热点07 解直角三角形5大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点07 解直角三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 特殊角三角函数值 题型02 网格三角函数求值 题型03 仰角、俯角、坡度坡角 题型04 双直角三角形测量模型 题型05 三角函数与几何综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：解直角三角形是江苏中考数学的核心应用模块，是三角函数与实际问题、几何综合题的桥梁，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-14分，是中档题的重要来源，也是解决实际测量问题的核心工具。 1.高频考点分布： · 特殊角三角函数值：基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-3分； · 网格三角函数求值：中档基础题高频考点，占2-3分； · 仰角、俯角、坡度坡角：实际应用题核心考点，占4-6分； · 双直角三角形测量模型：解答题高频考点，常以基础解答题形式出现，占4-6分； · 三角函数与几何综合：区分度考点，占3-5分。 2.命题特点： · 基础题以特殊角三角函数值、网格三角函数求值为主，侧重概念理解与直接应用； · 实际应用题是本模块的核心，常结合仰角、俯角、坡度坡角等生活测量场景，考查建模与解直角三角形的能力； · 几何综合题常结合三角形、四边形背景，考查三角函数的综合应用； · 命题形式以解答题为主，对解题步骤的规范性要求较高。 3.高频失分点： · 特殊角三角函数值混淆，如sin30°与cos60°、tan45°记错； · 网格中求三角函数值时，未正确构造直角三角形，或对边、邻边找错； · 仰角、俯角、坡度坡角的概念理解不清，无法转化为直角三角形的内角； · 双直角三角形模型中，公共边或等量关系找错，导致列方程错误； · 三角函数与几何综合题中，无法找到合适的直角三角形，无法建立边与角的关系。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出实际应用与综合能力： 1.基础题难度不变，仍以特殊角三角函数值、网格三角函数求值为主； 2.实际应用题仍为解答题高频考点，将更多结合江苏本地建筑、地理背景，考查建模能力； 3.三角函数与几何综合题的区分度增强，侧重考查数形结合与转化思想； 4.对解题步骤的规范性要求进一步提高，需完整写出解直角三角形的过程。 题型01 特殊角三角函数值 解｜题｜策｜略 ① 核心特殊角三角函数值速记： 表格 ② 解题技巧： · 利用 “互余角的三角函数关系” 辅助记忆：sinα=cos(90°−α)，如sin30°=cos60°； · 三角函数值的大小规律：0°<α<90°时，sinα、tanα随角度增大而增大，cosα随角度增大而减小； · 遇到含特殊角的三角函数计算，直接代入数值，按实数运算顺序计算即可。 ③ 易错点：混淆不同角度的三角函数值，或计算时化简错误（如tan60°的结果记错为）。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 例2（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 例4（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】1 【分析】根据求解即可； 【详解】解：原式． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）计算：； 【答案】 【详解】解：原式. 【变式4】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型02 网格三角函数求值 解｜题｜策｜略 ① 核心解题步骤： · 在网格中，根据三角函数的定义，构造包含目标角的直角三角形； · 利用网格边长，计算直角三角形的三边长度； · 根据三角函数的定义（对边斜边，邻边斜边，对边邻边），计算三角函数值。 ② 解题技巧： · 若目标角不在直角三角形中，可通过平移、延长线段构造直角三角形； · 利用勾股定理计算网格中线段的长度，注意单位长度的统一； · 若目标角为钝角，可转化为其补角的锐角三角函数求解。 ③ 易错点：构造直角三角形时，误将目标角当作直角三角形的内角，或对边、邻边找错，导致三角函数值计算错误。 例1（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 例2（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 【变式1】（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 结合网格可知，，，， 在中，， ∴． 【变式2】（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 题型03 仰角、俯角、坡度坡角 解｜题｜策｜略 ① 核心解题步骤： · 在网格中，根据三角函数的定义，构造包含目标角的直角三角形； · 利用网格边长，计算直角三角形的三边长度； · 根据三角函数的定义（对边斜边，邻边斜边，对边邻边），计算三角函数值。 ② 解题技巧： · 若目标角不在直角三角形中，可通过平移、延长线段构造直角三角形； · 利用勾股定理计算网格中线段的长度，注意单位长度的统一； · 若目标角为钝角，可转化为其补角的锐角三角函数求解。 ③ 易错点：构造直角三角形时，误将目标角当作直角三角形的内角，或对边、邻边找错，导致三角函数值计算错误。 例1（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 例2（2026·江苏扬州·一模）如图，地面上两幢建筑物与相距，在A处测得D处俯角为，测得C处的仰角为，则的高度为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出，的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， 根据题意，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 在中，， ， 的高度为． 例3（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由三角形内角和定理得，在中，，可得，从而可求出； （2）过点作于点，过点作于点，求出，再求出，，可得，进而得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】通过延长信号杆与地面相交构造两个直角三角形，先在含山坡倾角的直角三角形中求出相关边长，再利用仰角的等腰直角三角形性质求出对应高，两高相减得到信号杆的高度． 【详解】解：延长交水平线于点，可得（为竖直信号杆，为水平地面），因此和均为直角三角形， 在中：米，， 根据三角函数定义：， ， 在中：，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)8 (2)汽车不超速，理由见解析 【分析】（1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； （2）解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 题型04 双直角三角形测量模型 解｜题｜策｜略 ① 常见双直角三角形模型： · 同侧双直角三角形：两个直角三角形有公共的水平边，通过公共边建立方程； · 异侧双直角三角形：两个直角三角形在公共边的两侧，通过公共边建立方程； · 含公共斜边的双直角三角形：两个直角三角形共享一条斜边，利用三角函数表示公共边，建立等式。 ② 通用解题步骤： · 设公共边或未知边为未知数x； · 利用三角函数，用x表示出相关的线段长度； · 根据线段的和差关系，列方程求解x； · 回代求出目标线段的长度。 ③ 解题技巧： · 优先设公共边为未知数，减少变量数量； · 利用 “同一个线段用两种方式表示” 建立等式，简化方程； · 计算时注意三角函数的选择，优先用已知角的三角函数表示未知边，减少计算量。 ④ 易错点：两个直角三角形的等量关系找错，或列方程时三角函数应用错误，导致结果偏差。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)55 (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，得到，，推出，，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可； （3）根据题意求得，分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：55； （2）解：根据题意，得， ∵中，，为中点， ∴， ∴，， ∴，， 当点Q在上时，， ∴，解得， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当时，， 此时，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时，由，得， 解得． 当点Q在上时，由，得， 解得． ∴或． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，则，得出，进而得出；作，交于点J，交于点K，根据求出，得出，再证明，得出，证明，得出，设，则，解方程求出结论即可． 【详解】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； 作，交于点J，交于点K， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：（不合题意舍去）， 故． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，中，，，，对角线相交于点O．过点B作的平行线，交的延长线于点E，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用解直角三角形求出相关线段的长度，利用勾股定理的逆定理得出，证明四边形为矩形，最后利用勾股定理以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）如图，在矩形中，以顶点A为圆心的与对角线相切于点E，过点C作的切线，切点为G，且于点F，则的正切值为____________________． 【答案】 【分析】连接，设，根据题意，得， 根据切线的性质，得，，分别表示出，根据，解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵矩形中，以顶点A为圆心的与对角线相切于点E，过点C作的切线，切点为G，且于点F， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 整理，得． 解得或（舍去）． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的应用，正切函数的定义，熟练掌握性质和解方程，三角函数的应用是解题的关键． 题型05 三角函数与几何综合 解｜题｜策｜略 ① 常见双直角三角形模型： · 同侧双直角三角形：两个直角三角形有公共的水平边，通过公共边建立方程； · 异侧双直角三角形：两个直角三角形在公共边的两侧，通过公共边建立方程； · 含公共斜边的双直角三角形：两个直角三角形共享一条斜边，利用三角函数表示公共边，建立等式。 ② 通用解题步骤： · 设公共边或未知边为未知数x； · 利用三角函数，用x表示出相关的线段长度； · 根据线段的和差关系，列方程求解x； · 回代求出目标线段的长度。 ③ 解题技巧： · 优先设公共边为未知数，减少变量数量； · 利用 “同一个线段用两种方式表示” 建立等式，简化方程； · 计算时注意三角函数的选择，优先用已知角的三角函数表示未知边，减少计算量。 ④ 易错点：两个直角三角形的等量关系找错，或列方程时三角函数应用错误，导致结果偏差。 例1（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M，则，证明，设，则，根据勾股定理，得，解得，，利用三角函数解答即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点作，交的延长线于点G，交于点M， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，，将沿翻折到处，再将沿翻折到处， ∴，，， ∴， ∴ ∴三点共线， ∴， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得，， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴ 解得， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，，结合已知，确定点D坐标为，解答即可； （2）过C作轴于T，过D作于K，设，可得，证明，得到，据此求解即可； （3）根据直线经过的圆心，结合，判定直线是的切线，利用勾股定理，三角函数，确定点C的坐标，再利用待定系数法确定解析式，利用圆的对称性，确定另一切线的解析式即可． 【详解】（1）解：当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，， 又， 故点D坐标为， 故答案为：． （2）解：过C作轴于T，过D作于K，如图； 设， ∵，， ∴， ∴， 由图可知，点C在轴上方， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴点C的坐标为； （3）解：∵直线经过的圆心， ， ∴直线是的切线， ∴以为直径作圆与交于C，两点，连接，， 则, ∴，， ∴，， 过点C作于点E， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据圆的对称性，得 ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 故直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点． (1)求的值； (2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）延长交x轴于点Q，根据题意，得,结合已知得到,设，于是，确定，继而确定，求． （2）延长交于点F，过点N作于点G，得,，得到四边形是平行四边形即，得到，设，求得，过点E作轴于点H，则四边形是矩形，当时，，求解即可． 【详解】（1）解：延长交x轴于点Q， ∵四边形是菱形，点， ∴，， ∴， ∵与轴正方向的夹角为，且， ∴, 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得． （2）解：延长交于点F，过点N作于点G， ∵四边形是菱形，点， ∴,， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得； ∴， 过点E作轴于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 故当时，， 故点． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏宿迁·二模）计算：． 【答案】6 【分析】原式分别计算负整数指数幂、绝对值以及特殊角三角函数，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 【答案】 【分析】连接，由折叠得，，，，，，证明，得，， ，即可得，最终可求出的值． 【详解】解：连接，由题意可得：，，，， 由折叠得，，， ，，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·江苏盐城·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题分别计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值与二次根式的化简，再计算加减即可得到最终结果． 【详解】解： 5．（2026·江苏南通·模拟预测）若中，，，那么（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先设，，利用勾股定理求得，然后利用正弦的定义得出结果． 【详解】解：在中，，， ∴设，， ∴， ∴． 6．（2026·江苏南通·一模）如图，已知内接于是的直径，连接，，平分，． (1)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是的直径，可得，再由BC平分，为等腰直角三角形，由锐角三角函数求AC的长即可； （2）连接OC，用减去可求出阴影面积． 【详解】（1）解：是的直径， ． 平分， ． ． 为等腰直角三角形． ； （2）连接OC，则． 7．（2026·江苏南通·一模）如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）． 【答案】海里 【分析】首先作辅助线拆分：过点作于，将拆分为，得到两个含特殊角的直角三角形，再解三角形即可． 【详解】解：过点作于点． 在中，， ． 在中，． ． ． 答：航程的值为海里． 8．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点07 解直角三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 特殊角三角函数值 题型02 网格三角函数求值 题型03 仰角、俯角、坡度坡角 题型04 双直角三角形测量模型 题型05 三角函数与几何综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：解直角三角形是江苏中考数学的核心应用模块，是三角函数与实际问题、几何综合题的桥梁，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-14分，是中档题的重要来源，也是解决实际测量问题的核心工具。 1.高频考点分布： · 特殊角三角函数值：基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-3分； · 网格三角函数求值：中档基础题高频考点，占2-3分； · 仰角、俯角、坡度坡角：实际应用题核心考点，占4-6分； · 双直角三角形测量模型：解答题高频考点，常以基础解答题形式出现，占4-6分； · 三角函数与几何综合：区分度考点，占3-5分。 2.命题特点： · 基础题以特殊角三角函数值、网格三角函数求值为主，侧重概念理解与直接应用； · 实际应用题是本模块的核心，常结合仰角、俯角、坡度坡角等生活测量场景，考查建模与解直角三角形的能力； · 几何综合题常结合三角形、四边形背景，考查三角函数的综合应用； · 命题形式以解答题为主，对解题步骤的规范性要求较高。 3.高频失分点： · 特殊角三角函数值混淆，如sin30°与cos60°、tan45°记错； · 网格中求三角函数值时，未正确构造直角三角形，或对边、邻边找错； · 仰角、俯角、坡度坡角的概念理解不清，无法转化为直角三角形的内角； · 双直角三角形模型中，公共边或等量关系找错，导致列方程错误； · 三角函数与几何综合题中，无法找到合适的直角三角形，无法建立边与角的关系。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出实际应用与综合能力： 1.基础题难度不变，仍以特殊角三角函数值、网格三角函数求值为主； 2.实际应用题仍为解答题高频考点，将更多结合江苏本地建筑、地理背景，考查建模能力； 3.三角函数与几何综合题的区分度增强，侧重考查数形结合与转化思想； 4.对解题步骤的规范性要求进一步提高，需完整写出解直角三角形的过程。 题型01 特殊角三角函数值 解｜题｜策｜略 ① 核心特殊角三角函数值速记： 表格 ② 解题技巧： · 利用 “互余角的三角函数关系” 辅助记忆：sinα=cos(90°−α)，如sin30°=cos60°； · 三角函数值的大小规律：0°<α<90°时，sinα、tanα随角度增大而增大，cosα随角度增大而减小； · 遇到含特殊角的三角函数计算，直接代入数值，按实数运算顺序计算即可。 ③ 易错点：混淆不同角度的三角函数值，或计算时化简错误（如tan60°的结果记错为）。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 例2（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 例4（2025·江苏扬州·中考真题）计算：； 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）计算：； 【变式4】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 题型02 网格三角函数求值 解｜题｜策｜略 ① 核心解题步骤： · 在网格中，根据三角函数的定义，构造包含目标角的直角三角形； · 利用网格边长，计算直角三角形的三边长度； · 根据三角函数的定义（对边斜边，邻边斜边，对边邻边），计算三角函数值。 ② 解题技巧： · 若目标角不在直角三角形中，可通过平移、延长线段构造直角三角形； · 利用勾股定理计算网格中线段的长度，注意单位长度的统一； · 若目标角为钝角，可转化为其补角的锐角三角函数求解。 ③ 易错点：构造直角三角形时，误将目标角当作直角三角形的内角，或对边、邻边找错，导致三角函数值计算错误。 例1（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 例2（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【变式1】（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（   ）． A． B． C． D．3 【变式2】（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型03 仰角、俯角、坡度坡角 解｜题｜策｜略 ① 核心解题步骤： · 在网格中，根据三角函数的定义，构造包含目标角的直角三角形； · 利用网格边长，计算直角三角形的三边长度； · 根据三角函数的定义（对边斜边，邻边斜边，对边邻边），计算三角函数值。 ② 解题技巧： · 若目标角不在直角三角形中，可通过平移、延长线段构造直角三角形； · 利用勾股定理计算网格中线段的长度，注意单位长度的统一； · 若目标角为钝角，可转化为其补角的锐角三角函数求解。 ③ 易错点：构造直角三角形时，误将目标角当作直角三角形的内角，或对边、邻边找错，导致三角函数值计算错误。 例1（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 例2（2026·江苏扬州·一模）如图，地面上两幢建筑物与相距，在A处测得D处俯角为，测得C处的仰角为，则的高度为________．（结果保留根号） 例3（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 题型04 双直角三角形测量模型 解｜题｜策｜略 ① 常见双直角三角形模型： · 同侧双直角三角形：两个直角三角形有公共的水平边，通过公共边建立方程； · 异侧双直角三角形：两个直角三角形在公共边的两侧，通过公共边建立方程； · 含公共斜边的双直角三角形：两个直角三角形共享一条斜边，利用三角函数表示公共边，建立等式。 ② 通用解题步骤： · 设公共边或未知边为未知数x； · 利用三角函数，用x表示出相关的线段长度； · 根据线段的和差关系，列方程求解x； · 回代求出目标线段的长度。 ③ 解题技巧： · 优先设公共边为未知数，减少变量数量； · 利用 “同一个线段用两种方式表示” 建立等式，简化方程； · 计算时注意三角函数的选择，优先用已知角的三角函数表示未知边，减少计算量。 ④ 易错点：两个直角三角形的等量关系找错，或列方程时三角函数应用错误，导致结果偏差。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，中，，，，对角线相交于点O．过点B作的平行线，交的延长线于点E，连接，则的长为______． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）如图，在矩形中，以顶点A为圆心的与对角线相切于点E，过点C作的切线，切点为G，且于点F，则的正切值为____________________． 题型05 三角函数与几何综合 解｜题｜策｜略 ① 常见双直角三角形模型： · 同侧双直角三角形：两个直角三角形有公共的水平边，通过公共边建立方程； · 异侧双直角三角形：两个直角三角形在公共边的两侧，通过公共边建立方程； · 含公共斜边的双直角三角形：两个直角三角形共享一条斜边，利用三角函数表示公共边，建立等式。 ② 通用解题步骤： · 设公共边或未知边为未知数x； · 利用三角函数，用x表示出相关的线段长度； · 根据线段的和差关系，列方程求解x； · 回代求出目标线段的长度。 ③ 解题技巧： · 优先设公共边为未知数，减少变量数量； · 利用 “同一个线段用两种方式表示” 建立等式，简化方程； · 计算时注意三角函数的选择，优先用已知角的三角函数表示未知边，减少计算量。 ④ 易错点：两个直角三角形的等量关系找错，或列方程时三角函数应用错误，导致结果偏差。 例1（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，过点作交于点，则的长是__________． 【变式1】（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点． (1)求的值； (2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏宿迁·二模）计算：． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 4．（2026·江苏盐城·一模）计算：． 5．（2026·江苏南通·模拟预测）若中，，，那么（   ） A． B． C． D．1 6．（2026·江苏南通·一模）如图，已知内接于是的直径，连接，，平分，． (1)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积． 7．（2026·江苏南通·一模）如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）． 8．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $