希后， 过点P作PG⊥x轴，交BC,AB于点G,F, 则FG∥OB .∠PGM=∠CBO,∠PFN=∠ABO, 设点P的坐标为-+3-7<x<0,则子+3.F-子+ .PM=PG·sin∠PGM=PG·sin∠OBC= 41 54-4x PW=PF.sin∠PFW=PG.sin∠OBA=2E1x-Lx 1342x 5w-Ev5{4-子而24--6+2+6， 3 :2 0 .当x=-2时，5PM-V13PWN最大，最大为6，这时点P的坐标为(-2,4)： 91/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 2m+n=0,解得： 1m= 2, n=3 n=3 心直线4B的解析武为y= 2+3, 同理可得直线B℃的解析式为：) x+3, 3 y=-x+3 4 x=-7 解方程组 1 得〔x=0? 9 y=- x2-x+3 y=- 4 y=3 A2,0),B(0,3),C(-4,0), ∴.0A=2,0B=3,0C=4, ∴.BC=VOB2+0C=V32+42=5,AB=VOB2+0A2=32+22=V13, c0瓷-手m2ia0-0希后， 过点P作PG⊥x轴，交BC,AB于点G,F, 则FG∥OB .∠PGM=∠CBO,∠PFN=∠ABO, 设点P的坐标为-+3-7<x<0,则子+3.F-子+ .PM=PG·sin∠PGM=PG·sin∠OBC= 41 54-4x PW=PF.sin∠PFW=PG.sin∠OBA=2E1x-Lx 1342x 5w-Ev5{4-子而24--6+2+6， 3 :2 0 .当x=-2时，5PM-V13PWN最大，最大为6，这时点P的坐标为(-2,4)： 91/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：y=- -x+3=x+2+4, 由题意可得：抛物线沿射线BA方向平移√3个单位长度得到新抛物线y'，即抛物线向右平移2个单位， 再向下平移3个单位得到抛物线y, 平移后=+2-2明+4-9=子+1， 令y=0,则-4x+1=0, 解得：x=-2,x2=2, 点D的坐标为-2,0)， :将点D向下平移一个单位得到点E, 点E的坐标为(-2，-)， 11 直线4的解析式为y=4一2 11） 设点0的坐标为x4一2)： 如图，当点Q在点A右侧时，由于∠BAE=2∠BQA, 则∠ABQ=∠AQB 「0A=AB' 解得：x= 34+4W22134-4V221 x= 17 17 (舍去)· 34+4V221V221 点Q的坐标为 17 17 92/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：y=- -x+3=x+2+4, 由题意可得：抛物线沿射线BA方向平移√3个单位长度得到新抛物线y'，即抛物线向右平移2个单位， 再向下平移3个单位得到抛物线y, 平移后=+2-2明+4-9=子+1， 令y=0,则-4x+1=0, 解得：x=-2,x2=2, 点D的坐标为-2,0)， :将点D向下平移一个单位得到点E, 点E的坐标为(-2，-)， 11 直线4的解析式为y=4一2 11） 设点0的坐标为x4一2)： 如图，当点Q在点A右侧时，由于∠BAE=2∠BQA, 则∠ABQ=∠AQB 「0A=AB' 解得：x= 34+4W22134-4V221 x= 17 17 (舍去)· 34+4V221V221 点Q的坐标为 17 17 92/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个y B H K E 当点Q在点A左侧时，则BO=BQ, 设直线AE交y轴于点H,过B作BK⊥AE于点K, 则点：坐标为Q》. BH=0B+0H-3+1-1.AH-OH+0 2 22 2 5.m=BHOA-4H-BK, 1 2 ×2 ..BK BHOA 1417 AH √17 17 2 根据点Q的解法同理可得点，的坐标 -6-4V221-√221-10 根据 K=KQ可得点。 的坐标为 17 17 34+4V221V221 6-4W221-√221-10 ∴.点的坐标为 17 17 或 17 1 【点晴】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与线段和特殊三角形的综合， 勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2·+r+c与轴交于点A-1,0),B（点4在点g的左侧)， 与y轴交于点C(0,-2),连接BC,过点A作BC的平行线交抛物线于点D 93/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个y B H K E 当点Q在点A左侧时，则BO=BQ, 设直线AE交y轴于点H,过B作BK⊥AE于点K, 则点：坐标为Q》. BH=0B+0H-3+1-1.AH-OH+0 2 22 2 5.m=BHOA-4H-BK, 1 2 ×2 ..BK BHOA 1417 AH √17 17 2 根据点Q的解法同理可得点，的坐标 -6-4V221-√221-10 根据 K=KQ可得点。 的坐标为 17 17 34+4V221V221 6-4W221-√221-10 ∴.点的坐标为 17 17 或 17 1 【点晴】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与线段和特殊三角形的综合， 勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2·+r+c与轴交于点A-1,0),B（点4在点g的左侧)， 与y轴交于点C(0,-2),连接BC,过点A作BC的平行线交抛物线于点D 93/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P为直线BC下方抛物线上一点，PE LAD于点E,过点P作y轴的平行线交BC于点F,交直线AD于 点G:求PG EG的最大值及此时点的坐标； 2 (3)将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过BC的中点K,点M为平移后的抛物线上一点，且 ∠ADM=2∠ABC,直接写出所有符合条件的点M的坐标. 【路案10=方-2 (2)最大值为4，此时点p的坐标为(2，-3列 3)3-25,4+5或9-26,25-116) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； EG OC (2)先求出点g的坐标为4,0)，导角证明∠4BC=∠EPG'则可证明PEGABOC'得到PGBC, 进一步可求出EG=5, 5PG.则PG-5 EG-TPG:求出直线C解折武为2，进而可得直酸 的农达式为y+设Pm--2小则》 11 5 4 得到PG三2m+2m则 4 +4,据此可得答案； 1(-3-2a (3)求出C的中点x的坐标为2，-1)·设新抛物线的表达式为y=2x一2 25 +a.则可求出新 BC 8 地物线的表达式为y引：号：在，箱上取一点Q02连接0可证明 ∠CBQ=2∠ABC· 当 M在AD上方的点M1处时，则∠ADM,=∠CBQ.可证明DM∥B2.则BQ所在直线的表达式为 94/170 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P为直线BC下方抛物线上一点，PE LAD于点E,过点P作y轴的平行线交BC于点F,交直线AD于 点G:求PG EG的最大值及此时点的坐标； 2 (3)将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过BC的中点K,点M为平移后的抛物线上一点，且 ∠ADM=2∠ABC,直接写出所有符合条件的点M的坐标. 【路案10=方-2 (2)最大值为4，此时点p的坐标为(2，-3列 3)3-25,4+5或9-26,25-116) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； EG OC (2)先求出点g的坐标为4,0)，导角证明∠4BC=∠EPG'则可证明PEGABOC'得到PGBC, 进一步可求出EG=5, 5PG.则PG-5 EG-TPG:求出直线C解折武为2，进而可得直酸 的农达式为y+设Pm--2小则》 11 5 4 得到PG三2m+2m则 4 +4,据此可得答案； 1(-3-2a (3)求出C的中点x的坐标为2，-1)·设新抛物线的表达式为y=2x一2 25 +a.则可求出新 BC 8 地物线的表达式为y引：号：在，箱上取一点Q02连接0可证明 ∠CBQ=2∠ABC· 当 M在AD上方的点M1处时，则∠ADM,=∠CBQ.可证明DM∥B2.则BQ所在直线的表达式为 94/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分+2，求0或则D两在直按达式为y-一方号令+号-是 解得x=3+2√5（舍去）或x=3-25,则M3-2W5,4+V5:当M在4D下方的点M,处时，可证明 ∠ADM1=∠ADM2,则点M1关于AD的对称点R在直线DM2上：设R(P,9,则M,R的中点坐标为 3-2W3+p4+V3+9 3-2W3+p4+V3+q 2 根据点 2 2 在直线上，可得 AD =29+3+4V3由对称性 可8M-0则p-gg--13-25-4+-4,都网g45成g=2-5合 去)，则p=23-25,R23-254-1 5 5,5 同理可得。所在直线的表达式为y=八x-49.令 DR 2 2 号-9-引-号解得=9+26合去)成，=9-26则M9-26,25- 【详解】(D解：将点4-，0·C0,-2代入y=r++e -b+c=0 得2 c=-2, 3 b= 解得 2 c=-2, 2x-2: 。 抛物线的表达式为y=x_ 2 2 2)解，令 1 x-2=0 2 解得x=-1或x=4, 点B的坐标为4,0). AD∥BC, .∠GAB=∠ABC, PG∥y轴，PE⊥AD, ∴.∠AFG=90°=∠PEG, ∴.∠GAB+∠AGP=90°，∠EPG+∠AGP=90°， ∴.∠GAB=∠EPG, 95/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分+2，求0或则D两在直按达式为y-一方号令+号-是 解得x=3+2√5（舍去）或x=3-25,则M3-2W5,4+V5:当M在4D下方的点M,处时，可证明 ∠ADM1=∠ADM2,则点M1关于AD的对称点R在直线DM2上：设R(P,9,则M,R的中点坐标为 3-2W3+p4+V3+9 3-2W3+p4+V3+q 2 根据点 2 2 在直线上，可得 AD =29+3+4V3由对称性 可8M-0则p-gg--13-25-4+-4,都网g45成g=2-5合 去)，则p=23-25,R23-254-1 5 5,5 同理可得。所在直线的表达式为y=八x-49.令 DR 2 2 号-9-引-号解得=9+26合去)成，=9-26则M9-26,25- 【详解】(D解：将点4-，0·C0,-2代入y=r++e -b+c=0 得2 c=-2, 3 b= 解得 2 c=-2, 2x-2: 。 抛物线的表达式为y=x_ 2 2 2)解，令 1 x-2=0 2 解得x=-1或x=4, 点B的坐标为4,0). AD∥BC, .∠GAB=∠ABC, PG∥y轴，PE⊥AD, ∴.∠AFG=90°=∠PEG, ∴.∠GAB+∠AGP=90°，∠EPG+∠AGP=90°， ∴.∠GAB=∠EPG, 95/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABC=∠EPG, ∠PEG=90°=∠BOC, ∴△PEG∽△BOC, EG OC PG BC' C(0,-2,B(4,0), ∴.OC=2,OB=4, :BC=V0C2+0B2=25, :0c=5ac. 5 .EG= _PG, 5 .PG5EG=PG-5x5PG-PG 2 设直线BC解析式为y=x+b', [4k+b=0 6=2 1 k= 2 b'=-2 直线BC解断式为y方-2。 BC∥AD, 设直线4D的表达式为y=2x+m, 直线AD过点A(-1,0), 1 ∴.0= 2 +n, 1 .n= 2 1 1 ,直线AD的表达式为y=2x+ 设mr-m-2小则qm+》 2m2+2m+ 96/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABC=∠EPG, ∠PEG=90°=∠BOC, ∴△PEG∽△BOC, EG OC PG BC' C(0,-2,B(4,0), ∴.OC=2,OB=4, :BC=V0C2+0B2=25, :0c=5ac. 5 .EG= _PG, 5 .PG5EG=PG-5x5PG-PG 2 设直线BC解析式为y=x+b', [4k+b=0 6=2 1 k= 2 b'=-2 直线BC解断式为y方-2。 BC∥AD, 设直线4D的表达式为y=2x+m, 直线AD过点A(-1,0), 1 ∴.0= 2 +n, 1 .n= 2 1 1 ,直线AD的表达式为y=2x+ 设mr-m-2小则qm+》 2m2+2m+ 96/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PG-5EG=PG=×-m2+2m+5 2^(21 2 1 40,0<m<4 m2时，PG5G有最大值，最大值为此时点，的坐标为12， 当 2 (3)解：C0,-2B4,0,, BC的中点K的坐标为(2，-I. :抛物线沿射线CB方向平移，且OB=4,OC=2, :设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移2a个单位长度(a>0). “原物线解析式为-2引)。 。 线的表达式为2小- 新抛物线经过BC的中点K(2,-1), 1 .-1= 225 2-3-2a 2 +a, 2 8 解得a=1或a=-1(不符合题意，舍去)， 新抛物线的表达式为y马名。 如图，在y轴上取一点Q(0,2),连接BQ, ∴.00=0C. :OB⊥C2, .∠CBQ=2LABC. 如图，当M在AD上方的点M处时， :∠ADM1=2∠ABC, .∠ADM1=∠CBQ 记AD,BO交于点N, AD川BC, .∠ANQ=∠CBQ, ,∠ADM1=∠ANQ, .DM∥BQ. 97/170 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PG-5EG=PG=×-m2+2m+5 2^(21 2 1 40,0<m<4 m2时，PG5G有最大值，最大值为此时点，的坐标为12， 当 2 (3)解：C0,-2B4,0,, BC的中点K的坐标为(2，-I. :抛物线沿射线CB方向平移，且OB=4,OC=2, :设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移2a个单位长度(a>0). “原物线解析式为-2引)。 。 线的表达式为2小- 新抛物线经过BC的中点K(2,-1), 1 .-1= 225 2-3-2a 2 +a, 2 8 解得a=1或a=-1(不符合题意，舍去)， 新抛物线的表达式为y马名。 如图，在y轴上取一点Q(0,2),连接BQ, ∴.00=0C. :OB⊥C2, .∠CBQ=2LABC. 如图，当M在AD上方的点M处时， :∠ADM1=2∠ABC, .∠ADM1=∠CBQ 记AD,BO交于点N, AD川BC, .∠ANQ=∠CBQ, ,∠ADM1=∠ANQ, .DM∥BQ. 97/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 同理可得B0所在直线的表达式为y=~2x+2, 1 .可设DM,所在直线的表达式为y=-2r+d, 1.1123 222-2, 令2 解得x=5或x=-1, 11 将x=5代入y=2+2,得y=3 .D5,3. 将D5,3到代入y= 2+d,得d= 2, 1,11 :DM所在直线的表达式为y=2x+ 解得x=3+2W3(舍去)或x=3-25 将=-2N5代人y日.种，45 M,3-2W5,4+V3: 如图，当M在AD下方的点M2处时， M 、W D B M2 R ,∠ADM2=2∠ABC ∠ADM1=∠ADM2, 点M关于AD的对称点R在直线DM2上. 设R(p,q, :M,R的中点坐标为 3-2W3+p4+3+9 2 98/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 同理可得B0所在直线的表达式为y=~2x+2, 1 .可设DM,所在直线的表达式为y=-2r+d, 1.1123 222-2, 令2 解得x=5或x=-1, 11 将x=5代入y=2+2,得y=3 .D5,3. 将D5,3到代入y= 2+d,得d= 2, 1,11 :DM所在直线的表达式为y=2x+ 解得x=3+2W3(舍去)或x=3-25 将=-2N5代人y日.种，45 M,3-2W5,4+V3: 如图，当M在AD下方的点M2处时， M 、W D B M2 R ,∠ADM2=2∠ABC ∠ADM1=∠ADM2, 点M关于AD的对称点R在直线DM2上. 设R(p,q, :M,R的中点坐标为 3-2W3+p4+3+9 2 98/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点 3-2N5+p4+V5+q 2 在直线上， AD :3-25+2+1=4+5+g 4 2 2 .p=2g+3+4W3: 由对称性可得DM=DR, .DM2=DR2, (p-52+g-3)2=3-23-5+4+V5-3, (2g+3+45-+g-3)2=3-25-5+4+5-3°， .5g2+163-149+41-263=0, [5g-4-15][9-2-5]=0, 解得945成，2-5（合去》， 5 .p= 23-2√5 5 R 23-2√34-11V5 5， 5 同理可得 R所在直线的表达式为y=号9 2 解得x=9+2V6(舍去)或x=9-26. 将x=9-26代入y= x-49 2 r-2,得y=25-1N6 M,(9-26,25-16. 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为3-2V5,4+V5)或9-2V6,25-1V6) ●)类题点拨 图形中有明显的等腰可构造等腰构造等腰三角形 99/170 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点 3-2N5+p4+V5+q 2 在直线上， AD :3-25+2+1=4+5+g 4 2 2 .p=2g+3+4W3: 由对称性可得DM=DR, .DM2=DR2, (p-52+g-3)2=3-23-5+4+V5-3, (2g+3+45-+g-3)2=3-25-5+4+5-3°， .5g2+163-149+41-263=0, [5g-4-15][9-2-5]=0, 解得945成，2-5（合去》， 5 .p= 23-2√5 5 R 23-2√34-11V5 5， 5 同理可得 R所在直线的表达式为y=号9 2 解得x=9+2V6(舍去)或x=9-26. 将x=9-26代入y= x-49 2 r-2,得y=25-1N6 M,(9-26,25-16. 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为3-2V5,4+V5)或9-2V6,25-1V6) ●)类题点拨 图形中有明显的等腰可构造等腰构造等腰三角形 99/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 坐标系中已知多个点坐标正切二倍角公式 题目出现对称、折叠字眼对称翻折法 出现圆或直角三角形背景几何转化法（等角） 综合实战演练 模块三 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一22+x+c与轴相交于A”B两点，交y轴于点C,其中 点A(-4,O),抛物线的对称轴为直线x=-1,连接AC,BC. B B 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点B作BD∥AC交抛物线于点D,连接DP交线段AC于 点E,连接CP,BE,点M,N分别是直线AC和直线BD上的动点，且MN⊥BD,连接PM,当四边形 BCE面积城大时，求点，的坐标及PM+W+号切的龄小值 )在(2)中四边形CPE面积取得最大值条件下，将抛物线y+bx+C沿4C方向平移25个单( 长度得到新抛物线y,T为新抛物线y上一动点，Q为点P的对应点，连接PQ,PO,BT，若 ∠TBA=∠OPQ-∠ACO,请直接写出所有符合条件的点T的横坐标，并写出其中一个点的求解过程。 【答案】0y=式-x+4 2 100/170 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 坐标系中已知多个点坐标正切二倍角公式 题目出现对称、折叠字眼对称翻折法 出现圆或直角三角形背景几何转化法（等角） 综合实战演练 模块三 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一22+x+c与轴相交于A”B两点，交y轴于点C,其中 点A(-4,O),抛物线的对称轴为直线x=-1,连接AC,BC. B B 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点B作BD∥AC交抛物线于点D,连接DP交线段AC于 点E,连接CP,BE,点M,N分别是直线AC和直线BD上的动点，且MN⊥BD,连接PM,当四边形 BCE面积城大时，求点，的坐标及PM+W+号切的龄小值 )在(2)中四边形CPE面积取得最大值条件下，将抛物线y+bx+C沿4C方向平移25个单( 长度得到新抛物线y,T为新抛物线y上一动点，Q为点P的对应点，连接PQ,PO,BT，若 ∠TBA=∠OPQ-∠ACO,请直接写出所有符合条件的点T的横坐标，并写出其中一个点的求解过程。 【答案】0y=式-x+4 2 100/170命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01二次函数综合题角度问题 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴龈题型专练 题型01角相等 题型02两角互余 题型03角的和差关系 题型04角的倍数关系 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、角相等的解题方法： 1.构造全等/相似：用边相等或比例找点。 2.利用锐角三角函数：tan值相等→斜率关系（一次函数k值）。 3等腰/平行：角平分线+平行线；以己知角顶点作等腰。 二、两角互余的解题方法： 1.正切乘积为1 2.构造“一线三直角”全等/相似 互余经常出现在“K型图”中： 过直角顶点作水平、竖直线，可得两个直角三角形相似（若对应边相等则全等）。当出现“等腰直角三角 形”时，两个锐角互余。可以构造以这两角为锐角的直角三角形，利用边比例关系列方程。 3.转化为垂直关系 当两个角分别是某两条直线的倾斜角（或倾斜角的补角）时，可直接用垂直关系。 4.转化为等角关系 利用“同角或等角的余角相等”： 可通过补角或作垂线，将互余条件转化为两个角相等，再用常规等角方法求解。 三、角的和差关系的解题方法： 1.将目标角拆解为两个可计算正切的角之和或差。 2.利用正切的和差公式，用已知角的正切求出目标角的正切。 3.再结合点坐标，用“一线三垂直”等方法构造出目标角的正切表达式，建立方程。 1/21 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 四、角的倍关系的解题方法： 1.构造等腰三角形 利用“三角形外角等于不相邻两内角和”或“等边对等角”。 2二倍角：作二倍角的平分线，或构造外角等于另一个角。 3半角：作半角的二倍角，或翻折半角顶点构造等腰。 4.三角函数法（二倍角公式） 5.转化为等角关系（共圆或相似） 圆周角定理：同弧所对圆心角是圆周角的2倍。若有二倍角，可尝试构造外接圆，转化为圆心角与圆周角。 直角三角形斜边中线：等腰三角形顶角的外角等于底角2倍。相似三角形：将倍角关系放入两三角形中， 若对应角成倍数，通常需比例或勾股列方程。 压轴题型专练 模块二 题型01角相等 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+ca≠0)与x轴分别交于A(-4,0)、B2,0),与y轴交 于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD∥y轴交AC于点D,过D作DE∥BC交x轴 于点E,线段MN在直线AC上移动且MN=2V2,当PD-25DE取得最大值时，求此时点P的坐标及 △PMN的周长的最小值： (3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移3√2个单位得到新抛物线y,点C的对应点为点H,平移后的新抛 物线y的对称轴上有一点F(m,-2),点G为新抛物线y上一动点，若∠CHG=∠CAF,请直接写出点G的 坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程 2/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4a≠0)与x轴交于点A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E,过点P作PF∥y轴交AD于 点F,点M,N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，MW=10,- 21 连接PN,MH,当 PF+5PE取得最大值时，求P点的坐标及PN+MH的最小值： (3)将抛物线y=ax2+bx-4a≠0)沿射线BC方向平移√5个单位长度，得到新抛物线片，过点A作 AR⊥BC于点R,点Q是新抛物线y上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点Q的横 坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程 3.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A,点B(A在B的左侧)，与y轴相交于点C,A、B的坐标 分别为：（-2,0)、（4,0)，连接AC,BC C 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ⊥BC,交直线BC于点Q,过点Q作OM⊥y 轴，交y轴于点从点K为直线4C上一动点，当PQ-M0最大时，求PK+2 15 AK的最小值： 13 间将该抛物线沿射发BC方向平移瓷个单位，点E为平移后抛物线对形维上一动点，造接B,CE,当 ∠AEC=∠ACO时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程， 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴 3/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 交于C(0,4 D OB A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴，交AC于D,E为直线BC上一动点，连接PE, 当PD取得最大值时，求PE+叵BE的最小值， 17 (3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y经过点M(-4,4)及原点0，点Q为平移后新抛物线上一动 点，已知点N(-2,0),当∠OMN=∠QMC时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴交于点C, 连接AC,若tan ZCA0=2. B (1)求抛物线的解析式： (②)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过点P作PN⊥BC于点N, H为直线BC上的一动点。当PM+5PN取得最大值时，求AH-PH的最大值； 2 (3)将该抛物线沿CA方向平移√5个单位长度得到得新抛物线y,Q为新抛物线y上的一个动点.当 ∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点Q的坐标. ●)类题点拨 边上找点→一线三等角 4/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 等腰提示→距离相等（列平方方程避根号） 出现分角→角平分线性质 平行条件→平行线+等角转换 题型02两角互余 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B两点(A在B的左侧)， 与y轴交于点C,己知ABC的面积为3. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作PH上x轴，垂足为H,作PQ∥AC交 BC于点Q,点G是y轴上的动点，连接QG,GH,当线段PQ长度取得最大值时，求QG+GH的最小值： (3)将该抛物线沿射线AC方向平移，使得新抛物线经过点C,且与直线BC交于另一点D.点K为新抛物线 上的一个动点，当∠CDK+∠CAB=90°时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的 求解过程 7.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=x2+bx+c经过A-8,0)和B(2,0)两点，与y轴交于点C, 4 连接AC. 5/21 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥AC于Q,PD∥AC交y轴于点D,求 5 PO+2V5PD的最大值及此时点P的坐标； 5 (3)将该抛物线沿射线AC方向平移25个单位长度，点R为平移后的抛物线上一动点，使得 ∠ABR+∠AC0=90°，请直接写出符合条件的点R的横坐标 8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-x+c与x轴交于A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,如图所示.点D为抛物线的顶点，点E 5 是抛物线上的一点。 O 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M,PN∥x轴交直线AE于点 N,求45PM+PV的最大值及此时点P的坐标： 5 ③)将抛物线沿B方向平移35个单位长度得到新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的 2 对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF.当LD'BF+∠FBG=90°时，请直接写出所有符合条件的点 G的坐标. 9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0,-4),点P在抛物 线上，连接BC,BP. 6/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1图 2图 (1)求抛物线的解析式： (②)如1图，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E,若∠BEP=45°，连接 CE,记△DCE的面积为S,△DBP的面积为S2,当2S,=S,时，求点P的坐标： (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴1与线段BC交于点G,当 LPBC+LCFG=90°时，求点P的横坐标. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+ca≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,且点A在点 B的左侧，与y轴交于点C(0,5). 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，直线y=-x+2与x轴交于点D,与y轴交于点E,动点P为抛物线第一象限上的一点， PG⊥ED于点G,PH∥y轴交ED于点H,求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标： (3)如图2，连接AE，将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y,使平移后的新抛物线y经过点B, 新抛物线y与x轴的另一交点为点M,请问在新抛物线y上是否存在一点T,使得∠TMB+∠AE0=90°？ 若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由. ●)类题点拨 见互余，算正切（乘积为1) 有直角，构K字（一线三直角相似） 7/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 有直线，看垂直（斜率负倒数） ·多角时，互换成等角 题型03角的和差关系 1Ⅱ.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=子+x+c与x轴交于48.0、B(-2,0)两点，与y轴交 1 于点C,连接BC,AC. VA MN B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，直线CD交x轴于点D(2,0),点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线 CD于点H,在直线CD上取点Q,连接PO,使得HQ=PO,点M,N为x轴上的动点（点M在左，点N 右，且MN=2,连接CM,PN,当2POPH取最大值时，求P的坐标及CM+PW的最值 ⑧泥原指物线y=子女+加+c沿射找BC方平移25个单位长成，点F为新范物线上一动点并在对称 轴右侧，过点F作EF∥BC交新抛物线于点E,连接AF,AE,若∠AEF+∠FAE=90°+∠0OCA.请直接 写出所有符合条件的点F,并写出求解点F的其中一种情况的过程. 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+2与y轴交于点C,与x轴交于A1,0),B(3,0)两点， 点D为x轴负半轴上一点，且OD=OC,直线CD与抛物线交于另一点E. VA E G C H D B 图1 图2 8/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线CE下方抛物线上的一动点，过点P作PFy轴交CE于点F,过点P作PG∥x轴交 y轴于点G,点M,N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且MN=1,点H为直线CE上的一个动点， 连接PN,MH,当PF+PG取得最大值时，求PN+MN+MH的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，连接PC,将抛物线沿着PC的方向平移√10个单位得y,点Q是新抛物线 y的对称轴上的一个动点，当∠CQD+∠OCA=∠ECP时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中 一个Q点坐标的求解过程 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x轴于点A、C,交y轴于点B,其中 0C=4,0A=1. 图1 图2 (①)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD∥y轴交BC于点D,点M是x轴上一动点，点 N是BC上一动点.请求出当PD-√2CD取最大值时点P的坐标，及此时PM+MN+AN的最小值； (3)如图2，在(2)条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使新抛物线y经过点D.点 Q为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与x轴交于点H,过Q作EQ川OP交y轴的正半轴于点E,连接 AE,AQ.当∠AEQ-∠BOP=∠QAH时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的 坐标的求解过程。 14.在平面直角坐标系中，抛物线y=8+r+c(a≠0)交x轴于A-4,0),B(8,0)两点，交y轴于C,连 接AC,BC. 9/21 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y B C C 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,点E和点F是直 线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=√5，连接AF,EP,当PH有最大值时，求 AF+EF+EP的最小值； (3)将抛物线沿射线CB方向平移25个单位得新抛物线y,点Q是新抛物线y上的一点，连接QB,当 ∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标. 15.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(6,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，,连 接AC,BC 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交BC于点Q,点M是线段AB上一点，当PQ 最大时，求PM+0 AM的最小值. 10 (3)将抛物沿射线AC方向平移√10个单位长度，得到新抛物线片，点D坐标为(0，-6)，点N是新抛物线y对 称轴上一动点，当∠DNB=∠AC0+∠CB0时，直接写出所有符合条件的点N的坐标. )类题点拨 一个角太大→内部作小角（作差法） 10/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 两个小角太散→旋转在一起（构造全等） ·知道正切值→直接套公式（和差角公式） 想不到辅助线→先建系用向量夹角公式 题型04角的倍数关系 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点 C,点A的坐标是(-4,0)，抛物线的对称轴是直线x=一之 3 B 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (②)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直线AC相交于点 g.连接OP,线段0p与直线AC相交于点F,求兰F取得最大值时点P的坐标，当线段0C在)轴上湄 动（线段0C长度保持不变），连接PC,OB,求PC+C0+OB的最小值； (3)若点P是y轴左侧抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D.若∠OPD=2LCA0,请直接写出 所有符合条件的点P的横坐标，并写出求解点P的横坐标的其中一种情况的过程. 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A(-l,0),B两 点(A在B的左侧)，抛物线的对称轴是直线x=1,连接AC,BC. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD‖AC交BC于点D,点E,F为x轴上的 两个动点，点E在F的左侧，且EF=1,连接PE,PF.当线段PD的长度取得最大值时，求PE+PF的最 小值； 11/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得y,新抛物y交BC于点N,点 M是新抛物y上对称轴左侧的一个动点，点K在y的对称轴上，连接MN,MK,当∠NMK=2LAC0且 MN=MK时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),过点B的直线与y轴 交于点D(0,-3). 图1 图2 (①)求抛物线的表达式： (2)如图1，点E是抛物线顶点，P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作PR∥y轴交直线BD于点R,过点 P作直线BD的垂线交BD于点Q,点M,N为y轴上的动点（点M在点N的上方，且MN=5,当△PRO 16 的周长取得最大值时，求PM+MN+NE的最小值； (③)如图2，把抛物线沿射线DB的方向平移个单位得到新抛物线y,点H在新抛物线y的对称轴上，过点 H作直线BD的平行线，交x轴于点G,连接HA.若∠HAO=2∠HGO,直接写出所有符合条件的点H的 坐标 19.如图，在平面直角坐标系中，施物线y=+bx+c与直线4B交于点(2.0，B0,3小.直线8C经 过点C(-4,0). 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式； (②)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥BC于点M,作PN⊥AB于点N,求 12/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5PM-√3PN的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线BA方向平移√13个单位长度得到新抛物线y,点D为平移后的抛物线y与x轴负半轴的 交点，将点D向下平移一个单位得到点E,在直线AE上确定一点Q,使得LBAE=2LBQA,请直接写出 所有符合条件的点Q的坐标 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2+c+c与轴交于点A-1,0,B(点4在点B的左侧)， 与y轴交于点C(0,-2),连接BC,过点A作BC的平行线交抛物线于点D. B 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)P为直线BC下方抛物线上一点，PE⊥AD于点E,过点P作y轴的平行线交BC于点F,交直线AD于 点G.求PG-5EG的最大值及此时点P的坐标， 2 (3)将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过BC的中点K,点M为平移后的抛物线上一点，且 ∠ADM=2∠ABC,直接写出所有符合条件的点M的坐标， ●)类题点拨 图形中有明显的等腰/可构造等腰构造等腰三角形 坐标系中已知多个点坐标正切二倍角公式 题日出现对称、折叠字眼对称翻折法 出现圆或直角三角形背景几何转化法（等角） 综合实战演练 模块三 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+bx+c与x轴相交于A,B两点，交y轴于点C,其中点 13/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A(4,O),抛物线的对称轴为直线x=-1,连接AC,BC. y B D 备用图 (①)求该抛物线的表达式： (②)点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点B作BD∥AC交抛物线于点D,连接DP交线段AC于点 E,连接CP,BE,点M,N分别是直线AC和直线BD上的动点，且MN⊥BD,连接PM,当四边形 BCPE面积最大时，求点P的坐标及PM+MN+5ND的最小值， 2 1 (3)在(2)中四边形BCPE面积取得最大值条件下，将抛物线y=-二x2+bx+c沿AC方向平移2√2个单位 2 长度得到新抛物线y,T为新抛物线y上一动点，Q为点P的对应点，连接P口，PO,BT,若 ∠TBA=∠OPQ-∠ACO,请直接写出所有符合条件的点T的横坐标，并写出其中一个点的求解过程. 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于B,C(2,0)两点（点B在点C左侧)，且 0B=30C,与y轴交于点A,连接AB,AC. B (1)求抛物线解析式； (2)已知点P是直线AB上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点P作PQ∥y轴交AB于点Q,过点Q作 QD川AC交对称轴于点D,点E是对称轴上一点满足QE=QD,点F是对称轴上一动点，连接PF,当 PO+二ED取得最大值时，求点P的坐标及PF+CFD的最小值； 10 (3)在(2)中PQ+二ED取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx+3沿射线BA方向平移√5个单位长度得 6 14/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 到抛物线y,点P是点P的对应点，点K是新抛物线y上的一点，若LABC+∠CP'K=∠P'CB,请直接写 出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程， 3,如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点，与y轴交于点C, 2 1 抛物线的对称轴是直线x= 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点E是直线BC上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交BC与x轴分别为点F与点G,，点P,Q为 抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且PQ:3,连接EDED。当EF+)BG取得最大值时，求点 E的坐标及△EPQ周长的最小值； (③)在(2)中EF:8G取背最大值的条件下，将抛物线)=弓+x+c向右平移2个单位，向上平移3个 单位得到y,点H为点E的对应点，点M为y上的一动点，若∠HCM=∠CAB-∠ABC,请直接写出所有 符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程。 4.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,点C与 点E关于抛物线的对称轴对称， D 备用图 (①)求抛物线的表达式： (2)如图，抛物线的对称轴与AE交于点F，,线段AF在直线AE上移动，记为AF',点P为直线DE下方抛 物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交DE于点H,当线段PH的长度最大时，求△PA'F'周长的最小值： (3)在第(2)问的条件下，将抛物线沿射线EB方向平移√10个单位长度得到新抛物线y,新抛物线y与y轴 15/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 交于点G,点M为抛物线y上一动点.若LPGM=L0CA+45°，请直接写出所有符合条件的点M的坐标， 并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程. 5,如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 2 x2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0),两点，与y轴交于点 C(0,6,连接AC. M D E B 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (②)点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥BC交AC于点D,过点P作PE∥AC交x轴于 点E,M为y轴上一动点，连接PM,当4E+2CPD取得最大值时，求P点的坐标及PM+OM的最 5 小值： (3)将抛物线y= x2+bx+c沿AC方向平移22个单位长度，得到新抛物线片，新抛物线片与原抛物线交 于点Q,连接QC,点N是新抛物线片上一点，当∠CQN=∠ACB时，请直接写出所有符合条件的点N坐 标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， 6.如图1，己知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为 (-1,0),且抛物线对称轴为直线x=1. VA B B 图1 图2 图3 (I)求抛物线所对应的函数表达式； (②)如图2，连接BC,P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交BC于点M,作PF⊥y 轴交BC于点N,求△MPN的边MN上的高的最大值； (3)如图3，连接AC、BC,在抛物线上是否存在一点Q,使得∠ACO+∠QBC=45°，若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由. 16/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交 于点C. D (1)求抛物线的表达式： (②)连接AC、BC,在直线BC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点P作 PE⊥AC于点E,点M为直线AC上一动点，连接MD、MP,当2PD-√5PE取得最大值时，求点P的坐 标及△PDM的周长的最小值 (3)在(2)中2PD-√5PE取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4a≠0)沿射线AC方向平移√5个 单位长度得到抛物线y,直线BC上有一动点N,射线PN与抛物线y交于点Q,若LPND=LACO，请直 接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程. 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x++C与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C,其中A1,0,C(0,-5). 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PQ∥x轴，交直线BC于点Q.点M是抛物线对称轴 上的一动点，连接PM,BM.当PO取得最大值时，求MB-MP的最大值： (3)将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使抛物线y与射线BC交于C,D两点.点K为抛物线 y上的一动点，当∠KDC+∠ACO=45时，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐 标的其中一种情况的过程. 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A-4,0),B两点，与y轴交于点 17/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C(0,-2,抛物线的对称轴是直线x=-3 D (①)求该抛物线的解析式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接OP与直线AC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 点（点D在点E的上方），且DE=2,连接DP,AB.当巴取得最大值时，求点P的坐标及 001 PD+DE+AE的最小值： ③)在(2)中9取得最大值的条件下，将抛物线y=ar'+br+c(a≠0)沿射线AC平移5个单位长度得到 00 新抛物线y,点G为点A的对应点，连接PG,PC,BG,点M为新抛物线y上的动点.若 ∠GBM=∠BAG+∠CPG-45°，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其 中一种情况的过程， 0.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y三r产+x+c与x轴交于点A-2,0，B4,0,交y轴于点C一 VA (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作PM⊥BC于点M,过点P作x轴的平行线交抛物线于 点，E,F为y箱上的动点，E在F的下方，满足EF之连接8B,PF,当2EPM+PN取得最大值时， 求PF+EF+BE的最小值； (3)在(2)成立的情况下，将抛物线沿着射线AC方向平移√5个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动 点，Q点坐标为 连接PQ,当∠PQB=∠QBK时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的 其中一种情况的过程。 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于点 18/21 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC交于点 E,连接BE、BP,当△PBE面积最大时，求点P的坐标： (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新 抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QBA=∠OPP'-∠BAC时，直接写 出所有符合条件的点Q的坐标. 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A,B(2,0)两点，与y轴交于点 C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD. MN 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E,过点P作PF∥y轴交AD 于点F,点M,N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，MN=1,HO,户 ,连接PN,MH.当 PF+5PE取得最大值时，求P点的坐标及PN+MH的最小值： (3)将抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)沿射线BC方向平移√5个单位长度，得到新抛物线片，过点A作 AR⊥BC于点R,点Q是新抛物线y上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点Q的横 坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程. 13.如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,经过 19/21 厨学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B、C两点的二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于另一点A. 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (②)点D、E在直线y=-x+3上，点F是第二象限位于抛物线上一点，点G在x轴上若四边形DEFG是正方 形，求点F的坐标； (3)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使得∠CBP+∠AC0=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. 14.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y=ax2+bx+4a≠0)分别交x轴于A,B两点(A在 B的左侧)，交y轴于点C,连接AC,BC,其中0A=4,an∠0CB=4 B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交直线AC于点D,PE∥y轴交直线AC于 点E.点M、点N是直线BC上的动点，满足点M在点N的右侧且MN=万，当△PDE周长最大时，求P 2 的坐标及OM-PN的最大值： (3)如图2，在第(2)问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线BC方向平移√17个单位长度得到 抛物线y,将点C向下平移一个单位长度得到点F,点Q为抛物线y上且在抛物线y对称轴左侧的一动点. 若∠PAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF,直接写出所有符合条件的点Q的横坐标 15.如图，在平面直角坐标系中，直线)=2x-2与x轴交于点4，与y轴交于点C,与抛物线L: =)+x+c交于点T5,刊和点Q6,小 20/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 T (I)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（r>0)个单位，得到抛物线L,若抛物线L经过点 且点D在抛物线L的对称轴左侧，求抛物线L的函数表达式； (3)在(2)的条件下，记抛物线L的对称轴为直线1，作点C(0,-2)关于直线1的对称点B,连接AB,在直 线AB上是否存在点P,满足∠ADP=∠CAO?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由， 21/21