海南省海口市金宇学校2026年初三数学第4次综合练习试卷

海南省海口市金宇学校2026年初三数学第4次综合练习试卷 一、单选题 1．在-3，-π，0，中这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．-3 C． D．-π 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．2025年安徽省政府工作报告指出，全省地区生产总值增长，经济总量跨上5万亿台阶．粮食产量亿斤，再创历史新高．经济运行稳中有进、进中提质，高质量发展扎实推进，美好安徽建设迈出坚实步伐．其中数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，这是由两个圆柱与一个正方体组合形成的几何体，且这两个圆柱的底面直径与高都与正方体的棱长相等，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．在赣州古城墙文化展示区，有一面模拟古城墙墙面的矩形装饰板，长、宽．装饰板上有一块关于赣州宋城文化介绍的矩形展示区（图中阴影部分），展示区的上面和左右两边都留有宽度为x（单位：）的空白区域，用于绘制古城墙相关图案．若矩形展示区的面积为，则以下方程正确的是（  ） A． B． C． D． 6．一次函数y=kx+b（k＞0）的图象过（-2，0），则不等式k（x-1）+b＞0的解集是（    ） A． B． C． D． 7．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如表所示，那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　） 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5 9．受降亭是中国历史上一个重要的纪念性建筑，它是为了纪念抗日战争胜利后日军在中国的投降仪式而建立的．如图，某亭子的地基平面图是一个正五边形，记为正五边形，连接和，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点；恰好落在线段上，则线段的长为（　　） A． B． C．3 D． 11．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 12．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示．若正三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．因式分解：______． 14．满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 15．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为________． 16．如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部，延长交于点，则的长为_____． 三、解答题 17．计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 18．2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 19．运动是一切生命的源泉，运动使人健康，使人聪明，使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．；B．；C．；D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)在这次抽样调查中，共调查了________名学生； (2)请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为_______； (3)若该校有学生1500人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数； (4)该学校为进一步宣传运动的重要性，决定举行以“我运动我快乐！我运动我成长！”为主题的宣讲活动，现已从D组中择优遴选了4名同学，已知其中1名同学为男生3名同学为女生，学校想从这4位同学中随机选择2位同学参加宣讲活动，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 20．如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： (1)的度数； (2)点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．    (1)二次函数图像的对称轴为直线． ①求二次函数的表达式； ②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________； ③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值； (2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 22．【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市金宇学校2026年初三数学第4次综合练习试卷 参考答案 一、单选题 1．在-3，-π，0，中这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．-3 C． D．-π 【答案】D 【分析】根据负数都小于0；两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵   -π＜-3＜＜0， ∴最小的数是-π． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，实数的大小比较法则是：负数都小于0，负数都小于正数，两个负数，其绝对值大的反而小． 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握（、都是正整数）是解题关键．根据已知等式可得，再根据同底数幂乘法法则，得到，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， 故选：A． 3．2025年安徽省政府工作报告指出，全省地区生产总值增长，经济总量跨上5万亿台阶．粮食产量亿斤，再创历史新高．经济运行稳中有进、进中提质，高质量发展扎实推进，美好安徽建设迈出坚实步伐．其中数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：亿， 用科学记数法表示为． 故选：B． 4．如图，这是由两个圆柱与一个正方体组合形成的几何体，且这两个圆柱的底面直径与高都与正方体的棱长相等，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握简单组合体三视图的画法和形状是关键． 根据从正面看到的图形叫主视图，可得出答案． 【详解】 解：几何体的主视图是． 故选：A 5．在赣州古城墙文化展示区，有一面模拟古城墙墙面的矩形装饰板，长、宽．装饰板上有一块关于赣州宋城文化介绍的矩形展示区（图中阴影部分），展示区的上面和左右两边都留有宽度为x（单位：）的空白区域，用于绘制古城墙相关图案．若矩形展示区的面积为，则以下方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知矩形展示区的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 6．一次函数y=kx+b（k＞0）的图象过（-2，0），则不等式k（x-1）+b＞0的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出一次函数y=k（x-1）+b过点（-1，0），然后根据一次函数的性质即可求得． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象过点（-2，0）， ∴一次函数y=kx+b向右平移一个单位过（-1，0），即一次函数y=k（x-1）+b图象经过点（-1，0）， ∵k＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵一次函数y=k（x-1）+b（k＞0）的图象过点（-1，0）， ∴当x＞-1时，y＞0， ∴不等式k（x-1）+b＞0的解集是x＞-1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，平移的性质，根据平移的性质求得一次函数y=k（x-1）+b（k＞0）的图象过点（-1，0）是解题的关键． 7．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板，平行线的性质，求得，再利用平行线的性质，即可解答，熟知三角板的每个角的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，可得， 根据三角板可得， ， ， ， 故选：D． 8．某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如表所示，那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　） 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5 【答案】C 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：由表格可知，90出现的次数最多， 所以这10名学生所得分数的众数是90． 将这10名学生所得分数按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 所以中位数是， 故选：C． 9．受降亭是中国历史上一个重要的纪念性建筑，它是为了纪念抗日战争胜利后日军在中国的投降仪式而建立的．如图，某亭子的地基平面图是一个正五边形，记为正五边形，连接和，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 10．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点；恰好落在线段上，则线段的长为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由含角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，首先根据旋转的性质得到是等边三角形，由此得到旋转角是，然后证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ， 是等边三角形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，得出是等边三角形，由此得到旋转角是，是解此题的关键． 11．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象分析、平行四边形性质、三角形面积计算及勾股定理应用等知识点，解题的关键在于通过函数图象确定点P运动的时间与路径，进而求得各边长，利用三角形面积公式反推出高，最后结合勾股定理计算对角线的长度。 【详解】解：由图象可知，， 四边形是平行四边形， ， 当点P在上运动时，， 设边上的高为h， ，即， 点P从A到D运动时间为， ，即， ， ， ． 如图， 过A作于E，则， 在中，， ， ． 故选：C． 12．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示．若正三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“莱洛三角形”的面积为三个以正三角形的两边和弧组成的扇形的面积减去重合的两次三角形的面积，根据扇形面积公式和等边三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形， ∴“莱洛三角形”的面积为三个以正三角形的两边和弧组成的扇形的面积减去重合的两次三角形的面积， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积和等边三角形的面积，解题的关键是正确找出所求面积是由哪些特殊图形的面积构成的． 二、填空题 13．因式分解：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解括号内的二次三项式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14．满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】正确估算出不等式左右两边无理数的大致范围，再找出符合条件的整数． 【详解】解：估算的范围，可得，因此，， 化简并估算，可得，因为，因此，即，． 因此不等式的范围为，该范围内的整数有，任取一个即可，例如． 15．如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为________． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，证明，根据等腰三角形三线合一性质得，再证明得到，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线， ∴为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的画法和定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，通过作辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 16．如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部，延长交于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，由折叠的性质可知，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， 故答案为． 三、解答题 17．计算 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)7 (2)， 【分析】（1）根据零指数幂，负指数幂进行计算即可； （2）根据分式的加减与乘法运算法则进行化简，再代数求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当时，原式． 18．2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 【答案】(1) A、B两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元 (2) 函数关系为（，且为整数），购买型号3台、型号7台满足要求且费用最少，最少费用为165万元 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买3台型机器人，2台型机器人，共需90万元；买1台型机器人，6台型机器人，共需110万元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； （2）解：根据题意得：， 又， 解得：， （，且为整数）， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值为（万元）， 此时购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人3台，购买型号智能机器人7台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是165万元． 19．运动是一切生命的源泉，运动使人健康，使人聪明，使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．；B．；C．；D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： (1)在这次抽样调查中，共调查了________名学生； (2)请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为_______； (3)若该校有学生1500人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数； (4)该学校为进一步宣传运动的重要性，决定举行以“我运动我快乐！我运动我成长！”为主题的宣讲活动，现已从D组中择优遴选了4名同学，已知其中1名同学为男生3名同学为女生，学校想从这4位同学中随机选择2位同学参加宣讲活动，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】(1)120； (2)144°，图见解析 (3)525人 (4) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，样本估计总体，画树状图法求概率； （1）根据组人数及所占比例求总人数； （2）根据总人数及，，组人数求出组人数，补全图形，用组人数除以总人数再乘以度即可求出C组所对应扇形的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体思想求解； （4）根据画树状图法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 即共调查了120名学生， 故答案为：120； （2）解：C组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下：    C组所对应扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解：（人）， 即估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的有人． （4）解：画树状图如图所示， 共有种等可能结果，其中一男一女的情形有种， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率为． 20．如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： (1)的度数； (2)点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)点距离地面的高度约为 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键； （1）过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．    (1)二次函数图像的对称轴为直线． ①求二次函数的表达式； ②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________； ③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值； (2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)m+n的值为定值3 【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式； ②根据二次函数的对称性求解即可； ③设，求出直线的解析式，从而求出，即可求出的长与t的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可； （2）将代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数的性质设出直线的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论． 【详解】（1）①由题意， 解得， ∴二次函数的解析式为． ②∵对称轴为直线， ∴； ③如图，    ∵， ∴的表达式为 设， ∵轴 ∴点P的纵坐标为 ∴将代入得， ∴ ∴ ∴的最大值为； （2）结论：的值为定值3． 理由：如图，    将代入二次函数解析式中，得 解得： ∴二次函数解析式为 ∴， 设直线的解析式为， 把代入得到：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可以假设直线的解析式为， 由，消去y得到：， ∴， ∵点M、N的横坐标为m、n， ∴． ∴为定值，． 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键． 22．【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【答案】(1)，2 (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）在（2）的基础上，求出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，． ∴，， ∴点A到的距离． （2）解：结论：不变，仍然等于2． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A到的距离为的长，等于2， ∴点A到的距离等于2； （3）解：∵点Q是边的三等分点， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $