2026年初中毕业生学业考试（辽宁卷）·中考冲刺模拟试卷

**基本信息** 中考数学模拟卷共23题120分，融合《九章算术》测量井深、正五边形结等文化与创新情境，覆盖几何、代数、统计核心知识，通过实际应用与新定义题型考查抽象能力、推理意识及模型观念，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三视图、科学记数法、圆、方差|以云纹图案考中心对称，体现空间观念| |填空题|5/15|古代数学测量、正五边形角度、尺规作图|结合《九章算术》考相似，渗透文化传承| |解答题|8/75|函数建模、三角函数测量、新定义函数|托运行李费用问题考模型意识，“相关函数”题培养创新思维|

中考冲刺模拟试卷 数学 (本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线y=ax2+bx+d(a≠0)顶点坐标为（-会，) 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列几何体中，左视图为三角形的是() B 2.每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，它与地球的距离约为150000000am, 将数15000000用科学记数法表示为() A.0.15×109 B.1.5×108 C.15×10 D.1.5×10 3.下列四个数中，是负数的是() A.-（-) B.(-)2 c.-1 D.(-1)3 4.将抛物线y=2先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函 数解析式为() A.y=(x-1)2-2 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x+1)2+2 D.y=(x-1)2+2 5.云纹，迄今已有三千多年的历史，是我国人民最为喜爱的装饰图案之一，蕴含着中华民族的 文化理念和审美精神，以其顺滑飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美。以下云纹图 案都是由朵云通过不同的变换形式构造出来的，其中是中心对称图形的是() g0 双分朵云 三合云 四合云 五福云 A 6 C D 6如图，点A,B,C,D都在⊙0上，BC是⊙0的直径.若∠D=36°，则∠BCA的度数是 () A.72 B.54 C.45 D.36 7.某校要选拔一名学生代表学校参加“初中生数学素养大赛”，该校数学组统计四名同学的平时 成绩（单位：分）如下表所示： 甲 乙 丙 入 平均数/分 118 119 119 118 方差 12.1 10.2 10.8 11.3 若要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加该比赛，你认为最应该选( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.如图，在长为20，宽为15的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形.设小矩形的长是x, 宽是y,下列方程组正确的是() (x+2y=20 A.14x=15 1x+2y=20, B.{4y=15 x+2y=20, C.3y=x (x+2y=20, D.1x+y=15. 9.光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面 镜的直线叫做法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角。如图，一个平面镜斜着放在水平面 上，与水平面的夹角∠A0B=36°，从OB上的点E处发射一束光线（入射光线），经平面 镜上的点D处反射后，反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数是() A.71 B.72 c.54 D.53 10.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-专x+8与x轴，y轴分别交于点A,B,点C是线段 AB上一点.若四边形OADC是菱形，则OD的长为 A. B等 c.号 D.号 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.计算V⑧-2的结果是 12.若代数式x与x一1的比值等于专，则x的值是 13.新情境·古代数学文化《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图，在井口点B处立一 根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端点D处观察井水与并壁的交点C,视线DC与井口 的直径AB交于点E(图中所有点均在同一平面内)。若测得 AB=1.6m,BD=1m,BE=0.2m,则AC的长是 m. D 14.新课标·创新意识如图1，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平， 就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE,则∠ACD的度数是 15.如图，在△ABC中，AB=2AC,以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交边AB于点D, 分别以点D,C为圆心，大于CD的长为半径画弧、两弧交于点P,作射线AP交BC于点E, 则器的值是 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分) (15分)计算：2026°+V12+N5-2+31. 25分)计算：(a-1+市)÷. 17.(8分) 某航空公司规定，乘客可免费托运一定质量的行李，超出部分每千克按机票价格的1.5%收费且 行李总质量不得超过30千克.已知某乘客的机票价格是600元 (1)若该乘客托运了23千克的行李，托运行李后支付了27元的超重费用，求该乘客可免费托运的 行李质量。 (2)在(1)的条件下，若另一位乘客的机票价格也是600元，且他支付托运行李超重费用的预算不 超过72元，求他可托运的行李质量最多是多少千克 18.(8分) 某中学为推进素质教育，计划在下一学年开设“天文与航天校本选修课程。为了解学生对天文知 识的掌握情况，科学设计课程难度，校教研组联合天文社团开展了一次天文知识摸底测试。从九 年级随机抽取部分学生的成绩，并对成绩（百分制单位：分）进行整理、描述和分析，绘制成如下 不完整的统计图表： 组别 成绩 频数 频率 A 90≤x≤100 13 0.26 B 80x<90 a 0.32 70≤x<80 14 b D 60≤x<70 5 0.1 E 50≤x<60 2 0.04 抽取学生成绩条形统计图 人数 14 组别 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取学生的总人数是 (2)a= ,b= 抽取学生成绩的中位数在 组 (3)成绩不低于90分为优秀，若该校九年级有2000名学生，请估计九年级学生成绩达到优秀的人 数 19.(8分) 我市某新材料经销商购进一种新材料若干千克，成本为30元/千克，物价部门规定其销售单价不 低于成本价且不高于成本价的2倍。经试销发现，日销售量y(单位：千克)与销售单价x (单位：元)符合一次函数关系，对应值如下表所示： 日销售量y/千 140 130 120 110 100 克 销售单价x/元 30 35 40 45 50 (1)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. (2)若在销售过程中每天还需要支付其他费用共400元，则当销售单价定为多少元时，该经销商 每天的利润最大？最大利润是多少元？ 20.(8分) 某校数学兴趣小组开展了利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，他们对公园的一个房屋 进行观察和测量，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在 的直线。为了测量房屋的高度，在地面上点C处测得屋顶点A的仰角为35°，此时地面上点C、 屋檐上点E、屋顶点A恰好在同一条直线上，从点C继续向房屋方向走8到达点D处时， 又测得屋檐上点E的仰角为60°。已知房屋的横梁EF=12m,EF‖CB,AB交EF于点G (点C,D,B在同一水平线上)。 (I)求屋顶点A到横梁EF的距离AG (2)求房屋的高AB.(结果精确到个位) (参考数据：stm35≈0.6，cos35°≈0.8，tan35≈0.7，V3≈1.7) E G A60° D 21.(8分) 如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是直径，∠ACB的平分线交外接圆于点D,交AB于 点E,过点D的切线交CA的延长线于点F。 (1)求证：DF//AB (2)若DE=3,CD=5,求⊙0的半径 A Eδ 的 D 22.(12分) 如图I,在正方形ABCD中，点E为边AD上一点，将△AEB沿BE翻折得到△FEB,延长 EF交CD于点G,连接BG.求证：△BFG兰△BCG 如图2，在矩形ABCD中，点E为边AD上一点.将△AEB沿BE翻折得到△FEB,延长EF 交BC于点G,延长BF交CD于点H,FH=CH.若AD=8,AB=6,求AE的长， 如图3，在正方形ABCD中，AB=12,点E在边CD上，DE=4,连接AE,将△ADE 沿AE翻折，点D落在点F处，点O是正方形对角线BD的中点，连接OF并延长交CD于点 G,求FG的长 23.(13分) 定义：关于x的函数y,当m-1≤x≤m+1时，函数y的最大值为M,最小值为N,令 函数S=则称函数S为函数y的相关函数” (1)若函数y=-3x,当m=2时，求函数y的相关函数S的值. (2)若函数y=(x≥1)，求函数y的相关函数S的解析式 (3)若函数y=x2-2x+k. ①求函数y的相关函数S的解析式.（用含m的代数式表示） ②)是否存在实数k,使得函数y的最小值等于函数y的“相关函数”S的最小值？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。 ◆●选择题、填空题快速对答案《◆ 一、选择题 1 3 5 6- 78 910 8 8 D A B B A 二、填空题 11 12 13 14 15 E -1 72 2 ◆选择题、填空题解析◆ 一、选择题 3.D【解新】A.-(-1)=1:B.(-1)2=1C.|-1=1:D.(-1)3=-1.故选D. 6.B【解析】∠D=36°，∴.∠ABC=∠D=36 BC是⊙0的直径，∠BAC=90°，∠BCA=90°-∠ABC=54°.故速B. 9,B【解新】如图，过点D作DF⊥OA于点D,交OB于点F 根据题意，得∠CDF=∠EDF. ∠ADF=∠ODF=90°，∴∠ADC=∠ODE :DC//OB,.∠ADC=∠AOB=36°. .∠ODE=∠ADC=36. (第9题图) .∠DEB=∠AOB+∠ODE=72°.故选B. 10.A【解析】当x=0时y=8,OB=8. 当3=0时，0=-子+8解得x=6.六04-6 由勾股定理，得AB=√OA+OB2=10. 四边形OADC是菱形，.OD⊥AC. AOA0B-AB ODOD 写故选A 二、填空题 12-1【每折1搭搭题高：得，一宁 1 方程两边乘2(x-1),得2x=x-1.解得x=一1. 检验：当x■一1时，2(x一1)≠0.原分式方程的解是x=一1， 13.7【解析】：AB=1.6,BE=0.2,.AE=AB-BE=1.4, 易得AC∥BD.∴△AEC∽△BED. 能-品兰华舞释AC-7 1.4_AC 14.72°【解析】：五边形ABCDE是正五边形， 六∠ABC=∠BCD=108,AB=BC.∠BAC-∠BCA=2(180°-∠ABC)=36° .∠ACD=∠BCD-∠BCA=72° 15.号【解析】脚国，连接ED,过点B作BG/DE交射线AP于点C. ∴∠G=∠AED,△ADEC∽△ABG. 0器 AB=2AC,AD=AC,∴.AB=2AD.∴.BG=2DE. (第15题图) 由作图可知∠EAD=∠EAC AE=AE,,△EAD≌△EAC(SAS),∠AED=∠AEC,DE=CE ∴∠G=∠AEC CE 1 :∠BEG=∠AEC,∠BEG=∠C.∴BE=BG=2DE.÷BE-立 三、解答题 16①解，原式-1+25+2-万+号 …3分 -9+月.5分 (2)解：原式-a-1)(a十1)+1×a+1 a+1 a2+3a …8分 × 444+……9分 a+3 ，*…10分 17.解：(1)设该乘客可免费托运的行李质量是x千克. 根据题意，得(23一x)X600X1.5%=27.…2分 解得x=20. 答：该乘客可免费托运的行李质量是20千克。……4分 (2)设他托运的行李质量是y千克. 根据题意，得(y一20)×600X1.5%≤72. 6分 解得y≤28。…7分 答：他可托运的行李质量最多是28千克，…8分 18.(1)50…2分 (2)160.28B4…4444……5分 (3)解：2000×0.26=520（人）. 。 答：估计九年级学生成绩达到优秀的人数约为520人。…8分 19.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx十b. 140=30k+b, k=一2， 将(30,140)，(40,120)代人，得 解得 120=40k+b. 6=200 y关于x的函数解析式为y=一2x十200(30≤x≤60).…4分 (2)设该经销商每天的利润为心元. 根据题意，得0=（一2x十200）(x一30)一400=一2x2+260x一6400.…5分 260 ”-2<0,对称轴为直线x=一2X二2=65， 抛物线开口向下，当30≤x≤60时，阳随x的增大而增大.…6分 “当x=60时，该经销商每天的利润最大.…7分 当x=60时，0=-2×602+260×60一6400=2000. .每天的最大利润是2000元 答：当销售单价定为60元时，该经销商每天的利润最大，最大利润是2000元.…8分 20.解：(1)AB⊥BC,,∠ABC=90°， .EF∥CB,∴.∠AEG=∠C=35°，∠AGE=∠ABC=90 :房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线， 六EG=2EF=6.2分 在R△ABG中，an∠ABG-合瓷， .AG=EG·tan∠AEG=EG·tan35°6×0.7=4.2(m). 答：屋顶点A到横梁EF的距离AG是4.2m.4分 (2)如图，过点E作EH⊥CB于点H. .∠EHB=∠GBH=∠EGB=9O°. ,四边形EHBG是矩形. ∴GB=EH,EG=HB. EH a35 在Rt△CEH中，'tanC= CH' (第20题图) cH-路-器-9H. …5分 在Rt△DEH中，：tan∠EDH= EH ,D一号一号…6分 tan60 :CD+DH=CH,CD-CH-DH,即9EH-吕EH-解得EH-9.52, .GB=EH=9.52.,AB=AG+GB=4.2+9.52=13.72≈14(m). 答：房屋的高AB约是14m. 21.(1)证明：如图，连接OD :AB是⊙O的直径，.∠ACB=90° :CD是∠ACB的平分线， 2∠ACD=∠BCD=2∠ACB=4581分 D (第21题图) ∠A0D=2∠ACD=90°.……2分 :DF是⊙0的切线，OD⊥DF..∠ODF=90°.∠ODF十∠AOD=180° DF∥AB. …3分 (2)解：如图，连接BD. N∠ACD=∠BCD,∠ACD=∠ABD,,∠BCD=∠ABD.…4分 ☑BDC=LEDB,△BCDO△EBD.0-0BD=CD·ED,5☑ :DE=3,CD=5,,BD2=15∴BD■/15（负值舍去）.…6分 ∠B0D=180°-∠AOD=90°，OB=OD, 由勾股定理，得0B2十OD2=BD2.20B2=(/15)3.…7分 08=00-00的￥径是 2 …8分 22.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴，AB=BC,∠A=∠C=90. 由翻折可知，BA=BF,∠A=∠BFE=90° ∠BFG=∠C=90°，BF=BC.…1分 ,BG=BG,,Rt△BFG≌Rt△BCG(HL).… …2分 (2)解：如图1，连接GH. :四边形ABCD是矩形，∠A=∠C=90°，AD=BC=8. 由翻折可知，∠A=∠BFE=∠BFG=∠HFG=90°，∠AEB ∠FEB,AB=BF=6. FH=CH,GH=GH,∴Rt△HFG≌Rt△HCG(HL). ℉G=CG.3分 (第22题图1) 设CG=x,则FG=x,BG=8-x. 在Rt△BFG中，由勾股定理，得BF十FG2=BG 6+r=(8-x识.解得z=子 0-PG-7,BG-5 4 小44444444…5分 ADI∥BC,∴∠AEB=∠EBC. ∠AEB=∠GEB,∠GEB=∠EBC.n6分 ∴BG=BG-华EF=BG-FG-5-7-号 44=2 AE-EF-是 小小4444*4447分 (3)解：如图2，连接DF交AE于点M,设BD与AE交于点N, 四边形ABCD是正方形.ABCD.∴△DNE△BNA, 器-器- …8分 设DN=m,则BN=3m.BD=BN+DN=4m. :点O是正方形对角线BD的中点，OD=乞BD=2m. (第22题图2) ON=OD一DN=2m一m=m.点N是OD的中点.…9分 由翻折可知，DM=FM,DM⊥AE. ,NM是△DOF的中位线..NMOF,∠DMA=∠DFO=90 'DE=EF,∴∠EDF=∠DFE..9O°-∠EDF=90°-∠DFE,即∠EGF=∠EFG EF=EG=DE=4.DG=8.…10分 在Rt△ADE中，AD=AB=12,DE=4, ∴由勾股定理，得AE=√AD+DE=4√/0. ……11分 :NM∥OF,∴.∠AED=∠DGF. :∠ADE=∠DFG,∴△ADE∽△DFG. 器-瓷壳G …12分 5 23.解：(1)根据题意，得y=一3x,1≤x≤3. :一3<0，y随x的增大而减小 六当x=1时，M=一3：当x=3时，N=一9.…1分 S=3-（二92=3 2 2分 (2)根据题意，得m一1≥1.解得m≥2. :4>0,∴当x≥1时，y随x的增大而减小. 当xm-1时，M=兰当x一m十1时，N- m十7…3分 44 ∴S=m一1m+万 2 是-（m≥2》.4分 一一 (3)①根据题意，得y=(x一1)2十一1，m-1≤x≤m十1. 抛物线的对称轴是直线x=】.…5分 当x=m-1时，y=(m-2)2+表-1：当x=m十1时，y=m2+k一1：当x=1时y=k一1. :1>0,抛物线开口向上. ,当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.…6分 1.如图1，当m+1<1,即m<0时，M=(m-2)2+k-1,N=m2+-1. 5=m-2》2+4--(m2+-D=-2m十2.…7分 2 Ⅱ.如图2，当m一1>1，即m>2时，M=m2+k-1,N=(m-2)2+一1. 5=m2+-1-[飞m-2》+6-卫-2m-2.…8分 2 Ⅲ.当m一1≤1≤m+1,即0≤m≤2时. 如图3，d,=1-(m-1)=2-m,d2=m十1-1=m, 当d,<d,2-m<m,即1<m≤2时，M=m2+k-1,V=k一1. 5m十k1-…9分 2 如图4，当d1≥d2,2-m≥m,即0≤m≤1时，M=(m-2)2十k一1，N=k-1, ÷5=m-2)+é-1-(-1D-1 2 m2-2m+2. 一2m十2(m<0), 2m-2m十2(0≤m≤1)， 1 综上所述，S= 4444…10分 2m(1<m≤2)， 1 2m一2(m>2). (第23题图1) (第23题图2) (第23题图3) (第23题图4) @存在实数k,使得函数y的最小值等于函数y的“相关函 数”S的最小值 S的图象如图5所示，由图象可知，当m=1时，S= 1 .y=(x-1)2+k-1,0≤x≤2. ,1>0,∴函数y对应的抛物线开口向上 12 六当x=1时，ymh=表一1.w12分 (第23题图5) 一1-宁解得-2登 2 …13分