题号猜押05 河北中考数学11+12+16题传统文化背景，选填压轴（选填题）（河北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押05 河北中考数学11+12+16题（选填题） 考点1 传统文化背景 1.【新考法】（2026·河北廊坊广阳区·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·河北石家庄桥西区·一模） 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 12 3.（2026·河北张家口·摸底）我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 考点2 图形的变换 1.【新考法】（2026·河北廊坊广阳区·一模）如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·河北邯郸广泰中学·一模） 如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点C折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，再次展平，若交于点G，连接．有下列结论：①；②与全等；③线段EG的长为；④若P、Q分别为线段上的动点（不包括端点），则的最小值是；其中，正确的结论是_____． 3.（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 考点3 多边形综合 1.【新考法】（2026·河北石家庄二十八中·一模）在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·河北邯郸临漳县·一模）如图，点O是正八边形内一点（不含边界），若这个正八边形的边长是4，则点O到这个正八边形各条边的距离之和为_______． 3.（2026·河北邯郸临漳县·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（ ） A. B. C. D. 考点4 规律探索 1.（2026·河北邯郸邯山区·摸底） 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 考点5 圆的综合 1.（2026·河北石家庄高新区·一模）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 2.（2026·河北邯郸广泰中学·一模）正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A. B. C. D. 3.【新考法】（2026·河北石家庄长安区·一模） 如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（ ） A. 结论I正确，结论II错误 B. 结论I错误，结论II正确 C. 结论I正确，结论II正确 D. 结论I错误，结论II错误 考点6 二次函数综合 1.（2026·河北石家庄高新区·一模）已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 2.（2026·河北石家庄·摸底）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 1.（2026·河北石家庄裕华区·一模）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·河北廊坊广阳区·一模）如图，O为正六边形内部（不含边界）的任意一点，边的延长线交于点G，若，，用含a，b的代数式表示的面积为_________． 3.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 垂直平分 4.（2026·河北石家庄新华区·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（ ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 5.【新考法】（2026·河北石家庄新华区·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 6.（2026·河北邢台第三中学·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.（2026·河北邢台第三中学·一模）如图，边长为3的正六边形，点，为边的三等分点，点，为边的三等分点，连接，则_____． 8.（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 12 9.（2026·河北张家口·一模）如图，等边三角形中，，点D在上，，将点D绕点C顺时针旋转，得到点E，连接，交于点F，则_______． 10.（2026·河北石家庄桥西区·一模）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，，则①的大小为；②点E到的距离为；③若连接，则；④若连接，则．以上说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11.（2026·河北石家庄桥西区·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 12.（2026·河北唐山·一模） 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 13.【新考法】（2026·河北张家口·摸底）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 14.（2026·河北石家庄·摸底）如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 15.（2026·河北石家庄长安区·一模）如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 16.（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（ ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等； 乙：若，则． A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 17.（2026·河北石家庄二十八中·一模） 如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为______． 18.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 河北中考数学11+12+16题（选填题） 考点1 传统文化背景 1.【新考法】（2026·河北廊坊广阳区·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中，由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而即可求得的长． 【详解】解：如图， ∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由图形的拼接可知，， ∴． 2.（2026·河北石家庄桥西区·一模） 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】解：由对角线和最后一列可得 ， ∴ ． 3.（2026·河北张家口·摸底）我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 【答案】C 【解析】 【分析】依次计算各次律长，再验证各选项即可得到结论，用到有理数乘法运算知识． 【详解】解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以， 已知，依次计算得： ∵，， ∴选项A正确； ∵，， ∴，选项B正确； ∵， ∴ 选项D正确； 计算得： ，，， ∵，即不在寸与寸之间， ∴选项C错误． 考点2 图形的变换 1.【新考法】（2026·河北廊坊广阳区·一模）如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由菱形的性质求出，由位似变换得，根据点得平移方式为先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，设菱形内任意一点，经过操作后对应点，由点与重合可得，，从而可求出点的坐标为． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 2.（2026·河北邯郸广泰中学·一模） 如图，矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后，再过点C折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，再次展平，若交于点G，连接．有下列结论：①；②与全等；③线段EG的长为；④若P、Q分别为线段上的动点（不包括端点），则的最小值是；其中，正确的结论是_____． 【答案】 ①③ 【解析】 【分析】，，在中，，判断①；由，得 与不全等，判断②；中分别求出和的长，进而求出，判断③；利用轴对称性质将转化为，根据垂线段最短求出最小值，判断④． 【详解】解：①由折叠可知，垂直平分，， ，， 在中，， ， 四边形是矩形， ， , 故结论①正确； ②根据折叠的性质，可得， ∵， 与不全等， 故结论②错误； ③在中，，， ， 同理：， ， 故结论③正确； ④连接，由折叠可知，点与点关于直线对称， ， ， 当、、三点共线，且时，的值最小， 最小值为点到的距离， ，， 是等边三角形， 点到的距离为， 的最小值是， 故结论④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 3.（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，设与相交于点，则，由得，即得，再根据解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相交于点，则， ∵点到的距离是点到距离的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴ 考点3 多边形综合 1.【新考法】（2026·河北石家庄二十八中·一模）在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算．根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在边长为3的正六边形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故选：B． 2.（2026·河北邯郸临漳县·一模）如图，点O是正八边形内一点（不含边界），若这个正八边形的边长是4，则点O到这个正八边形各条边的距离之和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形有四组相互平行的对边，每组对边之间的距离都相等，与点O的位置无关，解答即可． 【详解】解：如图，是等腰直角三角形， ∵正八边形有四组相互平行的对边，每组对边之间的距离都相等，， ∴， ∴每组对边之间的距离为， ∴点O到这个正八边形各条边的距离之和即为． 3.（2026·河北邯郸临漳县·一模）如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转，得，可证G，B，P三点共线，证明得，从而可求出，然后根据即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，如图所示，则，，， ∴， ∴G，B，P三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 考点4 规律探索 1.（2026·河北邯郸邯山区·摸底） 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 考点5 圆的综合 1.（2026·河北石家庄高新区·一模）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，即可得出，即可求解； （2）连接，，根据已知得出，求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形和等边三角形内接于，点和点重合 ∴， ∴ ∴ ∴ （2）连接，， ∵正方形中， ∴，，则 ∵是的中点， ∴ ∵等边三角形内接于， ∴， ∴ ∴ ∴的长为 2.（2026·河北邯郸广泰中学·一模）正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．延长、交于点，连接交于点，连接，由正六边形的性质得，，求得，，则△是等边三角形，所以，则，求得，由，证明是的直径，则经过点，所以，则，可知在旋转过程中，点第一次落在上的点处，旋转角为，所以点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧，由弧长公式求得点的运动轨迹长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，连接， 六边形是正六边形，， ，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 是的直径， 经过点， ， ， ， 将正六边形绕点顺时针旋转，则点第一次落在上的点处，旋转角为， 点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧， 点的运动轨迹长， 故选：A． 3.【新考法】（2026·河北石家庄长安区·一模） 如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（ ） A. 结论I正确，结论II错误 B. 结论I错误，结论II正确 C. 结论I正确，结论II正确 D. 结论I错误，结论II错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的性质得到每个圆心角的度数为，结合题意得到，由切线的性质即可判定结论I；根据切线的性质，矩形、正方形的判定和性质得到则，再证明，由此列式求解即可． 【详解】解：内接正九边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是与的交点，则是的半径， ∴是的切线，即结论I正确； 若与相切于点，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，则， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的直径为，故结论II错误， 综上所述，结论I正确，结论II错误 ． 考点6 二次函数综合 1.（2026·河北石家庄高新区·一模）已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】首先由一次函数得到，，然后得到抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，联立求出两个函数交点的横坐标为0和3，然后结合图象求解即可． 【详解】解：∵一次函数（）的图象不经过第三象限， ∴， ∴ ∵抛物线G的解析式为 ∴抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限， 联立一次函数和抛物线，得 解得或 ∴一次函数和抛物线的交点的横坐标为0和3， 示意图如下： ∴由图象可得，当时，． 2.（2026·河北石家庄·摸底）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，则直线的解析式为，进而得到，设向上平移个单位长度时，落在抛物线上，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得，即方程有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 解得或， ，， 当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设向上平移个单位长度时，落在抛物线上， ∴此时， ∴， 解得， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，且当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为； 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴，即方程有两个相等的实数解， ∴， 解得， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 1.（2026·河北石家庄裕华区·一模）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而求得得的长即可． 【详解】解：如图所示： ∵正方形的边长为1，即， ∴正方形的面积为1， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由图形的拼接可知：， ∴． 故选：D． 2.（2026·河北廊坊广阳区·一模）如图，O为正六边形内部（不含边界）的任意一点，边的延长线交于点G，若，，用含a，b的代数式表示的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明是等边三角形，取正六边形的中心，则正六边形可分成6个全等的等边三角形，则等边与6个等边三角形也全等，证明，可得结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 取正六边形的中心，则正六边形可分成6个全等的等边三角形， 所以，等边与6个等边三角形也全等， 过点作于点，于点，则三点在一条直线上， 过点作直线于点，则于点, ∴， ∴， ∴ 3.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解． 【详解】解：在中，，为上的中线， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵点分别是中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴，故A选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，不符合题意； 若，则， 根据上述计算，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵折叠，，， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 故选：A ． 4.（2026·河北石家庄新华区·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（ ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由待定系数法求解函数表达式，判断结论①；过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得、长度，求出长度，判断结论②；由得出点坐标以及移动后的坐标，代入直线表达式，求出，判断结论③；由中点坐标得出正方形对角线的交点坐标，再得出平移后坐标，即可求其到原点的距离，判断结论④． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴直线：，故结论①正确； 过点作轴交于点，过作轴交于点，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，故结论②错误； 同理可证， ∴，， ∴点，平移后点坐标为， 点在直线：上， 代入得， 解得，故结论③正确； 平移前，对角线交点为中点， ∵、, 其坐标为, 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确； 综上，正确的结论有①③④，故选C． 5.【新考法】（2026·河北石家庄新华区·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 6.（2026·河北邢台第三中学·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定直线的方程；然后过点作轴的垂线，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求出点的坐标；最后根据平移规律表示出平移后点的坐标，代入直线的解析式即可求出的值． 【详解】解：将点代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为，  过点作轴于点， ∵， ∴， ∵四边形正方形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵A在轴负半轴  ∴， ∴， ∴， ∴， 将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点的对应点的坐标为， ∵点落在直线上， ∴， 解得． 7.（2026·河北邢台第三中学·一模）如图，边长为3的正六边形，点，为边的三等分点，点，为边的三等分点，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长和相交于点，构造出等边三角形，从而求出和的长度，再过点作于点，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长和相交于点，过点作于点， ∵ 六边形是正六边形，  ∴，，  ∴，，  ∴是等边三角形，  ∴，  ∵点，为边的三等分点，点，为边的三等分点，  ∴，，  ∴，， 在中，，  ∴，  ∴，  ∴，  ∴， 在中，． 8.（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 延长至点，使，得到等腰三角形，再由外角的性质得到等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴， ∴， ∴． 9.（2026·河北张家口·一模）如图，等边三角形中，，点D在上，，将点D绕点C顺时针旋转，得到点E，连接，交于点F，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形和旋转的性质得出相关角相等，再利用三角形外角的性质证明，从而证得，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 将点D绕点C顺时针旋转得到点E， ，， 是等边三角形， ， 点F在$DE$上， ， 是的外角， ， 又 ， ， 在和中， ，， ， ， 即 ， ． 10.（2026·河北石家庄桥西区·一模）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，，则①的大小为；②点E到的距离为；③若连接，则；④若连接，则．以上说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和周角定义可判断①；连接，过点作，先求得和到的距离，利用三角形的面积公式可判断③；连接，延长交于P，证明，则可求得，，利用正切定义可判断④；根据平行线间的距离处处相等可判断②，进而可得答案． 【详解】解：由题意，，，，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵，， ∴，， 连接，过点作， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 连接，延长交于P， ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∵， ∴点E到的距离，故②正确， 综上，说法正确的是②③④，共3个． 11.（2026·河北石家庄桥西区·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 12.（2026·河北唐山·一模） 如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 13.【新考法】（2026·河北张家口·摸底）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平移规则依次推导次平移后点的坐标表达式，再结合平移后点在已知直线上，联立方程求解即可得到平移前的横坐标． 【详解】解：由题意得，记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和， 则，， ∴余数为， ∴第次向右平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴， ∵平移次后点落在直线上， ∴满足， ∴代入得： ， 联立得， ∴两式相加得 解得． 14.（2026·河北石家庄·摸底）如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 15.（2026·河北石家庄长安区·一模）如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 16.（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（ ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等； 乙：若，则． A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，四边形是矩形，然后根据等积法可得甲，由可设，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，故甲说法正确； 由可设， ∴， ∴， ∴ ； ∴乙的说法也正确； 综上所述：甲乙的结论都是正确的． 17.（2026·河北石家庄二十八中·一模） 如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，OA，过O作OD⊥AB，根据垂径定理可得AD=BD=AB=，根据余弦的定义、特殊角的三角函数值及圆周角定理可得∠P=∠AOB=60°，连接IA，IB，根据角平分线的定义得到∠IAB=∠PAB，∠IBA=∠PBA，根据三角形的内角和得到∠AIB=180°−(∠PAB+∠PBA)=120°，设A，B，I三点所在的圆的圆心为O'，连接，，得到=120°，根据等腰三角形的性质得到，连接，可得，解直角三角形可求出的长，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】连接，，过作， ∴， ∵， ∴sin∠AOD=， ∴， ， ， ∴， 连接，， ∵点为的内心， ∴，， ∴， ∵点为优弧上动点， ∴始终等于， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上运动， 设，，三点所在的圆的圆心为， 连接，，则， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 点移动的路径长． 故答案为： 18.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ①②，得：， ， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 河北中考数学11+12+16题（选填题） 考点1 传统文化背景 1．D 2．A 3．C 考点2 图形的变换 1．A 2．①③ 3． 考点3 多边形综合 1． B 2． 3．A 考点4 规律探索 1. 考点5 圆的综合 1. ①. ②. 2．A 3．A 考点6 二次函数综合 1．A 2．A 1．D 2． 3．A 4．C 5． 6．A 7． 8．C 9． 10．C 11．或 12． ①. ②. 13．8 14． 15．2 16．C 17． 18．D 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $