精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：2026年4月23日 一、单选题 1. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 数列满足，，则（    ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 4. 已知是抛物线上不同的点，点，若，则（    ） A. B. C. 60 D. 80 5. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A. B. C. D. 6. 记，则（    ） A. 1023 B. 2047 C. 2024 D. 4048 7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 8. 已知 ，，，则的大小关系正确的是（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关于随机事件的概率说法正确的是（ ） A. 若 ，则事件发生，事件一定发生 B. 对于古典概型，若，则事件与互斥 C. 若，则事件与独立 D. 若，则事件与独立 10. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 11. 在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ） A. 曲线的方程为 B. 设，为曲线位于第一象限上的一点，则周长的最小值为 C. 点到点的距离最小值为6 D. 若为曲线在点处的切线，则直线平分 三、填空题 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 不等式对任意的恒成立，则a的取值范围为__________. 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若在上单调递增，求 的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求 的取值范围． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数 的值． 17. 如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示． （1）求证：． （2）如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且． （i）求证：平面； （ii）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 对于抛物线 和点，若上存在不同的两点，，使得，且的倾斜角不等于，则称是的“—圆点”，线段是的“—圆弦”．设抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点为上一点，，，． （1）求的方程； （2）判断是否存在“—圆点”？请说明理由； （3）设“4—圆弦”中点的轨迹与轴交于点，点关于原点的对称点为，过点作直线与交于，两点，求证：． 19. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）已知 ，若存在，使得． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：2026年4月23日 一、单选题 1. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 2. 数列满足，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，，， ，，……，则该数列的周期为， 所以 . 3. 函数的图象在处的切线方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】已知，易得， 又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为， 即 . 4. 已知是抛物线上不同的点，点，若，则（    ） A. B. C. 60 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定抛物线参数，然后利用向量条件求出，最后利用焦半径公式求出模长的和. 【详解】 抛物线方程，则， 焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点， 到焦点的距离， 设，则向量， 已知， 由向量加法的坐标运算得 则，解得， 由焦半径公式， ． 5. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 故. 6. 记，则（    ） A. 1023 B. 2047 C. 2024 D. 4048 【答案】B 【解析】 【分析】通过赋值法，分别令 ，，，进而可求解. 【详解】对于， 令 ，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即. 7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 【答案】D 【解析】 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有 种排列方式， 所以共有种方法. 8. 已知 ，，，则的大小关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，即可判断的大小关系，构造函数，即可判断的大小关系，从而得到结果. 【详解】因为 ，，构造函数，， 则，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，所以 为的极小值点， 所以，则， 即，所以，即，又， 构造函数，， 则，所以在单调递增， 则，即， ，所以 ，则. 二、多选题 9. 下列关于随机事件的概率说法正确的是（ ） A. 若 ，则事件发生，事件一定发生 B. 对于古典概型，若，则事件与互斥 C. 若，则事件与独立 D. 若，则事件与独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若 ，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，对于古典概型，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 10. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断B，再应用空间向量法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C. 【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确； 对于选项B： 如图建系，设，则 因为，， 所以得，故选项B正确； 对于选项D：取平面的法向量为， 因为 ， 则设直线与平面ABCD所成角,则， 当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确； 对于选项C：设平面法向量为，， 所以，所以 所以令，可得，设平面法向量为， 设二面角 为，则 所以二面角的大小为，故选项C正确. 故选：ABC. 11. 在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（   ） A. 曲线的方程为 B. 设，为曲线位于第一象限上的一点，则周长的最小值为 C. 点到点的距离最小值为6 D. 若为曲线在点处的切线，则直线平分 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据题意列式求解；对B，由双曲线定义将线段进行转化，结合几何图形得到最值；对 C，由题可得，利用两点间距离公式列式求解；对D，求出曲线在点处的切线方程，求出点，到切线的距离，结合角平分线定理求解判断. 【详解】对于A，点到直线的距离为，到直线的距离为， 由题可得，所以， 又，即，故 ， 所以曲线的方程为 ，故A正确； 对于B，由A可知，，，故，所以， 为曲线位于第一象限上的一点，连接， 则， 由双曲线定义可知，所以， 则， 显然当三点共线时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为，周长的最小值为，B正确； 对于C，要使得点到点的距离最小，则点要在双曲线的右支上， 所以 ，且， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以点到点的距离最小值为，故C错误； 对于D，设点在双曲线上，满足， 则双曲线在点处的切线的方程为，即， 点到切线的距离， 点到切线的距离， 又， ， 所以，即，所以， 结合图象可知，，所以直线平分，故D正确. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为，， 当 时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当 时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 13. 不等式对任意的恒成立，则a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分离参数，将问题转变为在上恒成立，最后设新函数，并求新函数的最大值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 设， 则， ​ 若，则 ，， ，，单调递增； 时，，单调递减， ， ​ 因此 ​，即的取值范围是 . 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由原函数在区间上单调递增，转化为导函数大于等于0恒成立问题，分离参数后求最值； （2）将不等式有解转化为存在性问题，分离参数后求对应函数的最大值，即可确定参数范围. 【小问1详解】 函数，求导得： ， 在上单调递增，等价于 对任意恒成立， 即，. 由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以， 最大值为，则，所以的取值范围为． 【小问2详解】 由有解，即， 化简可得有解． 令，则， 令 ，得，即； 当时， ，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值： ， 所以，故的取值范围为． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）由构造法可得数列是等比数列，写出其通项公式后即可得解； （2）由题可得，求出其前项和后，根据数列单调性及特殊值法即可得解. 【小问1详解】 由 ，变形可得， 因为，即得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 即 ； 【小问2详解】 由（1）知， 则，设数列的前项和为， 则 ， ， 数列单调递增. 令 当时，， 当时，， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为10. 17. 如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将 沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示． （1）求证：． （2）如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且． （i）求证：平面 ； （ii）求平面与平面 夹角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 如图， 取的中点，连接， 因为为等腰三角形，点为的中点，所以， 因为四边形为菱形， 所以 ，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以 ，进而， 又 ， 平面 ， 所以平面 ， 又平面 ， 所以 ，即. （2）（i）证明如下： 如图， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， ，二面角的大小为，所以， 则，，，，，， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则，令，则 ，， 所以， 所以， 又平面 ， 所以平面 . （ii）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面 即可证明； （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量及，利用向量法即可证明；（ii）求出平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）略. （ⅱ）由（i），， 设平面CGF的法向量为， 则，令，则 ， ， 所以， 所以， 所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为． 18. 对于抛物线 和点，若上存在不同的两点，，使得，且的倾斜角不等于，则称是的“—圆点”，线段是的“—圆弦”．设抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点为上一点，，，． （1）求的方程； （2）判断是否存在“—圆点”？请说明理由； （3）设“4—圆弦”中点的轨迹与轴交于点，点关于原点的对称点为，过点作直线与交于，两点，求证：． 【答案】（1） （2）当 时，存在“—圆点”；当 时，不存在“—圆点”． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义和性质结合两点间距离公式及余弦定理计算求解； （2）根据“—圆点”的定义结合垂直平分线的性质判断结论； （3）结合（2）及“4—圆弦”的定义得出坐标，设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理及两点间距离公式求出，进而证明结论． 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线， 准线与轴交点， 设是抛物线上一点，由抛物线定义可得： ，故， ，解得， 在 中，由余弦定理得：， 则，解得， ， ， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 ，则在的垂直平分线上， 的中点满足，且的斜率， 设，由，两式相减得： ，故， 的斜率， 由得，解得， 是抛物线的弦，故中点在抛物线内部，则， 若有解，则，解得 ， 当 时，存在“—圆点”；当 时，不存在“—圆点”． 【小问3详解】 结合（2），当时，“4—圆弦”中点的横坐标恒为， 且，即，轨迹为， 与轴交于点，关于原点的对称点为； 设过的直线方程为， 联立得：， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，， ，命题得证． 19. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）已知 ，若存在，使得． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在 上单调递增 （2）（i） ；（ii）由题意得，， 则，， 令 ， ，注意到 ，则 ，即，同理， 要证，即，即证明， 设 ， 则 ， 设 ，设 ， 则 ，故 在 上单调递减， 从而 ，则，在 上单调递减， 故 ，也即，因此． 【解析】 【分析】（1）根据函数导数与函数单调性的关系，判断函数单调性即可. （2）（i）根据函数单调性与函数最值，判断函数图像，以及函数 图像，判断有四个零点时的情况，求出参数范围； （ii）根据函数图像，求出四个零点的关系，进而构造函数，根据函数导数判断函数单调性，进而证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，，则在 上单调递减； 当时，，则在 上单调递增． 【小问2详解】 （i）由（1）可知 ， 令 ， 若 ，则 ，则 ，则直线 与函数的图象最多有两个交点，不符合题意； 若 ， ，此时存在两个零点， 此时在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 此时作直线 ，其中 ，直线 与的图象存在四个交点， 即存在，使得 ， 故实数m的取值范围是． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $