专题02 图形旋转与动态几何（填空压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 图形旋转与动态几何（填空压轴题） 命题预测 聚焦旋转、平移等几何变换，侧重动态点轨迹、图形位置变化考查。命题弱化硬算，强化模型识别与动态分析，常结合特殊四边形、等腰三角形、圆弧轨迹出题，侧重考查空间想象与数形结合思想。 高频考法 1.旋转一定角度求线段最值 2.动点圆弧路径长度计算 3.图形旋转后重叠面积问题 4.平移 + 旋转复合变换求值 典例·靶向·突破 题型01 旋转定点定长隐圆最值问题 1．（25-26·北京·一模）如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是______． 2．（25-26·北京·一模）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是___________． 题型02 特殊四边形旋转综合计算 1．（25-26·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于、．在四边形旋转过程中，若，则点的横坐标为________．    2．（25-26·北京西城·一模）如图，在正方形中，，点为中点，以为边在右侧作正方形，直线，交于点，现将正方形绕点顺时针旋转． （1）当旋转时，______； （2）当正方形绕点旋转一周时，点经过的路径长为______． 题型03 动点轨迹与路径长度求解 1．如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一个动点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，点G为的中点，则点E从点C运动到点A的过程中，点G的运动路径长为__________． 2．（24-25·北京西城·三模）如图，中，，，，为线段上一动点，为延长线上的动点，始终保持．连接和，将绕点逆时针旋转到，连接，为中点，当从点运动到点A时，点所经过的路径长为__________．    题型04 几何变换复合动态范围探究 1．如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的长度的范围为___． 2．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是_____，最小值是____． 1．（2025·北京·二模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转100次后顶点在整个旋转过程中所经过的路程之和是_________.    2．（2025·北京·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．    3．如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转一周，在旋转过程中， ______ ，线段长度的最大值是______． 4．（25-26·北京·一模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，直线，相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为__________． 5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为_______． 6．（2025·北京·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为_______．    7．如图，中，，顶点分别在轴的正半轴上，点的坐标为将沿轴向右作无滑动的滚动，先绕着点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，再绕点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，则两次滚动中点运动的总路径长是__________． 8．（2025·北京·二模）如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形旋转与动态几何（填空压轴题） 命题预测 聚焦旋转、平移等几何变换，侧重动态点轨迹、图形位置变化考查。命题弱化硬算，强化模型识别与动态分析，常结合特殊四边形、等腰三角形、圆弧轨迹出题，侧重考查空间想象与数形结合思想。 高频考法 1.旋转一定角度求线段最值 2.动点圆弧路径长度计算 3.图形旋转后重叠面积问题 4.平移 + 旋转复合变换求值 典例·靶向·突破 题型01 旋转定点定长隐圆最值问题 1．（25-26·北京·一模）如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是______． 【答案】 【分析】由“”可证≌，可得，可证点，点，点，点四点共圆，由等边三角形的性质可求的长，由点在上运动，则是直径时最大，即可求解． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 点，点，点，点四点共圆， 如图，过点，点，点，点四点圆为，连接，，，过点作于， 是等边三角形，， 点是的内心，也是的外心， ，， ，， ， 点在上运动， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（25-26·北京·一模）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是___________． 【答案】/ 【分析】如图，设交于点T，先证明，证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论． 【详解】解：如图，设交于点T． ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值． 题型02 特殊四边形旋转综合计算 1．（25-26·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于、．在四边形旋转过程中，若，则点的横坐标为________．    【答案】或 【分析】根据，分两种情况，根据三角形的面积公式，勾股定理，求解即可． 【详解】解：因为，所以分两种情况讨论： （1）如图1，当点在点左侧时，    过作于，连接，则， ∴ ∴, 设， ， ∴，，    在中，， 解得，（不符实际，舍去）． ， ． （2）如图2，当点P在点B右侧时，   ，． 在中，，解得． ， ． 所以点或． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程，坐标与图形、旋转的性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 2．（25-26·北京西城·一模）如图，在正方形中，，点为中点，以为边在右侧作正方形，直线，交于点，现将正方形绕点顺时针旋转． （1）当旋转时，______； （2）当正方形绕点旋转一周时，点经过的路径长为______． 【答案】 【分析】（1）过点作，与的延长线交于点，由旋转及正方形的性质可得，由三角函数知识可求得的长，由勾股定理即可求得结果． （2）设交于点，连接，取的中点，连接．首先可证，则可得，从而确定点的运动轨迹是弧，确定此弧的圆心角即可求得路径长． 【详解】（1）过点作，与的延长线交于点， ，， ， 四边形是正方形，，点为中点， ，， ，， ， 故答案为：． （2）如图，设交于点，连接，取的中点，连接． ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是弧，如下图， 当，，共线且点G在线段上时， ，， ， ， ， ， 当，，共线，点E在线段上时，同法可得， ， ， 当正方形绕点旋转一周时，点经过的路径长， 故答案为：． 【点睛】本题有一定的综合性，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，弧长公式等知识．灵活运用这些知识是解题的关键，探索动点的运动路径是本题的难点． 题型03 动点轨迹与路径长度求解 1．如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一个动点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，点G为的中点，则点E从点C运动到点A的过程中，点G的运动路径长为__________． 【答案】1 【分析】取中点H，连接，，证明，得出，，从而确定F在过点A，且垂直与的直线上运动，当E和C重合时，F和A重合，G和H重合，当E和A重合时，F为M重合（M为与的交点），此时G在中点N处，然后根据三角形中位线定理可，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：取中点H，连接，， ∵正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点F在过点A，且垂直与的直线上运动，当E和C重合时，F和A重合，G和H重合，当E和A重合时，F为M重合（M为与的交点），此时G在中点N处， 如图，    ∴G的运动轨迹是线段， ∵为中点，为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即点G的运动路径长为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明，确定点F的运动路径，进而确定G的运动路径是解题的关键． 2．（24-25·北京西城·三模）如图，中，，，，为线段上一动点，为延长线上的动点，始终保持．连接和，将绕点逆时针旋转到，连接，为中点，当从点运动到点A时，点所经过的路径长为__________．    【答案】 【分析】先证明，再求出点在的角平分线上运动，即可求解． 【详解】如图，连接、，过点作交延长线于，于，   ，，， 四边形是矩形， ，，是中点， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 四边形是正方形， 平分，   点在的角平分线上运动，   当点D与点C重合时，点G在以为边的正方形的中心位置， 当点D与点A重合时，点G在以为边的正方形的顶点处， 当从运动到点，点所经过的路径是以为边的正方形的对角线的一半，即为． 故答案为： 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 题型04 几何变换复合动态范围探究 1．如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的长度的范围为___． 【答案】 【分析】①当与重合时，最大，连接，可证是等边三角形，从而可得最大值是5； ②以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，证明，有，可得，故点在射线上运动，由，，可得，根据垂线段最短可知，的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：①当与重合时，最大，连接，如图： ，， ，， ， 将线段逆时针旋转到， ， 是等边三角形， ， ，即最大值是5； ②以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，如图： 四边形是矩形， ， 是等边三角形，将线段逆时针旋转到， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 点在射线上运动， ， ， ，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能求出点的轨迹． 2．如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是_____，最小值是____． 【答案】 / / 【分析】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．过点B作，D为垂足，设，通过勾股定理即可求得，，然后分情况讨论：当旋转至正好和垂直时，且P为与交点时，有最小值；当绕点B按逆时针方向旋转至，B，C共线时，有最大值，据此解答． 【详解】解：如图1，过点B作，D为垂足， 在中 ∵， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，； 当旋转至正好和垂直时，且P为与交点时，有最小值： ∴， ∴， 1； 当P点与A点重合时，有最大值， ∴绕点B按逆时针方向旋转至，B，C共线时，有最大值，如图3： 此时，； 故答案为：； 1．（2025·北京·二模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转100次后顶点在整个旋转过程中所经过的路程之和是_________.    【答案】300π 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∠ABC=90°， ∴AC=BD=， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点A转动四次经过的路线长为：4π+5π+3π=12π， 100÷4=25， 顶点A转动四次经过的路线长为：12π×25=300π． 故答案为：300π． 【点睛】本题主要考查了轨迹、矩形的性质、旋转变换的性质、勾股定理和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键． 2．（2025·北京·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．    【答案】 【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可． 【详解】解：如图1，过点G作于H，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 连接，是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N，则， ∴， 过点B作交的延长线于M，则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积， ， ， ， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 3．如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转一周，在旋转过程中， ______ ，线段长度的最大值是______． 【答案】 90 7 【分析】先证明 ，推出，再结合以及即可解答；由，点F在的外接圆上运动且直径为，由点到的距离为，可知弦在直径的下方，当与相切于点，取最大值，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 在 和中，, ∴， ∴， 设交于点O， ∵， ∴． 如图，∵, ∴点F在的外接圆上运动且直径为， ∵，则， ∴由等腰直角三角形可知，点到的距离为，即弦在直径的下方，如图， ∵、两点在以为圆心，以3为半径的上， 当与相切于点，取最大值， 此时，， ∴四边形为正方形，， ， ∴的最大值为， 故答案为：90；7． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． 4．（25-26·北京·一模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，直线，相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为__________． 【答案】 【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=，由旋转可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=AB=，在△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值为. 【详解】解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G， 在△ABC中，∠ACB=90º， ∵AC=，BC=2， ∴AB=， 由旋转可知：△DCE≌△ACB， ∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠ADC=(180º-∠ACD) ，∠BEC= (180º-∠BCE)， ∴∠ADC=∠BEC， ∵∠DGC=∠EGF， ∴∠DCG=∠EFG=90º， ∴∠AFB=90º， ∵H是AB的中点， ∴FH=AB， ∵∠ACB=90º， ∴CH=AB， ∴FH=CH=AB=， 在△FCH中，FH+CH>CF， 当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值， ∴线段CF的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质. 5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为_______． 【答案】 【分析】当点在线段延长线上时，取得最大值，画出图形，过点作于点，求出的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而可得的长． 【详解】解：当点在线段延长线上时，取得最大值．过点作于点，如图所示： ，， ， ， ∴， ，， ，， ， 在中，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点、、在同一条直线上时，有最大值． 6．（2025·北京·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为_______．    【答案】或或3 【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可． 【详解】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．    ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB， ∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB， ∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°， ∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM， ∴∠ADC＝∠MDG， ∴∠ADM＝∠CDG， ∴△ADM≌△CDG（SAS）， ∴∠DAM＝∠DCG＝135°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠CAM＝90°， ∴MH＝GH＝＝＝5k， ∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD， ∴△DGH∽△AGD， ∴＝， ∴DG2＝GH•GA＝40k2， ∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＝12， ∴AD＝CD＝6， ∵DJ⊥AC， ∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3， ∴GJ＝8K﹣3， 在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2， ∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2， 解得k＝或（舍弃）， ∴AH＝3k＝． ②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．    同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2， 解得k＝（舍弃）或， ∴AH＝3k＝． ③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．    同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2， 解得k＝或﹣3（舍弃）， ∴AH＝3k＝3， 综上所述，满足条件的AH的值为或或3． 故答案为或或3． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．如图，中，，顶点分别在轴的正半轴上，点的坐标为将沿轴向右作无滑动的滚动，先绕着点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，再绕点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，则两次滚动中点运动的总路径长是__________． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，根据弧长公式即可求解． 【详解】如图，∵的坐标为， ∴OB=1,AB=2， ∵ ∴, 故BC=AB=1,AC= ∵A旋转至A’， ∴ 故 则 ∵AC=A’C’=A’’C’， ∴ 故两次滚动中点运动的总路径长是 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查弧长公式的应用，解题的关键是根据题意作图，再根据弧长公式进行求解． 8．（2025·北京·二模）如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据菱形的性质得出，，根据旋转的性质得到推出，，得出，，进而得到三点共线，则有，通过证明求出，再证明得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， 菱形， ，， ， 由旋转的性质得，，，，， ，， ，， ， 三点共线， 菱形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，适合有能力解决几何难题的学生． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $