专题06 圆综合热点压轴（基础性质、切线、几何计算、几何综合、函数等综合）有关的5类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法建模-题型专攻”为核心，构建圆综合问题从基础性质到函数关联的五级解题体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆基础性质|3题|垂径定理、圆心角与圆周角转化|从圆的基本概念到角度线段计算，形成性质应用链| |切线综合|3题|连半径证垂直/作垂线证半径|结合切线性质与判定，构建辅助线添加模型| |几何计算|3题|垂径定理构直角三角形+公式应用|从弦长、弧长到阴影面积，强化数形结合| |几何图形综合|5题|圆与三角形/四边形性质串联|拆分复杂图形为基础图形，培养推理意识| |函数综合|3题|坐标与圆的位置关系联立方程|函数解析式与圆性质结合，发展模型观念|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06 圆综合热点玉轴 (基础性质、切线、几何计算、几何综合、函数等综合)有关的5类核心题型 目录 第一部分命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分方法敖建模构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一圆基础性质求解及技巧 方法二切线综合及解题技巧 方法三圆与几何计算及解题技巧 方法四圆与几何图形综合及解题技巧 方法五圆与函数的综合关联及解题技巧 第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】圆基础性质求解 【题型02】切线综合 【题型03】圆与几何计算 【题型04】圆与几何图形综合 【题型05】圆与函数的综合关联 第四部分答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 01 命题解码 1.考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：圆的基础性质与切线（必考点，基础+中档）一一侧重圆周角定理（及推论）、圆 心角定理、切线的判定与性质，多以小题或压轴题第一问形式出现，考查角度、线段计算，是基 础得分点。 核心考向2：圆与几何综合（压轴核心）一一结合相似三角形、解直角三角形、几何三大变换， 考查线段证明、长度计算、角度求解，常以“圆+三角形/四边形”叠合形式呈现，是中考区分度 核心题型。 核心考向3：圆的计算与最值（压轴热点）一一涵盖弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算，结合 隐圆、将军饮马等最值模型，考查圆上点到线段/点的最值，侧重“转化思想”，是压轴题高频 设问方向。 共性考向：均侧重“圆的性质应用+逻辑推理”，贴合中考核心素养，设问分层（基础判定→计 算→综合证明/最值)，常结合图形构造，强调“数形结合”。 2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）》 瓶颈1：切线判定与性质应用不熟练，不会快速构造辅助线（连半径、作垂线），忽略“切线垂 直于过切点的半径”前提，无法证明切线或利用切线性质解题。 瓶颈2：圆的性质混淆，圆周角与圆心角关系、弦切角定理应用失误，不会利用“直径所对圆周 角为直角”“四点共圆”等隐含条件，找不到解题突破口。 瓶颈3：综合题拆分能力弱，无法将圆与相似、解直角三角形的综合图形拆分為基础图形，不会 建立各模块知识的关联，导致解题断层。 瓶颈4：计算与细节失误，弧长、扇形面积公式记忆错误，忽略圆心角单位换算，最值问题中不 会结合圆的性质锁定关键位置，导致错解、漏解。 02 方法建模 ☑结论道记 一、核心基础公式&必背定理（解题地基，必背) (一)圆基本性质 1.同圆或等圆中：半径相等；等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角。 2/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 几何语言：CD⊥AB,CD为直径，→AE=BE,AC=BC (二)角度核心定理 1.圆心角定理：圆心角所对弧的度数圆心角=所对弧的度数 2.圆周角定理：圆周角圆心角圆周角=专圆心角 3.重要推论（中考必考） ·直径所对圆周角：直径直径→90°；90圆周角→所对弦为直径。 ·同弧/等弧所对圆周角相等。 4.圆内接四边形性质 对角互补：对角互补：∠A+∠C=180°； 外角内对角外角=内对角（角度转化万能）。 (三)切线核心基础 1.切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 2.切线判定：经过半径外端，且垂直于半径的直线是圆的切线。 3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等切线长相等，圆心与该点连线平分夹角。 (四)计算类基础公式 设圆半径为r,圆心角度数n° 1.弧长公式：1= 2.扇形面积：扇形S影=需=r 3.正多边形、圆锥侧面积（选填高频）：圆锥侧S圆维=πr 二、万能公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 1.弦长万能计算公式（垂径拓展) 圆心到弦距离为d,弦长为L,半径r L=2vr2-d2 3/24 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 适用：所有弦长、弦心距、半径知二求一。 2.直角三角形内外接圆万能公式 Rt△外接圆：圆心为斜边中点，斜边R=专斜边 Rt△内切圆半径：r=抄(、ab直角边，c斜边) 2 3.圆三大切割线拓展定理（全国压轴高频） ①相交弦定理 圆内两弦相交于点P:PA·PB=PCPD ②切割线定理 PA切圆于A,PBC为割线：PA2=PB·PC ③割线定理 两条割线、PAB、PCD:PA·PB=PC·PD 4.弦切角拓展公式 弦切角等于所夹弧所对的圆周角，用于角度快速等量代换，圆压轴角度秒杀。 5.三角形通用外接圆半径拓展 任意△ABC:R=2Sn乙ACG AB 适配：圆+解直角三角形综合、边长与角度互求。 口技法归纳 方法一圆基础性质求解及技巧 熟练运用垂径定理、圆心角与圆周角关系、直径性质、等孤对等边角等核心定理，合理转化角度、弦长、 孤长条件，完成基础计算与简单证明。 例题1(2026·山西太原·一模)如图，在平面直角坐标系中，以点0为圆心的圆与反比例函数y=5在 第一象限的图象交于A,B两点，已知点A的横坐标为1，点B的横坐标为√5，连接OA,OB,则AB的长为 .(结果保留刀) 4/24 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 0 例题2(2026·福建厦门·一模)如图，在ABC中，∠C=40°，AB=6,以AB为直径的半圆O交AC 于点D,与BC相切于点B,则BD的长为() A B 5π A. C.10z 3 D.5元 6 例题3 (2026·河南商丘·一模)如图，在⊙0中，∠OCB=25°，A,B,C三点均在圆上，AB=CB ,则∠B的度数为() 0 B A.30° B.45° C.50 D.60° 方法二切线综合及解题技巧 掌握切线判定两种常用思路：连半径证垂直、作垂线证半径；活用切线垂直于过切点半径的性质，结合勾 股、相似、角度推导，解决切线证明与线段计算。 例题1(2025·四川成都·模拟预测)如图，ABC内接于⊙0，AB=AC,过点A作AD∥BC交 ∠ACB的平分线于点D,CD交OO于点E,交AB于点F,射线AE交CB的延长线于点G. 5/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 0 G B (1)求证：AD是O0的切线： (2)若AE=5,cosD= ,求CD和BC的长. 4 例题2(2025·云南临沧·模拟预测)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB为O0的直径，∠ACB的平分 线CD交AB于点F,交OO于点D,连接AD,过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E. 0 (1)求证：直线DE是⊙0的切线； ②求C4+CB的值， CD 1 1 1 (3)证明： AC.BC AD CF.DF' 例题3(2026·青海西宁·一模)如图，AB为O0的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙0上一点， 连接AD,BD,E,F分别是AD,BD的中点，连接OE,OF,延长CD,OF交于点P. O (1)求证：四边形OFDE是矩形； (2)若∠ADC=∠EOA,求证：CD是OO的切线： 6/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 ③)在(2)的条件下，若tanC=4,0P=35,00的半径为· 方法三圆与几何计算及解题技巧 借助垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数，灵活运用孤长、扇形面积公式，求解半径、 弦长、阴影面积、周长等各类计算题型。 例题1(2026·山西太原·二模)我国魏晋时期的数学家刘微首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐 步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积S来近似估计O0的面积，如图，若取⊙O 及其内接正十二边形的四分之一图，测得⊙0半径为2cm,则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余 面积为() A.(π-3)cm2B.(π-4)cm2 c.(x-25)cm2D.(x-22]cm 例题2(2026·江苏徐州·一模)如图，点A,B,C,D在⊙O上，BD为直径，E为AB延长线上一点， ECI‖BD,且∠BAC=45°. A D (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若BD=2,tan∠ABD=2,求阴影部分的面积.（结果保留刀） 7/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D∠BAC=45°， 例题3(2026·河南周口·一模)如图，O0经过菱形ABCD的顶点A,且分别与边BC,CD相切于点 B,D,若AB=3,则阴影部分的面积为 D B 方法四圆与几何图形综合及解题技巧 结合三角形、四边形等几何图形性质，串联圆的各类定理，通过角度转化、线段等量代换、图形拼接分 割，攻克几何综合证明与面积、线段求值问题。 例题1(2026·河南周口·一模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0交BC于点D,过 点D作⊙O的切线DE,交AC于点E,延长CA交OO于点F,连接BF, AE 0 D (1)求证：DE⊥AC; (2)若BD=6.5,BF=5,求⊙0的半径. 例题2(2026·河南周口·二模)如图，在ABC中，BC=4,以CA为直径的O0交AB于点F,O0的 切线FE与CB相交于点E.若AF=BF,LEFB=30°，则AF的长为， 8/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题3(2026·山东淄博·一模)如图，以BC为直径的半圆O与ABC的两边AB,AC相交于点D,E. 已知DE=EC=4,BC-BD-.则 D-AD的值为(） BC B A. 3 B. 5 c 56 D 例题4(2025·安徽·模拟预测)如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC边上一点，连接AE, 过点E作EF⊥AE交CD边于点F,连接DE交AF于点G. D G E (I)当AB=EC时，求证：△ABE≌△ECF; (2)在(1)的条件下，求GF的长： (3)若AF⊥DE,求tan∠AFD的值. 例题5(2026·云南大理·一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是O0上异于A、B的点，点P是AB延 长线上一点，AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE 交⊙O于点F,设⊙0的半径为r. 9/24 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)当∠CAB=30°，求∠ABC; (2)求证：PC是⊙0的切线； (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出 一个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF·PF=aPC2+bPF2成立；若不存在，请说明理由. 方法五圆与函数的综合关联及解题技巧 依托平面直角坐标系，结合函数解析式与圆的圆心、半径、位置特征，联立方程计算交点坐标，结合动 点、存在性、最值考点，破解压轴综合题型。 例题1(2025·甘肃武威·模拟预测)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0,c>0)与x轴交于点A、 B,与y轴交于点C,且以AB为直径的圆经过点C, B 备用图 (1)若点A-2,0),点B(8,0),求c的值： (2)若点A(x,0),B(x2,0),试探索C是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 (3)若点D是圆与抛物线的交点(D与A、B、C不重合)，在(1)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得以 P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由. 10/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题2(2026·北京海淀·一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，4-2，川是抛物线y=x上一点.以 点C(0,)为圆心，CA长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B,抛物线和⊙C在点A,B之间的部分分 别记为G,G,,M,N分别是G,G,上的两个动点(M,N均不与A,B重合)·给出下面四个结论： G ①当MN⊥x轴时，MN长的最大值为V5+1; ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M,使四边形ABMO的面积等于△ABQ的面积； ③△AMN可能是等边三角形； 国以0 为中点的线段MN恰有两条， 上述结论中，所有正确结论的序号是()· A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 03 题型专攻◆ 【题型01】圆基础性质求解（共4题） 1.(2026·江西上饶·三模)如图，己知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，点P是图中线段上一点，且 CP=1,连接DP,则DP的长为 11/24 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2026·河南三门峡·一模)如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部 分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A,B,量得 AB的长是7cm,则剩余部分的面积是 cm2. B 3.(2026·陕西榆林·一模)如图，AB为O0的直径，弦CD与AB交于点E,已知E0=EC, ∠0CE=40°，则∠A0D的度数为 A D 4.(2026·上海黄浦·二模)如图，坐标平面内圆A,已知圆A的半径为2，圆心A(5,4),下列直线中， 与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是() -？A O 4 A.y=x B.y=-x C.y=5 D.y=-5x 4 【题型02】切线综合（共4题） 1.(2026·云南楚雄·一模)如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，CD1AB于点D,过点B作⊙0的 切线，与AC的延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与 AB的延长线相交于点H,⊙0的半径为3. 12/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O D 备用图 (1)若AC=5,求点C和点B间的距离； (2)求证：CH是⊙0的切线； (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG,并说 明理由 2.(2025·云南·模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，AB=6,P是⊙0上异于点A,B的一动点，连 接PA,PB,过点A作射线.AC⊥PA,C为射线AC上一点，连接PC A B B 图1 图2 【初步探究】 (1)若PB=4,求PA的长； 【深入探究】若在点P的运动过程中，始终有tan∠PCA=√F· (2)如图1，若AC=√3，求证：直线PC与⊙0相切； (3)如图2，连接0C,设0C=m,求m的取值范围. 3.(25-26九年级上·云南昭通·期末)如图，⊙0内接正方形ABCD,AC与BD交于点O,P是⊙0的劣 弧BC上的任意一点，连接PA,PC,PD,延长BC至E,使LE=∠BDC. D (1)∠APD的度数为 13/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求证：直线DE是⊙0的切线： (3)当BD=√10，PD=2√2时，求线段PC的长度. 4.(2024·湖南长沙·模拟预测)如图，已知AB,CD是⊙0的直径，过点A作CD的垂线交CD于点E, 交OO于点F,T是CD延长线的一点，连接BT,且LT=LBDF. (1)求证：BT是O0的切线： ②记△04.730伤面积分别为8，及，者是品8的能。 OT ③)连接DF交AB于点G,过点G作GP1CD于点P,记OD- =X, OE OP+OG=y,求y关于x的解析式. CT 【题型03】圆与几何计算（共4题） 1.(2026·江苏徐州·一模)如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为3，以顶点H 为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为·（结果保留π） B 2. (2026·山东济宁·一模)如图(1)，工人师傅想在这张直径为12cm的半圆0的铁皮上裁剪出如阴影 部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆O,将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点B顺 时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点P,若BP=6√3cm时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图 中阴影部分的面积. 14/24 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 图(1) 图(2) 3.(2026·江苏盐城·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4√2，∠ACB=90°，D是AB的中点， 以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上（点C不与点E,F重合），半径 DE,DF分别与AC,BC相交于点G,H,则阴影部分的面积为 D H 4.(2026·山西忻州·一模)将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分 恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为() A.83-8 B.83-4 C.18V5-6π D.18V5-3π 【题型04】圆与几何图形综合（共5题） 1.(2025·云南西双版纳·一模)如图，四边形ABCD是平行四边形，点F是射线AB上的一个动点（不 与点A重合)，连接DF,⊙O是△ADF的外接圆.己知AB=20,AD=10,点D到AB的距离为8. 备用图1 备用图2 (1)若圆心O在线段AD上，求∠AFD的度数； 15/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)的条件下，过点F作FE交CD于点E,使∠DEF=∠ADF,求证：EF是OO的切线； (3)若圆心O不在线段AD上，当⊙0与平行四边形ABCD的某一边所在的直线相切时，试求线段AF的长. 2.(2026·河南郑州·一模)如图，正方形ABCD的对角线交于点O,0为正方形ABCD的外接圆， EF为OO直径.若EF=1,则图中阴影部分的面积为() B 4君6 B. e用 8日 3. (2025·江苏泰州·三模)如图1，在菱形ABCD中，LA=60°，AB=4,⊙0是△ABD的外接圆，E是 BD上一动点，连接DE并延长交BC于M,连接BE并延长交CD于N, D 0. E B 图1 图2 (1)求证：CB是⊙O的切线； (2)如图2，当E是BD中点时，求图中阴影部分面积； (3)当BM=3时，求MN的长 4.(2026·广东江门·一模)综合应用：己知正方形ABCD,以BC为直径作O0,点E在射线DC上运动， 连接AE, B B B H G F E C D C D E 图1 图2 图3 (1)如图1，当BC=4,DE=3时，AE与O0相切于F,求EF. (2)如图2，当E运动到BC右侧，连接AE,BE交OO于点M, ①在E运动过程中，求BE的最小值， AE 16/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②AE与BC交于点G,与CM相交于点K,顺时针旋转△GKC使得点C落在AG上的点H上，得△GTH, 当HT∥BC时，求tan∠BED. 5.(2026·重庆南岸·模拟预测)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB=AC,若00的半径为5，BC=6, 则AB= ,以AB、BC为边作平行四边形ABCD,CD与OO相交于点E,连接AE,过点B作AC 的垂线交AC于点F,交CD于点G,则EG= 【题型05】圆与函数的综合关联（共3题） 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+x+c交x轴于A(2.0).B(6.0)两点，交y轴于点 C(0.2). (1)求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧 EF的长； (3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC分为1：2两部分. 17/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，已知A,B是抛物线y=(x-2)2-10上的点，线段AB=6,且AB∥x轴，过A,B两点作半径为 5的圆（圆心在AB下方），点P是圆上任意一点，连接AP,取AP的中点Q,将该抛物线AB下方的部分 沿直线AB向上翻折，交y轴于点C,连接CQ,则CQ的最大值是· B Q 3.如图，半径为2的⊙0与x轴的正半轴交于点A,点B是O0上一动点，点C为弦AB的中点，直线 3 x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,则△CDE面积的最小值为() B A O D x E A.1 B.5 C.3 D.2 04 答题实战 ◆ 1.(2026·湖南长沙·一模)如图，AB为O0的直径，弦CD与AB交于点E,若E0=EC, ∠C0E=50°，则∠BOD的度数为() 18/24 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.150° B.130° C.90° D.70 2.(2026·甘肃兰州·模拟预测)平面直角坐标系xOy中，对于点A,直线（点A不在1上）和C,给 出如下定义：若点A关于直线I的对称点A在⊙C上，则称点A是OC关于直线1的映像点，称线段AA'的 长度为点A与OC的映像距离. y=x+2 (1)如图，⊙O的半径为1，直线4：y=x+2. ①在点4-2,2,4-引 A(-2,1中，点是⊙0关于直线4的映像点，该点与⊙0的映像距离为_， ②点B是⊙0关于直线的映像点，当点B与O0的映像距离最小时，点B的坐标为_； (2)已知点E(-2,-1,F(2,-1),点D在y轴的正半轴上且△DEF为等边三角形.点T(,2),T的半径为 1.若△DEF上存在T关于直线l2:y=(k+1)x-2k的映像点，直接写出t的取值范围. 3.(2026·安徽马鞍山·一模)自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结 构的示意图，其中⊙M的半径是R,N的半径是R,R2=2.5R.当⊙M顺时针转动1周时，N上的点 P随之旋转n°，则的值为 ·)M 图1 图2 19/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2026·河南信阳·一模)园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法.如图是一面墙和墙中间一个 圆拱门的示意图，墙高2.5m,长6m,门为圆形的一部分，圆的半径为1m,圆与地面的交界处AB宽√2m, 则墙的面积为 m2. A B 5.(2026·重庆·一模)如图，以AC为直径的⊙0与BC相切于点C,AB交⊙0于点D,D0的延长线交 BC的延长线于点E,DF⊥AC交⊙O于点F,连接BF交OO于点G,若BD=3AD,AC=4,则CE的长 度为 ,GF的长度为 D G 6. (2026·吉林长春·一模)如图，AB是⊙2的直径，AD是一条弦，延长AD至点C,使DC=AD,连 接BC,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,给出下面五个结论： ①OD=BC:②DE是⊙0的切线：③LADE>90°+LA;④当CE:EB=2:l时，△DEC与ABC的面积 99 比为25，⑤当DE∥AB时，若A8=3,则阴影部分图形的面积为不一之上述结论中，正确结论的序号 有 0 B 7.(2022·江西赣州·模拟预测)如图，在半径为3cm的⊙0中，有A,B,C三点在圆上， ∠BAC=75°，∠AOB=90°，点P从点B开始以Tcm1s的速度在劣弧BC上运动，设运动时间为s,以P,B ,A,C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形（非等边三角形）时，t的值为 20/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A 8.(2026·山东济宁·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1,将OA绕点 O顺时针旋转45°到0A,,扫过的面积记为s,AA2⊥OA交x轴于点A;将OA2绕点O顺时针旋转45°到 OA?,扫过的面积记为S2,A,A4⊥OA交y轴于点A;将OA,绕点O顺时针旋转45°到OA,扫过的面积记 为S3…按此规律，则s,的值为 A2 A6 9.(2025·云南曲靖·二模)如图，AB为O0的直径，AC为O0的弦，点D为AB的延长线上一点，连 接CD,过点O作OE⊥AB交DC的延长线于点E,交AC于点P,CE=EP. H (1)若LD=a,求∠AP0(用含a的式子表示)； (2)求证：DE是O0的切线； (3)过点C作CH∥AB交OE于点H,作CF∥OE交AB于点F,若CF=4,OF=3,求PH的长. 10.(2024·上海·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，AD=9,AB=15,BD1BC,点F在边 CD上运动，以F为圆心，FD为半径的圆F与边DB交于D、E两点. 21/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D E B B 图1 图2 (1)当圆F与边BC相切时，求FD的长： (2)设FD=x,△FBE的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆F与平行四边形ABCD的边有4个交点时，求x的取值范围. 11.(2026·安微·二模)如图，AB为O0的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作00的 切线交射线AC于点E,连接AD,BD. (1)求证：AE⊥DE; (2)若DE=4,BD=5,求AC长 12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，直线1绕点D逆时针方向旋转，旋转角为u(0°<<360)，点 A关于直线的对称点为点E. D D (图1) (图2) (1)当0°<a<60°时，在图1中画出∠AEC,并求出∠AEC的度数； (2)当30°<a<60°时，如图2，判断线段CE,BE,AE之间的数量关系，并说明理由； (3)在直线I旋转的过程中，若AB=4,直接写出△ACE面积的最大值. 22/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13. (2026·陕西西安·三模)如图，在ABC中，AB=BC,O0与AB相切于点A(点O和C在直线 AB同侧)，AC交OO于点D,延长BD交OO于点E,连接AE和CE,CE交OO于点F,连接AF E B (1)证明：∠AED=∠BCD; (2)①证明：EB平分∠AEF; ②连接DF,若DF,DC=反，4F=求B的长。 14.（2026·黑龙江绥化·二模)欧几里德，古希腊著名数学家.被称为“几何之父”.他最著名的著作 《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他 在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”， 图1 图2 (1)尺规作图：如图1，过点P作圆O的两条切线PQ、PR切点分别为点Q,点R(保留作图痕迹，痕迹要 清晰)； (2)如图2，连接QO并延长交圆O于点B,连接BR,己知BR=2,圆O的半径r=√5，求P9 15.(2025·云南·模拟预测)如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E,点P在BA的延长线上，连 接PD、BC,且LPDC=2LABC. M D (1)若∠APD=40°，求∠ABC的度数. (2)求证：PD是O0的切线. 23/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若CD=8,AE=2,当动点M在⊙0的圆周上运动时（不与A、B重合）， EM 的比值是否发生变化？ PM 若不变，求出这个比值；若变化，说明其变化的规律， 16.(2026·北京西城·模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为2.对于O0的弦AB和点E, 给出如下定义：若OO上存在一点F,使得EF的中点在弦AB上，则称点E为弦AB的“中称点”；若点P 和Q都是弦AB的“中称点”，且LP0Q能取到的最大值为a(0<a<180),则称弦AB为00的“中称 弦”. % 4 .C2 C· C (1)如图，点A(0,2,B2,0). ①在点C(-1,3),C23,4),C(6,0)中，点 是弦AB的“中称点”； ②若弦AD为OO的“0中称弦”，则点D的纵坐标yp的取值范围是 ； (2)点M和点N分别是直线y=V3x+b与x轴和y轴的交点，若线段MN上存在弦ST的“中称点”，且弦 ST为⊙0的“120°中称弦”.直接写出b的取值范围 24/24 专题06 圆综合热点压轴 （基础性质、切线、几何计算、几何综合、函数等综合）有关的5类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 圆基础性质求解及技巧 方法二 切线综合及解题技巧 方法三 圆与几何计算及解题技巧 方法四 圆与几何图形综合及解题技巧 方法五 圆与函数的综合关联及解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】圆基础性质求解 【题型02】切线综合 【题型03】圆与几何计算 【题型04】圆与几何图形综合 【题型05】圆与函数的综合关联 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：圆的基础性质与切线（必考点，基础+中档）—— 侧重圆周角定理（及推论）、圆心角定理、切线的判定与性质，多以小题或压轴题第一问形式出现，考查角度、线段计算，是基础得分点。 核心考向2：圆与几何综合（压轴核心）—— 结合相似三角形、解直角三角形、几何三大变换，考查线段证明、长度计算、角度求解，常以“圆+三角形/四边形”叠合形式呈现，是中考区分度核心题型。 核心考向3：圆的计算与最值（压轴热点）—— 涵盖弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算，结合隐圆、将军饮马等最值模型，考查圆上点到线段/点的最值，侧重“转化思想”，是压轴题高频设问方向。 共性考向：均侧重“圆的性质应用+逻辑推理”，贴合中考核心素养，设问分层（基础判定→计算→综合证明/最值），常结合图形构造，强调“数形结合”。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：切线判定与性质应用不熟练，不会快速构造辅助线（连半径、作垂线），忽略“切线垂直于过切点的半径”前提，无法证明切线或利用切线性质解题。 瓶颈2：圆的性质混淆，圆周角与圆心角关系、弦切角定理应用失误，不会利用“直径所对圆周角为直角”“四点共圆”等隐含条件，找不到解题突破口。 瓶颈3：综合题拆分能力弱，无法将圆与相似、解直角三角形的综合图形拆分為基础图形，不会建立各模块知识的关联，导致解题断层。 瓶颈4：计算与细节失误，弧长、扇形面积公式记忆错误，忽略圆心角单位换算，最值问题中不会结合圆的性质锁定关键位置，导致错解、漏解。 结论背记 一、核心基础公式&必背定理（解题地基，必背） （一）圆基本性质 1. 同圆或等圆中：半径相等；等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角。 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 几何语言：，为直径 ，。 （二）角度核心定理 1. 圆心角定理：圆心角所对弧的度数 1. 圆周角定理：圆周角圆心角 1. 重要推论（中考必考） · 直径所对圆周角：直径；圆周角所对弦为直径。 · 同弧/等弧所对圆周角相等。 1. 圆内接四边形性质 对角互补：； 外角内对角（角度转化万能）。 （三）切线核心基础 1. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 1. 切线判定：经过半径外端，且垂直于半径的直线是圆的切线。 1. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角。 （四）计算类基础公式 设圆半径为，圆心角度数 1. 弧长公式： 1. 扇形面积：扇形 1. 正多边形、圆锥侧面积（选填高频）：圆锥侧 二、万能公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 1. 弦长万能计算公式（垂径拓展） 圆心到弦距离为，弦长为，半径 适用：所有弦长、弦心距、半径知二求一。 2. 直角三角形内外接圆万能公式 Rt外接圆：圆心为斜边中点，斜边 Rt内切圆半径：（、直角边，斜边） 3. 圆三大切割线拓展定理（全国压轴高频） ① 相交弦定理 圆内两弦相交于点： ② 切割线定理 切圆于，为割线： ③ 割线定理 两条割线、： 4. 弦切角拓展公式 弦切角等于所夹弧所对的圆周角，用于角度快速等量代换，圆压轴角度秒杀。 5. 三角形通用外接圆半径拓展 任意： 适配：圆+解直角三角形综合、边长与角度互求。 技法归纳 方法一 圆基础性质求解及技巧 熟练运用垂径定理、圆心角与圆周角关系、直径性质、等弧对等边角等核心定理，合理转化角度、弦长、弧长条件，完成基础计算与简单证明。 例题1 （2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，可求出，进而解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴的长为． 例题2 （2026·福建厦门·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，与相切于点B，则的长为（   ） A． B． C． D．5π 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、切线的性质、等腰三角形的性质、外角的性质、弧长计算等知识点，解题关键是利用外角性质求出，再利用弧长公式即可． 【详解】如图，连接 ， 半圆O 与相切于点B， ， ， ， ， 是的外角， ， 且为直径， ， ． 例题3 （2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 方法二 切线综合及解题技巧 掌握切线判定两种常用思路：连半径证垂直、作垂线证半径；活用切线垂直于过切点半径的性质，结合勾股、相似、角度推导，解决切线证明与线段计算。 例题1 （2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）过点A作于点H，根据垂径定理可得经过的圆心O，再由，可得，即可求证； （2）过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，结合切线的性质以及圆周角定理可得，从而得到，进而得到，在中，结合锐角三角函数可得，然后证明，可得，进而得到，再由，可得，从而得到，再结合圆周角定理可得，，然后根据，可得 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示： ， ， 是线段的垂直平分线， 根据垂径定理得：经过的圆心O， 是的半径， ， ， 是的切线； （2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径， ， ， 平分， ， ， 是的切线，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 在和中， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 根据圆周角定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用，正确添加的辅助线是解题的关键． 例题2 （2025·云南临沧·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)求的值； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，再利用圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）延长至点，使得，连接、，利用圆内接四边形得到，证明，再证明是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，证明，推出，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为的直径， ． 是的平分线， ， ， ， ， ， 为半径， 直线是的切线； （2）解：延长至点，使得，连接、，如图， 是的平分线， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 在和中， ， ，， 是直径， ， ， 即：， 是等腰直角三角形， ． ， ． （3）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 例题3 （2026·青海西宁·一模）如图，为的直径，点C在的延长线上，D为上一点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，，延长，交于点P． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形、圆的切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得、，再根据得出结论即可； （2）连接，则，进而得到，从而得出结论； （3）由，设，则，证明，根据平行线分线段成比例求出的长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵E，F分别是，的中点， 、， ∴, 为的直径， ∴， 四边形是矩形； （2）证明：连接，则， ， ∵， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （3）解：、， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 的半径为3． 方法三 圆与几何计算及解题技巧 借助垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数，灵活运用弧长、扇形面积公式，求解半径、弦长、阴影面积、周长等各类计算题型。 例题1 （2026·山西太原·二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求面积为四分之一圆的面积减去四分之一正十二边形的面积，四分之一正十二边形由3个顶角为、腰长为半径的等腰三角形组成，利用含角的直角三角形性质求出三角形的高，进而求出面积； 【详解】解：设圆半径为，则， 四分之一圆的圆心角为， 四分之一圆的面积， 正十二边形的中心角为， 图中四分之一正十二边形包含个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为，，， 过点作于点， 在中，，， ， ， 四分之一正十二边形的面积， 剩余面积 ． 例题2 （2026·江苏徐州·一模）如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ． 例题3 （2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质求出相关角的度数，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由切线长定理可得，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 方法四 圆与几何图形综合及解题技巧 结合三角形、四边形等几何图形性质，串联圆的各类定理，通过角度转化、线段等量代换、图形拼接分割，攻克几何综合证明与面积、线段求值问题。 例题1 （2026·河南周口·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的切线，可得，再证明即可； （2）连接，由是的直径，可得，根据等腰三角形的性质可得，在中，可求得的长，设的半径为，由，是的直径，可用表示出，再在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 例题2 （2026·河南周口·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，弧长的计算公式等知识点． 连接，连接，首先证明是的垂直平分线，得到，通过证明是等边三角形，得到，继而根据弧长计算公式得到答案． 【详解】解：如图，连接，连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的半径， ∴． 例题3 （2026·山东淄博·一模）如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 例题4 （2025·安徽·模拟预测）如图，长方形中，，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、四点共圆、垂径定理等知识点： （1）根据同角的余角相等证明，再结合已知条件即可证明； （2）延长交于点H，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理可求，由即可得到答案； （3）根据可知四点共圆，且是直径，再根据垂径定理可求，从而可求，根据同角的余角相等可得，从而． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中，， ∴； （2）解：如图，延长交于点H： 由（1）知 ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ， 四点共圆，且是直径， 又， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 例题5 （2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在常数，，使等式成立，且，，理由见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； （2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明； （3）连接，，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下： 连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ，． 方法五 圆与函数的综合关联及解题技巧 依托平面直角坐标系，结合函数解析式与圆的圆心、半径、位置特征，联立方程计算交点坐标，结合动点、存在性、最值考点，破解压轴综合题型。 例题1 （2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值是定值，为； (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）设圆心点为，利用、的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出的长，求得点，然后利用轴的交点式代入点的坐标得到函数的解析式即可求解； （2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出是一个定值； （3）根据题意，分为点在轴上或点在轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求点的坐标. 【详解】（1）解：设圆心为点， ，， ，的半径为， ， ， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， ， ， ，， ； （2）的值是定值，为， 理由：点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 令时，， ， ， ； （3）点是圆与抛物线的交点与、、不重合，， ，即：， 当点在轴上时，如图，设点的坐标为， ，，， ，，， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ， 或②， ， ， ， 当点在轴上时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ，， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ∴ 或②， ， ， ∴ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合问题，包括勾股定理，利用待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． 例题2 （2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 【题型01】圆基础性质求解（共4题） 1．（2026·江西上饶·三模）如图，已知菱形的边长为4，，点P是图中线段上一点，且，连接，则的长为______． 【答案】3或或 【分析】由题意易得，，则有是等边三角形，然后可得，根据可分，，三种情况，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长为4， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴如图，分，，三种情况求解： 当时，； 当时，过点作于点E，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当时，过点作于点F，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述：的长为3或或． 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点，，量得的长是，则剩余部分的面积是________． 【答案】 【分析】设小圆半径为，大圆半径为，通过切线条件利用勾股定理建立方程求出半径的平方，进而求得剩余部分的面积． 【详解】解：设小圆半径为，大圆半径为， 切线平行于大圆直径且与小圆相切， 大圆圆心到切线的距离等于小圆半径， 设的中点为，连接， 则，，， 在中， 由勾股定理得：， ， 剩余部分的面积为 ． 3．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 【题型02】切线综合（共4题） 1．（2026·云南楚雄·一模）如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3． (1)若，求点C和点B间的距离； (2)求证：是的切线； (3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②成立，见解析 【分析】（1）结合勾股定理求出，即可作答． （2）先根据，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，得出，再分别证明，，故，结合F是的中点，得出，再运用等边对等角，以及，得，故，即是的切线； （3）过点G作于点K，则，根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，得到，，，，证明，，，进而证明，得到，可知，证明为线段的垂直平分线，得到，由（2）可知，即． 【详解】（1）解：∵的半径为3， ∴， 连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， 即点C和点B间的距离为的长度，即为； （2）解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 则， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中线， ∵是的直径， ∴， ∵是的中线 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：②成立． 理由如下： 如图，过点G作于点K，则． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴点K为中点． ∵于点K， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 由（2）可知， ∴成立． 2．（2025·云南·模拟预测） 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接． 【初步探究】 （1） 若，求的长； 【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有 （2） 如图1， 若，求证：直线与相切； （3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可； （2）如图1，连接，证明， 求解，证明是等边三角形，可得，再进一步求解即可； （3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中，求解，，证明，可得，可得，结合根据三角形的三边关系，得，进一步可得答案． 【详解】解：（1）是的直径，P是上异于点的一动点， ， 在中，由勾股定理，得； （2）证明：如图1，连接， ， ， ， 是的直径，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ，又是的半径， 是的切线，即直线与相切； （3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，根据三角形的三边关系，得， ，即， ； 【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，特殊三角函数值，三角函数，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，三角形三边关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使． (1)的度数为___________； (2)求证：直线是的切线； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆内接正方形的性质、圆周角定理(圆周角等于对应圆心角的一半)、圆周角定理的推论、切线的判定定理、全等三角形的判定()与性质等知识． （1）先利用圆内接正方形的性质得到圆心角；再根据圆周角定理，直接计算出的度数； （2）先结合与得到，可推出；又因为是的半径，满足“直线垂直于半径外端”的切线判定条件，从而证明是的切线； （3）延长至，使，连接；利用圆内接正方形的性质和圆内接四边形的性质，根据判定定理可证；由全等三角形的性质得、，进而推出，即是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形斜边与直角边的关系，可算出；再根据直径所对的圆周角，在中，设，则，结合，利用勾股定理列方程，解得或；最后结合在劣弧上的位置特征，以及正方形边长(由对角线推导)，可知，排除，最终确定． 【详解】（1）解：，∵内接正方形 ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：在正方形中，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （3）解：如图，延长至，使，连接，则． 四边形是正方形， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则． 为的直径， ， 在Rt中，， 即，解得， ， 等腰中，， 是的劣弧上的任意一点， ， ． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知，是的直径，过点A作的垂线交于点E，交于点F，T是 延长线的一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)记，的面积分别为，，若，求的值． (3)连接交于点G， 过点G作于点P，记，，求y 关于x 的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，，结合，可得，可得，进一步可得结论． （2）如图，过作于，证明，可得，，结合，设，，则， 证明，可得，进一步可得答案． （3）由（2）得：，证明，可得，结合，即，可得，，求解，证明，可得，设，则，，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． （3）解：由（2）得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∴， 设，则，， 同理：， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，列函数关系式，难度很大，选择合适的方法解题是关键． 【题型03】圆与几何计算（共4题） 1．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 【答案】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·山东济宁·一模）如图（1），工人师傅想在这张直径为的半圆的铁皮上裁剪出如阴影部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点，若时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】连接，，求出，作于点，得，，，根据求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， 由旋转得，, 又， ∴， ∴， 连接，则， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·山西忻州·一模）将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知六边形的性质可得，可得是等边三角形，同理是等边三角形，再说明四边形是菱形，进而得出，然后根据勾股定理求得，即可得，最后根据得出答案． 【详解】解：根据题意可知六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，同理是等边三角形， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是菱形，且， ∴是等边三角形，， ∴，则， 根据勾股定理得，则， ∴． 【题型04】圆与几何图形综合（共5题） 1．（2025·云南西双版纳·一模）如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． (1)若圆心在线段上，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； (3)若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用角的等量代换证出即可； （3）分类讨论与各边相切时的情况，利用勾股定理和相似三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的外接圆，且圆心在线段上， ∴是的直径，点在上， ∴； （2）证明：如图1，连接，则， 在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，则，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如图2，当与相切时，与只有一个交点，即为切点， 连接并延长与相交于点， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，， 由垂径定理得，， ∴； 如图3，当与BC相切时，设切点为，延长交于点， 过点作于点，于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴，则， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同前可得，， ∴， ∵与有两个交点和，与有两个交点和， ∴与和所在的直线都不相切， 综上所述，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了几何综合，其中涉及到了平行四边形的性质，切线的判定，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质，合理分析题目作出辅助线是解题的关键． 2．（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 3．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 4．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 5．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，是的外接圆，，若的半径为5，，则________，以、为边作平行四边形，与相交于点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，则________． 【答案】 【分析】连接、、，延长交于点，判断垂直平分，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理求解即可；由圆内接四边形的性质，得出，再结合平行四边形和等腰三角形的性质，推出，，利用相似三角形的性质，依次求出、、、的长，再求出的长，即可得解． 【详解】解：如图，连接、、，延长交于点，则， ，， 垂直平分， ， 在中，， ， 在中，； 四边形是的内接四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型05】圆与函数的综合关联（共3题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧的长； （3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分． 【答案】（1）（2） （3）当点P坐标为或时， △PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． 【详解】试题分析：（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值； （2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴，方程联立直线OD的解析式，即可求出D点的坐标；由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径；欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数，连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形易求得∠EDM 和∠FDM的度数，即可得到∠EDF的度数，进而可根据弧长计算公式求出劣弧EF的长； （3）易求得直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设出P点的横坐标，根据抛物线与直线AC的解析式即可得到P、N的纵坐标，进而可求出PN，NG的长；Rt△PGA中，△PNA与△NGA同高不等底，那么它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此本题可分两种情况讨论： ①△PNA的面积是△NGA的2倍，则PN：NG=2：1；②△PNA的面积是△NGA的，则NG=2PN； 可根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标． 试题解析：解：（1）∵抛物线经过点，，． ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为：． （2）易知抛物线的对称轴是． 把x=4代入y=2x得y=8， ∴点D的坐标为（4,8）． ∵⊙D与x轴相切， ∴⊙D的半径为8．       连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4． ∴cos∠MDF=． ∴∠MDF=60°， ∴∠EDF=120°．             ∴劣弧EF的长为：． （3）设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵直线AC经过点． ∴， 解得． ∴直线AC的解析式为：． 设点，PG交直线AC于N， 则点N坐标为． ∵． ∴①若PN︰GN=1︰2， 则PG︰GN=3︰2， PG=GN． 即=． 解得： =－3， =2（舍去）． 当m=－3时，=． ∴此时点P的坐标为． ②若PN︰GN=2︰1， 则PG︰GN=3︰1， PG=3GN． 即=． 解得：，（舍去）． 当时，=． ∴此时点P的坐标为． 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． 考点：圆与抛物线 2．如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】先求得，，设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，则，，由勾股定理，得，从而得，当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大，然后求出点，，从而求得，即可由求解． 【详解】解：∵线段，且轴， ∴设点，则， 把点，代入，得 ，解得， ∴，， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵Q是的中点， ∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当经过圆心K时，此时最大， ∵，， ∴的中点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后抛物线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大． 3．如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时， 此时面积的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（   　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出 的度数，再利用圆的半径相等得到 ，进而求出 的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． (1)如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； (2)已知点，，点D在y轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为1．若上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；；② (2)或 【分析】（1）①作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点，根据题意可得点必定在上，即；求得点和点的坐标，可得是等腰直角三角形，则，进而可判断点是关于直线的映像点，然后利用两点坐标距离公式求得即可； ②先判断当、、、四点共线时，最小，再作，垂足为，判断是等腰直角三角形得到，由勾股定理可得，则，利用锐角三角函数求得和即可求解； （2）设点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为，则点在上，先推导出直线过定点，设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上，进而点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上，分为①当外圆与相切时，圆最小，即最小；②当内圆过点时，圆最大，即最大两种情况分别求解即可． 【详解】（1）①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， ∴只有点是关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； （2）解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由题意，点在上， 对于直线，当时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴轴，轴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即 ②当内圆过点时，圆最大，即最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 3．（2026·安徽马鞍山·一模）自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 4．（2026·河南信阳·一模）园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________． 【答案】 【分析】设圆心为，连接，过点作于点，求得，得到是等腰直角三角形，得出，再通过面积法求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作于点，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴大扇形的面积为：， ， ∴墙的面积为：． 5．（2026·重庆·一模）如图，以为直径的与相切于点交于点的延长线交的延长线于点交于点，连接交于点，若，则的长度为___________，的长度为___________． 【答案】 / 【分析】连接、、，过点F作，交的延长线于点M，设，则，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出；证明，得出，求出，再求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点F作，交的延长线于点M，如图所示： 设，则， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 6．（2026·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①；②是的切线；③；④当时，与的面积比为；⑤当时，若，则阴影部分图形的面积为．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②/②① 【分析】连接，根据中位线的性质即可判断①；证明，即可判断②；根据等边对等角可得，进而判断③；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断④；据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线 ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确； ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误； ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故④错误． 当时， ∴ ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴ ∴，故⑤错误． 7．（2022·江西赣州·模拟预测）如图，在半径为的中，有A，B，C三点在圆上，，点P从点B开始以的速度在劣弧上运动，设运动时间为，以P，B，A，C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形（非等边三角形）时，t的值为_____________ 【答案】或 【分析】由得，设，由弧长公式和速度得；当在劣弧上时；分别对的三边两两相等分类讨论，排除等边三角形、超出范围及不可能情况，求出θ再算． 【详解】解：连接 四边形是的内接四边形，， ， 设弧， ， 在劣弧上，， （1）在中，， ①时，， ， ②时，则， ，舍去； ③时（以为底)： ， ， ； (2)在中， ④时，或时，或时，都为等边三角形，舍去； （3）在中， ， ⑤时（以为底) 点为弧中点， ； 故的值为 或． 8．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为…按此规律，则的值为__________． 【答案】 【分析】找出规律，据此求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， 同理，，， ， ∴， ∴． 9．（2025·云南曲靖·二模）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）连接，根据，可得，再由以及，可得，从而得到，即可求证； （3）先证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理可得 ，设，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即． 【点睛】本题主要查了圆的综合题，涉及了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 10．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 11．（2026·安徽·二模）如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． (1)求证：； (2)若，，求长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，得到，再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导出内错角相等，进而证明与平行，最终由垂直的传递性得到； （2）连接，利用弧中点的性质得到，结合（1）的结论用勾股定理求出的长度，再通过圆内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明与相似，借助相似三角形的比例关系求出的长度，最后通过线段的差计算出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：如图，连接， ∵为的中点， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理得． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，即，解得， ∴． 12．如图，在菱形中，，直线绕点逆时针方向旋转，旋转角为，点关于直线的对称点为点． (1)当时，在图中画出，并求出的度数； (2)当时，如图，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在直线旋转的过程中，若，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)见解析，； (2)，理由见解析； (3)面积的最大值为． 【分析】（1）连接，，由菱形的性质，结合平行线的性质，可得是等边三角形，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由菱形的性质，可得，即可得的度数； （2）由（1）可得点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，由同弧所对的圆周角相等，可得，在上截取，连接，作于点，证明，可得，，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，解直角三角形，可得，可得，即可得线段，，之间的数量关系； （3）连接，交于点，由菱形的性质，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，解直角三角形，可得，，由点的运动轨迹可知，当点在延长线上时，的面积最大，代入三角形的面积公式计算，即可得面积的最大值． 【详解】（1）解：如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴． （2）解：， 由（1）得， ∴点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， 在上截取，连接，作于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知，点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，， ∴当点在延长线上时，的面积最大， ∴面积的最大值为． 13．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接． (1)证明：； (2)①证明：平分； ②连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接并延长交于点G，连接，由切线的性质、同弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质即可证明； （2）①由（1）的结论知，四点共圆，由圆周角定理即可证明； ②过点D作于点G，作交射线于点H，由面积关系得， 易证，得，从而得，由此求得，；再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点G，连接，如图， 则， 即， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：由（1）的结论知，， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴平分； ②解：如图，过点D作于点G，作交射线于点H， 由①知平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 14．（2026·黑龙江绥化·二模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． (1)尺规作图：如图1，过点作圆O的两条切线、切点分别为点，点（保留作图痕迹，痕迹要清晰）； (2)如图2，连接并延长交圆O于点，连接，已知，圆O的半径，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以的中点为圆心，的一半为半径画圆与圆O交于两点Q和R，连接、，即为所求； （2）连接交于点H，连接，根据，得出是线段的垂直平分线，再推出是的中位线，则，证明，则，即可求的长，再由勾股定理求即可． 【详解】（1）解：作图： ①连接，作线段的中点A； ②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R； ③连接、，则、是圆O的切线． 如图即为所求； （2）解：连接交于点H，连接，如图 、是圆O的切线， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 圆O的半径， ， ∴． 15．（2025·云南·模拟预测）如图，是的直径，弦于点，点在的延长线上，连接、，且． (1)若，求的度数． (2)求证：是的切线． (3)若，当动点在的圆周上运动时（不与A、B重合），的比值是否发生变化？若不变，求出这个比值；若变化，说明其变化的规律． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不变，，理由见解析 【分析】（1）连接，利用垂径定理得到，利用圆周角定理得到，则，再利用圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； （2）连接，利用垂径定理得到，利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接，利用垂径定理得到，到的半径到，则，利用勾股定理求得圆的半径，利用相似三角形的判定与性质得到，则，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵是的直径，弦于点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图， 是的直径，弦于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， 是的切线； （3）解：动点在的圆周上运动时（不与、重合），的比值不会发生变化，这个比值为，理由： 连接，如图， ∵是的直径，弦于点， ， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∵， ， ， ， ， ， ， 。 ∴动点在的圆周上运动时（不与、重合），的比值不会发生变化，这个比值为。 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 16．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足，结合“中称点”的定义可知，弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），再进一步分析即可；②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足，则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），再分析的两种极端位置，进而求出点D的纵坐标，再结合图形即可得出的取值范围； （2）将分别绕点，旋转得到，，连接，，，此时点在上，点在上，且，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，，根据弦为的“中称弦”可得，推出是等边三角形，则与的位置关系为外切，设与外切于点，连接交于点，进一步分析可知弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界），再结合线段上存在弦的“中称点”，利用一次函数的性质即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， ∵，， ∴点在内，点在上， ∴点，是弦的“中称点”； 延长交轴于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 又∵，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴点不是弦的“中称点”； 综上，点，是弦的“中称点”； ②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 则， ∵， ∴， ∵是和的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴点D的纵坐标为； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 同理可得，点D的纵坐标为； ∵弦为的“中称弦”，且， ∴， 又∵， ∴点D的纵坐标的取值范围是； （2）解：将分别绕点，旋转得到，，连接，，， 此时点在上，点在上，且， 如图，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，， 同理（1）的方法可得， ∵弦为的“中称弦”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵与的半径都为2，且， ∴与的位置关系为外切， 设与外切于点，连接交于点， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是和的外公切线， ∴， ∴， ∴弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界）； 对于，当时，；当，； ∴，， 若， 当直线恰好与以点为圆心，6为半径的圆相切时，有最大值， 记此时点为，点为， 设切点为，连接，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点恰好在以点为圆心，为半径的圆上时，有最小值， 记此时点为，则， ∴b的取值范围为； 若，由对称性可知，，， ∴b的取值范围为； 综上，b的取值范围为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $