专练21 等腰三角形的性质(三)&专练22 等腰三角形的性质(四)-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

(OA=DF ∠C=90°，∴.DC=DE, ∠AOC=∠FDO, 在Rt△DCF和Rt△DEB中， OC-DO DC=DE .△AOC≌△FDO(SAS), DF-DB ∴.AC=OF, '.Rt△DCF≌Rt△DEB, ∴.AC=2OE,即OE= ∴.CF=EB; 易证Rt△DCA≌Rt△DEA(HL), 专练14构全等（四）角平分线模型 ..AC=AE, 典例导练 ..AE=AF+FC, (1)SSS(2)>6 即AE=AF+BE (3)PE=PF,理由如下：在BC上截 2.(1)过点C作CF⊥AD于点F, 取BG=BF,连接PG, ,AC平分∠BAD,CE⊥AB, ,∠BPC=120°， ..CE=CF. ∴.∠BPF=∠CPE=180°-∠BPC= .'CD=CB, 60°，易证△BPF≌△BPG(SAS), .Rt△CFD≌Rt△CEB(HL), .PF=PG,∠BPF=∠BPG= ∴.∠CDF=∠CBE, 60°，.∠CPE=∠CPG=60°， ,∠CDF+∠ADC=180°， 在△CPE和△CPG中， .∠ADC+∠ABC=180°： '∠CPE=∠CPG (2)在Rt△CAF和Rt△CAE中， CP=CP .CF=CE,AC=AC, ∠PCE=∠PCG ∴.Rt△CAF≌Rt△CAE(HL), .△CPE≌△CPG(ASA), ..AE=AF, ∴.PE=PG,∴.PE=PF. 又.△CFD≌△CEB, 专练15构全等（五）一线等三角模型 ∴.DF=BE, 典例导练 ..AB-AD=(AE+BE)-(AF ∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+ -DF)=BE+DF=2BE=4. ∠AEF=90°， 专练17构全等（七）手拉手模型 .∠BAG=∠AEF, 典例导练 在△AEF和△BAG中， '∠F=∠AGB=90 (1)∠ACB=∠DCE=a, .∠ACD=∠BCE, ∠AEF=∠BAG 在△ACD和△BCE中， AE=BA CA-CB ∴.△AEF≌△BAG(AAS),同理 ∠ACD=∠BCE, △BCG≌△CDH, CD=CE ..AF=BG,AG=EF,GC=DH, BG=CH, .△ACD≌△BCE(SAS), ..AD=BE; :梯形DEFH的面积-号(EF+ (2).△ACD≌△BCE, DH)·FH=8O,S△ABF=S△BG= .∠CAD=∠CBE, 在△ACF和△BFM中，∠CAF+ AF·AE=9,SAG=Sam ∠FCA=∠FBM+∠FMB, 号CH·DH=5,图中实线所围 ∴.∠AMB=∠ACB=a. ②CM平分∠AME正确. 成的图形的面积S=80一2×9一2 证明：过点C作CG⊥AD于点G, ×6=50. CH⊥BE于点H, 知能检测 .△ACD≌△BCE, (1,4) .SANCD-SANCE 专练16构全等（六）对角互补模型 典例导练 ∴-ADXCG=CH×BE, ①②③ 又，AD=BE 知能检测 ∴.CG=CH, 1.AF+BE=AE.理由如下： ,CG⊥AD,CH⊥BE, ,AD平分∠BAC,DE⊥AB,.CM平分∠AME. 73 专练18构全等（八）全等与 无刻度直尺作图 ∠EAG-∠BAC+∠CAE+ (1)如图1中，线段CD,点P即为所 Z∠EAF=∠BAF+∠CAE, 求； (2)如图2中，线段CE,点Q即为所 .∠BAF=110°，∠CAE=24°， 求. ∴.∠DAG=55°+12°=67°. 知能检测 1..AP=BP,AQ=CQ, ∴.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, :∠BAC=105°， 2 ∴.∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C 专练19等腰三角形的 =180°-∠BAC=180°-105 性质（一）方程思想求角 =75°， 典例导练 ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ (1)设∠A=x,EA=EC, ∠CAQ)=105°-75°=30°. ∴∠ACE=∠A=x, 2.B EC平分∠ACB, 解：△ABC中，∠B+∠C=180° ∴.∠ACB=2x,.AB=AC, -∠A=180°-a: ∴.∠ABC=∠ACB=2x, △BED中，BE=BD, 在△ABC中，.x+2x+2x=180°， x=36°，即∠A=36°；(2)54° ∠BDE=7180-∠B:同 知能检测 (180°-∠C): 1 理，得：∠CDF= 1.设∠C=x,,ED=EC, ∴.∠EDC=∠C=x, ∴.∠BDE+∠CDF=180° ∴.∠DEA=∠C+∠EDC=2x, 2(∠B+∠0=180-2180 DA=DE, ∴.∠DAE=∠DEA=2x, -a)=90+7: .∠ADB=∠C+∠DAE=3x, ,∠BDE+∠CDF+3=180°， .AB=AD, ∴.∠B=∠ADB=3x, ∴7a+月=90，即e+2g=180 ∠BAC=100°， 专练21等腰三角形的 .∠B+∠C=180°-∠BAC= 性质（三） 分类思想求边角 80°，即3x+x=80°， 典例导练 .x=20°，∴∠C=20. 50°或65°或80 2.连接AE,设∠B=x, 知能检测 .AE=BE, 1.6 ∠BAE=∠B=x, 2.在△BCD与△CBE中， .∠AEC=2x, BC=BC, .AE=BE=AC, ∠ACB=∠ABC, .∠C=∠AEC=2x, BD=CE, 在△ABC中，3x+75°=180°，解 .△BCD≌△CBE(SAS), 得x=35°，.∠B=35°. .∠FBC=∠FCB, 专练20等腰三角形的 设∠FBD=∠ECF=x, 性质（二）整体思想求角 则∠FBC=∠FCB=60°-x, 典例导练 ∠BDF=∠ECF+∠A=x AB=AC,AE=AF,AD、AG分 +60°， 别为△ABC和△AEF的中线， ∠DFB=2∠FBC=2(60°-x)= 120°-2x, :∠DAC=∠BAC. 分三种情况讨论： ∠EAG=∠EAR, ①当BD=BF时，此时∠BDF= ∠DFB,∴.x+60°=120°-2x,得 ∴.∠DAG=∠DAC+∠CAE+ x=20°，即∠FBD=20°； 74 ②当BD=DF时，此时∠FBD= 专练24构等腰三角形（二） ∠DFB,∴.x=120°-2x,得x= 中线倍长 40°，即∠FBD=40°； 1.延长AD到点G,使得DG=AD, ③当BF=DF时，此时∠FBD= 连接BG ∠FDB,∴x=x十60°，不符题意， ,AD是△ABC的中线， 舍去； ∴.BD=CD, 综上所述，∠FBD=20°或40°. 在△BDG与△CDA中， 专练22等腰三角形的 BD-CD 性质（四）巧构三线合一 ∠BDG=∠CDA, 典例导练 DG-DA 证明：连接OC,·AC=BC,∠ACB ∴.△BDG≌△CDA(SAS), =90°，点O为AB的中点， ∴.BG=CA,∠G=∠CAD, ∴.∠AOC=∠BOC=90°，∠A= 又AE=∠EF, ∠BCO=45°，AO=CO, ∴.∠CAD=∠EFA=∠BFG, 又AE=CF, ∴∠G=∠BFG, .△AOE≌△COF(SAS), .BF=BG, ∴.OE=OF,∠AOE=∠COF, ∴.BF=AC. .∠EOC+∠COF=90°， 2.图略，延长AE至点G,使得AE ∴.△OEF为等腰直角三角形， =EG,连接DG. ∠OEF=45°. 点E是CD的中点， 知能检测 .'DE=CE, 1.连接BD. 在△DEG和△CEA中， AB=BC,点D是AC的中点， (DE-CE ∴.BD⊥AC,∠ABD=∠CBD= ∠DEG=∠CEA, 3∠ABC. EG=AE '.△DEG≌△CEA(SAS), ,DE⊥AB, ∴.GD=AC,∠G=∠CAE, .∠ADE+∠BDE=90°， ,DF=AC,∴.GD=DF, ∠ABD+∠BDE=90°， ∴.∠G=∠DFG, ∠ADE=∠ABD, ∴.∠CAE=∠DFG, ∠ADE-∠ABC, DF∥AB,.∠BAE=∠DFG ∴.∠CAE=∠BAE, ∴.∠ABC=2∠ADE .AE平分∠BAC. 2.过点C作CF⊥BE于点F, 专练25构等腰三角形（三）截长补短 CB=CE,∴.BF=EF, 典例导练 .AB=AC, 5 .∠ABC=∠ACB, 知能检测 又：∠CFB=∠BDC=90°，BC1.方法一：连DE,证△ABD≌ =CB, △EBD(SAS),从而∠BED= .△BFC≌△CDB,∴.CD=BF, ∠A=108°， ∴.BE=2CD. 故∠DEC=∠CDE=72°，CD 专练23构等腰三角形（一）作平行线 =CE. 1.作BG∥CE交AC于点G,证 方法二：连DE,只证CD=DE= △BGM≌△ECM. AE即可. 2.BD=DE+CE,理由如下： 2.(1)45 易证∠DBO=∠DOB,则BD (2)在DH上截取HM=HF,连 =OD, 接CM, ,CO平分∠ACG,DO∥BC, :CH⊥DF,HM=HF, ∴.∠OCG=∠ECO=∠EOC, ..CM=CF, ∴.CE=OE, ∴.∠F=∠CMF, .BD=DO=DE+OE, .DH=CF+HF, .'BD=DE+CE. ∴.DH=MH+DM=CF+DM, 7521 专练21等腰三角形的性质（三）分类思想求边角 典例导练 【方法规律】腰和底不明时往往需要分类讨论.分类讨论求边长时，一定别忘记三角 形的三边关系.另外无图时可能有多解， 示范题如图所示，α∥b,点C在直线b上且在点B右侧运动， ∠ABC=50°，作直线AC,若△ABC是等腰三角形，则∠α= 50° B C 【思路点拨】①利用平行线的性质可得∠α=∠ACB;②分三种情况讨论：“当BA= BC时”“当AB=AC时”“当CA=CB”;③分别进行计算即可解答. 心知能检测 1.如图，已知直线OM垂直于直线ON,点A在直线OM上，且∠OABM =30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C(与 A,B不重合)，使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到 个 o 2.如图，△ABC是等边三角形.点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动 点，且BD=CE,BE与CD交于点F.若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数. 22 专练22 等腰三角形的性质（四）巧构三线合一 【方法规律】①等腰三角形有底边中点时，常连底边上的中线；②遇到等腰三角形， 常作底边上的高， )典例导练 示范题在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点O为AB 的中点.点E,F分别在AC,BC上，AE=CF,求∠OEF的度数. 【思路点拨】连接OC,由“SAS”可证△AOE≌△COF,由全等三A 角形的性质可得出OE=OF,∠AOE=∠COF,由此判断△OEF的形状. 【自主解答】 心知能检测 1.如图，在△ABC中，AB=BC,D是AC的中点，DE⊥AB于点E,求证：∠ABC= 2∠ADE 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D,点E在AB上，CB=CE.求证：BE =2CD.