专练13 构全等(三)&专练14 构全等(四)-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

13 专练13构全等（三）中点模型 【方法规律]O已知中点，运用倍长中线法(SA #-SAS)构造全等：@已知中点，过 已知中，点的线段两端向中点处的线段作垂线或平行线(SA构，AAS)构造全等 心典例导练 示范题如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=3, AC=5,求AD的长的取值范围. 解题思路：如图，延长AD到点E,使DE=DA,连接CE,则可证得 △ECD≌△ABD(依据)，得出EC=AB=3,在△ACE中，AE=2AD, AC=5,CE=3,即可得到AE的取值范围，进一步得到AD的取值范围. (1)上述解题思路中的“依据”是（填序号）. ①SAS;②ASA:③AAS;④SSS;⑤HL. (2)AD的取值范围是 之知能检测 1.如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，E为CB延长线上一点，B为CE中点， ∠A十∠ADE=180°.求证：AC=DE.(资料：在同一个三角形中，等角对等边.) 2.如图，在△ABO和△CDO中，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接AC, BD,取BD的中点E,连接OE,求证：OE=2AC. 14 专练14 构全等（四）角平分线模型 【方法规律】①向角的两边作垂线(SA构，AAS)构造全等；②在角的两边上载长补 短(SA杓SAS)构造全等. 心)典例导练 示范题利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍， (1)尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD ∠DAB的依据是三角形全等的判定 【模型构造】 (2)方法一：巧翻折，造全等 如图1，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，则∠B ∠C(填 “>”、“=”或“<”).在AC上截取AE=AB,连接DE,则△ABD≌△AED(SAS). 方法二：构距离，造全等 如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，∠BAD和∠CDA的平分线AE, DE交BC于点E.若BC=12cm,则点E到AD的距离是cm.过点E作EF⊥AD, 垂足为点F,则△ABE≌△AFE(AAS). 【模型应用】 (3)如图3，在△ABC中，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P, ∠BPC=120°.试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由. B 图2 图3 【自主解答】《提分专练》参考答案 95或35°. 专练01求角度（一）平行线与内角和 是540°， 2.①当点F在AB的上方时，图略： 典例导练 ∴∠B+∠BAP+∠BCP=540 AC∥EF,∠C=50°，∴.∠BEF m∥n,.∠1=∠a=123, -(∠1+∠2+∠3+∠4)， =∠C=50°， .∠BAC=180°-∠1=57°， ∴.∠B+∠BAP+∠BCP=540 ∴∠BED=∠FED=Z∠BEF ∠B=45°， -300°=240°， ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B ∴.∠APC=360°-240°=120°. =2×50=25, =78°， 2.(1),A'B平分∠ABC,A'C平分 ②当点F在BC的下方时，图略： ∴∠B=∠ACB=78. ∠ACB,∠BA'C=110°， ,AC∥EF,∠C=50°，∴∠CEF 知能检测 ∴.∠A'BC+∠A'CB=70°， =∠C=50°， 1.∠EAB=15°，∠CAB=90°， .∠ABC+∠ACB=140°， ∠BED=∠DEF=∠DEC+ .∠CAE=90°-15°=75°， .∠BAC=180°-140°=40°. ∠CEF=180°-∠BED+50°， HF∥DE, (2)连接AA',∠1=∠DAA+ 2∠BED=230°，∠BED=115°. ∴.∠CMF=∠CAE=75°， ∠DA'A,∠2=∠EAA'+∠EA'A, 综上所述，∠BDE的度数为25 .∠C=60°， ∴.∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+ ∠EAA'+∠EA'A=∠DAA'+ 或115°. .∠CQM=180°-60°-75°=45°， 专练06探究角度关系 ∴.∠FQG=∠CQM=45°. ∠EAA'+∠DA'A+∠EA'A= ∠BAC+∠DA'E=2∠BAC=80°. 特殊到一般思想 2.过点A作AG∥EF交CB的延长 典例导练 线于点G, 专练04 求角度（四） 转化思想求角 ,BC⊥EF,AG∥EF, (1):∠ADC是△ABD的外角， 典例导练 .∠ADC=∠1+∠B=105°， ∴.AG⊥BC,∠BGA=90°， 360° ,∠ABG=180°-∠ABC=40°， 知能检测 ∠DAE=∠BAC-∠1=30°， .∠BAG=180°-（∠ABG+ ∴.∠4=∠AED=75°， 1.(1)200 (2)3609 ∴.∠2=105°-75°=30°； ∠BGA)=50°， 2.(1)证明：延长BO交AC于D, ,AG∥EF, :∠BOC=∠C+∠CDO, (2)∠ADC是△ABD的外角， .∠GAF=∠AFE=75°， ∠CDO=∠A+∠B, ∴.∠ADC=∠1+∠B=∠2+∠4， ∴.∠BAF=∠GAF :∠4=∠AED,且∠AED是 ∠BAG ∴.∠BOC=∠A+∠B+∠C; =25. (2)2a. △DEC的外角， 专练2求角度（二） 方程思想求角 (3)连接AD,同(1)可得，∠F+ ∴.∠4=∠AED=∠2+∠C, 典例导练 ∠2+∠3=∠DEF①，∠1+∠4 ∴.∠1+∠B=∠2+∠2+∠C, +∠C=∠ABC②， .∠1=2∠2. B 知能检测 ①+②得，∠F+∠2+∠3+∠1 知能检测 1.设∠1=∠2=x,则∠3=∠4 +∠4+∠C=∠DEF+∠ABC (1)10 =2x, =130°+100°=230°， (2)∠EAD= 2(∠ACB ∠BAC=72°，.x+2x+ 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F ∠ABC). ∠BAC=180°，解得x=36°， =230°. (3)过点A作AG⊥BC于G,由三 ∴.∠DAC=∠BAC-∠1=72° 角形的内角和定理及角平分线的 36°=36°. 2.设∠CAD=x,则∠BAD=x,∠E 定义可求得∠EAC=之∠BAC =3x, 由题意，可知∠EAD=∠EDA 专练05求角度（五）分类思想求角 =90°- ∠ABC∠ACB,再 ∠B+x=x+50°， 典例导练 根据直角三角形的性质可得 在△EAD中，，∠E+∠EAD+ C ∠GAC=90°-∠ACB,进而可得 ∠EDA=180°， 知能检测 结论∠EPD=∠EAG=∠EAC .3x+2(x+50)=180°， 1.①如图1，当高AD在△ABC的 解得：x=16°. 内部时，∠BAD=90°-∠B= -∠GAC-∠ACB-号∠ABC .∠E=48 65°，∠BAC=∠BAD+∠CAD= 专练07几何模型（一）余角、 专练3求角度（三） 整体思想求角 65°+30°=95°； 补角模型 典例导练 ②如图2，当高AD在△ABC的 知能检测 C 外部时，∠BAD=65°，∠BAC= 1.B 知能检测 ∠BAD-∠CAD=65°-30°= 2.(1).∠ACB=90°，CD⊥AB, 1.:五边形ABCDE的内角和 35°，综上所述，∠BAC的度数为 .∠ACD+∠BCD=90°，∠B+ 70 ∠BCD=90°， 2.在△ABE与△ACF中，易证 (AB=DC ∴.∠ACD=∠B=34°，由折叠知， △ABE≌△ACF(SAS); AC=DB, ∠A'CD=∠ACD=34°， ∠B=∠C; BC=CB ∴.∠A'CB=90°-2∠ACD=22°； .AB-AC,AE=AF, ∴.△ABC≌△DCB(SSS), (2)当∠B=n°时，当n≤45时，同 ∴.BF=CE;在△BDF与△CDE .∠A=∠D (1)的方法得，∠ACD=∠A'CD 中，易证△BDF≌△CDE 在△AOB和△DOC中， =n°，.∠A'CB=90°-2∠ACD (AAS),故BD=CD. ∠A=∠D =90°-2n°；当n>45时，同(1)的 专练10找全等（二）等量代换证和差 ∠AOB=∠DOC, 方法得，∠ACD=∠A'CD=n°， 典例导练 AB=DC ∠BCD=90°-n°， AE∥BF,.∠DAE=∠DBF, .△AOB≌△DOC(AAS). ∴.∠A'CB=2∠ACD-∠ACB= ,CD是△ABC的中线， ∴.∠ABO=∠DCO 2m°-90°.综上所述∠A'CB=90° .'.AD=BD, 专练12构全等（二） 截长补短 -2n°或∠A'CB=2n°-90°. 在△ADE和△BDF中， 典例导练 专练08几何模型（二）双角 '∠DAE=∠DBF 如图，在AB上截取AE,使AE= 平分线夹角模型 AD-BD AC,连接PE, 【模型分标1190+号(2)号 ∠ADE=∠BDF (AE-AC .△ADE≌△BDF,∴.DE=DF, 在△AEP和△ACP中，∠1=∠2， (3)90°- a ∴.CE-CF=EF=2DE AP-AP 知能检测 知能检测 ∴.△AEP≌△ACP(SAS), 1.根据AD∥BC可知∠ADC= .PE=PC,在△PBE中，BE>PB ∠P=(∠A十∠B),理由如下： ∠ECF,再根据E是CD的中点-PE,即AB-AC>PB-PC. :DP、CP分别平分∠ADC 可证△ADE≌△FCE(ASA),从知能检测 和∠BCD, 而AE=EF,AD=CF,再证 延长D到点G,使DG=BE,连 △ABE≌△FBE(SAS),得到AB 接AG, ∴.∠ADP=∠CDP= ∠ADC, =BF=BC+CF,等量代换得到 易证△ABE≌△ADG(SAS), ∠BCP-∠DCP-∠BCD, AB=BC+AD. .∠BAE=∠DAG,AE=AG, 2.:∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD EF=BE+FD,DG=BE, 在△PDC中，由三角形内角和定 =∠AFE. ∴.EF=DG+FD=GF, 理得， ∴.∠DBF=∠EAF 且AE=AG,AF=AF, ∠P=180°-∠CDP-∠DCP 又，∠BDF=∠ADC=90°，BF ∴.△AEF≌△AGF(SSS), =180°- ∠ADC+∠BCD. =AC, '.∠EAF=∠GAF=∠DAG+ ∴.△BFD≌△ACD(AAS), ∠DAF=∠BAE+∠DAF. 而∠ADC+∠BCD=360°-∠A .'FD=CD,BD=AD, 专练13构全等（三）中点模型 -∠B, ∴.BC=BD+CD=AD+CD= 典例导练 ∴.∠P=180°- (360°-∠A 1 (AF+FD)+CD-AF+2CD. (1)①(2)1<AD4 ∠B- 专练11构全等（一）连接与延长 知能检测 (∠A+∠B). 典例导练 1.过点E作EF∥AC交AD的延长 专练9找全等（一）知二寻一证全等 连接AD、DB,在△DEA和△DCB 线于点F,利用AAS证△ABC≌ 典例导练 (DE=DC △FBE,从而EF=AC,∠A 易证△ABC≌△DCB(ASA), 中， ∠E=∠C, ∠F,易证∠A=∠EDF,知∠EDF .'AB=DC. AE=BC =∠F,从而EF=DE,得证AC 知能检测 .∴.△DEA≌△DCB(SAS), =DE. 1..AD⊥BC,CE⊥AB,.∠ADB AD=BD,又DF=DF, 2.延长OE到F,使得EF=OE,连接 =∠CDF=∠CEB=90°， .∴.Rt△ADF≌△Rt△BDF(HL) DF.易证△BEO≌△DEF(SAS), ∴.∠BAD+∠B=∠FCD+∠B ..AF=BF. ∴.∠BOE=∠F,OB=DF, =90°，.∠BAD=∠FCD, 知能检测 .OB∥DF, 在△ABD和△CFD中， 1.连接AC,易证△ABC≌△CDA, .∠ODF+∠BOD=180°， I∠ADB=∠CDF 从而∠BAC=∠DCA, :∠AOC与∠BOD互补， AD=CD AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE. .∠AOC=∠ODF, N∠BAD=∠FCD 2.连接BC. .OA=OB,∴.OA=DF, ∴.△ABD≌△CFD(ASA). 在△ABC和△DCB中， 在△AOC和△FDO中， 72 (OA=DF ∠C=90°，∴.DC=DE, ∠AOC=∠FDO, 在Rt△DCF和Rt△DEB中， OC-DO DC=DE .△AOC≌△FDO(SAS), DF-DB ∴.AC=OF, '.Rt△DCF≌Rt△DEB, ∴.AC=2OE,即OE= ∴.CF=EB; 易证Rt△DCA≌Rt△DEA(HL), 专练14构全等（四）角平分线模型 ..AC=AE, 典例导练 ..AE=AF+FC, (1)SSS(2)>6 即AE=AF+BE (3)PE=PF,理由如下：在BC上截 2.(1)过点C作CF⊥AD于点F, 取BG=BF,连接PG, ,AC平分∠BAD,CE⊥AB, ,∠BPC=120°， ..CE=CF. ∴.∠BPF=∠CPE=180°-∠BPC= .'CD=CB, 60°，易证△BPF≌△BPG(SAS), .Rt△CFD≌Rt△CEB(HL), .PF=PG,∠BPF=∠BPG= ∴.∠CDF=∠CBE, 60°，.∠CPE=∠CPG=60°， ,∠CDF+∠ADC=180°， 在△CPE和△CPG中， .∠ADC+∠ABC=180°： '∠CPE=∠CPG (2)在Rt△CAF和Rt△CAE中， CP=CP .CF=CE,AC=AC, ∠PCE=∠PCG ∴.Rt△CAF≌Rt△CAE(HL), .△CPE≌△CPG(ASA), ..AE=AF, ∴.PE=PG,∴.PE=PF. 又.△CFD≌△CEB, 专练15构全等（五）一线等三角模型 ∴.DF=BE, 典例导练 ..AB-AD=(AE+BE)-(AF ∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+ -DF)=BE+DF=2BE=4. ∠AEF=90°， 专练17构全等（七）手拉手模型 .∠BAG=∠AEF, 典例导练 在△AEF和△BAG中， '∠F=∠AGB=90 (1)∠ACB=∠DCE=a, .∠ACD=∠BCE, ∠AEF=∠BAG 在△ACD和△BCE中， AE=BA CA-CB ∴.△AEF≌△BAG(AAS),同理 ∠ACD=∠BCE, △BCG≌△CDH, CD=CE ..AF=BG,AG=EF,GC=DH, BG=CH, .△ACD≌△BCE(SAS), ..AD=BE; :梯形DEFH的面积-号(EF+ (2).△ACD≌△BCE, DH)·FH=8O,S△ABF=S△BG= .∠CAD=∠CBE, 在△ACF和△BFM中，∠CAF+ AF·AE=9,SAG=Sam ∠FCA=∠FBM+∠FMB, 号CH·DH=5,图中实线所围 ∴.∠AMB=∠ACB=a. ②CM平分∠AME正确. 成的图形的面积S=80一2×9一2 证明：过点C作CG⊥AD于点G, ×6=50. CH⊥BE于点H, 知能检测 .△ACD≌△BCE, (1,4) .SANCD-SANCE 专练16构全等（六）对角互补模型 典例导练 ∴-ADXCG=CH×BE, ①②③ 又，AD=BE 知能检测 ∴.CG=CH, 1.AF+BE=AE.理由如下： ,CG⊥AD,CH⊥BE, ,AD平分∠BAC,DE⊥AB,.CM平分∠AME. 73 专练18构全等（八）全等与 无刻度直尺作图 ∠EAG-∠BAC+∠CAE+ (1)如图1中，线段CD,点P即为所 Z∠EAF=∠BAF+∠CAE, 求； (2)如图2中，线段CE,点Q即为所 .∠BAF=110°，∠CAE=24°， 求. ∴.∠DAG=55°+12°=67°. 知能检测 1..AP=BP,AQ=CQ, ∴.∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, :∠BAC=105°， 2 ∴.∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C 专练19等腰三角形的 =180°-∠BAC=180°-105 性质（一）方程思想求角 =75°， 典例导练 ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+ (1)设∠A=x,EA=EC, ∠CAQ)=105°-75°=30°. ∴∠ACE=∠A=x, 2.B EC平分∠ACB, 解：△ABC中，∠B+∠C=180° ∴.∠ACB=2x,.AB=AC, -∠A=180°-a: ∴.∠ABC=∠ACB=2x, △BED中，BE=BD, 在△ABC中，.x+2x+2x=180°， x=36°，即∠A=36°；(2)54° ∠BDE=7180-∠B:同 知能检测 (180°-∠C): 1 理，得：∠CDF= 1.设∠C=x,,ED=EC, ∴.∠EDC=∠C=x, ∴.∠BDE+∠CDF=180° ∴.∠DEA=∠C+∠EDC=2x, 2(∠B+∠0=180-2180 DA=DE, ∴.∠DAE=∠DEA=2x, -a)=90+7: .∠ADB=∠C+∠DAE=3x, ,∠BDE+∠CDF+3=180°， .AB=AD, ∴.∠B=∠ADB=3x, ∴7a+月=90，即e+2g=180 ∠BAC=100°， 专练21等腰三角形的 .∠B+∠C=180°-∠BAC= 性质（三） 分类思想求边角 80°，即3x+x=80°， 典例导练 .x=20°，∴∠C=20. 50°或65°或80 2.连接AE,设∠B=x, 知能检测 .AE=BE, 1.6 ∠BAE=∠B=x, 2.在△BCD与△CBE中， .∠AEC=2x, BC=BC, .AE=BE=AC, ∠ACB=∠ABC, .∠C=∠AEC=2x, BD=CE, 在△ABC中，3x+75°=180°，解 .△BCD≌△CBE(SAS), 得x=35°，.∠B=35°. .∠FBC=∠FCB, 专练20等腰三角形的 设∠FBD=∠ECF=x, 性质（二）整体思想求角 则∠FBC=∠FCB=60°-x, 典例导练 ∠BDF=∠ECF+∠A=x AB=AC,AE=AF,AD、AG分 +60°， 别为△ABC和△AEF的中线， ∠DFB=2∠FBC=2(60°-x)= 120°-2x, :∠DAC=∠BAC. 分三种情况讨论： ∠EAG=∠EAR, ①当BD=BF时，此时∠BDF= ∠DFB,∴.x+60°=120°-2x,得 ∴.∠DAG=∠DAC+∠CAE+ x=20°，即∠FBD=20°； 74 ②当BD=DF时，此时∠FBD= 专练24构等腰三角形（二） ∠DFB,∴.x=120°-2x,得x= 中线倍长 40°，即∠FBD=40°； 1.延长AD到点G,使得DG=AD, ③当BF=DF时，此时∠FBD= 连接BG ∠FDB,∴x=x十60°，不符题意， ,AD是△ABC的中线， 舍去； ∴.BD=CD, 综上所述，∠FBD=20°或40°. 在△BDG与△CDA中， 专练22等腰三角形的 BD-CD 性质（四）巧构三线合一 ∠BDG=∠CDA, 典例导练 DG-DA 证明：连接OC,·AC=BC,∠ACB ∴.△BDG≌△CDA(SAS), =90°，点O为AB的中点， ∴.BG=CA,∠G=∠CAD, ∴.∠AOC=∠BOC=90°，∠A= 又AE=∠EF, ∠BCO=45°，AO=CO, ∴.∠CAD=∠EFA=∠BFG, 又AE=CF, ∴∠G=∠BFG, .△AOE≌△COF(SAS), .BF=BG, ∴.OE=OF,∠AOE=∠COF, ∴.BF=AC. .∠EOC+∠COF=90°， 2.图略，延长AE至点G,使得AE ∴.△OEF为等腰直角三角形， =EG,连接DG. ∠OEF=45°. 点E是CD的中点， 知能检测 .'DE=CE, 1.连接BD. 在△DEG和△CEA中， AB=BC,点D是AC的中点， (DE-CE ∴.BD⊥AC,∠ABD=∠CBD= ∠DEG=∠CEA, 3∠ABC. EG=AE '.△DEG≌△CEA(SAS), ,DE⊥AB, ∴.GD=AC,∠G=∠CAE, .∠ADE+∠BDE=90°， ,DF=AC,∴.GD=DF, ∠ABD+∠BDE=90°， ∴.∠G=∠DFG, ∠ADE=∠ABD, ∴.∠CAE=∠DFG, ∠ADE-∠ABC, DF∥AB,.∠BAE=∠DFG ∴.∠CAE=∠BAE, ∴.∠ABC=2∠ADE .AE平分∠BAC. 2.过点C作CF⊥BE于点F, 专练25构等腰三角形（三）截长补短 CB=CE,∴.BF=EF, 典例导练 .AB=AC, 5 .∠ABC=∠ACB, 知能检测 又：∠CFB=∠BDC=90°，BC1.方法一：连DE,证△ABD≌ =CB, △EBD(SAS),从而∠BED= .△BFC≌△CDB,∴.CD=BF, ∠A=108°， ∴.BE=2CD. 故∠DEC=∠CDE=72°，CD 专练23构等腰三角形（一）作平行线 =CE. 1.作BG∥CE交AC于点G,证 方法二：连DE,只证CD=DE= △BGM≌△ECM. AE即可. 2.BD=DE+CE,理由如下： 2.(1)45 易证∠DBO=∠DOB,则BD (2)在DH上截取HM=HF,连 =OD, 接CM, ,CO平分∠ACG,DO∥BC, :CH⊥DF,HM=HF, ∴.∠OCG=∠ECO=∠EOC, ..CM=CF, ∴.CE=OE, ∴.∠F=∠CMF, .BD=DO=DE+OE, .DH=CF+HF, .'BD=DE+CE. ∴.DH=MH+DM=CF+DM, 75