专题03 二次函数综合压轴（解答题压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03二次函数综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 常结合平面直角坐标系，设问分层递进。一问考查解析式、顶点、交点基础计算；二问结合线段、面积、坐标转化；三问融合几何图形、存在性、参数范围、最值问题。命题紧密结合数形结合，函数与几何交叉融合，参数化设问成为近年热点 高频考法 1.二次函数解析式与基础性质求解 2.抛物线下三角形、四边形面积计算 3.线段最值、周长最值函数综合 4.点的存在性问题（直角、等腰、平行四边形） 5.含参数二次函数取值范围探究 典例·靶向·突破 题型01二次函数基础解析式与图像性质 1．（2026·北京·一模）某广场遮雨棚的顶棚由抛物线和组成，立柱、、均与地面所在直线垂直，垂足分别为、、，且米，米，抛物线的最高点与的距离为米，点、分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)现要在抛物线的点处和抛物线的点处各安装一盏照明灯（大小忽略不计），点在抛物线对称轴的左侧，点在抛物线对称轴的右侧，且点、关于轴对称，若点到的距离为米，求、之间的距离． 2．（25-26·北京丰台·期中）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是对称轴右侧的抛物线上一点，过点P作垂直抛物线的对称轴，垂足为点Q，连接，设点P的横坐标为m． ①求的值（用含m的代数式表示）． ②过点Q作的平行线，交抛物线于点E（点E在对称轴右侧），求的值； 题型02抛物线与几何图形面积综合计算 1．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的表达式和点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，轴分别交于点，． ①的面积是的面积的2倍，求点的坐标； ②记，的面积分别为，，求的最大值． 题型03二次函数线段、周长最值压轴 1．（24-25·北京·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．已知． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)求的面积． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 题型04二次函数特殊图形存在性探究题 1．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 1．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 3．（2025·北京通州·模拟预测）已知抛物线：． (1)该抛物线必过点________和________； (2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）． ①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由； ②连接，证明：四边形为平行四边形； (3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离． 4．（2026·北京房山·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 5．如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 6．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 7．（25-26·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 8．已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 常结合平面直角坐标系，设问分层递进。一问考查解析式、顶点、交点基础计算；二问结合线段、面积、坐标转化；三问融合几何图形、存在性、参数范围、最值问题。命题紧密结合数形结合，函数与几何交叉融合，参数化设问成为近年热点 高频考法 1.二次函数解析式与基础性质求解 2.抛物线下三角形、四边形面积计算 3.线段最值、周长最值函数综合 4.点的存在性问题（直角、等腰、平行四边形） 5.含参数二次函数取值范围探究 典例·靶向·突破 题型01二次函数基础解析式与图像性质 1．（2026·北京·一模）某广场遮雨棚的顶棚由抛物线和组成，立柱、、均与地面所在直线垂直，垂足分别为、、，且米，米，抛物线的最高点与的距离为米，点、分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)现要在抛物线的点处和抛物线的点处各安装一盏照明灯（大小忽略不计），点在抛物线对称轴的左侧，点在抛物线对称轴的右侧，且点、关于轴对称，若点到的距离为米，求、之间的距离． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为；抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）由题意得点、坐标，利用抛物线上纵坐标相等的两点确定对称轴，结合顶点高度得到顶点坐标，设顶点式代入点求出二次项系数，即可得函数表达式，再根据抛物线和抛物线关于轴对称得到抛物线的二次项系数及顶点坐标，代入顶点式即得表达式； （2）先由点到轴的距离确定点的纵坐标，代入抛物线解析式，并结合对称轴位置求出横坐标，再根据轴对称性得到点坐标，最后计算两点间的距离即可． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与的距离为米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称，所在直线为轴， ∴抛物线和抛物线形状相同，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离为米，即，代入表达式得： ， 解得或， ∵点在抛物线对称轴的左侧，对称轴为， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴，即、之间的距离为． 2．（25-26·北京丰台·期中）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是对称轴右侧的抛物线上一点，过点P作垂直抛物线的对称轴，垂足为点Q，连接，设点P的横坐标为m． ①求的值（用含m的代数式表示）． ②过点Q作的平行线，交抛物线于点E（点E在对称轴右侧），求的值； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）①先求出，则，，那么，，再由正切的定义求解即可； ②由平行可得，过点作交的延长线于点，设，则，则，，在中，，得到方程，解得，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴ 解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：①如图， ， ∴， ∴对称轴为直线 设点P的横坐标为m，则， ∵过点P作垂直抛物线的对称轴， ∴， ∴，， ∴在中，； ②∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴． 题型02抛物线与几何图形面积综合计算 1．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解； （2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； （3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的关系式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的表达式和点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，轴分别交于点，． ①的面积是的面积的2倍，求点的坐标； ②记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1)，点B的坐标为； (2)①；②的最大值为． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质和三角形的面积等知识． （1）利用待定系数法可得二次函数的解析式，令解方程可得点B的坐标； （2）①如图1，过点D作轴于G，连接，推出，根据同高三角形面积的比=对应底边的比得：，再利用相似三角形的性质求解即可； ②设出D点坐标，表示出的面积，利用可表示成关于D点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为； （2）解：①如图1，过点D作轴于G，连接， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴； ②设， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． 题型03二次函数线段、周长最值压轴 1．（24-25·北京·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．已知． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入求解析式即可； （2）将军饮马模型，连接与对称轴的交点即为点，求的解析式即可得到答案． （3）如图，连接，求解，可得，面积为；可得. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴：， 由抛物线的对称性可知，点关于对称轴对称，即 连接， ∴，当三点共线时，的长度最小，为的长， ∵，， 设的解析式为， 则，解得     ∴， 当时，， ∴． （3）解：∵， ∴顶点， ∴，， 如图，连接， ∴，面积为； ∴. 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，图形面积的计算，正确的求出函数解析式，数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 题型04二次函数特殊图形存在性探究题 1．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，从而可得直线的解析式为，连接、、，作轴交直线于点，设，则，表示出，再根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）由等腰直角三角形的性质可得，设点关于的对称点为点，则，，求出，得到点和点关于直线对称，即，求出，由题意可得，设，再由矩形的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，抛物线的顶点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图：连接、、，作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，为，此时， ∴点的坐标为； （3）解：如图： ∵，， ∴， ∴， 设点关于的对称点为点，则，， ∴， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴，即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：或， 当时，，由矩形的性质可得此时， 当时，，由矩形的性质可得此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊四边形问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1．（2026·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时， 【分析】（1）先求出，，然后根据待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，过点作轴交于点，设，则，表示出的面积，求出面积的最大值及点P的坐标，再求出四边形面积的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，，， ∴． 将，代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：当时，， 解得， ∴， ∴． 过点作轴交于点，连接，设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， ∵，，， ∴， ∴的面积为， 四边形面积的最大值为． ∴四边形的面积最大值为，此时． 3．（2025·北京通州·模拟预测）已知抛物线：． (1)该抛物线必过点________和________； (2)如图，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，，抛物线：的顶点为，与轴交点分别为，（点在点的左侧）． ①判断抛物线与抛物线是否有交点，并说明理由； ②连接，证明：四边形为平行四边形； (3)在（2）中，若平移抛物线能使四边形为菱形，请求出平移的方式和平移距离． 【答案】(1) (2)①有交点，见解析；②见解析 (3)将抛物线向左平移个单位，即可满足四边形为菱形 【分析】（1）将函数关系式变形整理成，即可得出结论； （2）①令值相等可得一元二次方程，根据根的判别式即可确定是否有交点； ②根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （3）根据对角形互相垂直的平行四边形是菱形得到与的横坐标相同，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴二次函数的图象必过点； （2）①解：有交点，理由如下： 令， 化简得：， 则 ∵， ∴， ∴抛物线与抛物线有两个不同的交点； ②证明：由抛物线：， ∴， ∵当时，， 解得：，点在点的左侧， ∴点， ∵抛物线：， ∴， ∵当时，， 解得：，点在点的左侧， ∴， ∴的中点为，的中点为， 即：四边形的对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （3）解：由（2）知四边形为平行四边形， 当四边形为菱形时，则， 则此时与的横坐标相同，设抛物线平移个单位后的点的坐标为， ∴， ∴， ∴只需要将抛物线向左平移个单位，即可满足四边形为菱形． 4．（2026·北京房山·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可； （3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点， ； 对称轴为直线， ，则； 将代入得， 二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点， 令，则， 解得或， 点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 直线， 与相交， 过点作、过点作，与相交于点，如图所示： 与的面积相等， ， 则， 在和中， ， ， ，即点是线段的中点， 、， 的坐标为，即， 将代入直线得， 解得； （3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况： 当交点、均在轴上方时，，如图所示： 设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧）， 联立， 消去得， ，， ， 则以为直径的圆的圆心， ， 当与轴相切时，， 即， ， 解得或（负值舍去）； 当交点、均在轴下方时，，如图所示： 同理可知， ， 解得或（正值舍去）； 当点与点重合时， 将代入，得， 解得； 或点与点重合时， 将代入，得， 解得； 综上所述，的值为或或或． 5．如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 6．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，， (3)存在，定点的值为4 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴； ②当为对角线时，， 解得：， ∴； ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． （3）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得：， ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 7．（25-26·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①的最大值为；②点的坐标为． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设点坐标为，结合题意分别求出，进而可得，运用二次函数的性质求解即可； ②延长交轴于点，设点横坐标为，结合题意分别求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则点坐标为， ∵是线段下方， ∴， ∵设直线表达式为， 把，代入得，解得， 直线表达式为， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∵将代入，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为， ∴点坐标为，由①得， ∵， ∴， ∵ ∴， 整理得：，即：， 解得，（舍去） 当时，， ∴点的坐标为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想是解题的关键． 8．已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)，4 【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为； （3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，令，得 ∴ 把点和C为代入抛物线 得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：由抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为 把点B点坐标为代入得， ∴直线解析式为 ∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线对称， 则与对称轴为直线的交点即为点P， 此时，的值最小． ∵直线，当时，， ∴点P为． ∴当的值最小时，点P的坐标为 （3）解：过F作轴于点H，交于点G， 设，则G为， ∴ ∵，∴当m=2时，为最大值为4，， ∴ ∴为最大值为4时，F坐标为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $