专题04 新定义题型综合压轴（解答题压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04新定义题型综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 命题以全新定义概念为核心，结合平面直角坐标系、点、线、圆、函数等知识，遵循 “理解定义 — 举例应用 — 综合探究” 设问逻辑。注重即时学习能力、迁移运用、数形结合与分类讨论，设问层层加码，多涉及范围求解、最值、存在性、参数探究。 高频考法 1.点与线段新定义类综合 2.图形关联新定义探究 3.圆结合新定义范围问题 4.函数背景下新定义求值与探究 5.临界位置分类讨论压轴 典例·靶向·突破 题型01平面直角坐标系点类新定义压轴 1．（25-26·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点A在半径为1的上，B，C为平面内不重合的两点，对于与直线给出如下定义：称点A到直线的距离为与直线关于点A的理想距离，记为，特别地，点A在直线上时，． (1)已知，． ①若，则________，若，则________； ②若点C在直线上，则的取值范围是________； (2)若点，且，点B在函数的图象上，对于每一个点B，记的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标． 2．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 题型02线段、图形关联新定义综合探究 1．（2026·北京·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 2．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB． ①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段DB的长度． (2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到，连接，．若平移后的四边形是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段的长）为______． 题型03圆结合新定义取值范围解答题 1．（2025北京·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 2．（25-26·北京·一模）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长，并就图⑤，写出其中一种求的过程． 题型04函数背景下新定义拓展探究 1．（24-25·北京·二模）【定义】 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“纵横值”为； 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为__________； 求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为，直接写出的值． 2．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以、、、四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点，试求出实数 的取值范围． 1．（2026·北京·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． 【理解定义】 （1）若点、，则______． （2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） 【深入探索】 （3）已知点，，为坐标原点，求的值． 【拓展延伸】 （4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出此时的取值范围． 3．（24-25·北京丰台·三模）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 4．（24-25·北京·二模）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 5．对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的“直角距离”为． 对于平面直角坐标系内的任意两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“直角距离”，记作D（M，N）． （1）已知，则＝________，＝________； （2）已知，若，则t的取值范围是________； （3）已知A（1，0），若坐标平面内的点P满d（P，A）＝1，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_________； （4）已知，直线过点且垂直于y轴，若直线上存在点Q满足，则t的取值范围是________． 6．（2025·北京·模拟预测）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”） ①四边形一定是平行四边形；（    ） ②四边形可能是正方形；（    ） ③四边形的四条边的数量关系为．（    ） (2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：； (3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值． 7．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 8．（25-26·北京·一模）【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04新定义题型综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 命题以全新定义概念为核心，结合平面直角坐标系、点、线、圆、函数等知识，遵循 “理解定义 — 举例应用 — 综合探究” 设问逻辑。注重即时学习能力、迁移运用、数形结合与分类讨论，设问层层加码，多涉及范围求解、最值、存在性、参数探究。 高频考法 1.点与线段新定义类综合 2.图形关联新定义探究 3.圆结合新定义范围问题 4.函数背景下新定义求值与探究 5.临界位置分类讨论压轴 典例·靶向·突破 题型01平面直角坐标系点类新定义压轴 1．（25-26·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点A在半径为1的上，B，C为平面内不重合的两点，对于与直线给出如下定义：称点A到直线的距离为与直线关于点A的理想距离，记为，特别地，点A在直线上时，． (1)已知，． ①若，则________，若，则________； ②若点C在直线上，则的取值范围是________； (2)若点，且，点B在函数的图象上，对于每一个点B，记的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标． 【答案】(1)①1，2；② (2)d的取值范围是，点C的坐标为或 【分析】（1）①根据题中定义即可求得点A到的距离为，点A到的距离为； ②根据题意求出点C的运动轨迹，直线是绕点B旋转的直线，当时，A到直线的距离最大，此时，当直线过点A时，，进而得出取值范围； （2）分析A，B，C的运动情况，作对应的辅助线分析d的最值，并求得d的取值范围，再设点C坐标为，根据勾股定理列出方程求得m的值，进而求得点C的坐标． 【详解】（1）解：①如图，由定义可知，点A到的距离为， 点A到的距离为, 故答案为：1，2； ②∵当时，直线为过点的水平线，当时，直线且与平行， 又∵点C是直线上一点， ∴如图，当时，点C的轨迹是射线，射线组成的区域和射线，射线组成的区域， ∵直线是绕点B旋转的直线， ∴当时，A到直线的距离最大，此时， 当直线过点A时，， ∴取值范围是， 故答案为：． （2）解：由题意知，令点A为动点，则点B、C为定点， 如图，在上取一点B，在取一点， ∵点A是上的动点， ∴过点A作直线的垂线，当时，点A到直线距离最大值为， 再令点B为定点，点C为动点， ∴当时，取得最大值，点A到直线的距离最大值为， ∴的最大值为，此时， ∵当点B和点A同时移动时，如图，直线时，d取得最小值， ∴， ， ∵，点B不能在x轴上， ∴d的取值范围是， ∵当d取得最小值时，， ∴点C在直线上， 设点C坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，圆的性质，线段最值等知识点，解答时注意利用数形结合的方法． 2．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据“平衡图形”的定义分别求出各个线段上任意点到的距离的取值范围即可确定答案；②设直线与轴交于点；进而可求得，，分以下几种情况：当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，此时；当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，当与相切时．此时，；当线段全部在外时，作于，点到的距离满足，点到的距离满足，进而，确定时符合题意，即可求解； （2）设直线为，求得； ，分 ①当在内时，②当在时，同法求得上任意点到距离的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：①设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ，这两个距离范围没有公共部分， 线段上不存在任意两个不同点，， 使得，则线段不是的“平衡图形”； 综上所述，线段、是的“平衡图形”； 故答案为：、； ②解：设直线与轴交于点； 当时 ，， 当 时，， ，， ， ， ， 当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时； 当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意， 当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足， 当与相切时．如上图所示∶此时， ； 当线段全部在外时，如图所示： 作于， ， 点到的距离满足， 点到的距离满足， 时符合题意，即， 综上所述，， 故答案为：； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； 点， ， ①当在内时， 由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足， 作于，由上题可知：， 上点到的距离满足， 上任意一点到的距离满足， 时符合题意，即． ②当在时， 同①可得：， ，即此时可以无限大； 综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系， “平衡图形”，的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会结合图形利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型． 题型02线段、图形关联新定义综合探究 1．（2026·北京·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断； （2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明； （3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 2．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB． ①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段DB的长度． (2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到，连接，．若平移后的四边形是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段的长）为______． 【答案】(1)①是；②BD= (2)4或5或 或 【分析】（1）①“等邻边四边形”的定义判断即可； ②根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论； （2）根据由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论． 【详解】（1）解：①四边形ACBD是等邻边四边形， 理由：∵将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD， ∴AC=AD， ∴四边形ACBD是等邻边四边形； 故答案为：是； ②如图1， 过D作DH⊥BC于H， 则∠DHC=∠DHB=90°， ∵将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD， ∴AC=AD，∠CAD=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴CD=AC=4，∠ACD=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCH=30°， ∴DH=CD=2，CH==2， ∵BC=3， ∴BH=， ∴BD=； （2）解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC=5， ∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′， ∴BB′=AA′，A′B′AB，A′B′=AB=4，B′C′=BC=3，A′C′=AC=5， （I）如图1， 当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=4； （II）如图2， 当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5； （III）当A′C′=BC′=5时， 如图3， 延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB， ∵BB′平分∠ABC， ∴∠ABB′=∠ABC=45°， ∴∠BB′D=∠ABB′=45°， ∴B′D=BD， 设B′D=BD=x， 则C′D=x+3，BB′=x， ∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2， ∴x2+（x+3）2=52， 解得：x=（负值已舍）， ∴BB′=x=； （Ⅳ）当BC′=AB=4时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+C′D2=BC′2， 设B′D=BD=x， 则x2+（x+3）2=42， 解得：x=（负值已舍）， ∴BB′=x=， 综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5或或， 故答案为：4或5或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，新定义类探究题，主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键． 题型03圆结合新定义取值范围解答题 1．（2025北京·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2 【分析】（1）连接，记交于点K，在上取点Q，使得，可知矩形是正方形，为等边三角形，求出，则，设，则，，故，即可证明； （2）当时，则，则正边形中心角为，而中心角与外角相等，故外角，故每一个内角为钝角，画出正边形的局部，设内角，外角，则，故，设正边形的半径为，由题意得：，过点A作，，解直角三角形得，则，，故，化简得：，故，当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式； （3）连接，过点作于点，由旋转得，，设，则以线段为边的正多边形边数为，故以线段为边的正多边形同中心点C，同边数，因此以线段为边的正多边形是双同正多边形，可证明，则，设，由勾股定理得，，则，故，因此双同正多边形的边数为，则该正多边形为正六边形，故特征值为：． 【详解】（1）解：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度较大，正确理解题意是解决本题的关键． 2．（25-26·北京·一模）【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长，并就图⑤，写出其中一种求的过程． 【答案】（1）见解析；（2）或或或；（3）的长度为或或 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由题意易得，，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）当点E在优弧上时，由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可；当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，利用等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质求解即可； （3）由题意可分当与相切，平分一组对角时；当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角；当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角；当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角；然后分类求解即可． 【详解】解：（1）证明：连接并延长交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）若是等腰三角形，且点E在优弧上时， 则，如图， ∴当时；则的度数为 当时；则的度数为 当时；则的度数为； 当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： 由题意得， ∴， ∴ ∴则的度数为； 故答案为：或或或； （3）解：的长度为或或． 图⑤理由： 当与相切，平分一组对角时，如图，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 过点C作，连接，则， ∴经过， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作于点G，连接，如图所示， 同理①可得：， ∴， ∴四边形是关于成轴对称的图形， ∴圆心O在上，，设，则， ∴由勾股定理可得： 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：， ∴， ∴四边形是关于成轴对称的图形，， ∴圆心O在上，，设，则 ∴由勾股定理可得： 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴，分别过点、作，，垂足分别为点、，如图所示， ∴，，即过圆心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 题型04函数背景下新定义拓展探究 1．（24-25·北京·二模）【定义】 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“纵横值”为； 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为__________； 求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． 根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵值”的定义计算即可； 根据“最优纵值”的定义可知，可以得到； 根据“最优纵值”的定义可知，可知当时，有最大值，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：； 函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优纵横值”为； （2）解：抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， 最优纵横值为， ， 解得：； （3）解：， 当时，有最大值， 当时，， 解得：或（舍）； 当时，，解得（舍）或； 的值为或． 2．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以、、、四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点，试求出实数 的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析；以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形；理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键． （1）由已知可知函数为，平移后函数为； （2）先求出函数与轴交点求出，，令，求出，，则，又由，可判断四边形是菱形； （3）由已知可得，则函数与边无交点，只能与边有交点，将A 、D两点坐标代入函数，求出值，结合图象即可得出实数 的取值范围． 【详解】（1）解：解：∵函数的特征数是 ， ∴函数为， 将函数向下平移 个单位得到， 故答案为：． （2）解：函数为与轴交点为， 函数为与轴交点为， ∴， 令时，则，， 如图： ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：∵函数的“特征数”是 ∴， 如图： 当时， ∴函数与边无交点， 若四边形与函数图象有交点，则函数与边有交点， 将代入函数得：，解得：， 将代入函数得：，解得：，， ∴由图象可知：实数 的取值范围为：． 1．（2026·北京·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． 【理解定义】 （1）若点、，则______． （2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号） 【深入探索】 （3）已知点，，为坐标原点，求的值． 【拓展延伸】 （4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）；（2）C，D，F；（3）或；（4）或 【分析】（1）“极大距离”定义求解即可． （2）根据“极大距离”定义，分别求出各点到坐标原点的“极大距离”，比较后得出结论； （3）根据“极大距离”定义，列出关于的方程求解即可； （4）根据k的符号，分、两种情形讨论，分别求得k的范围即可． 【详解】（1）解：∵、， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵，即， ∴根据定义∶ 故答案为：4； （2）∵点， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ 因为，所以； ∵点， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵， ∴， ∵点， ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵， ∴ ∵点： ∴横坐标差绝对值∶ 纵坐标差绝对值∶ ∵， ∴， 满足“极大距离”是2的点是：C、D、F， 故答案为：C，D，F； （3）设，原点， 横坐标差绝对值：​ ​ 纵坐标差绝对值： 由于​， 显然：， 除非，但此时距离为， 所以恒有， 根据定义，， ​∵， ∴或， 解得：或． （4）将点 代入， 得：， 所以 所以函数为 当时，y随x的增大而增大，如图， 将代入函数， 得， 解得：，符合， 所以当时，如图，存在点，使； 当时，y随x的增大反而减小，如图， 将代入函数， 得， 解得：，符合， 所以当时，如图，存在点，使； 综上，函数与正方形边界有交点（即存在点P使）的条件是： 或， ∴此时的取值范围是或​​． 【点睛】本题考查了写出直角坐标系中点的坐标，求一次函数解析式，一次函数与几何综合，含绝对值的一元一次、二次方程的解法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．（24-25·北京丰台·三模）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 4．（24-25·北京·二模）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及新定义几何图形问题、菱形性质、正方形性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．理解题中“对垂”四边形定义，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 5．对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的“直角距离”为． 对于平面直角坐标系内的任意两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“直角距离”，记作D（M，N）． （1）已知，则＝________，＝________； （2）已知，若，则t的取值范围是________； （3）已知A（1，0），若坐标平面内的点P满d（P，A）＝1，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_________； （4）已知，直线过点且垂直于y轴，若直线上存在点Q满足，则t的取值范围是________． 【答案】（1）3，1；（2）或；（3）画图见解析，2；（4）． 【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出AB的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解； （2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和y=-x+1的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围； （3）首先设出点P的坐标为（x，y），根据题意代入表示出d（P，A）＝1，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可． （4）设点Q的坐标为（x，t），根据题意代入，得到，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 设AB的表达式为， 将，代入得：，解得， ∴， ∴设线段AB上一点的坐标为（x，-2x+2），且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值，最小值， ∴． 故答案为：3，1； （2）∵设经过点A和点的表达式为， 代入得：，解得：， ∴． ∴点O和“直角距离”， ∵， ∴， ∴或； （3）设点P的坐标为（x，y）， ∵A（1，0）， ∴代入足d（P，A）＝1，得: ， 即． 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ∴如图所示，正方形ABCD即所有满足条件的点P所构成的图形， ∴， ∴S正方形ABCD= ； （4）设点Q的坐标为（x，t）， ∵， ∴，即． ∴当时， ，解得：，应舍去； 当时， ，解得：； ∴当时， ，解得：，应舍去； ∴当时， ，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴当时， ，解得：， ∴综上所述，t的取值范围是． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解． 6．（2025·北京·模拟预测）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”） ①四边形一定是平行四边形；（    ） ②四边形可能是正方形；（    ） ③四边形的四条边的数量关系为．（    ） (2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：； (3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据四边形为圆正直四边形，得出，根据勾股定理得出，即可证明．再根据平行四边形、正方形的性质判断①②③即可． （2）连接，如图，根据圆周角定理得出，再根据四边形为圆正直四边形，得出，判断出，证明，即可得，即可证明． （3）证明，得出，再证明，得出，根据三角形内角和定理得出，即，，勾股定理证出，根据四点共圆得出，证明，得出，结合，设，则，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，根据列出方程即可得出关于的等式，再根据二次函数最值即可求出最终结果． 【详解】（1）解：如图，若四边形为圆正直四边形，则， ， ． 故四边形不一定是平行四边形；可能是正方形； ①四边形一定是平行四边形；（×） ②四边形可能是正方形；（√） ③四边形的四条边的数量关系为．（√） （2）证明：连接，如图， ∵是的直径， ， ∵四边形为圆正直四边形， ， ， ， ， ∴． （3）解：∵， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， ， 又 ∵， ∴，即， ， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， 又 ∵， 设，则， ， ∴在中，， ， 则利用勾股定理可得， 在中，， ， 则利用勾股定理可得， ∵， ∴， 即有， ∴当时，取最小值，从而取最小值，最小值为， 即的最小值为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合，主要考查了新定义圆正直四边形的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，二次函数的最值，四点共圆的性质等知识点，多次证明相似三角形是解答本题的关键． 7．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，设，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解即可； （2）当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，计算即可得出答案； （3）设抛物线上任意一点为，设到轴的距离为，证明，可得结论． 【详解】（1）解：连接， ， 设， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为； （3）证明：设抛物线上任意一点为， ∴， 设到轴的距离为， 由题意得：， ∴ ， ∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【点睛】本题考查圆与二次函数综合、勾股定理、切线的性质、 分线段成比例定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 8．（25-26·北京·一模）【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，易证，结合，推出，可得旋似比，再根据三角形外角的性质得到，结合，推出，可得旋似角； （2）根据，，易证，推出，进而得到，可得旋似角； （3）由（2）知是直角三角形，根据点M是中点，可得，设，根据，得到，进而求出，利用勾股定理求出，进而求出，再根据等边对等角得到，由，推出，利用对顶角的定义推出，结合，证明，得到． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋似比为， ∵点B，C，D在一条直线上， ∴，， ∴， ∴旋似角为； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段绕着点D旋似至线段的旋似角为； （3）由（2）知是直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段绕着点E旋似至线段的旋似比为． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $