二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形综合应用，通过基础求解、动态探究、存在性证明三阶分层，构建从单一知识到综合能力的巩固路径，适配中考二轮专题突破需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线解析式求解|以待定系数法为主，强化二次函数概念理解与运算能力| |提升层|几何量计算与动态问题|结合动点、面积最值，培养几何直观与推理意识| |综合层|存在性与变换综合|涉及等腰/直角三角形存在性、图形旋转，发展创新意识与模型观念|

二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考 1．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，抛物线与轴负半轴交于点，，拋物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若该抛物线与直线交于点，，，为抛物线对称轴上一点，连接并延长，交抛物线于点，连接交拋物线对称轴于点， ①如图2，若，直线交对称轴于点，，求的长度； ②求证：不论取何值，抛物线上都存在定点，使得是以为底边的等腰三角形． 3．如图，抛物线经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的函数表达式. （2）求证: △ABC是等腰三角形. （3）动点P在线段AC上，从点A出发以每秒1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似. 4．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M的表达式为y＝﹣x2+2x，与x轴交于O、A两点，顶点为点B． (1)求证：△OAB为等腰直角三角形： (2)已知点P在y轴上，且OP＝1，点C在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，将抛物线M进行平移，使其对称轴经过点C，请问平移后的抛物线能否经过点P？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(2，0)，C(0，-4)，直线l：y=-x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于F． (1)试求该抛物线表达式； (2)如图(1)，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图(2)，连接AC．求证：△ACD是直角三角形． 9．如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． 　　　 （1）求，的值； （2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于，两点．求证：无论为何值，△恒为直角三角形． 10．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上； （3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式． 11．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 12．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点E是x轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CE的垂线，垂足分别为M，N，连接MD，ND． (1)求抛物线的解析式； (2)延长MD交于BN点F， ①求证：； ②求证：； (3)当为等边三角形时，请直接写出直线CE与抛物线对称轴的交点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．(1) (2)①；② 【分析】（1）依据题意得到点，结合，代入即可求得抛物线的解析式； （2）①设，，由抛物线与直线解析式联立得，，依题意得到，结合，即可求得 ②，过点作对称轴的垂线分别过，作该垂线的垂线段，垂足分别为， 易得到得到，计算即可得点为定值， 【详解】（1）抛物线与轴负半轴交于点， 点在原点左侧，， 过， ， ，， （2）①， 设， ， ，在对称轴上，，关于对称轴对称 ，    ②过点作对称轴的垂线分别过，作该垂线的垂线段，垂足分别为， ， ， 设    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，数形结合，利用将几何性质代数法是解答本题的关键． 3．（1） （2）见解析 （3）当t=或t=时，相似. 【详解】试题分析：（1）应用待定系数法求解析式， （2）根据对称性构造直角三角形解决问题 （3）利用三角形相似求出 试题解析：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式是. （2）抛物线的对称轴是， ∵点C（m,）在抛物线对称轴上 ∴m=2 ∴点C（2,）， ∴CA=="4," CB==4， ∴CA= CB ∴△ABC是等腰三角形 （3）∵∠A是公共角 当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB， ∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t， ∴， ∴t=， 当∠APQ=∠ABC时，， ∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t， ∴， ∴t=， ∴当t=或t=时，相似. 考点：待定系数法，解直角三角形，三角形相似 4．(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．(1)见详解 (2)将抛物线M向右平移个单位，再向上平移个点，得过点C1和点P的抛物线；抛物线M向右平移个单位，再向上平移得出过点C2和点P的抛物线；抛物线M向右平移个单位。再向上平移个单位，得点过点C3与P的抛物线 【分析】（1）将抛物线M配方为顶点式得出抛物线的对称轴为x=2，抛物线的顶点B（2，2）， 然后求出点A（4，0），根据对称轴求出点E（2，O），BE⊥OA，证明△OEB为等腰直角三角形，再证△AEB为等腰直角三角形即可； （2）根据△ABC为等腰直角三角形，分以下三种情况，以AB为直角边，点B为直角顶点，将AB绕点B逆时针旋转90°，得出点C1（4，4）将抛物线M向右平移2个单位，再向上平移2个点，得出以C1为顶点的抛物线为，以AB为直角边，以点A直角顶点，将AB绕点A顺时针旋转90°，得AC2，求出点C2（6，2），抛物线M向右平移4个单位得出过顶点C2的抛物线；以AB为斜边，点C3为直角顶点，点C3在AC1的中点，C3（4，2）即可． 【详解】（1）解：抛物线M的表达式为， ∴抛物线的对称轴为x=2，抛物线的顶点B（2，2）， 抛物线与x轴的交点， 解得：， ∴点A（4，0）， ∵抛物线对称轴为x=2， ∴点E（2，O），BE⊥OA， ∵OE=BE=2，∠OEB=90°， ∴△OEB为等腰直角三角形， ∴∠BOE=∠OBE=45°， ∵AE=OA-OE=4-2=2， ∴BE=AE，∠AEB=90°， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴∠EBA=∠EAB=45°， ∴∠BOE=∠OBE=∠EBA=∠EAB=45°， ∴OB=AB，∠OBA=∠OBE+∠ABE=45°+45°=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形 （2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，分以下三种情况， 以AB为直角边，点B为直角顶点， 将AB绕点B逆时针旋转90°， ∴∠BAC1=45°， ∴∠CAO=∠OAB+∠C1AB=45°+45°=90°， ∴CA⊥x轴， ∵∠OBA+∠ABC1=90°+90°=180°， ∴点O、B、C1三点共线， ∵∠C1OA=45°， ∴△OAC1为等腰直角三角形， ∴C1A=OA=4， ∴点C1（4，4） ∵OP=1， ∴点P（0,1） 设过点P与C1形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得 解得 ∴， 将抛物线M向右平移个单位，再向上平移个点，得过点C1和点P的抛物线 以AB为直角边，以点A直角顶点，将AB绕点A顺时针旋转90°，得AC2， ∵∠C2BA=45°=∠BAO， ∴BC2∥OA， ∠OBA=∠C2AB， ∴AC2∥OB， ∴四边形OBC2A， ∴BC2=OA=4， ∴点C2横坐标为OE+BC2=2+4=6， ∴点C2（6，2）， ∴点P（0,1） 设过点P与C2形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得 解得 ∴ ∴， ∴抛物线M向右平移个单位，再向上平移得出过点C2和点P的抛物线； 以AB为斜边，点C3为直角顶点，点C3在AC1的中点，C3（4，2） ∵点P（0，1） 设过点P与C3形状与M斜体的抛物线解析式为，代入坐标得 解得 ∴ ∴， ∴抛物线M向右平移个单位。再向上平移个单位，得点过点C3与P的抛物线 【点睛】本题考查图形与坐标，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形，图形旋转，抛物线平移，掌握图形与坐标，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形，图形旋转，抛物线平移是解题关键． 6．(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 7．(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 8．(1)y=x2+x-4；(2)P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-)；(3)证明见解析. 【分析】（1）利用待定系数法即可求a、c的值，从而求得抛物线的表达式; （2）设P点的坐标是（x，x2+x-4），则F（x，-x-4），由OCPF是平行四边形得OC=FP,OC∥PF，从而-x2-x=4，求解即可得P的横坐标，代入解析式即可得P的坐标． （3）分别求出点A、C、D的坐标，可以根据勾股定理的逆定理即可判断 【详解】(1)依题意，抛物线经过A(2，0)，C(0，-4)，则c=-4 将点A代入得0=4a+×2-4，解得a= 抛物线的解析式是y=x2+x-4 (2)设P点的坐标是(x，x2+x-4)，则F(x，-x-4) ∴PF=(-x-4)-(x2+x-4)=-x2-x ∵四边形OCPF是平行四边形 ∴OC=FP，OC∥PF ∴-x2-x=4 即2x2+21x+40=0 解得x1=-8 x2=-2.5 ∴P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-) (3)当y=0时，-x-4=0，得x=-8，即D(-8，0) 当x=0时，0-4=y，即C(0，-4) 当y=0时，x2+x-4=0 解得 x1=-10 x2=2，即B(-10，0)，A(2，0) ∴AD=10 ∵AC2=22+42=20 CD2=82+42=80 ∴AD2=AC2+CD2 ∴∠ACD=90°△ACD是直角三角形 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 9．（1）；（2）点的坐标，，；（3）见解析． 【分析】（1）将点代入解析式中即可求出结论； （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点，则点 ，过点作于点，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三线合一、等腰直角三角形的性质列出方程即可求出结论； （3）将二次函数和一次函数的解析式联立，整理得，设点的坐标为，根据根与系数的关系可得则， ，，然后利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理即可证出结论． 【详解】解：（1）将点代入， 得， 解得， ∴； （2）设直线的解析式为， 将点代入， 得，， ∴直线的解析式为， 设点，则点 ， 过点作于点， ①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（舍去），， ∴； ②当时， ， 解得 ∴ ③当时，此时点P和点M重合 ， 解得 ∴ 综上所述点的坐标，，； （3）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：， 设点的坐标为， 则， 则 ， 同理：， 点的坐标为，，点， ∴ 即：为直角三角形． 【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和几何图形的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和勾股定理的逆定理是解决此题的关键． 10．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）见解析；（3）直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明△DNB为等边三角形，求出点N的坐标，利用，求出点M的坐标，进而求解； （3）由（2）知，,故当点P在x轴上方时，直线NP的表达式为；当点在x轴下方时，证明,即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN， 则DN＝BD，∠DNB＝60°，则△DNB为等边三角形， 对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1， 故点B的坐标为（3，0）， 由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，故点D（1，2），则点E（1，0）， 则EB＝2＝DE，故△DBE为等腰直角三角形，则BD＝， 过点N作直线NP⊥BD交BD于点H，交抛物线于点P， ∵DN＝NB，DE＝BE，则NP为BD的中垂线， 由BC得表达式知，∠OBC＝∠OCB＝45°，则∠PEB＝45°， 故设直线NP的表达式为y＝x+t， 将点E的坐标代入上式得：0＝1+t，解得t＝﹣1， 故直线NP的表达式为y＝x﹣1， 设点N的坐标为（m，m﹣1）， 由BN＝DB得：（m﹣3）2+（m﹣1）2＝（）2，解得m＝2±（舍去2+）， 故点N的坐标为（2﹣，1﹣）； 过点M作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点K， 设点M的坐标为（s，t）， ∵∠DMG+∠KMN＝90°，∠DMG+∠GDM＝90°， ∴∠KMN＝∠GDM， ∴∠MKN＝∠DGM＝90°，MD＝MN， ∴△MKN≌△DGM（AAS）， ∴GD＝MK，MG＝KN， ∴，解得， 故点M的坐标为（1﹣，1）， 当x＝s＝1﹣时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（1﹣）2+2（1﹣）+3＝1， 故点M在抛物线上； （3）由（2）知，∠PNB＝30°， ①故当点P在x轴上方时， 直线NP的表达式为y＝x﹣1， ②当点P（P′）在x轴下方时， ∵∠P′NB＝30°，∠BND＝60°，则∠P′ND＝90°， 由点DN的坐标得，直线ND的表达式为y＝（2+）x﹣， 则设直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+r， 将点N的坐标代入上式并解得r＝3﹣， 故直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+3﹣5； 综上，直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，三角形全等，解直角三角形，图形的旋转等，要注意分类求解避免遗漏． 11．(1) (2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③ 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程． 12．(1)； (2)①见解析；②见解析； (3) 【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入到抛物线解析式即可； （2）①通过可得，然后通过平行可以得到对应的角相等，再加上已知条件即可证得全等； ②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论； （3）通过可得四点共圆，进而可以得到，然后通过正弦函数即可求出交点的坐标． 【详解】（1）解：将，，代入到中， 得，记得， ∴抛物线的解析式为：； （2）①如图： ∵D在抛物线的对称轴上， ， ∵， （垂直于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（对顶角相等）， ； ②由①得，， 在Rt△MFN中，∵D为斜边MF的中点， ， ； （3）过点D作x轴垂线交CE于点R，连接AR，如图所示： 当△DMN为等边三角形时，， 轴，， ， ∴A、M、D、R四点共圆（圆内接四边形对角互补）， 又∵∠RMD与∠RAD都是弦RD所对的圆周角， ， 在Rt△RDA中，， ∵D在对称轴上，∴，， ， 又∵点R在x轴的下方， ∴ 即直线CE与抛物线对称轴的交点坐标． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定等，其中第（3）问中，得到A、M、D、R四点共圆是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $