专题04 规律探究与计数类（填空压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04规律探究与计数类填空压轴（填空压轴题） 命题预测 分为数字规律、图形规律、点阵计数三大方向。命题贴近新课标推理素养要求，以几何图形排布、数列递推、生活情境为载体，考查归纳概括、递推分析能力，设问多为求第 n 项、总数量、特定数值。 高频考法 1.图形循环规律推导 2.点阵 / 图案计数问题 3.分段递推数列规律 4.几何排布类规律探究 典例·靶向·突破 题型01 图形循环周期规律探究 1．（24-25·北京·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______________． 【答案】 【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2020次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8081， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 2． （2026·北京朝阳·一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝_____． 【答案】 【分析】连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，将三角形ABO分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O2，⊙O3…的半径大小，找出规律即可． 【详解】连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，如图所示： 则O1 D＝O1 E＝O1 F＝r1， ∵M是AB的中点， ∴B（0，2），A（2 ，0）， 则S△OO1B＝×OB×r1＝r1， S△AO1O＝×AO×r1＝r1 ∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝ ∴ 同理得：… ∴ 依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝ 故答案为 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理、规律型，解此类题目时要根据题意列出等式，适当地对图形进行分解，总结出规律是解题的关键． 题型02 点阵排列计数压轴 1．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值： （1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②） （2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示） 【答案】 图① 【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可， (2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可； 【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为 ∴小三角形的高= ∴ ， 图①由10个正六边形构成 ， 图②由10个正六边形和4个正三角形构成 ∵ ∴图①更节省空间 故答案为：① （2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图 以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB= 在Rt△AOB中，AB=a，OB OA= 纸盒底面最小半径是 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图． 2．（24-25·北京·三模）下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，……按此规律排列下去．第⑩个图形中的颗数为___． 【答案】175 【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案． 【详解】第①个图形中的颗数； 第②个图形中的颗数； 第③个图形中的颗数； 第④个图形中的颗数； …… ∴第n个图形中的颗数 ∴当时，， ∴第⑩个图形中的颗数为颗， 故答案为： 【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键． 题型03 递推型数列规律求值 1．（2026·北京海淀·一模）观察下列一组数的排列规律： … 那么，这一组数的第2019个数是_____. 【答案】 【分析】数据可分组观察，每组中的数据数为组数，每组中分子为组中的序数号，分母为2n+1(n为组数)，根据这个规律计算即可得答案. 【详解】观察数据可得：第一组：=， 第二组：=，=， 第三组：，，， 第四组：，，，， 第五组：，，，，， …… 第n组：，，…… ∴每组中的数据数为组数，每组中分子为组中的序数号，分母为2n+1(n为组数)， 设有n组分数和x个分数的和为2019， ∴+x=2019， ∵n为整数，=2016，=2080， ∴n=63，x=3， ∴第2019个数是第64组第3个数， ∴第2019个数为. 故答案为 【点睛】本题考查数字的变化类问题，把数据的分子、分母分别找出规律是解题关键. 2．（25-26·北京·一模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第8行从左边数第2个位置上的数是_______；排在第10行从左边数第3个位置上的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得第行第2个数为，且行第2个数等于第行第2个数与第3个数的和，据此求出第8行第2个数，第9行第2个数，第10行第2个数，再用第9行第2个数减去第10行第2个数即可得到第10行第3个数． 【详解】解：第2行第2个数（左边起，以下都如此）为， 第3行第2个数为， 第4行第2个数为， 第5行第2个数为， ……， 以此类推可知，第行第2个数为，且第行第2个数等于第行第2个数与第3个数的和 ∴排在第8行从左边数第2个位置上的数是，排在第9行从左边数第2个位置上的数是，排在第10行从左边数第2个位置上的数是， ∴排在第10行从左边数第3个位置上的数是， 故答案为；；． 题型04 几何图形分层排布规律 1．如图，菱形中，，坐标为，再以为对称中心作菱形，再以为对称中心作菱形，按此规律继续作下去，得到菱形，则的坐标为_______． 【答案】 【分析】连接，，先根据已知条件结合菱形的性质求出，根据勾股定理求出的长，再由相似三角形求出，继续求解找出规律即可得出结论． 【详解】解：如下图所示： 根据菱形的性质可知： 连接必过点，且， 同理可得，……，， ∵为菱形的对称中心， ∴， 在中，， 根据勾股定理可得，， ∵且， ∴，，， 同理可得：， ， …… ， 根据勾股定理可得： ， ∴的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质、规律型-点的坐标，相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型． 2．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形，等边三角形，等边三角形 ，… 中 ， ， ，… 平行于 轴，点，… 在 轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， ， ， … 的长依次为 ，…，以此类推，则等边三角形 的顶点 的坐标为______________ ． 【答案】 【分析】由，, … 的长依次为规律可知，AnBn的长为，设AnBn与y轴的交点为H，则△AnHO为30°，60°，90°的直角三角形，由三边之比为即可得到答案. 【详解】解：由，, … 的长依次为规律可知，的长为， 设与y轴的交点为H，则为30°，60°，90°的直角三角形， 由三边之比为知：=，OH= =， 又在第三象限，故的坐标为：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查找规律，先求出AnBn的长度，再利用30°，60°，90°三角形三边之比为求解，仔细观查，运算细心是解决此题的关键. 1．如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，，若，则等于________．（用含有正整数的式子表示）． 【答案】． 【分析】先证得△ADC△，推出CD=，，同理得到，，由△△，推出△ED边D上的高为，计算出，同理计算得出，，找到规律，即可求解 【详解】解：∵正方形，正方形，且， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∵正方形，正方形，正方形，边长分别为2，4， 8， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， 设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和， ∴ ∵ ∴， 设的边的高分别为, ∴ ∴; 同理求得：; ； … ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键． 2．（2026·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________． 【答案】(21009，0)． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1=1，OA2=，OA3=，OA4=，…OA2019=，再利用、、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴的特点可得到点A2019在x轴的正半轴上，即可确定点A2019的坐标． 【详解】∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1=1，OA2=，OA3=（）2，…，OA2019=（）2018， ∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴， ∴2019÷8=252…3， ∴点A2019在x轴正半轴上． ∵OA2019=（）2018， ∴点A2019的坐标为（）即(21009，0)． 故答案为：(21009，0)． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 3．如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，_________． 【答案】 【分析】过点On作OnAn⊥直线于点An，由直线的解析式可得出∠OnOAn=30°，根据切线的性质结合解直角三角形即可得出r2、r3、r4、…、rn的值，代入n=2020即可得出结论． 【详解】解：过点On作OnAn⊥直线于点An，如图所示． ∵直线解析式为， ∴∠OnOAn=30°． ∵r1=1， ∴OO1=2r1=2， ∴2+1+r2=2r2， 解得：r2=3， 同理：可求出r3=9，r4=27，…rn=3n-1， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系及切线的性质，含30度角的直角三角形等知识点，通过解直角三角形找出rn=3n-1是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 【答案】(-1,8) 【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解． 【详解】解：由题意得，作出如下图形： N点坐标为(-1,0)， N1点关于A点对称的N1点的坐标为(-3,0)， N2点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)， N3点关于C点对称的N3点的坐标为(-3,8)， N4点关于A点对称的N4点的坐标为(-1,8)， N5点关于B点对称的N5点的坐标为(3,-4)， N6点关于C点对称的N6点的坐标为(-1,0)，此时刚好回到最开始的点N处， ∴其每6个点循环一次， ∴， 即循环了336次后余下4， 故的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为(-1,8) ． 故答案为：(-1,8) ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解． 5．（25-26·北京·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a＋2b）20的展开式中第二项的系数为______ 【答案】40 【分析】通过观察，发现每一项的数据变号有规律，找出每一项的规律，即可求出每一项的系数 【详解】解：根据“杨辉三角“，可知， （a＋2b）0的第二项系数为0×2， （a＋2b）1的第二项系数为1×2， （a＋2b）2的第二项系数为2×2， （a＋2b）3的第二项系数为3×2， …… （a＋2b）20的第二项系数为20×2＝40， 故答案为：40 【点睛】本题是找规律的题型，多观察几组数据，寻找每组数据之间的联系．在找到规律后，还可将寻找到的规律代入某一组数据进行验证，防止出现错误 6．表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）若这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数，五边形对角线交点个数.则六边形对角线交点个数_______；发现（其中是常数），则______． 【答案】 【分析】依题意数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；将，代入公式可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：由画图，可得： 当n=4时，；当n=5时，． 将数值将，代入公式， 得： ， 解得：， ∴， ∴六边形对角线交点个数， 故答案为：15，495． 【点睛】本题考查了多边形的对角线、二元一次方程组的应用，解题的关键是解决该题型题目时，依据题意，利用数形结合解决问题是关键． 7．（2025·北京房山·三模）如图，已知直线L：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线L上点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则△A2019B2018B2019的面积为_____． 【答案】24037 【分析】根据题意分别求出A1（0，2），A2（2，4），B1（2，0），B2（6，0），A3（6，8），B3（14，0），…，进而求出S△A1OB1＝×2×2＝21，S△A2B1B2=×4×4=23，S△A3B2B3=×8×8=25，…，S△AnBn-1Bn=22n-1可以探索三角形面积的规律，即可求解． 【详解】解：y＝x+2交y轴于点A1， ∴A1（0，2）， ∵△A1OB1是等腰直角三角形， ∴B1（2，0）， ∵若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形， ∴A2（2，4），B2（6，0），A3（6，8），B3（14，0），… ∴S△A1OB1＝×2×2＝21， S△A2B1B2=×4×4=23，S△A3B2B3=×8×8=25，…，S△AnBn-1Bn=22n-1， ∴△A2019B2018B2019的面积为＝24037； 故答案为24037； 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；能够通过作图确定点的关系，探索直角三角形面积存在的规律是解题的关键． 8．如图，CA1是等腰Rt△ABC斜边AB上的高，以CA1为直角边构造等腰Rt△CA1B1（点C，A1，B1按顺时针方向排列），∠A1CB1＝90°，称为第一次构造；CA2是Rt△CA1B1斜边上的高，再以CA2为直角边构造等腰Rt△CA2B2（点C，A2，B2按顺时针方向排列），∠A2CB2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，构造停止，若S△ABC＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为_____． 【答案】 【分析】依据规律可得，第n次构造后，S△AnCBn＝ ，根据当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，n＝ ＝16，即可得到构造出的最后一个三角形的面积为 ． 【详解】解：由题可得，CA1＝ CA， ∴第一次构造后， ， 第二次构造后， ， 第三次构造后， ＝， 以此类推，第n次构造后， ＝ ， 又∵每构造1次，CBn绕点C顺时针旋转45°， ∴当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，n＝＝16， ∴构造出的最后一个三角形的面积为 ， 故答案为． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04规律探究与计数类填空压轴（填空压轴题） 命题预测 分为数字规律、图形规律、点阵计数三大方向。命题贴近新课标推理素养要求，以几何图形排布、数列递推、生活情境为载体，考查归纳概括、递推分析能力，设问多为求第 n 项、总数量、特定数值。 高频考法 1.图形循环规律推导 2.点阵 / 图案计数问题 3.分段递推数列规律 4.几何排布类规律探究 典例·靶向·突破 题型01 图形循环周期规律探究 1．（24-25·北京·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______________． 2． （2026·北京朝阳·一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝_____． 题型02 点阵排列计数压轴 1．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值： （1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②） （2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示） 2．（24-25·北京·三模）下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，……按此规律排列下去．第⑩个图形中的颗数为___． 题型03 递推型数列规律求值 1．（2026·北京海淀·一模）观察下列一组数的排列规律： … 那么，这一组数的第2019个数是_____. 2．（25-26·北京·一模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第8行从左边数第2个位置上的数是_______；排在第10行从左边数第3个位置上的数是_______． 题型04 几何图形分层排布规律 1．如图，菱形中，，坐标为，再以为对称中心作菱形，再以为对称中心作菱形，按此规律继续作下去，得到菱形，则的坐标为_______． 2．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形，等边三角形，等边三角形 ，… 中 ， ， ，… 平行于 轴，点，… 在 轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， ， ， … 的长依次为 ，…，以此类推，则等边三角形 的顶点 的坐标为______________ ． 1．如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，，若，则等于________．（用含有正整数的式子表示）． 2．（2026·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________． 3．如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，_________． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______． 5．（25-26·北京·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a＋2b）20的展开式中第二项的系数为______ 6．表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）若这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数，五边形对角线交点个数.则六边形对角线交点个数_______；发现（其中是常数），则______． 7．（2025·北京房山·三模）如图，已知直线L：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线L上点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则△A2019B2018B2019的面积为_____． 8．如图，CA1是等腰Rt△ABC斜边AB上的高，以CA1为直角边构造等腰Rt△CA1B1（点C，A1，B1按顺时针方向排列），∠A1CB1＝90°，称为第一次构造；CA2是Rt△CA1B1斜边上的高，再以CA2为直角边构造等腰Rt△CA2B2（点C，A2，B2按顺时针方向排列），∠A2CB2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，构造停止，若S△ABC＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为_____． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $