专练07 几何模型(一) &专练08 几何模型(二)-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

专练07几何模型（一） 余角、补角模型 【模型分析】 互余模型如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° (1)如图1，CD⊥AD于点D,则有：∠1=∠B,∠2=∠A; (2)如图2，E为BC延长线上一点，ED⊥AB于点D,交AC于点F,则有：∠1=∠2 =∠B,∠A=∠E; (3)如图3，E为CB延长线上一，点，∠ABD=∠BED=∠C=90°，则有：∠1=∠D, ∠2=∠A. E 图1 图2 图3 图4 【互补模型】如图4，在四边形ABCD中，，点E为BA延长线上一点，若∠B+∠D 180°，则有∠DAE=∠C 之知能检测 1.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出凸面 凹面 Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则 宽+ 人义宽当Cobb角>10°为脊柱侧弯 D 、B 图中与∠O相等的角是 ( 宽 宽 E A.∠BEA 宽 B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO 2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,将△ADC沿CD所在直 线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为A'点. (1)若∠B=34°，求∠A'CB的度数： (2)若∠B=n°，求∠A'CB的度数（用含n的代数式表示）. 专练08几何模型（二） 双角平分线夹角模型 【模型分析】(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,若∠A a,则∠BPC= (2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于 点E.若∠A=a,则∠BEC= (3)如图3，BQ平分外角∠CBM,CQ平分外角∠BCN.若∠A=a,则∠BQC= 图1 图2 图3 之知能检测 如图，在四边形ABCD中，DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD,试探究∠P与∠A十 ∠B的数量关系.《提分专练》参考答案 95或35°. 专练01求角度（一）平行线与内角和 是540°， 2.①当点F在AB的上方时，图略： 典例导练 ∴∠B+∠BAP+∠BCP=540 AC∥EF,∠C=50°，∴.∠BEF m∥n,.∠1=∠a=123, -(∠1+∠2+∠3+∠4)， =∠C=50°， .∠BAC=180°-∠1=57°， ∴.∠B+∠BAP+∠BCP=540 ∴∠BED=∠FED=Z∠BEF ∠B=45°， -300°=240°， ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B ∴.∠APC=360°-240°=120°. =2×50=25, =78°， 2.(1),A'B平分∠ABC,A'C平分 ②当点F在BC的下方时，图略： ∴∠B=∠ACB=78. ∠ACB,∠BA'C=110°， ,AC∥EF,∠C=50°，∴∠CEF 知能检测 ∴.∠A'BC+∠A'CB=70°， =∠C=50°， 1.∠EAB=15°，∠CAB=90°， .∠ABC+∠ACB=140°， ∠BED=∠DEF=∠DEC+ .∠CAE=90°-15°=75°， .∠BAC=180°-140°=40°. ∠CEF=180°-∠BED+50°， HF∥DE, (2)连接AA',∠1=∠DAA+ 2∠BED=230°，∠BED=115°. ∴.∠CMF=∠CAE=75°， ∠DA'A,∠2=∠EAA'+∠EA'A, 综上所述，∠BDE的度数为25 .∠C=60°， ∴.∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+ ∠EAA'+∠EA'A=∠DAA'+ 或115°. .∠CQM=180°-60°-75°=45°， 专练06探究角度关系 ∴.∠FQG=∠CQM=45°. ∠EAA'+∠DA'A+∠EA'A= ∠BAC+∠DA'E=2∠BAC=80°. 特殊到一般思想 2.过点A作AG∥EF交CB的延长 典例导练 线于点G, 专练04 求角度（四） 转化思想求角 ,BC⊥EF,AG∥EF, (1):∠ADC是△ABD的外角， 典例导练 .∠ADC=∠1+∠B=105°， ∴.AG⊥BC,∠BGA=90°， 360° ,∠ABG=180°-∠ABC=40°， 知能检测 ∠DAE=∠BAC-∠1=30°， .∠BAG=180°-（∠ABG+ ∴.∠4=∠AED=75°， 1.(1)200 (2)3609 ∴.∠2=105°-75°=30°； ∠BGA)=50°， 2.(1)证明：延长BO交AC于D, ,AG∥EF, :∠BOC=∠C+∠CDO, (2)∠ADC是△ABD的外角， .∠GAF=∠AFE=75°， ∠CDO=∠A+∠B, ∴.∠ADC=∠1+∠B=∠2+∠4， ∴.∠BAF=∠GAF :∠4=∠AED,且∠AED是 ∠BAG ∴.∠BOC=∠A+∠B+∠C; =25. (2)2a. △DEC的外角， 专练2求角度（二） 方程思想求角 (3)连接AD,同(1)可得，∠F+ ∴.∠4=∠AED=∠2+∠C, 典例导练 ∠2+∠3=∠DEF①，∠1+∠4 ∴.∠1+∠B=∠2+∠2+∠C, +∠C=∠ABC②， .∠1=2∠2. B 知能检测 ①+②得，∠F+∠2+∠3+∠1 知能检测 1.设∠1=∠2=x,则∠3=∠4 +∠4+∠C=∠DEF+∠ABC (1)10 =2x, =130°+100°=230°， (2)∠EAD= 2(∠ACB ∠BAC=72°，.x+2x+ 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F ∠ABC). ∠BAC=180°，解得x=36°， =230°. (3)过点A作AG⊥BC于G,由三 ∴.∠DAC=∠BAC-∠1=72° 角形的内角和定理及角平分线的 36°=36°. 2.设∠CAD=x,则∠BAD=x,∠E 定义可求得∠EAC=之∠BAC =3x, 由题意，可知∠EAD=∠EDA 专练05求角度（五）分类思想求角 =90°- ∠ABC∠ACB,再 ∠B+x=x+50°， 典例导练 根据直角三角形的性质可得 在△EAD中，，∠E+∠EAD+ C ∠GAC=90°-∠ACB,进而可得 ∠EDA=180°， 知能检测 结论∠EPD=∠EAG=∠EAC .3x+2(x+50)=180°， 1.①如图1，当高AD在△ABC的 解得：x=16°. 内部时，∠BAD=90°-∠B= -∠GAC-∠ACB-号∠ABC .∠E=48 65°，∠BAC=∠BAD+∠CAD= 专练07几何模型（一）余角、 专练3求角度（三） 整体思想求角 65°+30°=95°； 补角模型 典例导练 ②如图2，当高AD在△ABC的 知能检测 C 外部时，∠BAD=65°，∠BAC= 1.B 知能检测 ∠BAD-∠CAD=65°-30°= 2.(1).∠ACB=90°，CD⊥AB, 1.:五边形ABCDE的内角和 35°，综上所述，∠BAC的度数为 .∠ACD+∠BCD=90°，∠B+ 70 ∠BCD=90°， 2.在△ABE与△ACF中，易证 (AB=DC ∴.∠ACD=∠B=34°，由折叠知， △ABE≌△ACF(SAS); AC=DB, ∠A'CD=∠ACD=34°， ∠B=∠C; BC=CB ∴.∠A'CB=90°-2∠ACD=22°； .AB-AC,AE=AF, ∴.△ABC≌△DCB(SSS), (2)当∠B=n°时，当n≤45时，同 ∴.BF=CE;在△BDF与△CDE .∠A=∠D (1)的方法得，∠ACD=∠A'CD 中，易证△BDF≌△CDE 在△AOB和△DOC中， =n°，.∠A'CB=90°-2∠ACD (AAS),故BD=CD. ∠A=∠D =90°-2n°；当n>45时，同(1)的 专练10找全等（二）等量代换证和差 ∠AOB=∠DOC, 方法得，∠ACD=∠A'CD=n°， 典例导练 AB=DC ∠BCD=90°-n°， AE∥BF,.∠DAE=∠DBF, .△AOB≌△DOC(AAS). ∴.∠A'CB=2∠ACD-∠ACB= ,CD是△ABC的中线， ∴.∠ABO=∠DCO 2m°-90°.综上所述∠A'CB=90° .'.AD=BD, 专练12构全等（二） 截长补短 -2n°或∠A'CB=2n°-90°. 在△ADE和△BDF中， 典例导练 专练08几何模型（二）双角 '∠DAE=∠DBF 如图，在AB上截取AE,使AE= 平分线夹角模型 AD-BD AC,连接PE, 【模型分标1190+号(2)号 ∠ADE=∠BDF (AE-AC .△ADE≌△BDF,∴.DE=DF, 在△AEP和△ACP中，∠1=∠2， (3)90°- a ∴.CE-CF=EF=2DE AP-AP 知能检测 知能检测 ∴.△AEP≌△ACP(SAS), 1.根据AD∥BC可知∠ADC= .PE=PC,在△PBE中，BE>PB ∠P=(∠A十∠B),理由如下： ∠ECF,再根据E是CD的中点-PE,即AB-AC>PB-PC. :DP、CP分别平分∠ADC 可证△ADE≌△FCE(ASA),从知能检测 和∠BCD, 而AE=EF,AD=CF,再证 延长D到点G,使DG=BE,连 △ABE≌△FBE(SAS),得到AB 接AG, ∴.∠ADP=∠CDP= ∠ADC, =BF=BC+CF,等量代换得到 易证△ABE≌△ADG(SAS), ∠BCP-∠DCP-∠BCD, AB=BC+AD. .∠BAE=∠DAG,AE=AG, 2.:∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD EF=BE+FD,DG=BE, 在△PDC中，由三角形内角和定 =∠AFE. ∴.EF=DG+FD=GF, 理得， ∴.∠DBF=∠EAF 且AE=AG,AF=AF, ∠P=180°-∠CDP-∠DCP 又，∠BDF=∠ADC=90°，BF ∴.△AEF≌△AGF(SSS), =180°- ∠ADC+∠BCD. =AC, '.∠EAF=∠GAF=∠DAG+ ∴.△BFD≌△ACD(AAS), ∠DAF=∠BAE+∠DAF. 而∠ADC+∠BCD=360°-∠A .'FD=CD,BD=AD, 专练13构全等（三）中点模型 -∠B, ∴.BC=BD+CD=AD+CD= 典例导练 ∴.∠P=180°- (360°-∠A 1 (AF+FD)+CD-AF+2CD. (1)①(2)1<AD4 ∠B- 专练11构全等（一）连接与延长 知能检测 (∠A+∠B). 典例导练 1.过点E作EF∥AC交AD的延长 专练9找全等（一）知二寻一证全等 连接AD、DB,在△DEA和△DCB 线于点F,利用AAS证△ABC≌ 典例导练 (DE=DC △FBE,从而EF=AC,∠A 易证△ABC≌△DCB(ASA), 中， ∠E=∠C, ∠F,易证∠A=∠EDF,知∠EDF .'AB=DC. AE=BC =∠F,从而EF=DE,得证AC 知能检测 .∴.△DEA≌△DCB(SAS), =DE. 1..AD⊥BC,CE⊥AB,.∠ADB AD=BD,又DF=DF, 2.延长OE到F,使得EF=OE,连接 =∠CDF=∠CEB=90°， .∴.Rt△ADF≌△Rt△BDF(HL) DF.易证△BEO≌△DEF(SAS), ∴.∠BAD+∠B=∠FCD+∠B ..AF=BF. ∴.∠BOE=∠F,OB=DF, =90°，.∠BAD=∠FCD, 知能检测 .OB∥DF, 在△ABD和△CFD中， 1.连接AC,易证△ABC≌△CDA, .∠ODF+∠BOD=180°， I∠ADB=∠CDF 从而∠BAC=∠DCA, :∠AOC与∠BOD互补， AD=CD AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE. .∠AOC=∠ODF, N∠BAD=∠FCD 2.连接BC. .OA=OB,∴.OA=DF, ∴.△ABD≌△CFD(ASA). 在△ABC和△DCB中， 在△AOC和△FDO中， 72