专题05 圆（课件）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 圆 与圆有关的热考题型 与圆有关的压轴题型 13 3 7 命题透视 1）从命题形式上看，呈现出“模型化、综合化、情境化”的特点，载体多以典型几何图形（垂径图、切割图、双切图）或实际生活场景（摩天轮、拱桥、扇形工件）为主，凸显对圆核心模型迁移能力的考查，兼顾几何直观与逻辑推理的双重素养。 2）从命题内容上看，切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、圆与相似/三角函数的综合是历年中考命题的核心区域，圆与坐标系、动点最值的结合则成为区分度拉满的压轴命题热点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 垂径定理及其推论 ①广东・T12・垂径图计算 ②江苏・T10・垂径与弦长计算 ①湖南・T9・垂径与勾股综合 ②浙江・T11・垂径平分弦 ①广西・T8・垂径平分弦 ②山东・T10・垂径与弧长 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 切线的判定与性质 ①江苏・T16・切线证明 ②广东・T14・切线与半径计算 ①四川・T14・切线与相似 ②湖北・T12・切线长定理应用 ①山东・T11・切线长定理 ②北京・T13・切线与圆周角 圆周角定理与圆内接四边形 ①浙江・T10・圆周角互余 ②福建・T12・圆内接四边形角度 ①湖北・T13・圆内接四边形 ②安徽・T11・圆周角与圆心角 ①河南・T9・圆周角与圆心角 ②河北・T10・圆内接四边形性质 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 圆与相似三角形综合 ①北京・T22・切割图相似 ②四川・T18・双切图相似 ①安徽・T18・双切图相似 ②重庆・T20・射影图相似 ①广东・T21・射影图相似 ②江苏・T19・弦切角与相似 圆与三角函数综合 ①福建・T17・弦长与三角函数 ②湖南・T15・切线与三角函数 ①重庆・T19・切线与三角函数 ②陕西・T16・圆周角与三角函数 ①陕西・T15・圆周角与三角函数 ②浙江・T14・弦长与三角函数 命题预测 圆的二轮复习，核心是抓基础、练模型、破综合： 基础题围绕垂径定理、圆周角、切线判定、圆内接四边形展开，是必拿分点； 中档题聚焦双切图、中点弧、多结论判断，侧重模型迁移与计算能力； 压轴题则以圆与相似/三角函数/坐标系/函数的综合为核心，结合动点最值、存在性问题，是拉开差距的关键。 整体命题趋势是淡化偏难怪定理，突出核心性质+基本模型，强调几何直观与逻辑推理的双重素养。 考点一： 与圆有关的热考题型 考点二： 与圆有关的压轴题型 考点一：与圆有关的热考题型 题型一：垂径定理及其推论综合 题型二：圆周角定理与圆内接四边形综合 题型三：切线的判定与性质 题型四：相交弦与割线模型综合计算 题型五：中点弧模型应用 题型六：圆的内心与外心模型综合 题型七：双切线模型（双切图）计算 题型八：射影定理在圆中的应用 题型九：圆与锐角三角函数综合 题型十：圆的基本性质多结论判断题 题型十一：弧长与扇形面积的实际应用 题型十二：圆柱与圆锥的侧面展开图计算 题型十三：圆与全等/相似三角形综合证明 必备知识 知识1 圆的基本性质 知识2 切线相关 知识3 与圆有关的计算 命题预测 ►题型一 垂径定理及其推论综合 条件：①AB过圆心O; ②CD ⊥ AB； ③AB平分CD (CD不是直径)； ④ AB平分或 解题策略： 类比等腰三角形三线合一 ①② ③④ HL ②③ ①④ SAS ①③ ②④ SSS ②④ ①③ ASA ①④ ②③ SAS ③④ ①② AAS+HL 模型结论： 若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称"知二推二"，解题过程中应灵活运用该定理。 常见辅助线做法(考点): 1)有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt △ ，用勾股，求长度； [补充]在构造RtODE 中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二。 2)有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分。 ►题型一 垂径定理及其推论综合 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 解：连接，  ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：如图，过点O作，垂足为F， 交于点E，连接， 则，， ∵，∴ ， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R，在中，， 由勾股定理得，， 即，解得． ►题型一 垂径定理及其推论综合 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 A ►题型一 垂径定理及其推论综合 3．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：；(2)若，，求的长． 解:（1）证明：∵， ， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵，∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知， ， 即， 解得，（舍去）． ∴． ►题型二 圆周角定理与圆内接四边形综合 1．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 解：如图，连接，，  ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， D ►题型二 圆周角定理与圆内接四边形综合 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使， 连接．求证：． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形内接于，∴ 又∵ ∴． （1）证明：∵ 平分， ∴． ∵四边形内接于， ∴ （同弧所对的圆周角相等）． ∵， ∴． 由（1）知∴ 在和中 ∴．∴． ∵， ∴． 又∵ ，， ∴即 ∴．∴， ∴，即． ►题型二 圆周角定理与圆内接四边形综合 3．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． （1）解：如图，点即为所求：  （2）解：如图，即为所求： ►题型二 圆周角定理与圆内接四边形综合 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．  (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①； ②． （1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①： ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ►题型二 圆周角定理与圆内接四边形综合 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．  (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①； ②． ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ►题型三 切线的判定与性质 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图1，是的直径，与相切于点A，连接交于点C，连接，则，理由如下： 是的直径，，， 与相切于点A，，， ，． ►题型三 切线的判定与性质 (1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由； (2)小明进一步探究发现：如图3，线段与线段存在如下关系：．请你替小明证一证； (3)拓展应用：如图4，是的内接三角形，，，的延长线与过点A的切线相交于P，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长． 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图1，是的直径，与相切于点A，连接交于点C，连接，则，理由如下： 是的直径，，， 与相切于点A，，， ，． ►题型三 切线的判定与性质 (1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当是非直径的弦，而其他条件不变时，仍然成立，请说明理由； （1）解：如图所示，连接， ∵与相切于点A， ∴，∴， ∴， ∴ ∵，∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，∴； (2)小明进一步探究发现：如图3，线段与线段存在如下关系：．请你替小明证一证； （2）证明； 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴； 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图1，是的直径，与相切于点A，连接交于点C，连接，则， ►题型三 切线的判定与性质 (3)拓展应用：如图4，是的内接三角形，，，的延长线与过点A的切线相交于P，若的半径为1，请你利用小明的探究结论求的长． （3）解：∵，∴， ∵的半径为1，∴ 在中，由勾股定理得 ； ∵， ∴， 又∵，∴是等边三角形， ∴， ∵的延长线与过点A的切线相交于P， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴； 设，则， 由（2）可得， ∴，∴， 解得或（舍去）， ∴． ►题型三 切线的判定与性质 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足．  (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） （1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ．． ∵为的中点，． 在与中， ， ．． ， ．． ，即平分． 又， ．∴与该半圆相切． ►题型三 切线的判定与性质 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足．  (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得： ， ， ． ，代入可得 ． ►题型三 切线的判定与性质 2．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足．  (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ．， ，． ，． ． ． ， ，． 同理可得，， 由（2）可知， ． 又在中， ，． ，． ►题型四 相交弦与割线模型综合计算 1．（2023·河南信阳·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．   (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 解:（1）求证：． 证明：连接AC、BD．如图①． ∵，． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，， ． 由（1）可知． ∴． ∵，是的直径， ，． 连接OD．如图②． ∵为切线． ∴． 1 2 ►题型四 相交弦与割线模型综合计算 1．（2023·河南信阳·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．   (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． ∵， ∴． ∴，． 又∵． ∴． 1 2 ∵． ． ∴． ∴． ►题型四 相交弦与割线模型综合计算 2．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． （1）证明： 连接， 并延长交于点，连接， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； ►题型四 相交弦与割线模型综合计算 2．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． （2）如图，延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得： ， 解得或(舍去)， ∴的值为. ►题型五 中点弧模型应用 ►题型五 中点弧模型应用 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 解：作点关于的对称点，连接， 记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，， ， ∴， ∵， ∴， ∵，则是等边三角形， ∴， B ∵是直径，∴ ∴， 则周长 ， ∴周长的最小值是． ►题型五 中点弧模型应用 2．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． （1）证明：连接， ∵是直径，∴， 即， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 即，∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴，∴， ∵，， ∴，∴，， ∴， ►题型五 中点弧模型应用 2．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 设，则， ∵， ∴, ∴，∴， ∵点是的中点， ∴，∴, ∵，∴ ∴，即， ∵，∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ►题型五 中点弧模型应用 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，．  (1)点与的位置关系是 ，线段与线的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． （1）解：∵是直角，∴为直径， ∵为圆心，∴在线段上； ∵为 的中点，∴ ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形， 理由如下：连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴是等腰三角形； ►题型五 中点弧模型应用 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，．  (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． （3）解：如图，过作于，  ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. H ∟ ►题型六 圆的内心与外心模型综合 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． （1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵∴， ∵，∴， （2）证明：连接，∵点D是的内心， ∴，， ∵， ， ， ∴，∴． （3）解：设， 根据题意 ， ∵ ， ∴，∴， ∵，， ∴， 解得．故的长为． ►题型六 圆的内心与外心模型综合 2．（2025·四川达州·一模） 如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若为的直径，求线段的长度． （1）证明：∵是的内接三角形， 是的内心， ∴，． ∵ ，∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解：∵为的直径， ∴， ∴， ． ∵是的内心，∴， ►题型六 圆的内心与外心模型综合 2．（2025·四川达州·一模） 如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若为的直径，求线段的长度． ∴， ∴，即， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：． ►题型七 双切线模型（双切图）计算 ►题型七 双切线模型（双切图）计算 1．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【问题解决】已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． ►题型七 双切线模型（双切图）计算 1．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【问题解决】已知，的长度要求是． （1）求的度数； 解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴， ； ►题型七 双切线模型（双切图）计算 1．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【问题解决】已知，的长度要求是． （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） （2）∵钢柱的底面圆半径为，∴， ∵，，∴， ∴，同理， ∴，∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图，设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵，∴， ∴， ∴． ►题型七 双切线模型（双切图）计算 1．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【结果反思】（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． ►题型七 双切线模型（双切图）计算 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为 (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)已知，在你所作的中，若，求的长． （1）证明：∵是的两条切线， 切点是， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图， 满足的即为所作． ►题型七 双切线模型（双切图）计算 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为 (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)已知，在你所作的中，若，求的长． （3）解：如图，过点作于点， 过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 在中，， 设， 则， ►题型七 双切线模型（双切图）计算 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为 (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)已知，在你所作的中，若，求的长． ∴， ∴， ∵，∴在中， ，即， 解得或 （不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，，∴， ∴，∴，即， 解得，∴． ►题型八 射影定理在圆中的应用 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．  (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． （1）证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）证明：连接，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵，∴； ►题型八 射影定理在圆中的应用 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．  (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． （3）解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴， ， ∵， ∴， 整理得:， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ， ∴． ►题型八 射影定理在圆中的应用 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．  (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角 （保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围 （直接写出结果）． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． ►题型八 射影定理在圆中的应用 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．  (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角 （保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围 （直接写出结果）． （2）解：如图， ①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在 上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． ►题型八 射影定理在圆中的应用 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．  (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角 （保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． （3）①当时，如图所示，结合第（2）问， 我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时， 是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中， ， 在中， ， ； ②当时，同理可得： ； 综上所述，或． ►题型九 圆与锐角三角函数综合 1．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． （1）证明：连接， 则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点， ， ，， ， ， ∵， ， ， ， F ∟ ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． ►题型九 圆与锐角三角函数综合 2．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示．  (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） E ∟ （1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， ∴（米）， ∵，∴ ， ∵ 与相切，∴ ， ∴ ， ∵ 米，∴ ， ∴ ，（米）， ∴ ， 在中， （米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； ►题型九 圆与锐角三角函数综合 2．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示．  (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） ∵，， （米）， ∵ 米，， ， ∵ ，， 最佳观赏风景的时间为（分钟）， 的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． （2）解：过点作， 交于点．延长， 交于点，连接， 不妨设米， ►题型十 圆的基本性质多结论判断题 1．（2025·江苏无锡·二模）如图， 为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①； ②； ③； ④为定值． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：连接∵是中点，， ∴垂直平分， ∴． ∵是半径，为的中点，∴， ∵， ∴， 是等腰直角三角形，， ∴， 点、、在以点为圆心的圆上， ∴， ∴，故①符合题意． 连接，∵是的直径， ∴ ∴点B，F，C，D四点共圆，即点和点在以点为圆心的同一个圆上 ►题型十 圆的基本性质多结论判断题 1．（2025·江苏无锡·二模）如图， 为的直径，，为的中点，连接，点在射线上，连接，取的中点，过作交于，连接．下列结论：①； ②； ③； ④为定值． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∴，故②符合题意． 由①知：点、、以为圆心的圆上， ∴，故③符合题意． ∵点是的中点，过作交于， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴在直角中， ， ∴ ， 故④不符合题意． C 解：由题图②得，当时，， 即此时A、O、P三点共线， 则的半径，故①正确； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故②正确； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时， 走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故③正确； 当点P运动到点B时，，即， ∴，故④错误． ►题型十 圆的基本性质多结论判断题 2．（2025·山东济宁·三模）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A、B两点间的距离为1；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ A ►题型十 圆的基本性质多结论判断题 3．（2024·北京·三模）如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），于点D，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ C 解：∵是半圆O的直径，∴， ∵点O是中点，∴， ∵，， ∴，， 即，故①正确； ∵C是半圆周上的动点(与A，B不重合）， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ，， ， ，， ， ，∴， ∴，∴， ∵， ∴， 故③正确； ►题型十一 弧长与扇形面积的实际应用 当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时， 选用公式； 当已知弧长l、半径R求扇形的面积时， 选用公式 ►题型十一 弧长与扇形面积的实际应用 1．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， C ►题型十一 弧长与扇形面积的实际应用 2．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________ 解：∵最高点离水面平台的距离为， 圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时， 轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． ►题型十一 弧长与扇形面积的实际应用 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 解：设扇形的半径为， 则扇形的半径为， ∵，∴，即， 解得，∴扇形的半径为7， ∵扇形面积， ∴， 20 ， ， ∴图中阴影部分面积是20； ►题型十二 圆柱与圆锥的侧面展开图计算 1）混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 注意：圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，不是圆锥的底面圆的半径. 2）在扇形的两个面积公式和圆锥的侧面积公式中，同一个字母的含义可能不同(如1可以表示扇形的弧长，也可以表示圆锥的母线长)，要做好区分. ►题型十二 圆柱与圆锥的侧面展开图计算 1．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 解：则所需铁皮面积 B ►题型十二 圆柱与圆锥的侧面展开图计算 2．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为__________度． 解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， B 解：根据弧长的公式得到： ，解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 160 ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．  (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点， 求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． （1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．  (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点， 求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． （2）证明：连接，， 并延长交于点． ，垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．  (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点， 求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． （3）解：如图，连接，， 并延长交于点， 为的中点，， 是的直径，， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．  (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点， 求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． ∴≌，， ，设，则． 四边形是矩形，， ，，， ， ， ∴， ， ， ，， ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，．  (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点， 求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 过点作于点， ， ， ，， ，， ，　　　 ， ， ． H ∟ ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．  (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． （1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴，又， ∴，∴， ∵和都是的半径， ∴，∴， ∴，∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上，∴， ∴， 在中，， 即， 解得，∴， ∴， ∴， ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．  (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； ►题型十三 圆与全等/相似三角形综合证明 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．  (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M， 连接由（2），得， ∵平分， ∴， 又，∴， ∴，， ∴， 在中，， 即，解得， ∴在中，， ∴， ∴． 知识01 圆的基本性质 1.垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， . 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.. 【小技巧】 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧， 上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 知识01 圆的基本性质 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 3.圆周角定理及其推论 1）圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 知识01 圆的基本性质 2）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. 4.圆内接四边形及其性质 1）圆内接四边形： 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 知识02 切线相关 1.切线的定义： 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定 1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； 2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3）判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 2.圆锥的相关计算 圆锥的侧面展开图及有关计算 （1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形. （2）圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） = l •2 π r= π rl （4） = π rl+ π =π r(l+r) （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为n= •360 知识03 与圆有关的计算 1.弧长与扇形的面积计算 1）弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 2）扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). ⇒ 2π r= 1．（2025·陕西西安·一模）如图，点均在上，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 如图，连接和，  ∵点均在上， ∴， ∴， ∴的长为， B 2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 B 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ，解得， A 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径，， ，， ， 解得：， 的半径为； B M ∟ 5．（2025·四川绵阳·一模）如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． B 解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中，． 作关于对称的图形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． ． 在和中， ， ， ， 把代入 中得:， ． 6．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， B 7．（2025·四川广安·一模）如图1是一个圆锥形生日帽，图2是其示意图．若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，则将该圆锥沿母线剪开后，其侧面展开图的圆心角的度数为________． 解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得: ， 其侧面展开扇形的圆心角为． 解：设圆心为O，连接，过点O作于点C， 连接，，如图所示： ∵，O为圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则的长为_______cm． 9．（2025·甘肃酒泉·一模）如图所示，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为______． 解：、切于、， ， 同理，可得：，， 的周长 ． 即的周长是：． 10．（2025·重庆·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，，连接，与交于点，连接，点是上的任意一点（不与，重合），连接，与交于点，与的延长线交于点．  ①若点是的中点，则的长为_________；（用含的代数式表示） ②无论点在上的位置怎样变化，_________． 解：①∵是圆O的切线，∴， 又∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴ ， 又D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴的长为 ， ②在等腰直角三角形中，， ∴ , ∴ , ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 72 11．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E．(1)求证：直线是的切线;(2)若，的半径为5，求的长． （1）证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中，， ， ，， ，， 在中， ， ． F ∟ 考点二：与圆有关的压轴题型 题型一 圆中线段和差最值问题 题型二 圆与坐标系综合应用 题型三 圆中的动点轨迹与最值问题 题型四 圆的存在性问题 题型五 圆的折叠与旋转综合变换问题 题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 题型七 圆的新定义与阅读理解题 必备知识 命题预测 ►题型一 圆中线段和差最值问题 1．（2025·四川南充·中考真题） 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点，∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴，∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴的最小值 ． C ►题型一 圆中线段和差最值问题 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 解：在取点F，使，连接，， 过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴的最小值为． ►题型二 圆与坐标系综合应用 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将 绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ．  (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． （1）解：当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大， 此时点C，， 又，故点D坐标为， ． （2）解：过点C作轴于点F，过点D作与点E， ∴四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∵的圆心坐标为，半径长为1， ∴，∴，故． ►题型二 圆与坐标系综合应用 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将 绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ．   (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． （3）解：∵直线经过的圆心， ， ∴直线是的切线， ∴以为直径作圆与交于C，两点， 连接，，则, ∴，， ∴，， 过点C作于点E， ∴， ， ∴，∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得，故直线的解析式为 ，根据圆的对称性， 得∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得， 故直线的解析式为， 故直线的解析式为: 或． ►题型二 圆与坐标系综合应用 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点．  (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置； (2)点M的坐标为 ；的半径为 ； (3)点与的位置关系是点D在⊙M ； (4)若E点的坐标为，求证：直线是的切线． (1）解：用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）解：由图可知M点的坐标为， ，圆M的半径是； （3）解：， ， ，∴点D在圆M内． 内 （4）证明：设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接，作直线， ， 在中，， ， 在中，， ， E ， ， ， 又∵为半径，∴直线是的切线． ►题型三 圆中的动点轨迹与最值问题 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ）  A． B． C． D． 解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H， 即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长交于点M， 过点D作于点N，则， ►题型三 圆中的动点轨迹与最值问题 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ）  A． B． C． D． ∴， ∵，， ∴， ∵，∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴ ∴， 即面积的最小值为． B ►题型三 圆中的动点轨迹与最值问题 2．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点， 且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． （1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆，取的中点O，连接， 当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵∴， ∴面积的最大值 ． ►题型三 圆中的动点轨迹与最值问题 2．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点， 且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． （2）连接，如图，∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接 ∴当、、三点共线时，此时最小， 如图，由（1）可知，， 过点O作， 交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形， ，， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． ►题型三 圆中的动点轨迹与最值问题 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______ 解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即；而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵，∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴最小值为． （2）解：如图，延长交于点， 连接， ∵是的直径， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； ►题型四 圆的存在性问题 1．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．  (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． （1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； ►题型四 圆的存在性问题 1．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．  (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． （3）解：存在常数，， 使等式成立； 理由如下：如图，设与交于点， ∵平分，∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，∴， ， 得： ， ∵，∴， ∴，． ►题型四 圆的存在性问题 2．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，， 作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．   请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） ►题型四 圆的存在性问题 2．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，， 作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分． 解：（1）连接， ∵，∴， ∵，∴等边三角形， ∵，∴， ∴的长为； ►题型四 圆的存在性问题 2．（2024·陕西·中考真题） 问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．   请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） （2）存在满足要求的点P和点F， 此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图， ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ►题型四 圆的存在性问题 2．（2024·陕西·中考真题） 问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．   请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 作于点， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴ ． 答：存在满足要求的点P和点F， 此时的长为． ►题型五 圆的折叠与旋转综合变换问题 1．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值， ∴点的运动路线与直径平行． 平行 ►题型五 圆的折叠与旋转综合变换问题 1．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径，∴ ． 又∵点是的切点， ∴． 在和中， ，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； ►题型五 圆的折叠与旋转综合变换问题 1．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． （2）最大值为，最小值为． 如图2，设，与交于点，连接．  ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上，∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． ►题型五 圆的折叠与旋转综合变换问题 2．（2025·广东珠海·一模）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，． 【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）． (1)当时，求的长度 ； (2)如图3，当时，求的度数 ； (3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______． （1）解：如图， ∵， ， ∴，∴当时， 点共线，点A，D，C共线， ∵，∴是等边三角形， ∴； 2 （2）解：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，∴， ∴， ∴； ►题型五 圆的折叠与旋转综合变换问题 2．（2025·广东珠海·一模）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，． 【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）． (1)当时，求的长度 ； (2)如图3，当时，求的度数 ； (3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值， 点P的位置是______ ，这个定值为______，运动开始后______． 2 （3）解： ∵点O是的中点，， ∴，即， ∴点O的运动轨迹为以为直径的圆， 如图，  ∵运动过程中的长是个定值， ∴点P的位置是的中点， 且这个定值为， ∵， ∴点D在为直径的圆上， ∴， 的中点 1 ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；  (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． （1）解：将代入得 ∴ 即: （2）解：∵ ∴ ∴抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得解得： ∴ ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；  (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 当在的下方时，如图，过点作轴，交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴解得： ∴ ∴，则 ∴， 且轴，∴， ∴是等腰直角三角形 ∴∴到的距离为 ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；  (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 如图，延长交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形，且 ∴到的距离为， ∵∴当在上方时， 点在过点与的平行线上， 设过点与的平行线交抛物线于点, 设直线的解析式为代入 ∴解得：∴ 联立， 解得：或 ∴或 综上所述， 或或 ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；  (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． （3）抛物线方程为， 由（1）知，当时，， 则故抛物线为： 设，当时， ∵ ∴ ∴ 即，解得 ∴ ∵是直角三角形， ∴的外接圆的圆心在上， 且为的中点， ∵， ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；  (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． ∴的外接圆的圆心坐标为： 因为直线的解析式为 如图，设，的中点为， 过点作轴交于点 ∵∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 1．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；  (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． ∵在上，∴     ∴即① ∵∴ ∴② 联立①②得，∴ ∵在抛物线上，代入抛物线方程： 解得：或 ∵∴ ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 2．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． （2）解：①如图，，连接， 作交于点，作轴于点， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 时，， ，，     （1）解： ，， 点坐标为， 将，代入， 得，解得，； ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 2．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______ ． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． ，，， ，设直线为， 代入，得， ，解得， ，联立得， 解得或舍去）， ； ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 2．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． ②过点作直线， ， 点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 将，代入得，，解得，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立方程， 解得，或， 或； ►题型六 圆与函数（一次、二次函数）综合压轴 2．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． （3）解：如图，取， 连接，，  则，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． ►题型七 圆的新定义与阅读理解题 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为．  ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为． 若，直接写出的取值范围． （1）解：①根据定义可得： 当在上时， 不存在都有， 当在内部时，过的直径使得的关联角度为， 当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴，∴ ∴，即与的关联角度为 ►题型七 圆的新定义与阅读理解题 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为．  ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为． 若，直接写出的取值范围． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴， 当时，如图，取点， 则， ∴ ， ∴的最小值为， ►题型七 圆的新定义与阅读理解题 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为．  ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为． 若，直接写出的取值范围． （2）解：由（1）可得， 当在圆的外部时， 且为圆的切线时， 最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时， 由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点， 线段上所有的点都是的关联点， 则，∴上距离最近的点在的圆环内， ►题型七 圆的新定义与阅读理解题 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为．  ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为． 若，直接写出的取值范围． ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时， 如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部， 此时 ►题型七 圆的新定义与阅读理解题 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为．  ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为． 若，直接写出的取值范围． ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时， 此时， 综上所述， 或或． 1．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 证明过程缺失 则，则此时，最大，最大值为． 【问题延伸】如图3，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，过点A作于点F，连接，则线段的最小值是 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） 1．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 证明过程缺失 则，则此时，最大，最大值为． 问题解决 解：证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合）， 连接、， 在中，， ， ， 则， 则此时，最大，最大值为； 1．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 【问题延伸】如图3，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，过点A作于点F，连接，则线段的最小值是 ． 解：如图3， ，∴， ∴点F在以为直径的圆上，以为直径作，连接交于F， 由点圆关系得此时最小， ∵，∴， ∵， ∴， 1．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） 解：如图4，取、中点、，连接， 以为直径作，连接交于点， 作于，连接、， ∵点F为中点， ∴、分别为和的中位线， ∴， ∴， ∵为半圆直径，∴， ∴，∴F在以为直径的圆上， 即在上，由点圆关系得，为的最小值， ∵、为、中点， ∴为中位线， ∴米，， ∴米， 1．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） ∵，∴， ∵，∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∴ （米）， ∵米， ∴（米）． ． 2．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】（1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】（2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】（3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 解：（1）连接，四边形是矩形， ，， ， 过点，， ，， 在中，， 即，解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径， 此时，， ， ，， ， ， 即，解得； Q ∟ 2．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】（1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】（2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】（3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径， 此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得， ，， 的周长 ； 2．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】（1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】（2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】（3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． ②在和中， ， 同理可证， ， ， ，， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， 2．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】（1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】（2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】（3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． ， ， ，，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：中，， ， ∴， 过O作于H， 则，， 在中，， 即， 解得， ． H ∟ 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． H ∟ （3）解：半圆的面积， 扇形的面积: ， 的面积 ． 弦与弧围成的弓形面积 ， 弦与弧围成的弓形面积 ， 弓形面积弓形面积 ， ∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积 ． 4．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，已知：，平分，且．请探究：  (1)如图＜1＞，若以为直径作，分别交、于B、C，求的长； (2)如图＜2＞，若以为弦（不是直径），任作分别交、于、点，则的长是否不变？请说明理由； (3)如图＜3＞，若以为弦（不是直径）作与切于A点，交于点，则的长是多少？请说明理由． （1）解：连接． ∵为的直径， ∴， ∵平分，∴， ∴ ∴； （2）解：的长度不变． 理由：连接、，，， 在和中， ∵， ∴，∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ； 4．（2025·江西抚州·模拟预测）如图，已知：，平分，且．请探究：  (1)如图＜1＞，若以为直径作，分别交、于B、C，求的长； (2)如图＜2＞，若以为弦（不是直径），任作分别交、于、点，则的长是否不变？请说明理由； (3)如图＜3＞，若以为弦（不是直径）作与切于A点，交于点，则的长是多少？请说明理由． （3）解：连接并延长交于D， 连接、， ∴，则， ∵与切于A点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，即， ∴， ∴． D $