专题05 相似三角形与解直角三角形热点（A字模型、8字模型、母子相似模型、相似+解直角三角形）有关的6类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以6类核心题型为载体，构建“模型识别-方法提炼-综合应用”三阶体系，融合相似三角形与解直角三角形知识，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字模型|3例题+5题型|平行线证相似，比例关系求线段|从AA判定到模型拓展，结合矩形、动点综合| |8字模型|3例题+5题型|对顶角+等角证相似，线段比例计算|依托对顶角构造，衔接四边形与翻折问题| |母子相似模型|3例题+5题型|公共角+特殊角证相似，公共边比例式|结合正方形、菱形，强化对应关系应用| |仰角俯角问题|3例题+5题型|构造直角三角形，三角函数求高度/距离|从定义到实际情境，培养转化思想| |坡度坡比问题|3例题+5题型|坡比定义+三角函数，坡面长度计算|结合工程场景，强化单位换算与勾股应用| |相似+解直角三角形综合|3例题+3题型|相似转化线段，三角函数建立关联|衔接中档与压轴，提升逻辑推理能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 相似三角形与解直角三角形热点 (4字模型、8字模型、母子相似模型、相似+解直角三角形等)有关的6类核心题型 目录 第部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一A字模型求解及技巧 方法二8字模型求解及技巧 方法三母子相似模型求解及技巧 方法四仰角俯角问题（解直角三角形的应用）解题技巧 方法五坡度坡比问题（解直角三角形的应用）解题技巧 方法六相似+解直角三角形综合解题技巧 第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】A字模型 【题型02】8字模型 【题型03】母子相似模型 【题型04】仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 【题型05】坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 【题型06】相似+解直角三角形综合 第四暗部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力 1/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 01 命题解码 ◆ 1.考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：相似三角形（中档核心，必考点）一一侧重判定（两角对应相等为主，边角边、 边边边为辅)和性质（对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比的平方），载体多为三角 形、矩形、梯形，常考线段计算、面积求解，也会结合几何变换、圆考查，是中档题核心得分点。 核心考向2：解直角三角形（基础+中档，必考点）一一聚焦锐角三角函数(sin、cos、tan) 的定义及应用，载体多为直角三角形、坡度、仰俯角、方向角等实际情境，考查边长、角度计算， 侧重“化斜为直”（非直角三角形作高转化），难度适中，是基础得分关键。 核心考向3：两者综合（压轴过渡，高频）一一结合相似与解直角三角形，求解复杂图形（如 叠合三角形、不规则图形)的边长、角度、最值，常与动点、几何最值模型（将军饮马、隐圆） 结合，是衔接中档与压轴题的核心题型，侧重逻辑推理与运算能力。 共性考向：均侧重“转化思想”，相似侧重“比例转化”，解直角三角形侧重“直角转化”，贴 合中考“几何直观、运算能力”核心素养，设问分层，兼顾基础与区分度。 2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：相似三角形判定与应用薄弱，不会快速找相等的角（对顶角、同位角、余角等），混淆 判定条件，不会构造相似辅助线（如作平行线、延长线），无法建立比例关系。 瓶颈2：解直角三角形易错点突出，记错锐角三角函数定义（混淆对边、邻边），忽略“直角三 角形”前提，不会将非直角三角形转化为直角三角形（不会作高），情境题不会提炼几何模型。 瓶颈3：综合题衔接不畅，无法快速拆分复杂图形，不会结合相似与解直角三角形的性质建立关 联，比例计算、三角函数计算失误频发，导致解题断层。 瓶颈4：细节把控不足，相似三角形中忽略“对应关系”（找错对应边、对应角），解直角三角 形中忽略单位换算（如坡度、角度单位），导致错解。 02 方法建模 ②结论道记 一、核心基础公式（解题地基，必背） (一)通用基础公式（两大模块均需用到） 2/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2(、a、b为直角边，c为斜边)，用于求边长、 验证直角三角形。 2.两点距离公式：AB=x2x+y2y, (适配坐标型相似、解直角三角形，求线段长度)。 3.比例基本性顾：若号=导，则ad=bc(交叉相乘)；若号=台=号=k,则器=k(合比性 质，适配相似比例计算)。 4.三角形内角和：A十B+∠C=180。(用于求未知角，辅助相似判定、解直角三角形)。 (二)相似三角形基础公式 1.相似三角形判定公式（中考必考，3种核心判定） 2.AA判定（两角分别相等）：若∠A=∠A,∠B=∠B,则△ABC~△ABC(中考最常用，适 配所有几何综合题)。 3.SAS判定（两边成比例且夹角相等）：若吕=能，且∠A=∠A,则△ABC△ABC(易错 点：夹角必须是成比例两边的夹角)。 4SS判定（三边成比例）：若晶=能=器，则△ABC△ABC(中考较少单维考，多结合 网格、坐标考查)。 5.相似三角形性质公式（核心应用，求边长、面积） 6.对应边成比例：铝=A能器=k(k为相似比)。 7.对应角相等：∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C(用于角度转化、证明平行)。 8周长比：=k(等于相似比) 9.面积比： =k2(等于相似比的平方，中考高频考点)。 SAABC 10.对应高、对应中线、对应角平分线比：片=器=卓=k(等于相似比，拓展考点)。 (三)解直角三角形基础公式 1.三角函数定义（核心，必背） 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B为锐角，对边分别为、、a、b、c(a为∠A对边，b为∠B对边，c为斜 边)： 3/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.正弦：的对边斜边sinA=么的对边=是 斜边 3.余弦：的邻边斜边cOsA=A的边=岂 斜边 4止切：的对边的邻边tanA=会開=号 5.互余角三角函数关系：sinA=cos(90。-A,tanA·tan(90。-A=1（简化计算，避免查表)。 6.特殊角三角函数值（中考必考，精准记忆） 7.解直角三角形核心边角关系（直接套用） 8.边边关系：a2+b2=c2(勾股定理)。 9.边角关系：sinA=是→a=c~sinA,c=品：同理cosA=名→b=c~cosA,c=: tanA=是→a=b:tanA,b=品。 10.角角关系：∠A+B=90。(用于求未知角)。 二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用) 模块1：相似三角形万能建模公式（中考高频，分4类核心模型） 模型1：A字型相似（基础高频，必考) 1.模型识别：有一条公共角（如∠A),另外两边被一条平行于第三边的直线所截（如DE∥BC),构 成“A”型结构。 2.万能步骤：识别公共角→证明两直线平行（或两角相等）一→判定相似→套用相似性质公式求边长/ 面积。 3.枚心公式：△ADE△ABC(M判定)，船=能-瓷=k,票=k 4.拓展：若DE不平行于BC,但∠ADE=∠ABC,仍为A字型相似(AA判定)，公式不变。 模型2：8字型(X字型)相似（基础高频，必考) 5.模型识别：两条线段相交（如AC与BD交于点0），对顶角相等，另外一组角相等（或两直线平行)， 构成“8”型结构。 6.万能步骤：识别对顶角→证明另一组角相等（或两直线平行）→判定相似→套用比例公式。 7.核心公式：△A0B~△C0D(AA判定)，铝=器=铝=k,S△A0B:S△D=k2。 4/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.拓展：若AB∥CD,可直接判定相似，无需额外证明角相等。 模型3：相似与动点/面积综合（中考压轴，拉分点） 9.模型识别：动点P在图形上运动，构成的三角形与固定三角形相似，或求动点运动过程中三角形面 积比。 10.万能步骤：设参数表示动点坐标/边长→分类讨论相似对应顶点→套用相似比例公式→列方程求解/ 计算面积比。 11.核心公式： 相似分类：若△PAB∽△CDE,分两种对应情况，器=罡或器=器： 面积比：器器=k（k为相似比)，纺合铅垂商法可快述水面积。 模块2：解直角三角形万能建模公式（中考高频，分4类核心场景） 模型1：仰俯角问题（实际应用，必考） 12.模型识别：涉及“仰角”（从低处看高处，视线与水平线夹角）、“俯角”（从高处看低处，视线 与水平线夹角)，需构造直角三角形。 13.万能步骤：构造Rt△（作水平线/垂直线，转化为直角三角形）→标注已知角（仰俯角）和已知边 一套用三角函数公式计算。 14.核心公式： 仰角a:垂宜衣度木平距离afa=果第器，h=d:aad=点： 俯角：与仰角相等（内错角），公式同上，注意区分“垂直高度”和“观测点高度”。 模型2：坡度（坡比）问题（实际应用，高频） 15.模型识别：涉及“坡度”“坡角α”，坡面为斜边，坡度是垂直高度与水平宽度的比。 16.万能步骤：明确坡度定义→构造Rt△（坡面为斜边，垂直高度为对边，水平宽度为邻边）→套用三 角函数公式。 17.核心公式： 坡度定义：垂直高度水平宽度i=来释宽骨=tana(a为坡角〉： 垂直高度h h 坡面长度：AB=品=0（勾股定理+三角函数结合）。 易错点：坡度是“垂直高度：水平宽度”，不是坡面与水平宽度的比，避免混淆。 5/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ☑技法归纳 方法一A字模型求解及技巧 由平行线证三角形相似，找准对应边，利用比例关系求解线段长度。 例题1(2025·四川绵阳·二模)如图，己知ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中 ∠ABC=∠CEF=90°，且E是中线AD的中点，连接BF,若AB=4,，则线段BF的长为() B D A. ② B.2 c.5 D.32 2 2 例题2(2025九年级·全国·专题练习)(1)如图，在ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC DP PE 上，且DE1BC,A0交DE于点P,求证：BOQC B (2)如图，ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连结AG,AF分别交 DE于M,N两点. ①如图，若AB=AC=1,直接写出MN的长； B 6/39 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如图，求证：MW2=DM·EN. A D 例题3(2024·山东青岛)矩形ABCD中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线，动点P从点A出 发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s;动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s ,过点P作BC的垂线段PH,运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接Q交AC于点O.若点P和点Q 同时出发，设运动的时间为t(s)(0<t<1.5),解答下列问题： D P Q (1)求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形； O H C (2)是否存在一个时刻，使0与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由； (3)是香存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PmCQ面积的石，如果存在请求出t值；如果不存 44 在请说明理由. 方法二8字模型求解及技巧 依托对顶角与相等内角判定相似，借助线段比例、角度关系进行计算。 例题1(25-26九年级上·安徽安庆·期中)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任 意一点，BF交4D于点B且D6=兮4E,则能的值为() EF 7/39 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 3 3 B. 4 c号 D. 5-3 例题2(25-26九年级上·四川宜宾·期中)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1,BC=V10,点D是 BC边上的动点.连接AD,作RtA ADE,如图所示，∠DAE=90°，∠EDC=∠BAD,连接BE.则 AD+,BE的最小值是 3 B D 例题3(2025·辽宁铁岭·三模)如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将 △PBC沿PB翻折，得到△PBD,PD交AB于点E, D A E B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由. ②)如图2，当PD14B,AP=4C时，请判断线段征，DE,BE之间的数量关系，并证明你的结论， (3)若tanA=V3,BC=3,在△ABP和△BDP中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直 接写出△BDP与ABC重叠部分的面积. 8/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方法三母子相似模型求解及技巧 利用公共角搭配特殊角证相似，借助公共边建立比例式，快速解题。 例题1(2O24·浙江·一模)如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E,F是BC延长 线上一点，且CF=CE,BE延长线交DF于G,则BG·EG的值是· 例题2(2025九年级·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，BE=FD ,AF的延长线交BC的延长线于点H,AE的延长线交DC的延长线于点G. (1)求证：△AFDn△GAD. (2)如果DF2=CF.CD,求证：BE=CH. 例题3(2024·四川成都)在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点 F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N. (1)如图a,当点H与点F重合时，求BE的长 A B F(H) D 图a (2)如图b,当点H在线段FD上时，设BE=x,DN=y,求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义 域 9/39 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E B F D 图b (3)连接AC,当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长 A 的 图c 方法四仰角俯角问题（解直角三角形的应用）解题技巧 构造直角三角形，锁定对应角度，运用三角函数求解高度与水平距离。 例题1(2025·天津·中考真题)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度 (如图①). 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,E,C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC,EF⊥AC ,且CD=EF=1.7m,在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为 31°，CE=32m·根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）· 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6. B B 31F.22D y 图① 图② 10/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题2(2025·四川成都·中考真题)在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门 B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方 向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.（结果精 确到0.1米；参考数据：sim63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，√5≈1.73) C 63.4 D 30° 例题3(2025·山东青岛·中考真题)学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点A,B,C,D, E在同一平面内，点B,C,D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E 的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部 E的仰角为42°，求博学楼DE的高度.（参考数据：sin22°≈ m2r号m2 8’c0s220≈15 40 3 9 c0s42° 4’ tan42°≈ 0 ←-[22° 厚 了42 学楼 B D 方法五坡度坡比问题（解直角三角形的应用）解题技巧 牢记坡比定义，构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数解决坡面计算。 例题1(2026·广西玉林·一模)为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三 级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行.已知每级台阶高为20cm,深为30cm,设台阶的起点为A, 斜坡的起始点为C,现设计斜坡的坡度i=1:5,则AC的长度是() 11/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 20 ,W不w A.200cm B.210cm C.240cm D.300cm 例题2(2026·湖北襄阳·一模)暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底A处出发，先步 行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角a=16°，缆车的行驶路线BC与水 平面的夹角B=37°，这座山的高度CD=296m,A,B,C,D在同一平面内.（参考数据： sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tanl6°≈0.29：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.830，tan37°≈0.75) BB A D (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）· 例题3(25-26九年级下·山东烟台·期中)如图是某商场的自动扶梯，其中AB为从一楼到二楼扶梯的 侧面示意图.小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为30°，此时他的眼晴D与地面的距 离AD=1.6m,之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BE(BE‖AF)向正前方走了3m,发现日光灯C刚好 在他的正上方，己知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m. 天花板 E B D F (1)求图中B到一楼地面的高度； (2)求日光灯C到一楼地面的高度.（√3≈1.732，结果精确到0.1m) 方法六相似+解直角三角形综合解题技巧 用相似转化线段关系，结合直角三角形三角函数，拆分步骤综合求解。 12/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例题1(2026·陕西渭南·一模)背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度 AB 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角∠ACB的度数；该小组的同学乙 在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿BD方向移动至点E处时，恰好从平 面镜中看到银杏树顶端A的像. 数据：CD=16.5米，DE=2米，EF=1.6米，∠ACB=63.4°. 说明：AB⊥BE,EF⊥BE,点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内. 任务：求银杏树的高度AB,（参考数据：in63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00) B D E 例题2(2026·陕西西安·模拟预测)在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校 花坛内一棵大树AB的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点E处，然后 沿着直线BE后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,即LCED=LAEB,然后小思又在C处用测 倾器测得树的顶端A处的仰角为26度；小欣用皮尺分别测量DE及小思目高(CD)的长.己知CD1BD 于点D,AB⊥BD于点B,DE=2.0米，CD=1.5米，请你利用测得的数据求出这棵树(AB)的高度.（结 果保留整数.参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6≈0.50) 26.6% 例题3(2026·陕西咸阳·二模)如图，一棵大树HB由于风力所致，在A处断裂，断裂后大树的顶端H 落在地面上的G处，大树AB段在地面上的影长BC为2.8米，此时站在地面上的彤形身高DE为1.7米， 同一时刻落在地面上的影长EF为0.85米，彤彤用测倾仪测得∠AGB=53.3°，己知AB⊥GF,DE⊥GF, G,B,C,E,F在同一直线上，请根据以上数据估算大树HB的高度.（结果保留一位小数，参考数据： sin53.3°≈0.80，cos53.3°≈0.60，tan53.3°≈1.34) 13/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 03 题型专攻◆ 【题型01】A字模型（共5题） 1.(2024·山东济南)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作 弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线 AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是() B A.BE=DE B.DE垂直平分线段AC C.SANOC=3 D.BD2=BC·BE S△ABc3 2.(2025·吉林)如图，△4B0的顶点A在函数y=《(x心0)的图象上，∠AB0=90°，过A0边的三等分 点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若△AWQ的面积为1，则k的值为() 14/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.9 B.12 C.15 D.18 3.(2026·安徽六安·一模)如图，在ABC中，DE垂直平分边BC,垂足为点D,交AB于点E,点G 为CD的中点，连接AG与CE交于点F,若AG=AC,则下列结论错误的是()· E B D G A. FG1 AF 3 B胎 c.CF、7 D.EF4 AE 12 CF 5 4.(25-26九年级上·江苏苏州·月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形， AC=15,BC=10,AF交DE于点G. E (1)求正方形CDEF的边长； (2)求EG的长. 5.(23-24九年级上·安徽准南·期末)如图1点P为半径为R的⊙0内一点，Q为射线OP上一点，如果 满足OP.OQ=R2,则称P,Q两点为O0互为反演点，已知：如图2，E,B两点及A,F两点分别为O0的互 为反演点. D 9 (1)求证：△0EF∽a0AB: 15/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)△0AB中，∠A=90°，延长FE与O0相交于D点，求证：BD是O0的切线. 【题型02】8字模型（共5题） 1.(2025·陕西西安·模拟预测)如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠A=50°，∠B=65°，则 ∠BOC-∠C的度数为() B A.95 B.90° C.85 D.80° 2.(24-25九年级上·福建泉州·月考)如图，已知在平面直角坐标系x0y中，点0是坐标原点，点A是 函数y=x<0)图象上一点，40的延长线交函数y-(x>0,k是不等于0的常数)的图象于点G, 点A关于y轴的对称点A,点C关于x轴的对称点为C,连结CC'交x轴于点B,连结AB,AA',A'C', 若ABC的面积等于6，则由线段AC,CC',C'A',AA'所围成的图形的面积等于 3.(2025·四川成都·二模)菱形ABCD中，点E为CD边上一动点，射线AE与BC的延长线交于点F, 连接DF，,射线BE与DF交于点G. H D 图1 图2 (1)如图1，E为CD中点，∠AEB=∠BCD. 16/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：BE2=CEBC; ②若AB=6,求线段EG的长； (2)如图2，点H在边AD上，若∠EBH=∠BCD=60°，BE=4EG=2,线段AH的长为 4.(2026·江苏扬州·一模)综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加 辅助线.所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法， 如图1，在Rt△ABC中，取BC的中点O,连接AO并延长，使得AO=OD,连接BD、CD,四边形ABDC 为平行四边形. D B 图1 图2 图3 备用图 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持固 定，RtAADE绕点A按逆时针方向旋转，其中∠ACB=∠AED=90°，若LABC=30°，当点E落在AB边上 时，连接AE并延长，使得CE=EF,连接AF、BF,判断四边形ACBF的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图3，当RtAADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接CD、BE,取BE的中点P,连接AP交CD于 点Q,试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接BE,M是射线AC上的一点，连接DM,过点A作 DM的垂线交BE于点G,若G是BE的三等分点，请直接写出的值 5.(25-26九年级上·辽宁沈阳·期末)在矩形ABCD中，AB=2,∠BAD的平分线交BD于点O,交射 线BC于点E,交射线DC于点F,取EF的中点G,连接BG、DG, 17/39 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B G M 图① 图② (1)利用图①，求证：BA=BE; ②)若射线BG交射线DC于点H,当GF=号F时，请直接写出△GFH的面积， 》如图②，DG交BC于点M,若E三5，求CM的士 【题型03】母子相似模型（共5题） 1.(2024·重庆梁平)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点 A在y轴上，D、E分别是AB、OA的中点.过点D的双曲线y=(x>0,k>O)与BC交于点G.连结DC ,点F在DC上，且DF:FC=3:I,连结DE、EF,若△DEF的面积为6，则k的值为 D B G 2.(2024·安微·模拟预测)如图1，在四边形ABDE中，∠ABC=∠BDE,点C在边BD上，且 AC∥DE,AB∥CE,点F在边AC上，且AF=CE,连接BF,DF,DF交CE于点G. 18/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A A E E G G D B D B C C 图1 图2 图3 (1)求证：BF=DF; (2)如图2，若LACE=LCDF,求证：CE·CF=BF·DG; (3)如图3，若延长B即恰好经过点E,求BC的值 CD 3.(2025·山东泰安)如图，己知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作AG⊥BD分别交BD、 BC于点G、E. (1)求证：EB2=EG,EA; (2)连接CG,若BE=CE,求证：LCGE=LDBC. D O G B E 4. (2025·全国·专题练习)(1)如图，点C在线段AB上，点D,E在直线AB的同侧， ∠A=∠DCE=∠B,求证：4C=AD BE BC o C (2)如图，点C在线段AB上，点D,E在直线AB的同侧，∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD, 4C=3,BC=5,求的值， 19/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E ③如图，△ABD中，点C在AB边上，且LADC=∠B,AC=3,BC6,点E在BD边上，连接CE ∠8CE+∠80=10，CE-号.求85的值 CD E 5.(2024·陕西西安)如图，小华和同班秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树.他们想利用皮 尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同班移动平面镜至点 C处，此时小华在平面镜内可以看到点E.且测得BC=2米，CD=59米，CDE=120°.已知小华的身高 AB=1.6米，请根据以上数据，求DE的长度.（结果保留根号） B C 【题型04】仰角俯角问题（解直角三角形的应用（共5题） 1.(2024·广东广州·中考真题)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合 体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中， 如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点 的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米. 20/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B36.8 D (1)求CD的长； (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.（参考数 据：sin36.87°≈0.60，c0s36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75) 2.(2025·山东德州·中考真题)暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底A处出发，先步 行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角a=I6°，缆车的行驶路线BC与水 平面的夹角B=37°，这座山的高度CD=296m,A,B,C,D在同一平面内. A D (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）.（参考数据：sinl6°≈0.28，cos16°≈0.96，tanl6°≈0.29； sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75) 3.(2026·山东临沂·一模)某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最 北端的“北水门”高度进行了实地测量.操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为23.5°.在测角仪和大门之间水平光滑的地 面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位 于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得 CE=2米.已知测角仪的高度CD=1米，点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，且点B,E,C在同一条水 平直线上.求北水门AB的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92， tan23.5°≈0.43) 21/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23p B E C 4.(2026·安徽阜阳·二模)某数学实践活动小组测量某电视塔的高度DE,如图，BC是长为15m的斜坡， 坡角为36.5°，坡底C到塔底D的距离为37m.AB是垂直地面的测角仪，从点A测得塔顶E的仰角为42.7° ,已知测角仪AB的高为1.5m,试求电视塔DE的高度.（己知图上所有的点都在同一平面，参考数据： sin36.5°≈0.59，c0s36.5°≈0.80，tan36.5°≈0.74，sin42.7°≈0.68，c0s42.7°≈0.73，tan42.7≈0.92) E .42.74 B 36.5° D 5.(2026·江苏徐州·一模)小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们 带着工具前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A 的仰角a为45°，DE与坡面的夹角B为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m.已知 DE=1.7m点A,B,C在同一条直线上，AB,DE均与水平线FC垂直.求信号杆的高AB.(参考数据： sin72.5°≈0.95，c0s72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17) A 【题型05】坡度坡比问题解直角三角形的应用（共5题） 22/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026·广东广州·一模)某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所 学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： (i)直线主坡道BC的水平距离为20m,坡度为0.12； (ii)左、右两段缓坡道为AB,CD,水平距离均为5m; (iii)DE和车库地面均与水平方向平行， 车库上方横梁 D 缓坡道！车库入口地面 YA B 直线主坡道 车库地面 缓坡道 --.5m- 20m 5m 己知坡度= 铅直高度 水平距离’ 试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度CG; (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，，坡道的最小净高不低于2.2m,(坡道的净 高为车库上方横梁到坡道的垂直距离) ①求车库高度AK; ②若DE=22m,判断该坡道的最小净高EF是否符合设计规范，并说明理由， 参考数据：当tana=0.12时，sina≈0.12，cosa≈0.99. 2.(2026·山西忻州·一模)综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐 杖出门的老人存在安全隐患，综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下， 图1 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于1.5m(满足轮椅转身、停留需求)； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于1.2m, ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为0.3m: 23/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为6m. ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为1：12. 方案设计： 方案二：两段式折返坡 方案 方案一：单段直坡道 道 D C 示意图 E D B B 图2 图3 如图3，入户台阶高度 AB=0.3m,坡道起点 如图2，入户台阶高度 和中间休息平台的水 AB=0.3m,坡道起点 平长度 和终点休息平台的水 数据分析 AC=DE=1.5m(终点 平长度 为单元门前人行道，无 AC DE =1.5m CD 需另外设计平台)， 为单段直坡道： CD和DB为两段式折 返坡道. 问题解决： (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中BE=m,该方案（填“可行”或“不 可行”)· (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由. 3.(2026·山西运城·二模)在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电 等清洁能源项目建设，助力能源结构转型.图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估 算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解. 测量方案及数据：如图2，线段AB表示风电架，小陈在点C(B,C在同一直线上)处测得风电架顶部点A 的仰角∠ACB为37°.他从点C沿着小山坡走到点D,此时测得风电架顶部点A的仰角∠ADE为32°，山 坡CD的坡度i=1:2,点D到BC的距离为4m. 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架AB的高度（结果精 确到1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62). 24/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D<E 图1 图2 4.(2026·陕西西安·模拟预测)2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺.一架无人 机在着陆坡坡道AB上方水平向右飞行跟踪拍摄.当谷爱凌在A点时，无人机在她仰角为45°的斜上方C处： 当谷爱凌到达B点时，无人机恰好飞到她正上方D处.已知坡道AB的坡度为1：√5，坡长AB=60米，无人 机水平飞行距离CD=20米，求无人机离地面的高度BD的长.（√3≈1.732，结果保留整数.） C D水平方向 <45 B 5.(2026·江苏无锡·一模)在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物AB的高 度.如图，在建筑物AB旁有一小山坡CD,测得山坡CD的坡度i(即tana)为l:√3，CD=32m,在D 处测得A处的仰角为75°，在C处测得A处的仰角为30°. 4 301>C 75X B D (1)求∠DAC的度数； (2)求建筑物AB的高度.（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【题型06】相似以+解直角三角形综合（共3题） 25/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2026·广东东莞·一模)东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最 长的运河.是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹.某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度， 他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点A,再在河的这边取两点B、C,在点B处测 得AB与河岸的夹角α为20°，在点C处测得AC与河岸的夹角阝为45°，B、C两点间的距离为100米. B 备用图 (1)求该段运河的宽度（即ABC中BC边上的高）； (结果精确到0.1米；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) (2)学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案. 要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明。 2.(2026·陕西汉中·二模)【问题背景】万佛楼，为重檐歇山式三层砖木结构建筑（如图1）.阳光明 媚的一天，林林所在的数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量万佛楼的高度AB 【测量过程】如图2，为了测量方便，在该楼一侧地面上的点K处斜放了一个背景板KM,它与地面BN的 夹角为∠MKN,身高1.5米的林林(CD)在阳光下的影长为DE,同一时刻此楼AB的最高点A在阳光下 的影子落在背景板上的点F处 【测量数据】∠MKN=37,DE=1米，KF=5米，BK=6米 【参考数据】sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75. 己知AB⊥DN,CD⊥DN,点D、E、B、K、N在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内.请你根据以 上信息求出万佛楼的高度AB. 图1 图2 3. (2026·河南·一模)阅读下表中的测量方法，回答下列问题 活动 利用一副三角板和平面镜测量校园外居民楼的高度 主题 26/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 实物 C 图和 测量 品 D 示意 B 图 1.将平面镜做标记后平放在地面点0处 2.学生（身高1.7m,眼晴高度约为1.6m)移动至点A手持45°三角板，一条直角边平行地面（水 平)，另一条竖直向上，调整头部使“眼晴一斜边一平面镜中居民楼顶端C”共线（视线与地面 测量 夹角为45°)，且A、0、B(居民楼底部)三点共线。 说明 3. 将平面镜向后平移到点Q,人后退到点A此时手持30°三角板，一条直角边平行地面（水平） 另一条竖直向上，斜边朝平面镜，调整头部让“眼睛一斜边一平面镜中居民楼顶端C”共线（视 线与地面夹角为30°)测出两次镜子间距离OO,. 测量 眼晴到地面距离AD=1.6m,两次镜子间距离00，=40m. 数据 (1)请你根据上面的活动求出居民楼的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） (2)活动后说出一条减小误差的方法. 04 答题实战 ◆ 一、单选题 1.(25-26九年级上·安微毫州·期中)如图，在ABC中，D,E是边AB的三等分点，F,G是边AC的 三等分点，若△ADF的面积为m,则四边形EBCG与△AEG的面积差是() A.4m B.3m C.2m D.m 27/39 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 2.(2024·湖北·模拟预测)如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上， 点C落在点N处，MN与CD交于点P,折狼分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM·若P,则 AE的值是 B A M D 3.(2024·江苏盐城)如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=4W3,点D为边AC上一动点（点C除外)，将 线段BD绕点D顺时针旋转90°至ED,连接CE,则△CDE面积的最大值为 D 三、解答题 4.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1，使正方 形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上. 28/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M G DH CB G DHC 图1 图2 (1)求证：△AEF∽△ABC: (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 5.(2025·吉林长春)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10,点D是AB的中点，点E在 B上，AE 连接CD、CE. B (1)求证：△AEC∽△ACB; (2)cos∠ECD的值为_· 6.(2023·全国·专题练习)如图，在ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH一边在BC上，点 E,F分别在AB,AC上，AD交EF哥点N,求AN的长 7.陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手栽种，距今已有1400 多年历史，己被国家列为古树名木保护名录.小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树 的高度.阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走 了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高E℉=1.7米，测得FG =3米，测倾器的高度CD=0.8米，己知AB⊥BG,CD⊥BG,EF⊥BG.请你根据以上信息，计算银杏树AB的 高度.（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8） 29/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D FG M 8.(2023·江苏南通·一模)正方形ABCD中，AB=2,点E是对角线BD上的一动点， ∠DAE=o(a≠45).将ADE沿AE翻折得到△AFE,直线BF交射线DC于点G. B B C B (备用图) (备用图)C (1)当0°<a<45°时，求∠DBG的度数（用含a的式子表示）； ②点E在运动过程中，试探究DC的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由： DE (3)若BF=FG,求a的值 9.(25-26九年级上·江苏无锡·期中)某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法。 如图，点D是ABC的BC边上一点，连接AD. B D 图① 图② (1)如图①，若AD平分∠BAC,请用添加“平行线”的方法证明： BD AB CD AC BD 1 ②如图②，若∠B1D+2∠D4C:180,0号，4D=3万，求4B的值. 10.(2025·广东深圳)综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图(，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条. 30/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图(b),由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔0的成 像分别在A,B处，线段AB的像是线段AB,AB上点C的像是点C,若AB'∥AB,求证： A'C'AC B'C BC 【数学语言】(2)如图(C,小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为A'B,腿部AC的 像为A'C',试说明能拍出大长腿效果的理由. B (b) (c) 11.(2024·黑龙江哈尔滨)如图1，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A在 y轴上，B、C在x轴上，AB=5,BO=1,∠ABC的角平分线BE交AD边于点E. B B B 0 图1 图2 图3 (1)求点E坐标； (2)如图2，一动点G从点B出发沿射线BE以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接AG,设GE的 长为d,试用含t的代数式表示d,不需要写出t的取值范围； (3)在(2)的条件下，连接AC交BE于点N,连接CG并延长交AB于点P,若CP平分∠ACB, BC=3BP,求点G的坐标. 12.ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F,且有AF=CF ,过F点作FH⊥AC于点H. 31/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ADE∽aCDB; (2)求证：AE=2EF; (3)若FH=√3，求BC的长. 13.已知正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，点F在边CD上，且CF=BE,AE和BF交于点G. E ◇ A 夕 (1)如图，求证： ①AE=BF ②AE⊥BF (2)连接CG并延长交AB于点H, ①若点E为BC的中点（如图），求BH的长. D E H B B 备用图 ②若点E在BC边上滑动（不与点B,C重合），当CG取得最小值时，求BE的长 14.小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度.阳光明媚的周末，小军 和小明带着测量工具来到侧柏前.测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到 C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE=1.6米，影长CD=2.4米.然后， 小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼晴F、 标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF=1米，HC=1.4米.已 知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD,请你根 据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB. 32/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C D 15.(2024·安徽阜阳)如图，已知ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点， BP与CD相交于点E. (1)如果BC=6,AC=8,且P为AC的中点，求线段BE的长； (2)连接PD,如果PD⊥AB,且CE=2,ED=3,求cosA的值； (3)连接PD,如果BP2=2CD2,且CE=2,ED=3,求线段PD的长. (备用图1) (备用图2) 16.(2024·天津·中考真题)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如 图①)·某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,EC L AB, 垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA)为6°，又 在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB)为31°. B D 图① 图② (1)求线段CD的长（结果取整数）； (2)求桥塔AB的高度（结果取整数）.参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1. 33/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.(2025·安徽·中考真题)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气 氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员 在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB=13.20m,求AD的长（精确到0.1m). 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.75. 77777777777777 B 地面 18. (2026·湖南长沙·一模)我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘 江某段河面宽度MN,工作人员操控无人机在P处测得M,N两处的俯角分别为α=45°，B=30°，测得无 人机高于水平地面的高度P2为300米，且Q,M,N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度MN为多少 米？（参考数据：√5≈1.73，结果保留整数） 19.(2026·河北廊坊·一模)如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直 上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为3m,从地面点A处测得楼顶端D的仰角为59°（点 B、D、C、A在同一平面内)，两架无人机距离地面的高度h(单位：m)与上升时间t(单位：S)之间的 函数图象如图2 无人机乙 Ah/m B D 40 20 无人机甲 A 10 s 图1 图2 (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离；（结果保留整数，tan59°≈1.66，tan31°≈0.60） 34/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)分别求两架无人机距离地面的高度h(m)与无人机上升时间t(s之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过45°的时长. 20.(2026·陕西宝鸡·一模)数学活动实践课上，小轩所在的小组开展了测量古塔高度(AB)的活动.测 量方法如下：小轩站在古塔前方斜坡CD的底端的点C处，操作无人机飞行到距离地面(BC)15m高的点 E处，在E处测得古塔底部B的俯角为60°，测得坡底C处的俯角为30°.组员小雅在斜坡CD的点D处用 测角仪测得塔顶A的仰角为35°.已知：点B,C在同一水平线上，且点C与点D之间的水平距离是6m、 竖直高度是3m.求该古塔AB的高度.（结果保留一位小数；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82， tan35°≈0.7，√2≈1.41，V3≈1.73) 60x 30 35° B C 图1 图2 21.(2026·安徽池州·二模)如图，小刚在旁边的一栋高为12m的楼房AB的A处观测一棵垂直于地面的 参天大树CD,距离树根20m的E处，测得AE坡度为i=1:0.75,在A处测得树顶C点的仰角为24°，请计 算出大树CD的高度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） E 7777777777777777777777777 22.(2026·山西吕梁·一模)项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动.同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁 石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈.该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测 角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 题 测量工 测角仪，卷尺 具 35/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y 测量示 意图 B 图1 图2 方案说 1.如图2，AB为纪念碑，CE为斜坡；2.点B,C,D在一条直线上， 明 AB⊥BD,ED⊥BD,EF⊥AB,图中所有的点均在同一平面内 相关数 在点C处测得点A的仰角∠ACB=52.9°，在点E处测得点A的仰角∠AEF=45°，斜坡CE的坡度 据 为1：2，CD=4米 请根据上述数据，求纪念碑AB的高度. (结果精确到0.1米，参考数据：sin52.9°≈0.80,52.9°≈0.60， tan52.9°≈1.32) 23.(2026·广西南宁·一模) 【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识.某数学兴趣小组对双向通行隧 道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车 辆应避免通行. 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成.隧道的最高点C到地 面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米 隧道入口 哮道 k…限高架 侧面 涉水线处 M 一斜坡 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图2，过点M作MP11,已知斜坡的坡角α=10°，求涉水线离坡底的距离MW(精确 到0.01米，sinl0°≈0.174，cos10°≈0.985，tanl0°≈0.176). (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式. (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB 在竖直方向的空隙不小于0.3米.已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米， 限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）. 36/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(2026·陕西榆林·二模)泰塔，为八角七层楼阁式砖塔，是旧时某县的风水塔和标志性建筑.李强 与王刚利用所学知识测量泰塔的高度，具体研究方法与过程如表： 课 测量泰塔的高度 题 工 卷尺、测角仪、标杆等 具 示 意 图 aD ⊙ EG 阳光明媚的一天，如图，李强在地面上的点E处竖立一根标杆EF,标杆在阳光下的影子末端与塔在 说 阳光下的影子末端正好重合于地面上的点G,并测出EG的长；王刚在地面上的点C处用测角仪CD测 明 得塔的顶端A的仰角为O,已知AB⊥BG,CD⊥BG,EF⊥BG,点B、C、E、G在一条直线上， 图中所有点均在同一平面内. 数 CD=1米，CE=78米，EG=2米，EF=1米，a=63.4°. 据 根据以上信息，求泰塔的高度AB.(参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00) 25. (2026·山东淄博·一模)综合与实践.在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高 度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面1.4米）确定以下两种测量方案。 课题 测量学校旗杆AB高度 成员 组长：X×组员：X××,X×X,X×× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 37/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A A H G YM B E YM B 1.4m: -E 1.4mh N D N ①选取运动场与旗杆相距一定距 ①在运动场与旗杆底部相距一定距 离的F处； 离的F处，调整测角仪支架高度， ②在F处站直看旗杆顶，调整标杆 使E与旗杆底部B位于同一水平高 DC位置，使标杆顶点C与旗杆顶 度； 实施过程 点A在同一视线上： ②测量旗杆顶A的仰角∠AEB; ③测量DF,GH的距离，测量人 ③沿EB方向前移至D处，再次测量 眼到地面EF高度、标杆CD的长 杆顶A的仰角∠ACB; 度 ④测量DF距离。 ①DF=1.4m;②GH=38.6m; ①∠AEB=42°；②LACB=45°； 测量数据 ③CD=2.6m;④EF=1.6m. ③DF=3.2m. ①图上所有点均在同一平面内； ①图上所有点均在同一平面内： ②AB,CD均与地面垂直； 备注 ②参考数据：sin42°≈0.67， ③旗杆底部基座与运动场的高度 c0s42°≈0.74，tan42°≈0.90. 差MN=1.4m. (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是 “测角仪方 案”运用的知识是 (请在下列选项中选择一个填入横线中) ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理. (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆AB的高度（结果精确到0.1m),并说明你 选择该种方案的理由. 26.(2026·江苏连云港·模拟预测)如图，马路两侧有高度相同灯杆AB、CD,当小明站在两灯杆之间 的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为NF，在灯A的照射下小明的影长为NE.测得两路灯间距离 BD=21米，小明身高MN=1.6米，NF=4米，NE=3米，求灯杆的高度. 38/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C M B F N E D 39/39 专题05 相似三角形与解直角三角形热点 （A字模型、8字模型、母子相似模型、相似+解直角三角形等）有关的6类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 A字模型求解及技巧 方法二 8字模型求解及技巧 方法三 母子相似模型求解及技巧 方法四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)解题技巧 方法五 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)解题技巧 方法六 相似+解直角三角形综合解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】A字模型 【题型02】8字模型 【题型03】母子相似模型 【题型04】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【题型05】坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【题型06】相似+解直角三角形综合 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：相似三角形（中档核心，必考点）—— 侧重判定（两角对应相等为主，边角边、边边边为辅）和性质（对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比的平方），载体多为三角形、矩形、梯形，常考线段计算、面积求解，也会结合几何变换、圆考查，是中档题核心得分点。 核心考向2：解直角三角形（基础+中档，必考点）—— 聚焦锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义及应用，载体多为直角三角形、坡度、仰俯角、方向角等实际情境，考查边长、角度计算，侧重“化斜为直”（非直角三角形作高转化），难度适中，是基础得分关键。 核心考向3：两者综合（压轴过渡，高频）—— 结合相似与解直角三角形，求解复杂图形（如叠合三角形、不规则图形）的边长、角度、最值，常与动点、几何最值模型（将军饮马、隐圆）结合，是衔接中档与压轴题的核心题型，侧重逻辑推理与运算能力。 共性考向：均侧重“转化思想”，相似侧重“比例转化”，解直角三角形侧重“直角转化”，贴合中考“几何直观、运算能力”核心素养，设问分层，兼顾基础与区分度。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：相似三角形判定与应用薄弱，不会快速找相等的角（对顶角、同位角、余角等），混淆判定条件，不会构造相似辅助线（如作平行线、延长线），无法建立比例关系。 瓶颈2：解直角三角形易错点突出，记错锐角三角函数定义（混淆对边、邻边），忽略“直角三角形”前提，不会将非直角三角形转化为直角三角形（不会作高），情境题不会提炼几何模型。 瓶颈3：综合题衔接不畅，无法快速拆分复杂图形，不会结合相似与解直角三角形的性质建立关联，比例计算、三角函数计算失误频发，导致解题断层。 瓶颈4：细节把控不足，相似三角形中忽略“对应关系”（找错对应边、对应角），解直角三角形中忽略单位换算（如坡度、角度单位），导致错解。 结论背记 一、核心基础公式（解题地基，必背） （一）通用基础公式（两大模块均需用到） 1. 勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90°，则（、为直角边，为斜边），用于求边长、验证直角三角形。 1. 两点距离公式：（适配坐标型相似、解直角三角形，求线段长度）。 1. 比例基本性质：若，则（交叉相乘）；若，则（合比性质，适配相似比例计算）。 1. 三角形内角和：（用于求未知角，辅助相似判定、解直角三角形）。 （二）相似三角形基础公式 1. 相似三角形判定公式（中考必考，3种核心判定） 1. AA判定（两角分别相等）：若，，则（中考最常用，适配所有几何综合题）。 1. SAS判定（两边成比例且夹角相等）：若，且，则（易错点：夹角必须是成比例两边的夹角）。 1. SSS判定（三边成比例）：若，则（中考较少单独考，多结合网格、坐标考查）。 1. 相似三角形性质公式（核心应用，求边长、面积） 1. 对应边成比例：（为相似比）。 1. 对应角相等：，，（用于角度转化、证明平行）。 1. 周长比：（等于相似比）。 1. 面积比：（等于相似比的平方，中考高频考点）。 1. 对应高、对应中线、对应角平分线比：（等于相似比，拓展考点）。 （三）解直角三角形基础公式 1. 三角函数定义（核心，必背） 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B为锐角，对边分别为、、（为∠A对边，为∠B对边，为斜边）： 1. 正弦：的对边斜边 1. 余弦：的邻边斜边 1. 正切：的对边的邻边 1. 互余角三角函数关系：，（简化计算，避免查表）。 1. 特殊角三角函数值（中考必考，精准记忆） 1. 解直角三角形核心边角关系（直接套用） 1. 边边关系：（勾股定理）。 1. 边角关系：，；同理，；，。 1. 角角关系：（用于求未知角）。 二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 模块1：相似三角形万能建模公式（中考高频，分4类核心模型） 模型1：A字型相似（基础高频，必考） 1. 模型识别：有一条公共角（如∠A），另外两边被一条平行于第三边的直线所截（如DE∥BC），构成“A”型结构。 2. 万能步骤：识别公共角→证明两直线平行（或两角相等）→判定相似→套用相似性质公式求边长/面积。 3. 核心公式：（AA判定），，。 4. 拓展：若DE不平行于BC，但∠ADE=∠ABC，仍为A字型相似（AA判定），公式不变。 模型2：8字型（X字型）相似（基础高频，必考） 5. 模型识别：两条线段相交（如AC与BD交于点O），对顶角相等，另外一组角相等（或两直线平行），构成“8”型结构。 6. 万能步骤：识别对顶角→证明另一组角相等（或两直线平行）→判定相似→套用比例公式。 7. 核心公式：（AA判定），，。 8. 拓展：若AB∥CD，可直接判定相似，无需额外证明角相等。 模型3：相似与动点/面积综合（中考压轴，拉分点） 9. 模型识别：动点P在图形上运动，构成的三角形与固定三角形相似，或求动点运动过程中三角形面积比。 10. 万能步骤：设参数表示动点坐标/边长→分类讨论相似对应顶点→套用相似比例公式→列方程求解/计算面积比。 11. 核心公式： 相似分类：若，分两种对应情况，或； 面积比：（为相似比），结合铅垂高法可快速求面积。 模块2：解直角三角形万能建模公式（中考高频，分4类核心场景） 模型1：仰俯角问题（实际应用，必考） 12. 模型识别：涉及“仰角”（从低处看高处，视线与水平线夹角）、“俯角”（从高处看低处，视线与水平线夹角），需构造直角三角形。 13. 万能步骤：构造Rt△（作水平线/垂直线，转化为直角三角形）→标注已知角（仰俯角）和已知边→套用三角函数公式计算。 14. 核心公式： 仰角：垂直高度水平距离，，； 俯角：与仰角相等（内错角），公式同上，注意区分“垂直高度”和“观测点高度”。 模型2：坡度（坡比）问题（实际应用，高频） 15. 模型识别：涉及“坡度” “坡角”，坡面为斜边，坡度是垂直高度与水平宽度的比。 16. 万能步骤：明确坡度定义→构造Rt△（坡面为斜边，垂直高度为对边，水平宽度为邻边）→套用三角函数公式。 17. 核心公式： 坡度定义：垂直高度水平宽度（为坡角）； 坡面长度：（勾股定理+三角函数结合）。 易错点：坡度是“垂直高度:水平宽度”，不是坡面与水平宽度的比，避免混淆。 技法归纳 方法一 A字模型求解及技巧 由平行线证三角形相似，找准对应边，利用比例关系求解线段长度。 例题1 （2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 例题2 （2025九年级·全国·专题练习）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析. 【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出; （2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN； ②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以． 【详解】（1）证明：如图1 在中，由于， ∴∽， ∴． 同理在△ACQ和△AEP中，， ∴． （2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q． ∵BC边上的高 ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF ∴DE：BC=1：3 又∵DE∥BC， ∴AD：AB=1：3， ∵DE边上的高为, 故答案为 ②证明：如图3 ∵， ∴． 又∵为正方形， ∴， ∴， ∴． 同理，在中有， ∴， ∴． 又因为∽， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题． 例题3 （2024·山东青岛）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题： （1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形； （2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由； （3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在， 【分析】（1）当四边形为矩形时，，利用相似三角形的性质求出，，构建方程求解即可； （2）证明，由相似的性质得出，，由此构建方程求解即可； （3）根据矩形的面积是四边形面积的，构建方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 由题可得：，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， ，， 当四边形为矩形时，， ， 解得：， 当时，四边形为矩形； （2）存在一个时刻，使， 当时，， ， ， ， ， ，即， ， 解得：， 当时，； （3）存在， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 当时，矩形的面积是四边形面积的． 【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键． 方法二 8字模型求解及技巧 依托对顶角与相等内角判定相似，借助线段比例、角度关系进行计算。 例题1 （25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 例题2 （25-26九年级上·四川宜宾·期中）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 根据题意中的，得出其它角度的等量关系，可证，可得，同理由角度等量关系，证，得线段比例关系，即，又可证，得角度等量关系，证得，即得到关键信息，确定出点E的运动轨迹，又经过证明了解到，故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于的对称点，连接，即的最小值为的长度，过点A作，由求边长，最终由勾股定理求得长度，得到得最小值． 【详解】解：连接，令，相交于点M，如下图所示： 在直角三角形中，∵，， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴， ∴，即， 所以点E在过点且垂直的射线上移动； ∵， ∴， 故求出的最小值即可， 作点B关于的对称点，连接， 即的最小值为的长度，过点A作，交于点F，如下图所示： 根据对称的性质，， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 例题3 （2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)或，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【详解】（1）解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， （2）解：， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 方法三 母子相似模型求解及技巧 利用公共角搭配特殊角证相似，借助公共边建立比例式，快速解题。 例题1 （2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 例题2 （2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 例题3 （2024·四川成都）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域． （3）连接，当与相似时，求线段的长． 【答案】（1）3；（2）；（3）或1 【分析】（1）由，得，又，得，得即可； （2）过点作，垂足为点，四边形是矩形，，可证，得，设，，利用线段和差即可得到； （3）， ，推出，当与相似时，分类讨论①若，推出，，，求得， ②若，设与交于点，由，，知，可证△AEO∽△ABC，利用性质可求，，综上所述，线段的长为或1时与相似． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）过点作，垂足为点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴2x-y=4, 当点在线段上时， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当与相似时， ①若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵设，，， ∴． ②若，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AB=4，BC=3，则AC=5， 设， 由EO∥BC ∴△AEO∽△ABC ∴即 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长为或1时与相似． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键． 方法四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)解题技巧 构造直角三角形，锁定对应角度，运用三角函数求解高度与水平距离。 例题1 （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 例题2 （2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 例题3 （2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 方法五 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)解题技巧 牢记坡比定义，构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数解决坡面计算。 例题1 （2026·广西玉林·一模）为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为，深为，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，交延长线于，可得出，，根据求出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵每级台阶高为，深为， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴，即 ∴， ∴． 例题2 （2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 例题3 （25-26九年级下·山东烟台·期中）如图是某商场的自动扶梯，其中为从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到） 【答案】(1)到一楼地面的高度为 (2)日光灯到一楼地面的高度为 【分析】（1）过点作于，设，然后在中，根据坡度的概念结合勾股定理列方程求解； （2）过点作于，交于，过点作于，交于，由题意可得，四边形、是矩形，，然后在中，利用锐角三角函数解直角三角形． 【详解】（1）解：过点作于， 设， ∵的坡度为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即． 答：到一楼地面的高度为． （2）解：如图，过点作于，交于，过点作于，交于， 则，四边形、是矩形，， ∴，，， 由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：日光灯到一楼地面的高度为． 方法六 相似+解直角三角形综合解题技巧 用相似转化线段关系，结合直角三角形三角函数，拆分步骤综合求解。 例题1 （2026·陕西渭南·一模）背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 【答案】银杏树的高度为米 【分析】先由，可设，再解即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， ∴， ∴ 设， 则， 在中，， ∴ 解得 ∴（米） 答：银杏树的高度为米． 例题2 （2026·陕西西安·模拟预测）在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小思又在处用测倾器测得树的顶端处的仰角为26.6度；小欣用皮尺分别测量及小思目高（）的长．已知于点于点米，米，请你利用测得的数据求出这棵树（）的高度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】8米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形建立线段关系，再结合三角函数求解． 先由镜面反射的性质证明，得到与的关系；再通过作辅助线构造直角三角形，利用仰角的正切值列出关于的方程，求解得出树高． 【详解】解：过点作于点， 则四边形为矩形， 米，． ，， ． 又， ． ， 即， ． 在中，， ． ，，且， ． 答：这棵树的高度约为8米． 例题3 （2026·陕西咸阳·二模）如图，一棵大树由于风力所致，在处断裂，断裂后大树的顶端落在地面上的处，大树段在地面上的影长为2.8米，此时站在地面上的彤彤身高为1.7米，同一时刻落在地面上的影长为0.85米，彤彤用测倾仪测得，已知，，，，，，在同一直线上，请根据以上数据估算大树的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】大树的高度约为米 【分析】由题意可得，求得，再解直角三角形求得即可解答． 【详解】解：根据题意可得，， ， 米， 在中，米， 米， 答：大树的高度约为米． 【题型01】A字模型（共5题） 1．（2024·山东济南）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论． 【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上 ，点A在线段BD的垂直平分线上 AP为线段BD的垂直平分线 点E在AP上，BE=DE，故A正确； ，， 且 为等边三角形且 ， 平分 ， ， 垂直平分，故B正确； ，， ， ， ，故C错误； ， ， ，故D正确 故选C． 【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键． 2．（2025·吉林）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　）    A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出． 【详解】解：∵NQ∥MP∥OB， ∴△ANQ∽△AMP∽△AOB， ∵M、N是OA的三等分点， ∴，， ∴， ∵四边形MNQP的面积为3， ∴， ∴S△ANQ=1， ∵， ∴S△AOB=9， ∴k=2S△AOB=18， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键． 3．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 5．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图点为半径为的内一点，为射线上一点，如果满足，则称两点为互为反演点，已知：如图，两点及两点分别为的互为反演点． (1)求证：； (2)中，，延长与相交于点，求证：是的切线． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）由已知得，再利用相似三角形的判定，即可得出；（2）连接，即为半径，根据的度数，再利用，得出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）两点及两点分别为的互为反演点． 在与中， （2）连接． 在与中， 为半径， 是的切线． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定等知识，理解互为反演点的含义解决问题的关键． 【题型02】8字模型（共5题） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点，，均在上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由圆周角定理得，由三角形内角和定理得，求出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是函数图象上一点，的延长线交函数（，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点，点C关于x轴的对称点为，连结交x轴于点B，连结，，，若的面积等于6，则由线段，，，所围成的图形的面积等于 _______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．过A作轴于D，连接，由题意设A，；可证，推出；根据，得到结合，解得：总有或16；由题意推出在同一条直线上，得，根据由线段所围成的图形的面积即可求解； 【详解】解：过A作轴于D，连接， 由题意设，，其中； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由点坐标可知，， ∴， ∵， ∴，即； 解得：或（舍去）． 则有； 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴在同一条直线上， ∴， ∵ ∴由线段所围成的图形的面积． 故答案为：． 3．（2025·四川成都·二模）菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①根据菱形的性质，证明，等量代换即可得证； ②先证明，再证明，根据，就可以证明，解答即可； （2）延长与交于点，连接，利用等边三角形的判定和性质，相似的判定和性质，分类解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：①证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，延长与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， 由①得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：如图，延长与交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ， ， ②当，， ， 同理①的方法可得， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 4．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为或 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）当时，延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可；当时，过点作于，设，则，， 利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，，根据平行得出，可得，利用三角形面积公式即可得的面积；综上即可得答案； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：如图，当时，延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． 由（1）可得为等腰三角形，， ∵， ∴． 同理，为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，过点作于， 同理可知，，是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 【题型03】母子相似模型（共5题） 1．（2024·重庆梁平）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，点在轴上，、分别是、的中点．过点的双曲线与交于点．连结，点在上，且，连结、．若的面积为，则的值为__________． 【答案】 【分析】设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，由D、E分别是AB，OA中点，得出点D（b，2a）、E（0，a），过点F作FP⊥BC于点P，延长PF交OA于点Q，可得四边形OABC是矩形，即OQ=PC，PQ=OC=2b，证明△CFP∽△CDB，得出，从而得出CP=，FP=，EQ=，FQ=，最后根据S梯形ADFQ-S△ADE-S△EFQ=6，求得即可得出答案． 【详解】解：设矩形OABC中OA=2a，AB=2b， ∵D、E分别是AB，OA中点， ∴点D（b，2a）、E（0，a）， 如图，过点F作FP⊥BC于点P，延长PF交OA于点Q， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°， ∴四边形OCPQ是矩形， ∴OQ=PC，PQ=OC=2b， ∵FP⊥BC、AB⊥BC， ∴FP∥DB， ∴△CFP∽△CDB， ∴， 即， 可得CP=，FP=， 则EQ=EO-OQ=a-=，FQ=PQ-PF=2b-=， ∵△DEF的面积为6， ∴S梯形ADFQ-S△ADE-S△EFQ=6， 即•（b+）•-b-ו=6， 可得ab=， 则k=2ab=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出点F的坐标是解题的关键． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 3．（2025·山东泰安）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决； （2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（2025·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）要证，可证，根据可得，即可证得； （2）根据，，可得到，从而求出相应的线段长度，得到的值； （3）根据，可得到，可求出的长，再根据已知条件证得即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：如解图，与交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如解图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∵，，， ∴，∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键． 5．（2024·陕西西安）如图，小华和同班秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树．他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即的长度），小华站在点B处，让同班移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得米，米，．已知小华的身高米，请根据以上数据，求的长度．（结果保留根号） 【答案】的长度为米 【分析】过E作于F，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过E作于F， ， ， 设为米，米，米， ， ， ， ， 即， 解得：， （米）． 答：的长度为米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出DF，DE的长是解题关键． 【题型04】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（共5题） 1．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米； (2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； （2）解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 2．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 3．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 4．（2026·安徽阜阳·二模）某数学实践活动小组测量某电视塔的高度，如图，是长为的斜坡，坡角为，坡底到塔底的距离为．是垂直地面的测角仪，从点测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高为，试求电视塔的高度．（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据：，，，，，） 【答案】电视塔的高度约为 【分析】如图，解求出、，进而可求、，再解，进而求出，根据即可求解． 【详解】解：如答图，过点和点分别作于点，于点，延长交的延长线于点，则， 四边形和四边形是矩形， ，，， 在中，，，， ， ， 又， ，， 在中，，， ， ， 答：电视塔的高度约为． 5．（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型05】坡度坡比问题(解直角三角形的应用)（共5题） 1．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， ∴， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 2．（2026·山西忻州·一模）综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)；不可行 (2)方案二可行．理由见解析 【分析】（1）过点作于点，求出，继而求出，即可解答； （2）过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P，推导出，，，，设，则，得到，继而求出，，由，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：，不可行，理由如下： 过点作于点，如图， ，， 轮椅通行坡道的坡度为， ， ， ， 该方案不可行； （2）解：方案二可行．理由如下： 如答图，过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P． ∴四边形和四边形是矩形． ∴，，，． 设，则． ∵轮椅通行坡道的坡度为， ∴． 由题知， ∴， ∴． ∴，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴． ∵， ∴方案二可行． 3．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道上方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在点时，无人机在她仰角为45°的斜上方处；当谷爱凌到达点时，无人机恰好飞到她正上方处．已知坡道的坡度为，坡长米，无人机水平飞行距离米，求无人机离地面的高度的长．（，结果保留整数．） 【答案】米 【分析】过点作地面于点，过点作地面于点，交于点，得出四边形、四边形是矩形，由坡道的坡度为，设米，则米，求出，得到米，米，再求出米，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点作地面于点，过点作地面于点，交于点， 四边形、四边形是矩形， ，，米，， 坡道的坡度为， ， 设米，则米， 米， 米， ， 解得， 米，米， 米，米， 米， ， 米， 米， 米． 5．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由三角形内角和定理得，在中，，可得，从而可求出； （2）过点作于点，过点作于点，求出，再求出，，可得，进而得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 【题型06】相似+解直角三角形综合（共3题） 1．（2026·广东东莞·一模）东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最长的运河．是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹．某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点B、C，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为，、两点间的距离为100米． (1)求该段运河的宽度（即中边上的高）； （结果精确到0.1米；参考数据：） (2)学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案． 要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程； （2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 2．（2026·陕西汉中·二模）【问题背景】万佛楼，为重檐歇山式三层砖木结构建筑（如图1）．阳光明媚的一天，林林所在的数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量万佛楼的高度． 【测量过程】如图2，为了测量方便，在该楼一侧地面上的点处斜放了一个背景板，它与地面的夹角为，身高1.5米的林林（）在阳光下的影长为，同一时刻此楼的最高点在阳光下的影子落在背景板上的点处． 【测量数据】米，米，米． 【参考数据】． 已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出万佛楼的高度． 【答案】万佛楼的高度为18米． 【分析】过点作于点，过点作于点，根据求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，，， ，     ，即， ， ，     ， 由题意得，， ，即，     ， ． 故万佛楼的高度为18米． 3．（2026·河南·一模）阅读下表中的测量方法，回答下列问题． 活动主题 利用一副三角板和平面镜测量校园外居民楼的高度 实物图和测量示意图    测量说明 1．将平面镜做标记后平放在地面点O处． 2．学生（身高，眼睛高度约为）移动至点手持三角板，一条直角边平行地面（水平），另一条竖直向上，调整头部使“眼睛—斜边—平面镜中居民楼顶端”共线（视线与地面夹角为），且、、（居民楼底部）三点共线． 3．将平面镜向后平移到点，人后退到点此时手持三角板，一条直角边平行地面（水平），另一条竖直向上，斜边朝平面镜，调整头部让“眼睛—斜边—平面镜中居民楼顶端”共线（视线与地面夹角为）测出两次镜子间距离． 测量数据 眼睛到地面距离，两次镜子间距离． (1)请你根据上面的活动求出居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：，） (2)活动后说出一条减小误差的方法． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设高为，证明，根据，得出，同理可得，得出，则，根据，解方程，即可求解； （2）根据多次测量取平均数减小误差，即可求解． 【详解】（1）解：设高为，由题意知， 由光的反射原理得， ∴ ∵， ∴． ∴． 同理可得． ∵， ∴． ∴ ∵， ∴，解得． 答：居民楼的高度约为 （2）答案不唯一，例如：多次测量取平均数，等等． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 二、填空题 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是________． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．（2024·江苏盐城）如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为________________ 【答案】 【分析】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，证出，即可得出结果； 【详解】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，如图所示： ∵AB=AC， ∴， ∵AC=4， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 根据勾股定理得， ∴， 根据题意可得， 即可得到, 线段BD绕点D顺时针旋转至ED ∴， ∴ME=DN=CN-CD=， ∴， ∴面积最大时，， 此时． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，做出辅助线是解题的关键． 三、解答题 4．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴即， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时，， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用． 5．（2025·吉林长春）如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． (1)求证：； (2)的值为 ． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 6．（2023·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 7．陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手栽种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8） 【答案】40.8米 【分析】由题意过C作CH⊥AB于N，则四边形BDCN是矩形，根据矩形的性质得到CN＝BD，BN＝CD＝0．8，设BD＝CN＝x，则BG＝22+x，根据三角函数的定义得到AN＝CN•tan39°＝0．8x，求得AB＝0．8x+0．8，根据相似三角形的性质求出x，即可得到结果． 【详解】解：过C作CH⊥AB于N，如图所示： 则四边形BDCN是矩形， ∴CN＝BD，BN＝CD＝0．8， 设BD＝CN＝x， 则BG＝BD+DF+FG＝x+19+3＝22+x， ∵小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°， ∴∠ACN＝39°， 在Rt△ACN中，AN＝CN•tan39°＝0．8x， ∴AB＝AN+BN＝0．8x+0．8， ∵AB⊥BG，EF⊥BG， ∴EF∥AB， ∴△EFG∽△ABG， ∴＝，即＝， 解得：x＝50， ∴AB＝＝40.8（米）． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（2023·江苏南通·一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． (1)当时，求的度数用含的式子表示； (2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，是定值 (3) 【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出： ，最终得到对应角相等得出结果． 如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论； 证明是等边三角形，可得结论． 【详解】（1）如图中，设交于点． 四边形是正方形， ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2），是定值． 理由：如图中，连接，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 同法可证，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某数学兴趣小组在学习了“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”等知识后，发现添加“平行线”是解决很多图形问题的重要方法．如图，点D是的边上一点，连接． (1)如图①，若平分，请用添加“平行线”的方法证明：； (2)如图②，若，，，求的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，本题核心是运用平行线构造相似三角形或等腰三角形，将线段比例与角度关系转化为可计算的形式． （1）过作交的延长线于E，由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，判定，推出得到； （2）延长到E，过D作交于F，得到，由平角的定义得到，因此，推出，判定，推出，由，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：过B作交的延长线于E， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长到E，过D作交于F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·广东深圳）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 11．（2024·黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，在轴上，，，的角平分线交边于点． (1)求点坐标； (2)如图，一动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，由勾股定理求出，即可求解； （）利用两点间距离公式可得，再根据求出的表达式即可； （）设点横坐标为，则点，得，，，根据相似相似三角形的性质和角平分线的定义可得，在中，由勾股定理可求得，继而得出各点坐标，求出直线解析式，进而联立函数解析式求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； （3）解：延长交于点， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点横坐标为，则点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 同理可得直线的解析式为， ∵，， 同理可得直线的解析式为， 联立直线解析式得， ， 解得， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，一次函数与几何图形，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 12．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 13．已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）①；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论； ②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，证出∠AGB=90°，即可得出结论； （2）①由直角三角形的性质得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE=∠ABE=90°，证明△BEG∽△AEB，得出，设GE=x，则BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2×，由平行线得出，即可得出BH的长； ②由（1）得：∠AGB=90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行线得出=1，证出CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF； ②由①得：△ABE≌△BCF， ∴∠BAE=∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF=90°， ∴∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AE⊥BF； （2）解：①如图2所示：    ∵E为BC的中点， ∴CF=BE=BC=2， ∴BF=， 由（1）得：AE⊥BF， ∴∠BGE=∠ABE=90°， ∵∠BEG=∠AEB， ∴△BEG∽△AEB， ∴， 设GE=x，则BG=2x， 在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22， 解得：x=， ∴BG=2×=， ∵AB∥CD， ∴，即， 解得：BH=； ②由（1）得：∠AGB=90°， ∴点G在以AB为直径的圆上， 设AB的中点为M， 由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：    ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=90°， ∴GM=AB=BM=2， ∵AB∥CD， ∴=1， ∴CF=CG， ∵CF=BE， ∴CF=CG=BE， 设CF=CG=BE=a，则CM=a+2， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2， 解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键． 14．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子移动，当恰好移动到处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端重合，测得小军身高米，影长米．然后，小军在处半蹲，小明在上竖立高2米的标杆，并沿移动，当标杆移动到点时，小军的眼睛、标杆顶端与侧柏顶端恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离米，米．已知点、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，、、均垂直于，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高．    【答案】10米 【分析】过点作于，交于点，证明得，求出，再证明得，求出，进而得出AB=10米． 【详解】解：过点作于，交于点， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴. ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴这棵侧柏的高为10米.    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般． 15．（2024·安徽阜阳）如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长．        【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据已知条件得到CP=4，求得BP=2，根据三角形重心的性质即可得到结论； （2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设CP=k，则PA=3k，得到PA=PB=3k根据三角函数的定义即可得到结论； （3）根据直角三角形的性质得到CD=BD=AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵为的中点，， ∴ ∵，， ∴ ∵是边的中点，为的中点， ∴点是的重心 ∴ （2）过点作交的延长线于点 ∴ ∵，∴， ∵，，则，∴ ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵，是边的中点，∴ ∴，∴，∵ ∴ （3）∵，是边的中点 ∴ ∵ ∴ ∵，∴ ∴ ∵，∴，∵， ，∴ ∵，，∴ 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 16．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 17．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 18．（2026·湖南长沙·一模）我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 【答案】219米 【分析】在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度约为219米． 19．（2026·河北廊坊·一模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点处和楼顶处起飞竖直上升，其中点距离楼顶边缘点的水平距离为，从地面点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离；（结果保留整数，，tan31°） (2)分别求两架无人机距离地面的高度与无人机上升时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据求出，再加上可得答案； （2）将点代入可得答案；再将点代入，求出解即可； （3）当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，可得，再求出解，然后根据时间差得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 由图（2）知无人机乙刚起飞时离地面的高度， ∴， 解得， 则， 所以起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； 设无人机乙距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是， ∴当两架无人机垂直距离为15米时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，即， ∴， 解得或， ∴ 所以一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 20．（2026·陕西宝鸡·一模）数学活动实践课上，小轩所在的小组开展了测量古塔高度（）的活动．测量方法如下：小轩站在古塔前方斜坡的底端的点处，操作无人机飞行到距离地面（）高的点处，在处测得古塔底部的俯角为，测得坡底处的俯角为．组员小雅在斜坡的点处用测角仪测得塔顶的仰角为．已知：点，在同一水平线上，且点与点之间的水平距离是、竖直高度是．求该古塔的高度．（结果保留一位小数；参考数据：，，，，） 【答案】 【分析】如图：过E作于G，过D作于I，于点，则四边形是矩形，由题意可得：，，易得；再解直角三角形求得、，易得，再解直角三角形求得，最后求古塔的高度即可． 【详解】解：如图：过E作于G，过D作于I，于点，则四边形是矩形， 由题意可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴． 21．（2026·安徽池州·二模）如图，小刚在旁边的一栋高为的楼房的A处观测一棵垂直于地面的参天大树，距离树根的E处，测得坡度为，在A处测得树顶C点的仰角为，请计算出大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查坡度的定义、解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据坡度的定义得到，进而求出长，过A作于点，则求出长，在中，利用求出长，进而求出长． 【详解】解：根据题意得，坡度为， ， 在中，， 如图，过A作于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 即， ， ， 答：大树的高度约为． 22．（2026·山西吕梁·一模）项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图    方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】纪念碑的高度约为米 【分析】根据坡度的定 义可得，设，根据，求得，则，即可求解． 【详解】解：斜坡的坡度为， ． 由题意,四边形为矩形， ． 设． ， ， ． ， ， 解得， ． 答：纪念碑的高度约为米． 23．（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 24．（2026·陕西榆林·二模）泰塔，为八角七层楼阁式砖塔，是旧时某县的风水塔和标志性建筑．李强与王刚利用所学知识测量泰塔的高度，具体研究方法与过程如表： 课题 测量泰塔的高度 工具 卷尺、测角仪、标杆等 示意图    说明 阳光明媚的一天，如图，李强在地面上的点处竖立一根标杆，标杆在阳光下的影子末端与塔在阳光下的影子末端正好重合于地面上的点，并测出的长；王刚在地面上的点处用测角仪测得塔的顶端的仰角为．已知，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 数据 米，米，米，米，． 根据以上信息，求泰塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】53米 【分析】先用标杆比例算出总影长是塔高的2倍，再用测角仪算出水平距离和塔高的关系，最后把两段距离加起来等于总影长，即可得解． 【详解】解：过点作于点． ∵ ∴，即： ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴米，， ∴， 在直角三角形中，，， ∴， ∴ 又∵．米，米， ∴ ∴ 解得：（米） 答：泰塔的高度为53米． 25．（2026·山东淄博·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】(1)②，③ (2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为 【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度； （2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：测量出①，②，③，④， 可得：，， ， 根据可证， ， 根据对应边成比例求出的高度， 再根据旗杆的高度为求出结果， “标杆方案”运用的知识是②相似三角形； 测出的度数， 可知， 测出， 可知， ， 根据， 可以求出的高度， 根据旗杆的高度为求出结果， “测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数； （2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设， ，， ， 在中，，， ，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 26．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度． 【答案】米 【分析】设灯杆高度米，米，则米，证明，得出，①，证明，得出②，联立①②，求出，再求出即可解答． 【详解】 解：设灯杆高度米，米，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴①， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴②， 联立①②，得，解得， 将代入①得：，解得：， 因此灯杆高度为米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $