2.重难题型卷(一) 二次根式及运算-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同调研卷 八年级下RJ5E 2.重难题型卷（一） 湘靴 二次根式及运算 冠 州 题型一 非负性的应用 岩期 1.(期末·海淀区)如果√x有意义，那么x的取值范围是( A.x>0 B.x<0 C.x≥0 D.x≤0 2.(期中·北京十一学校)若√x+1-√-1-x=(x+y)2,则y-x 的值为( A.-1 B.1 C.2 D.3 3.(期末·西城区)若√a-1+√b+5=0,则a= b= 4.使√(6-x(x-4)2=(4-x)V6-x成立的x的条件是 5.已知y=x-3+3x+12 求xy的值 x-3 精品图书 金星教育 6.(期中·房山区改编)已知12025-m+√m-2026=m,求m- 茶 20252的值 巡加 阳删 题型二二次根式的化简 类型1利用“Va2”化简 7.（期中·北京十二中)若y<0,则x2y化简后的结果是( A.x√ B.x-y C.-x-y D.-x/y 8.（期中·人大附中)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化 简√-√b+V(a-b的结果是( 第8题图 A.-2a B.-2b C.2b-2a D.0 9.（期中·北京一零一中学)已知m,n是两个连续自然数(m< n),且q=mn,设p=√q+n+√q-m,则下列对p的表述中 正确的是() A.总是偶数 B.总是奇数 C.总是无理数 D.有时是有理数，有时是无理数 10.开放性试题若Y区=1，请写出一个符合条件的x的值： 11.(月考·北京四中)已知x,y为实数，且y<√x-1+√1-x+3, 化简：by-3引-Vy2-8y+16= 12.(期中·北大附中)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简： V(a+1)2-Vb-l02-(a-b2 b -2-10121 第12题图 13.（期中·北京理工大附中)阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成 另一个式子的平方. 例如：4+25=1+3+23=12+2√5+(V3)2=(1+V3)2. 这样小明就找到了一种把类似4+23的式子化为完全平方 式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)结合小明的探索过程填空： 大 5=(1+25)2 (2)7+4V3的算术平方根为 (3)化简： V3-2W2+V5-2W6+V7-212+…+V2n+1-2√n(n+ (n为正整数) 爱学子 拒绝盗印 类型2分母有理化 14已知a=5+1,6=月则a与b的关系是( A.ab =1 B.a+b=0 C.ab=-1 D.a=b 15.若x为实数，在“，。1一”的“公”中添上一种运算符号（在 (V3+1)△x “+”“_”“×”“÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则 x不可能是() A.V3+1B.√5 C.25 D.1-V5 16.（期中·北京四中)在学习二次根式的过程中，小柏发现一些 特殊的无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由（√2+1）（√2-1）=1，可得√2+1与√2-1互为倒 数，即方=5-1方5+1 √2+1 3+=5-反， 类似地，。1 5万=5+5 2+62-3,、1 1 ’2-g=2+V5; 根据小柏发现的规律，解决下列问题： (1)4+3 1 ’a+i+Va (a为正 整数) (2)若、—=2√3-x,求x的值 2W3+x 精品图书 金星教 17.方法探索阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二 次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如√ā与 √a,√2+1与√2-1.这样，化简一个分母含有二次根式的 式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可 以了.例如： 2=2×3=6,2= 23+V3)_=23+V3) V5=3x5=3’3-V33-√3)3+√3)9-3 =23+V3)_3+V3 6 3 (1)请你写出3+√11的有理化因式： (2)请仿照上面的方法化简1-b(b≥0且b≠1). 1-√b 3)已知a=，b=62求Va+b+2的值 题型三二次根式的求值 18酸材习题改（海中：人大附中)若-左=-2，则，丘+ 的值为 x 19.(期中·北京三十五中改编)若a=3+√5，b=3-√5，则 号名的值为 20.（期中·北京中学)已知x=2-√3，求代数式(7+4√3)x2+ (2+√3)x+V3的值. —6 21.(期中·北京一六一中学)已知x=2-√3，y=2+√5，求 下列代数式的值： (1)x2+xy+y2. (2)x2y-xy2, 22.(期中·北京八中)阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：m+V1-6m+9m2,其中m=5”,甲、 乙两人的解答不同： 甲的解答：原式=m+√1-3m)2=m+1-3m=1-2m=1- 2×5=-9. 乙的解答：原式=m+√1-3m)2=m+3m-1=4m-1=4× 5-1=19. (1)你认为 的解答是错误的，原因是未能正确运用 二次根式的性质： (2)模仿上面正确的解答，化简并求值：√m2-10m+25+ V9-6m+m,其中m=子 烯S=ab=200m2. 根据(2)的结论可得a+2b≥2√a2b=2W2ab=2√2×200= 2×20=40,∴.篱笆至少需要40m 2s.解1,4+名=5店2)a+2=6+1年2 1 1 E+2*1=n2 (3)证明如下：等式左边=Vn+2 .n+1)2 =(n+1)· 干=右边故發想成立 1 1 (4)20265分析：V2025+2027×V4054=2026/2027 ×V2×2027=2026W2. 26.【解101)由题意可知4a≥0，解得a≤4，b≥0 b≥0， (2)①当a是正整数时，a可以取1,2,3,4，这时b的对应值为 √3，√2,1,0.又：5b是有理数，∴.b=√3或b=0. ②-8，-296.分析：，V3b是有理数，.b是V3的整数倍. 当a是整数时，b从小到大排列为0,3,2√3,35，…，则排 在第3个位置的数为23，排在第11个位置的数为10√3， 由4-a=12,解得a=-8,由4-a=300,解得a=-296. 故将符合条件的α的值从大到小排列后，排在第3个位置和第 11个位置的数分别为-8，-296. 2.【解1(1)32+432432+4 2 (2)Ja-Ja-I=(la-Va-1)(Ja+Ja-1)_1 √a+√a-1 va+√a-i Va+i-Va=a+i-回a+i+@= 1 a+1+va a+1+va .a+1+√a>√a+√a-1>0, a+a可>a+i+a .√a-√a-1>√a+l-√a. (3)由条件可知x≥-2 1 :y=V2x+4-V2x+1 、3 2+4+V2x+)2x+4-2x+D242x V2x+4+V2x+1 “x=-号时，V2x+4+V2x+1有最小值5， y=2x+4-2x+1的最大值为3=5 3 28.【獬】(1)√x-2=1,两边同时平方得x-2=1,解得x=3. 检验：将x=3代人原方程，成立. 所以原方程的解为x=3. (2)Vx2+4x-3=x-1, 两边同时平方得+4-3=(x-12,解得x=子 检验：将x=号代入原方程，不成立. 所以原方程无解、 2.重难题型卷（一）二次根式及运算 1.C 2.C【解析】由题意可知x+1≥0，-1-x≥0，∴.x=-1, .(x+y)2=0,∴.x+y=0,.y=1, ∴y-x=1-(-1)=2.故选C. 真题圈数学八年级下RJ5E 3.1-5【解析】√a-1+Vb+5=0,∴.a-1=0,b+5=0, 解得a=1,b=-5.故答案为1；-5. 4.x≤4【解析】由题意得6-x≥0且x-4≤0，∴.x≤4.故答案 为x≤4. 5.【解】由题意可知x-3≥0,3-x≥0，.x州=3，.x=±3. 又：x3≠0x=-3y=号=2=9×(-2)=-18 6.【解】：m-2026≥0，.m≥2026，.2025-m<0, ∴.原方程可化为m-2025+√m-2026=m, ∴.√m-2026=2025,∴.m-2026=20252, ∴.m-20252=2026. 7.D【解析】：x≥0，.y≥0. y<0,x<0,y>0,.Vx2y=-x√.故选D. 8.A【解析】由数轴可得a<0<b,a-b<0,∴.原式=la-bl+la-bl =-a-b+b-a=-2a.故选A 9.B【解析】由题意得n=m+1,q=mn,9=m(m+l)= m2+m,.p=√g+n+√g-m=Vm2+m+m+1+√m2+m-m =√m2+2m+1+√m2=√m+1)2+√m2=m+1+m=2m+1, ∴p的值总是奇数.故选B. 10.1(答案不唯一)【解析：区=1，F=以，以=x且 x≠0，.x>0即可.故答案为1（答案不唯一）. 11.-1【解析】：x-1≥0,1-x≥0，.x=1. 又.y<√x-1+V1-x+3,∴.y<3, .by-3引-Vy2-8y+16=3-y(4-y)=-1.故答案为-1. 12.【解】根据题意，得-1<a<0<b<1, .a+1>0,b-1<0,a-b<0, 则原式=la+1-|b-1-a-b1=a+1+b-1+a-b=2a. 13.【解】(1)214分析：(1+2W5)2=1+45+20=21+45 (2)2+√5 分析：V7+4W3=V22+2×2×√3+(W32=V(2+5)2=2+5 (3)原式=VW2)-2W2+1+V(W5)2-2×V5×V2+(2)2+ √22-2×2×V5+(W3)2+…+VWn+1)2-2Nn+1Vn+(Wm)2 =W2-12+VW3-2+V2-3)++Vm+1-m =√2-1+√3-√2+2-V5+…+√n+1-√n =Vn+1-l. 4W5+)-=5+1, 14.D【解析1b=55+5-可 4」 又a=5+1,所以a=b.故选D. 15.C【解析】A.（√3+1)÷（√3+1）=1，故本选项不合题意； B.(√5+1)-√5=1，故本选项不合题意； C.(√5+1)与23无论是相加、相诚、相乘、相除，结果都是无 理数，故本选项符合题意； D.(V5+1)(1-√5)=-2，故本选项不合题意.故选C. 16.【解】(1)14-√13√a+1-a ②25t225-x25n25-0=1 .12-x2=1,.x=±11 17.【解】(1)3-11 (2)1-b=-bI+⑥=0-bI+=1+V6. 1-√61-V6)1+V6) 1-b 答案与解析 a=2-5-26=g中225. V3+2 .a+b=-2W3,ab=-1, ∴Va2+b2+2=V(a+b2-2ab+2=(-2W5)2-2×(-1)+2 =16=4. 2a【g粉-（右4上 (-2)244=8, :压+上>0，“F+上=⑧=22.故答案为22 x V√x 19.35【解析】：a=3+√5，b=3-√5， .a+b=6,ab=9-5=4,a-b=2W5, ·g-名-b-a+0-0_x25=35. ab ab 20.【解】x=2-√5，x2=(2-√3)2=7-45， .(7+43)x2+(2+V3)x+V3 =(7+45)(7-45)+(2+√5)(2-5)+√5 =[7-(45)2]+[22-(V5)2]+5 =1+1+3=2+√5. 21.【解x=2-3,y=2+3,.x-y=-2W3,y=1. (1)x2+9y+y2=(x-y)2+3xy=(-2√5)2+3×1=12+3=15. (2)xy-xy2=xy(x-y)=1×(-23)=-2V3. 22.【解】(1)甲√a2=a分析：当m=5时，1-3m<0, ∴V1-3m)2=1-3ml=3m-1. (2)Vm2-10m+25+V9-6m+m2 =Vm-5)2+V3-m)2=lm-5+3-ml. 当m=7时，m-5<0,3-m<0, ∴原式=5-m+m-3=2. 3.第二十章学情调研 题号12345678 答案BB CAAA CB 1.B【解析】：AC2-BC2=AB,.AC2=BC2+AB2, ∴.∠B=90°.故选B. 2.B【解析】若要构成直角三角形，则斜边所用火柴棒根数的平 方=62+82=100，故斜边需用火柴棒的根数为10.故选B. 3.C【解析】：S=3,S=11,S,S,S,分别表示这三个正方 形的面积，.BC=3,AB2=11.:∠ACB=90°，∴.AC2+BC =AB2,AC2=11-3=8,S,=AC=8.故选C. 4.A【解析】AD是BC边上的中线， ·BD=DC=5BC=7×6=3. AD2+BD2=42+32=25,AB=52=25, .AD2+BD2=AB2,.∠ADB=90°， .AC=AB=5.故选A. 5.A【解析】A..32+42=52,.△ABC是直角三角形，符合题意； B.任何三角形都有∠A+∠B+∠C=180°，.△ABC不 一定是直角三角形，不符合题意；C.AC=BC=AB, ∴△ABC是等边三角形，∴△ABC不是直角三角形，不符合题 意；D.:∠A:∠B:∠C=2:3:4,.△ABC中最大的角∠C= 2+4×180°=80°，△ABC不是直角三角形，不符合题 意.故选A 6.A【解析】根据题意可得图形，如图，AB= 12cm,BC=9cm.在Rt△ABC中，AC= √AB2+BC2=V122+92=15(cm),18-15= 3(cm),18-12=6(cm),所以这只铅笔在笔 筒外面部分的长度在3cm~6cm之间.观 B 察选项，只有选项A符合题意.故选A 第6题答图 7.C【解析】如图，OA=2,AB=3,AB⊥OA, ∴.在Rt△AB0中，OB=VOA+AB2=√22+32=√3 又：以点O为圆心，OB的长为半径作弧，所得圆弧与数轴原 点右侧交点为点P,.OP=OB=V13. .√9<13<16，.3<13<4. 故选C B B h-- 第7题答图 第8题答图 8.B【解析】根据题意，可知点D在线段AC的垂直平分线上， :△ABC是等边三角形，∴.点B在AC的垂直平分线上， .BD垂直平分AC,如图所示.，等边三角形ABC的边长为2， .AB=2,AE=1,.BE=V5.根据图形可知，当D,B在AC 的同侧时，CD的值最大，此时DE=BD+BE=3V3,CE=1, 根据勾股定理，得CD=2√7.故选B. 9.①3,4,5②6,8,10（答案不唯一）10.2 11.1【解析AB=5m,BC=3m, ∴AC=VAB2-BC2=V52-32=4(m). .'AD=1 m,.CD=AC-AD =3(m), .CE=VDE2-DC2=V52-32=4(m), .BE=CE-CB=1(m).故答案为1. 12.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形 是直角三角形 13.空【解析】：沿直线MW折叠，点C与点A重合， .AN=CN.设AN=CN=x,则BN=AB-AN=4-x. 在Rt△BCN中，(4-2432=，.25-8+=，解得x=2 8 故答案为25 8 14.V5+1或V5-1【解析】分两种情况：①点Q在线段BC的延 长线上，如图①，：∠ACB=90°，∴.∠ACQ=180°-90°=90° AC=1,AQ=2,.QC=V22-12=√5 .'BC 1,..BQ QC+BC=3+1. A R B ① 第14题答图 ②点Q在线段CB的延长线上，如图②， :∠ACB=90°，AC=1,AQ=2,QC=V22-1P=V3 .BC=1,.BQ QC-BC=3-1. 综上，线段BQ的长为V3+1或V5-1. 故答案为V3+1或V3-1.