宁夏银川市宁夏开元学校2025-2026学年高三下学期5月月考数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷聚焦核心知识综合应用，梯度设计合理，解答题涵盖数列、三角函数、立体几何等高考重点模块，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、椭圆离心率等|基础题为主，如第3题椭圆定义与离心率结合，考查抽象能力| |多选|3/18|双曲线性质、六棱锥线面关系等|中档题，如第10题六棱锥线面平行垂直判断，体现空间观念| |填空|3/15|曲线切线、三角变换、函数极值点|如第14题函数极值点与参数范围，考查逻辑推理| |解答|5/77|数列、解三角形、立体几何、圆锥曲线、导数|综合性强，如第19题导数零点与极值点证明，培养创新意识|

2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合的元素个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 2．复数z（其中i是虚数单位）的虚部是（　　） A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i 3．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，椭圆的方程为且|PF1|+|PF2|＝4，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．记a＝lg2+ln3，b＝lga+ln（a+1），则（　　） A．b＜a＜a+b B．a＜b＜a+b C．a+b＜b＜a D．a+b＜a＜b 5．已知夹角为，且，则等于（　　） A． B． C．2 D．10 6．函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则（　　） A．1 B． C．3 D． 7．已知直线3x﹣4y+2＝0与圆M：x2+y2+2ax＝0（a＞0）相切，则圆M和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 8．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点A，B，C，若，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知双曲线，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的焦距为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的渐近线方程为 10．如图，六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（　　） A．CF⊥平面PAD B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CD∥平面PAF 11．已知函数，则下列选项正确的是（　　） A．若x＞﹣1，则函数f（x）的最小值为0 B．若a＞0，b＞0且，则ab≥16 C．函数g（x）的图象关于点（﹣1，1）中心对称 D．若a，b，c是△ABC的三边，则g（a）+g（b）＞g（c） 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线在x＝1处的切线斜率为　 　 ． 13．若，，则　 　 ． 14．已知函数f（x）＝x2﹣aex﹣b（a，b∈R）满足f（0）＝1，且恰有一个极值点，则bea的取值范围为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1＝b1＝3，a2+b2＝14，a3+a4+a5＝b3． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn＝an+bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和． 16．（15分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求A； （2）若c＝2，求锐角△ABC周长的取值范围． 17．（15分）如图，圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且△BEF是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线AB与EF的交点． （1）证明： （i）EF⊥面ABCD； （ii）不论点P在何位置，三棱锥P﹣BEF的外接球半径大小不变． （2）求二面角P﹣EF﹣B的余弦值的取值范围． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣3，0）、B（3，0），F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若kPA•kPB，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求△PAQ面积的最大值； （3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数． （1）当b≤ln2+1时，证明：f（1）≤0； （2）当b＝2时，若∀x＞0，f（x）≥0，求a的最大值； （3）若f（x）恰有2个零点和3个极值点，证明：a＞2． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．C． 3．A． 4．A． 5．A． 6．C． 7．A． 8．C． 二．多选题 9．BC． 10．BCD． 11．ABD． 三．填空题 12．﹣1． 13．． 14．． 四．解答题 15．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q＞0． 依题意有， 由a1＝b1＝3，又q＞0， 解得 ∴an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，即an＝2n+1，n∈N*． ，n∈N*． （Ⅱ）∵， ∴前n项和Sn＝（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn） ＝（3+5+…+2n+1）+（31+32+…+3n） ． ∴前n项和． 16．解：（1）根据题意可知， ， ∵在△ABC中有C+B＝π﹣A，∴上式可化为， 又∵sinA＞0，∴，又∵A∈（0，π），∴； （2）根据正弦定理， 可得， ∴△ABC的周长为， ∵锐角△ABC，可知， 可得，则周长为 ， 由，且， ∴，即， 故锐角△ABC周长的取值范围为． 17．解：（1）（i）证明：∵△BEF是等边三角形，且△BEF的外接圆为圆O， ∴O为△BEF的中心， ∵AB为圆O的直径，∴AB⊥EF， ∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB， ∵平面ABCD与圆O所在的平面交于AB，平面ABCD与圆O所在的平面垂直， ∴AD⊥圆O所在的平面， ∵EF⊂圆O所在的平面，∴EF⊥DA，∵AB∩DA＝A，AB，AD⊂平面ABCD， ∴EF⊥平面ABCD． （ii）证明：∵△BEF的外接圆为圆O，OO1⊥平面BEF， ∴三棱锥P﹣BEF的外接球的球心在OO1上， 设球心为M，球M的半径为R，则MB＝R，MP＝R， ∵AB＝4，PO1＝2，BO＝2，， ，∴MO＝MO1， ∴M为OO1的中点，∴MO＝MO1＝2，∴， ∴， ∴不论点P在何位置，三棱锥P﹣BEF的外接球半径大小不变． （2）以O为原点，过O作EF的平行线作为x轴，直线OB为y轴，直线OO1为z轴建立空间直角坐标系， ，，B（0，2，0），设P（2cosα，2sinα，4）， ，， 设平面EFP的法向量为， 则，则，即， 解得， ∴，， 平面EFB的一个法向量为，， 二面角P﹣EF﹣B的平面角为θ， 则， 设t＝2sinα+1，α∈[0，2π]， ∵sinα∈[﹣1，1]，∴2sinα+1∈[﹣1，3]，∴t∈[﹣1，3]， ∴， 转化为， 当t＝0时，cosθ＝0， 当﹣1≤t＜0，， ∵﹣1≤t＜0，∴0＜t2≤1，∴，∴，∴， ∴， ∴； 当0＜t≤3时，， ∵0＜t≤3，∴0＜t2≤9，∴，∴，∴， ∴，∴； 综上可知，， 则二面角P﹣EF﹣B的余弦值的取值范围为． 18．解：（1）因为椭圆的左、右顶点分别为A（﹣3，0）、B（3，0）， 所以a＝3， 设P（x1，y1）， 因为点P在椭圆上， 所以， 此时， 所以， 解得b2＝5， 则椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为（2，0）， 设直线PF方程为x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0， 由韦达定理得，， 所以， 此时 可得， 因为A（﹣3，0）到直线PF：x＝my+2距离， 所以， 令， 此时m2＝t2﹣1， 所以， 易知函数在[1，+∞）上单调递增， 所以当t＝1，即m＝0时，f（t）取得最小值，f（t）min＝9， 此时S△APQ的面积最大，最大值为； （3）假设存在λ使得k1+λk2＝0， 此时， 因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线x＝my+2上， 所以x1＝my1+2，x2＝my2+2， 此时， 整理得m（1+λ）y1y2+5λy2﹣y1＝0， 由（2）知， 所以， 可得， 整理得， 要对任意的m都成立，需满足， 解得． 故存在，使得k1+λk2＝0． 19．（1）证明：． 设g（a）＝lna﹣2a，则， 故当时，g′（a）＞0，g（a）在区间上单调递增； 当时，g′（a）＜0，g（a）在区间上单调递减， 故g（a）≤g12＝﹣1﹣ln2． 因此f（1）＝b+g（a）≤b+g12＝b﹣1﹣ln2≤0，得证． （2）解：取x＝1，则g（a）+2≥0，由（1）知g（a）在区间上单调递减， 故当a＞1时，g（a）+2＜g（1）+2＝0，故必有a≤1， 当a＝1时，f（x）＝x3﹣2x2+2x﹣lnx﹣1，则， 故当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减； 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 故f（x）≥f（1）＝0，符合题意，因此a的最大值是1． （3）证明：设， 则， 故当0＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，a）上单调递减； 当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在区间（a，+∞）上单调递增， ∴当x＝a时，h（x）取极小值h（a）． 若f（x）恰有2个零点，则h（a）＜0，得． ，设φ（x）＝3x3﹣4ax2+bx﹣1， 则φ′（x）＝9x2﹣8ax+b，由f（x）恰有3个极值点，得φ′（x）必有2个正零点， 记为x1，x2（x1＜x2），故， 即16a2＞9b＞0， 当0＜x＜x1，或x＞x2时，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增， 当x1＜x＜x2时，φ′（x）＜0，φ（x）在区间（x1，x2）上单调递减， 当x＝x1时，φ（x）取极大值φ（x1），当x＝x2时，φ（x）取极小值φ（x2）， 由f（x）恰有3个极值点，则φ（x）必有3个正零点， 由有， 故． ∵x1（b﹣2ax1）（b﹣2a•）， ∴必有，即12a＜b2， 由16a2＞9b＞0，12a＜b2，有（16a2）2＞81×12a，则． 由，有，即， ∵函数在区间（1，+∞）上单调递增，若1＜a≤2， 则a3810，矛盾， 故a＞2得证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $