精品解析：上海市西南模范中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 2026.04 （时间：90分钟 满分：100分） 一.填空题 1. 已知，则的值为________. 【答案】10 【解析】 【详解】由及组合数的性质，得， 所以. 2. 可以表示为________（用排列数表示）. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，. 3. 已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】6 【解析】 【详解】依题意，. 4. 已知函数的导函数为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由函数，求导得， 所以. 5. 已知，则的值为________. 【答案】120 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及组合数的性质求解. 【详解】由， 得 . 6. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则______. 【答案】. 【解析】 【分析】利用抛物线的焦点及椭圆焦点列出关于的方程求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点是， 故椭圆的一个焦点也为， 可得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据圆锥曲线的焦点求参问题，较简单，属基础题. 7. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 8. 已知函数在处取得极大值，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导，根据题意可得，计算可得或3，代入结合题意验证可解. 【详解】求导可得， 由题意可得，即，解得或3， 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 函数在处取得极大值，符合题意； 综上，. 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位） 【答案】 【解析】 【分析】由弧长和高可计算出米堆体积为立方尺，再根据提供数据换算单位即可得出结果. 【详解】根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为， 即，可得尺； 根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的为立方尺； 又1斛米的体积约为1.6立方尺，所以共斛. 故答案为： 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线截距式方程求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式及双曲线离心率的意义求解. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 焦点到直线的距离之和，得， 则，即，因此，整理得，解得， 所以双曲线的离心率，其最小值为. 11. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 12. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】同构变形给定不等式，构造函数并利用导数确定单调性建立不等式，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】不等式 由，得，令函数，求导得， 函数在上单调递增，不等式 ，令函数，依题意，对，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以的取值范围是. 二、选择题 13. 一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（ ） A. －3 B. 3 C. 6 D. －6 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均速度和瞬时速度的关系即可得出选项. 【详解】由平均速度和瞬时速度的关系可知， v＝s′（1）＝ (－3Δt－6)＝－6. 故选：D 14. 在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线，点在抛物线上， 代入可得， 因为，所以解得，即点坐标为， 点在抛物线上，代入可得， 因为，所以解得，即点坐标为， 点是抛物线的焦点，则点坐标为， ，， 则. 15. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（ ） A. 100个 B. 125个 C. 225个 D. 250个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答. 【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法： 最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个. 故选：C 16. 如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心.线段是圆柱的一条母线，且，已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”，记平面与圆柱侧面的交线为曲线.则下列结论正确的个数有（ ）. （1）曲线是椭圆的一部分 （2）曲线是抛物线的一部分 （3）二面角的大小为 （4）马蹄体的体积为满足 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等判断（1）（2）；由二面角的定义判断（3）；马蹄体的体积为小于圆柱体的判断（4）. 【详解】 将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切， 又与曲线C所在平面相切，令切点为，取曲线C上一点， 过点的圆柱母线与两球交于两点，由同为下面球的切线，同为上面球的切线， 得，，则， 由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，（1）正确，（2）错误； 连接，由，，平面， 可得平面，平面，则， 为二面角的平面角，又，因此，（3）正确； 由补成的几何体知马蹄体的体积为小于圆柱体的，即为， 又，则，因此，（4）正确. 三.解答题 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 如图、连接BD， ∵，，∴， ∴，∴． ∵平面ABCD，∴， 又，∴平面， ∵平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）利用等体积法求解店面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BM，． 由已知可得，，， ∴，∴． 设点B到平面的距离为h， 由（1）知BC⊥平面， ∴三棱锥的体积， 即， 解得，即点B到平面的距离为． 18. 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数. 【小问1详解】 二项式的展开式中第7项为 ， 由题意得，解得. 【小问2详解】 令，得，所以或， 解得，或（舍去）. 该二项式展开式通项为 ， 令，解得， 故展开式中的系数为. 19. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面PAD； （2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 【答案】（1） 证明：取AD的中点O，连接PO, 因为为等边三角形，且O为AD中点， 所以 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面 . 又平面，因而 因为，，所以 由平面，平面PAD，， 所以平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明； （2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD， 所以PC在平面ABCD内的投影为OC， 故是与平面所成的角，即 ，由题得，， 因为平面PAD，，所以平面PAD，所以． 因此，， 取CD的中点M，连接BM、QM， 则 所以多面体PQABCD的体积是. 20. 已知函数，，令. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论，由导数确定函数在上的单调性，并由最小值求出的范围即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，， 求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，，不符合题意， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 21. 在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求的长; （2）设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得. （2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围. （3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得. 【小问1详解】 设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. 【小问2详解】 设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. 【小问3详解】 设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 2026.04 （时间：90分钟 满分：100分） 一.填空题 1. 已知，则的值为________. 2. 可以表示为________（用排列数表示）. 3. 已知函数的导函数为，若，则________. 4. 已知函数的导函数为，则________. 5. 已知，则的值为________. 6. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则______. 7. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 8. 已知函数在处取得极大值，则_________． 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位） 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点和，且焦点，到直线的距离之和为，则双曲线离心率的最小值为________. 11. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 12. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 二、选择题 13. 一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（ ） A. －3 B. 3 C. 6 D. －6 14. 在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（ ） A. 100个 B. 125个 C. 225个 D. 250个 16. 如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心.线段是圆柱的一条母线，且，已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”，记平面与圆柱侧面的交线为曲线.则下列结论正确的个数有（ ）. （1）曲线是椭圆的一部分 （2）曲线是抛物线的一部分 （3）二面角的大小为 （4）马蹄体的体积为满足 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三.解答题 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 18. 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 19. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面PAD； （2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 20. 已知函数，，令. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，，求的最小值. 21. 在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求的长; （2）设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $