河北省衡水市部分学校2025-2026学年高二年级4月质量检测数学试卷

4月高二质量检测 数学参考答案 1.【答案】C 【解析】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法， 所以共有3×4×2=24种选法.故选C. 2.【答案】A 【解析】随机变量x的所有取值的概率之和等于1，即+a十2+2a=1,解得a=} 2 故选A. 3.【答案】C 【解析】从5名同学中选3人进行排列，共有A?=5×4×3=60种.故选C. 4.【答案】B 【解析】A.“不放回”摸球，第二次摸出红球的概率受第一次结果影响，试验不独立，不服 从二项分布 B.射击5次可看作5次独立重复试验，每次击中概率均为0.8，符合二项分布定义， X~B(5,0.8) C.“不放回”抽取，概率随抽取过程改变，不服从二项分布 D.二项分布要求每次试验的成功概率固定不变该选项中，每道选择题答对的概率不相同，因 此不服从二项分布.故选B. 5.【答案】c 【解析】直线y=x+1与f(x)=血(x+a相切，设切点(x,x+1),所以f(K)==1, x。+ 得x=1-a,又因为x。+1=n(x。+a),解得a=2.故选C 6.【答案】C 【解析】首先求出事件A与B同时发生的概率P(AB): 振指会式P4U列-P4+P(-P(B).即分号}r(),郭行P4)-6所以 P(BA)- 合3故适c P(AB)1 7.【答案】B 第1页 【解析】由题知，有且仅有两块不相邻区域同色，其中2和4不相邻，3和5不相邻，共2 组，从2组中选一组，有C种，把这一组看作一个整体，从5种颜色中选4种，涂在区域上， 有A种，故共有CA=240种.故选B. 8.【答案】D 【解析】设X为游戏结束时抽取的次数，中奖情况：若只抽到初始的1个旧球即中奖，此时 X-Px-小 若抽到过1个新球，则共丢弃2个旧球，此时X=3,Px=3)=3×2×} 4438 若抽到过2个新球，则需丢弃3个旧球，此时X=5,路径有（新，新，旧，旧，旧）和（新， 1.则2}子号}站 不中奖情况：若不中奖，则侧箱子为空，意味着3个新球都被抽过且4个旧球最终都被丢弃每 个新球需抽两次（一次变旧一次丢弃），初始旧球抽一次，故总次数必为X=3×2+1=7. 其概率P(X=7)=1-P(X=1)-P(X=3)-P(X=5)=1- 1,1,1743 89696 5x17 综上.X的数学期塑()-1+3 8 +7×43223 96 96-48 故选D 9.【答案】BD 【解析】先从4件作品中选出2件作为一组，有C=6种选法，再将这三组分配到三个展区， 共有CA?=6×6=36种方案，故A错误： 若作品A单独在甲展区，则剩余3件作品分配到乙、丙两个展区且每个展区至少1件，共有 CA;=6种方案，故B正确： 若作品B与作品C必须在同一展区，则它们必须捆绑成一个整体，共有A=6种方案，故C 错误； 甲展区恰好获得2件作品有C2=6种选法，剩余2件分配给乙、丙各1件有A?=2种选法， 共有6×2=12种方案，故D正确.故选BD 10.【答案】ABD 【解析】由正态分布性质易知，A正确： D(3X-1)=32D(X)=18,B正确： 第2页 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)HP(B)-P(A)P(B)=O.72,C错误： )(()=()((()(( P(AB) 所以P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立，D正确故选ABD. 11.【答案】ABD 【解析】f(x)=3x2-6ax+3=3(x2-2ar+1) 当a>1时，f'(x)=0的两根为x=a士Va2-1,且函数y=f'(x)的图象开口向上，故f(x)在 (0,a-a-,(a+v匠-1，+∞)上单调递增，在(a-v-i,a什a2+上单调递减，可 知x=a-Va2-1是极大值点，A正确； 因为f(x)+f(2a-x)=-4a3+6a+2,所以y=f(x)的图象关于点(a,-2a3+3a+1)中心对称， B正确： 若f(x)在[0,2]上单调递增，则f"(x)≥0在[0,2]上恒成立，即x2-2ax+1≥0在[0,2]上恒成 立，即2ax≤x+1.当x=0时，aeR:当0<x≤2时，2a≤x+1,因为x+1之2，当且仅当 x=1时取等号，所以2≤2，解得a≤1.综上，a≤1，C错误： 因为x,x都是f(x)=f(x)的解，且∫(x)=0,则x是方程f(x)=f(x。)的二重根，另一 根为x,则有f(x)f(x)=(x-x)(x-x)=x-(x+2x)x2+(2xx+)x-xx，所以 f(x)=x-(x+2xo)x2+(2xx+x6)x-x+f(化)，又f(x)=x3-3ax2+3x+1且f(x)为常数， 可得x+2x,x=3,D正确.故选ABD 12.【答案】7 【解析】由C=3A得”0--3n,因为n≥2，解得m=7. 2 13.【答案】(0，e2)(写成其他形式也给分) 【解析】由题意知，x∈(0，+o),(x)=lnx+1+2-x=nx-x+3.f(x)有两个极值点， 第3页 ∴f(x)=0在(0，+)上有两个不等的实根，即m=血x+3有两个不等的正实根令 h.Qge2-,令g0=0.解得=8当0e)时， x2 g(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(e2,+o)时，g(x)<0,g(x)单调递减，g(x)极大值为 g(e2)=e2,当x>0且x→0时，g(x)→-0；当x→+∞时，g(x)→0.作图如下，由图可知 0<m<e2 y=m y=g(x) e 14【答案】 96 【解析】由选手恰好答对1道题可得第1题对，第2题错 ①第1题为A: 1x3×1x1+2x1-5 2×43×43*232 ②第1题为B: 11.21,111 2×23*4+32厂12' 所以P=2296 5,123 一十 (判卷老师们好，大题的解题方法不唯一，命题老师给出的只是一种解题方法的参考答案， 如果学生答题时使用了其他方法，请判卷老师根据参考答案酌情给分。方法正确，过程无错 误，结果也正确的，都可以给满分。) 15.【解析】(1)由题意得c:c=r2,即(”-1：m-1m-2）=12, 2 6 解得n=8,…4分 则展开式中所有二项式系数的和为28=256.…6分 (2》展式的通项公式为xm=C5（-G2(1x 第4页 令8-3=一5，解得=6.… …9分 2 所以含x5项的系数为C%×28-6×(-1)°=28×4x1=112.… …10分 令x=1,得所有项的系数和为2-1=1.… …13分 16.【解析】1)由题知x∈(0，+o),fx)g。 x l, f'(1)=a-b+1=0, [a=-3, r-号1--2 解得 经检验，当a=-3,b=-2时，x=1,x=2是极值点，符合题意 所以a=-3,b=-2.… …6分 (2)由(D问知f)=-3mx-2+x,f)--1x-2 由f(x)=0可解得x=1或x=2, …7分 又因为xe行3}，所以当xe[}和xe(2列时，了m0,了)年调還指：当x=12)时， f(x)<0,f(x)单调递减，…9分 因为年在r3使得/sc成立，放c≥且/付)-：37a-12 由3h2-了1-3弧2)-62-45<0，可得/ 2f2)… …12分 所以(e)在行3]小上能最小值为3h2子所以c>h2 7 3y 7 即实数c的最小值为3n2- .…l5分 17.【解析】(1)要使每个小组恰有1名男生和1名女生，只需将4名女生全排列到4名男生 所在的位置中即可，共有A=24种.…4分 (2)先排4名女生，有A种方法，产生5个空位.由于最左边必须是男生，则第1个空位必 第5页 选，再从剩下4个空位中选3个插空，共有A4×C×A4=24×4×24=2304种.…9分 （3)由题意，可知为2男2女…10分 选人方案有CC=36种；…12分 对于确定的4人，主辩（男生）有2种选法，副辩（剩余3人）有3种选法 故共有36×2X3=216种.…15分 (本题只列出正确的式子，未算出具体的数值的话，每一问扣一分) 18.【解析】(1)由题可知恰好抽到6件一等品的概率P(X=6)= CC o …4分 (2)由题可知，P(X=5)= CiCa,P(X=7)= P(X=5)259 可得 1, 100 P(X=7)275 所以P(X=7)>P(X=5). …7分 由题可知方案二中每次抽到一等品的概率p=0.6,故Y服从二项分布Y~B(10,0.6) 数学期望E(Y）=吧=10×0.6=6.…10分 (3)设f(k)= ccs, Choo f(k) 61-k11-k 考虑比值： f(k-1)CooC k30+k’ f(k) CC k+131+k …13分 f(k+1) 60-k10-k f(k) ≥1， 671 f(k-1) k≤ 解得 102 假设f(k)为最大值，则有 (k) 569 ≥1， k f(k+1) -102 569≤k<6 ,又k∈Z,则k=6,… …15分 102 102 故当k=6时，f()取得最大值，最大值为f(6)= C …17分 19.【解析】(1)当a=l时，f(x)=e-xsinx,x∈(0，元)，则f'(x)=e-(sinx+xcOsx) 设p(x)=e-x-1,则p(x)=e-1,当x>0时，p(x)>0,即p(x)>p(0)=0,即 第6页 e>X十1.… …2分 又当x∈(0，元)时，x+1-(sinx+xCOSx)=(1-sinx)+x(1-cosx） 由于1-inx≥0，x>0且1-cosx>0,故(1-sinx)+x(1-cosx)>0,所以f'(x)>0. 故f(x)在(0，元)上单调递增， 即f(x)的单调递增区间为(0，元)，无单调递减区间.（未写全扣1分)…5分 （2)证明：当xe(0,元)时，恒有0<inx≤1，故2x≥2 xsinx,故可证e>2x≥2 xsin.x. 构造函数h(x)=e-2x,x∈(0，元)，则h(x)=e-2,…6分 令h(x)>0,解得ln2<x<元；令h(x)<0,解得0<x<ln2, 所以h(x)在(0，n2)上单调递减，在(n2,元)上单调递增，…7分 所以h(x)m=h(m2)=2-2血2>0，故e>2x对任意x∈(0，)恒成立. 综上，e>2x≥2 xsinx,很即e>2 xsinx得证.…9分 (3)证明：fx)在(0，)上的零点个数即为方程a=。_实根的个数 xsinx 令g=ea则)e[1可 (xsinx) 当x∈(2元时，（x-1小sm￥-xcos>0,可符g(>0:11分 当xe0时，令m--)inxo,则m(到-(e+amx-(k-2e小osx mr(x)=(6-x)inx+(+2eosx可得m(y>0,所以()在0，上单调递增，…12分 第7页 又o)=-2,m写分+1>0，故m()在Q哥上有唯一的零点x,可得my在(0) 上单调递减，在 上单调递增，由m(0)=0,m(1)=-cos1<0, m(1.5)=0.5sim1.5-1.5cos1.5≈0.5×0.997-1.5×0.07>0. 故m(在15列内有唯-零点x,即当xe0,)时，g(<0:当xe.引时，g)0, 故X是g(x)的唯一的极小值点.…14分 当x>0且x→0或x<π且x→元时，g(x)→+o,故当且仅当a=g(x)时，N(a)=1. 记☑0=g(x）… …15分 下证a∈(2,4)： ①g(y)=。1易证e≥e(在x=1取等号)且1≥1，所以g(x)≥e,故4≥e>2 x sinx sinx ②a,=g(x,)为极小值，则a,<81-5F15n1515x0.997 els 4.48 2.996<4. 综上，存在唯一的a。∈(2,4)，使得N(a)=1.…17分 第8页4月高二质量检测 数学 考试说明： 1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.小明有3件不同的上衣、4条不同的裤子、2双不同的鞋子.他从中各选一件搭 配，不同的穿法共有 A.9种 B.12种 C.24种 D.36种 2.已知随机变量X的分布列如下： X 人 2 3 4 a 3a 2 2 2a 则常数a= A司 R司 c D合 3.从5名同学中选出3名同学分别担任班长、学习委员、体育委员，每名同学只能 担任一个职位，不同的选法共有 A.10种 B.20种 C.60种 D.120种 4.下列随机变量X中，服从二项分布的是 A.从装有3个红球和2个白球的袋中，不放回地依次摸出2个球，X为摸出红 球的个数 B.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，连续射击5次，X为击中目标的次数 C.从一批含有10件次品、90件正品的产品中，不放回地抽取3件，X为取出 次品的件数 D.某同学做3道独立的选择题，第一题答对的概率为0.7，第二题答对的概率 为0.8，第三题答对的概率为0.9，X为答对题目的数量 5.已知直线y=x+1与函数f(x)=ln(x+a)的图象相切，则实数a的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知随机事件A与B清足PA)=},P(B)=子，且PAUB)=,则P(BA) 1 c 1 D.3 7.如图，若从5种不同的颜色中选4种颜色涂在图中的1~5号区域，要求相邻区 域不同色，且所选的4种颜色都要用到，不同的涂法共有 A.120种 B.240种 C.360种 D.480种 高二数学第1页共4页 8.某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的4个球.其中有3个新球和 1个旧球.每次从中随机抽取1个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再 将此球放回到抽奖箱；若抽到旧球，则直接丢弃.游戏持续进行，直到抽奖箱中 剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时， 游戏结束.设X为游戏结束时抽取的次数，则X的期望为 A.2 23 B.8 53 223 D.48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.某校科技节共有4件不同的作品，需要分配到甲、乙、丙三个展区进行展示，每 个展区至少获得1件作品，所有的作品都需要展示.下列选项正确的有 A.不同的分配方案总数为12种 B.若作品A必须单独在甲展区，则不同的分配方案有6种 C.若作品B与作品C必须在同一展区，则不同的分配方案有18种 D.若甲展区恰好展示2件作品，则不同的分配方案有12种 10.下列命题中，正确的是 A.若随机变量X-N,),则P(X<)号 B.若随机变量X的方差D(X)=2,则D(3X一1)=18 C.若事件A与B相互独立，且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(AUB)=0.9 D.若事件A,B满足P(A)>0,P(B)>0,且P(AIB)=P(AIB),则A与 B相互独立 11.已知函数f(x)=x3-3a.x2+3x+1,下列说法正确的有 A.当a>1时，f(x)的极大值点是a-√a2-1 B.f(x)的图象关于点(a,-2a3+3a+1)对称 C老于G)在区间D,习上单调蓬地，则a的取值花围是（一c,引 D.若f(x)有极值点xo,且f(x1)=f(xo),其中x1≠xo,则x,2十2xox1=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知C2=3A1,则n= (用数字作答). 13。已知函数fx)=x1nx+2x-受：2-1有两个极值点，则实数m的取值范用为 14.某知识竞赛题库中有2道A类题和2道B类题.选手先随机抽取1道题作答 (抽后不放回)，若答对，则继续抽取下一道（仍不放回）；若答错，则立即终止. 已知选手答对A类题的概率为，答对B类题的概率为？，且每次答题结果相 互独立.则选手恰好答对1道题的概率为 高二数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知项式反-是” 的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1：2. (1)求n的值及展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中含x一5项的系数及所有项的系数之和. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=alnx+ 2十x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=2处取得极值. (1)求a,b的值； ②)若存在xE,3,使得不等式fz)≤c成立，求实数c的最小值 参考数据：1n2≈0.69. 17.(本小题满分15分) 某班级有8名学生，其中4名男生、4名女生.现组织三项活动： (1)将8名学生平均分成4个小组，小组之间无顺序，且每个小组恰好有1名 男生和1名女生.求不同的分组方式有多少种？ (2)将8名学生排成一排，要求任意两个男生都不相邻，且最左边必须是男生. 求不同的排列方式有多少种？ (3)从8名学生中选出4人组成“辩论队”，再从中选出2人分别担任“主辩” 和“副辩”.设要求选出的4人中有x名男生，y名女生，x一y≤1，且 担任主辩的必须是男生.求不同的选派方案有多少种？ 高二数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 某工厂生产的一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品40件.质检员 采用两种抽样方案： 方案一：从这批产品中随机抽取10件（不放回），检验其中一等品的件数； 方案二：从这批产品中随机抽取1件，记录是否为一等品后放回，重复10次， 检验10次抽取中一等品的总件数. 记随机变量X为方案一抽到的一等品件数，Y为方案二抽到的一等品件数. (1)求P(X=6)(用组合数公式表示即可，不用化简)： (2)比较P(X=5)和P(X=7)的大小，并求Y的数学期望： (3)设函数f(k)=P(X=k),k=0,1,…,10,求f(k)的最大值（用组合数 公式表示即可，不用化简)，并指出此时k的值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e一axsin x,其中a∈R,x∈(0，π). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)证明：当x∈(0，π)时，e>2 x sin x; (3)设f(x)在(0，π)上的零点个数为N(a),证明：存在唯一的ao∈(2,4)， 使得V(ao)=1. 参考数据：e.5≈4.48，sin1.5≈0.997，c0s1.5≈0.07. 高二数学第4页共4页