专题05 线段最值与最短路径（填空压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题05线段最值与最短路径（填空压轴题） 命题预测 以初中经典几何最值模型为依托，结合坐标系、特殊四边形出题。命题稳定围绕将军饮马、垂线段最短、线段和差最值展开，题型经典、变形丰富。 高频考法 1.将军饮马线段和最小值 2.垂线段最短距离最值 3.线段之差最大值问题 4.多边形周长最值综合求解 典例·靶向·突破 题型01 将军饮马模型基础最值 1．（2026·北京·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 2．（25-26·北京丰台·模拟测试）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 题型02 垂线段最短距离类压轴 1．（24-25·北京·三模）如图，中，，，，为的中点，在线段上有动点，，且，在线段上有动点，连接，．则的最小值为___________． 2．如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为_______． 题型03 动点约束下线段和差最值 1．（25-26·北京·一模）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接，过点作交轴于点为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接，，，，当最大时，则的最小值_____． 2．如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 题型04 坐标系内几何最值综合计算 1．（25-26·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为________． 2．如图，在平面直角坐标系中，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为______． 1．（24-25·北京大兴·二模）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 2．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 3.如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 4．（25-26·北京海淀·一模）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 5．（25-26·北京·一模）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 6．如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 7．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 8．（25-26·北京·一模）如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为_____． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05线段最值与最短路径（填空压轴题） 命题预测 以初中经典几何最值模型为依托，结合坐标系、特殊四边形出题。命题稳定围绕将军饮马、垂线段最短、线段和差最值展开，题型经典、变形丰富。 高频考法 1.将军饮马线段和最小值 2.垂线段最短距离最值 3.线段之差最大值问题 4.多边形周长最值综合求解 典例·靶向·突破 题型01 将军饮马模型基础最值 1．（2026·北京·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 【答案】 【分析】要使得，，构成的封闭图形周长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形周长最小，求出半径和的长即可． 【详解】解：要使得，，构成的封闭图形周长最小，的值不变，则最小即可， 连接，， ， ， 是的垂直平分线， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 即，，构成的封闭图形周长最小， ， ，， 的长为， ，，构成的封闭图形周长最小为：． 2．（25-26·北京丰台·模拟测试）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 题型02 垂线段最短距离类压轴 1．（24-25·北京·三模）如图，中，，，，为的中点，在线段上有动点，，且，在线段上有动点，连接，．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】过点A作于点Q，过点D作于点H，连接，则得的长度，得四边形是平行四边形，，则；作点H关于的对称点P，过点P作于点G，交于点F，则当取得最小值时，取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点Q，过点D作于点H，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如下图，作点H关于的对称点P，过点P作于点G，交于点F， ∴，， ∴， 当P、F、G三点共线且垂直于时，取得最小值， ∴取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，对称的性质，垂线段最短等知识，把求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 2．如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】首先由，，发现在以为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将转化为，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 过作，作于，如图， ， ， 在中，， ， 当、、共线时，最小， 过作于， 在中，，，， ， ， ， 作于， 四边形是矩形， ， ， ， ， 最小值为， 最小值为． 故答案为：． 题型03 动点约束下线段和差最值 1．（25-26·北京·一模）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接，过点作交轴于点为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接，，，，当最大时，则的最小值_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理． 先求出A、B、C、E的坐标，然后求出的解析式为，连接，作轴交于Q，根据，可得设，则，，故当时，，此时P的坐标为．将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为，连接交于y轴于点M，交于x轴于点N，则，然后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：当时，，故， ， 当时，或，故，， ，， ，， ，则， 设解析式为， 代入，，得， 解得， ∴的解析式为， 连接，作轴交于Q， ， 设，则， ， ， 当时，，此时P的坐标为． 将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为， 连接交于y轴于点M，交于x轴于点N， 则． 故答案为：． 2．如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 题型04 坐标系内几何最值综合计算 1．（25-26·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为________． 【答案】 【分析】连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，则当点Q在线段CD上时CQ+CP最短，从而周长最小，则易得PA⊥OA，从而可求得点P的坐标． 【详解】解：连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，如图 ∴四边形ADQP是平行四边形 ∴DQ=AP，AD=PQ=2 由菱形的对称性知：AP=CP ∴DQ=CP 当点Q在线段CD上时，CQ+DQ= CQ+CP最短，从而周长=CQ+CP+2最小 ∵四边形OABC是菱形 ∴OC=OA=，CE=AE，AC⊥BD ∵∠AOC=60° ∴△OAC是等边三角形 ∴ ∵AD∥PQ ∴AC⊥AD 由勾股定理得 ∴∠ACD=30° ∵AP∥CD ∴∠PAC=∠ACD=30° ∴∠PAO=∠CAO+∠PAC=90° 即PA⊥OA ∵∠AOE=30° ∴OP=2AP 在Rt△PAO中，由勾股定理得： 解得：AP=2 则点P的坐标为   故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，解题的关键是掌握过A点作AD∥PQ，且AD=PQ． 2．如图，在平面直角坐标系中，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据待定系数法求函数解析式是关键．先求出，分两种情况，，分别求出点E的坐标，表示出的长，进而即可求解． 【详解】解：∵，D为线段的中点， ∴， ①当时，设的解析式为：， 把，代入， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 把代入， 解得：， ∴的解析式为：， 联立， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时，； ②当时，则，的解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴当时，最小，此时，， 故答案为：． 1．（24-25·北京大兴·二模）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 2．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 3.如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过点B作轴于点H，先证，设点C坐标为，得到，，得到点B坐标为，则点B始终在直线上，过直线作点O的对称点，连接，根据三角形三边关系可知，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点H， 由旋转可知，， ， 又， ， 又， ， ， 设点C坐标为， ，， 则点B坐标为， 故点B始终在直线上， 根据图象，可知， ， 如图，过直线作点O的对称点，连接， 根据图象，可知点坐标为， 由对称可知， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握一线三等角和将军饮马的数学模型是解题的关键． 4．（25-26·北京海淀·一模）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，掌握将军饮马的数学模型是解题的关键． 过作点A的对称点，连接，故，根据图形可知当三点共线，且时，最小，可得三点共线，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过作点A的对称点，连接， 由对称可知，，， ， 根据图形可知当三点共线，且时，最小， 又， 三点共线， ， ． 故答案为：． 5．（25-26·北京·一模）如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形性质、全等三角形判定与性质、最短路径（将军饮马）问题，涉及知识点：菱形的边与面积性质、全等三角形、垂线段最短．解题方法是通过全等转化线段，将“”转化为“三角形的三边关系”；解题关键是构造全等三角形实现线段转化，易错点是无法找到线段转化的全等条件．先证得，将转化为，再利用菱形面积求的最小值，进而得的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，作点关于的对称点，连接交于点，连接， 在菱形中，，（菱形对角相等）． ∵， ∴， ∴， 得， ∴． ， ， ． 在中， 当三点共线时有最小值，即取得最小值， 在中，， ． 故答案为：． 6．如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 【详解】解：， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 8．（25-26·北京·一模）如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作，使得，连接，从而可证，从而可得，，当三点共线时，取得最小值即线段的长，通过勾股定理求出线段的长即可； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，熟练掌握辅助线的作法，将两条线段转化为同一个三角形中的两条边是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $