专题01 几何变换综合压轴（解答题压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题01几何变换综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 以三角形、特殊四边形为基底，围绕旋转、折叠、平移三大变换命题。整体难度梯度分明，一问基础性质，二问线段关系证明，三问拓展探究与数量 / 位置关系推导，侧重全等、相似、几何模型与逻辑推理，弱化繁杂计算，强化几何直观与动态分析 高频考法 1.旋转类线段相等、垂直关系证明 2.折叠综合角度与边长推导 3.中点模型 4.等腰模型结合变换 典例·靶向·突破 题型01三角形旋转线段数量与位置关系证明 1．（25-26·北京·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，当时，求的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，连接，写出与的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，当C，D，E三点构成的三角形是以为斜边的直角三角形时，直接写出直角三角形的面积． 2．（25-26·北京东城·一模）如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． (1)【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； (2)【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 题型02正方形、长方形、菱形折叠综合探究题 1． （25-26·北京·一模）矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 2．（24-25·北京·模拟测试）综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 题型03中点辅助线（中位线、倍长中线）变换压轴 1．（25·北京·二模）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 2．【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知… （1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________． 题型04平移 + 旋转复合几何综合解答题 1．（2025·北京丰台·二模）已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． 【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______． 【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值． 2．如图1，在矩形中，，．在中，，，，点在的延长线上，点与点重合．现将绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，与边交于点（如图2所示），当点到达点时，停止旋转，立即改为沿边以每秒个单位长度的速度向点平移，当点到达点时，停止运动．               (1)当点到达点时，求的运动时间； (2)从旋转开始，到平移结束，求点经过的路径长度； (3)如图2，是的中点，在运动的过程中，求点在区域（含边界）内的时长； (4)如图3，在平移的过程中，当位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接写出的平移距离． 1．（2025·北京·二模）如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变． ①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系； ②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想； (3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形． 2．（已知ABCD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F． （1）若点E的位置如图1所示． ①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °； ②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论； （2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是 ． （3）若点E的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且，设∠F=α，则α的取值范围为 ． 3．（25-26·北京·一模）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 4．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 5．（25-26·北京·一模）综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． (1)如图1，若，则________； (2)回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． (3)方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 6．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 7．（25·北京大兴·二模）已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．    (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值． (3)如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长． 8．嘉淇做数学探究实验，示意图如下：，，，均为直角三角形，其中，，，，，． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点O逆时针方向旋转，，与边分别交于点，； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，当点与点重合时停止运动． (1)如图2，当时，∠______； (2)如图2，嘉淇发现的值为定值，请求出值； (3)如图3，从初始位置到点落在CE上，求的度数及线段的长； (4)如图4，当点落在上时，直接写出点平移的距离． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01几何变换综合压轴（解答题压轴题） 命题预测 以三角形、特殊四边形为基底，围绕旋转、折叠、平移三大变换命题。整体难度梯度分明，一问基础性质，二问线段关系证明，三问拓展探究与数量 / 位置关系推导，侧重全等、相似、几何模型与逻辑推理，弱化繁杂计算，强化几何直观与动态分析 高频考法 1.旋转类线段相等、垂直关系证明 2.折叠综合角度与边长推导 3.中点模型 4.等腰模型结合变换 典例·靶向·突破 题型01三角形旋转线段数量与位置关系证明 1．（25-26·北京·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，当时，求的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，连接，写出与的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，当C，D，E三点构成的三角形是以为斜边的直角三角形时，直接写出直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）4或16 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． （1）由旋转性质可知，过作于，则为等腰直角三角形，进而得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）过作于，连接，进而可证，由相似性质得到，接着可求出，再证，由相似性可求即可求解； （3）根据题意，分在线段上和在的反向延长线上，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， 由旋转知：， 又， ， 过作于， 为等腰直角三角形， ，解得， ； （2），理由如下， 过作于，连接， 在中，为斜边的中线， ， ， 又， ， ，即， 解得， 又由旋转可知， 所以为等腰三角形，且， 则为中点，即， 又由旋转可知，， ，， ，， ， ，即， 解得， 故； （3）解：C，D，E三点构成的三角形是以为斜边的直角三角形， ， 如图，当在线段上时，此时， ∵， ∴； 如图，当在的反向延长线上时，此时， 则是以为斜边的直角三角形， ∵， ∴， 综上，以为斜边的直角三角形的面积为4或16． 2．（25-26·北京东城·一模）如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． (1)【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； (2)【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)，，见解析 (3) 【分析】（1）根据证明，得出，，延长交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （2）根据证明，得出，，设直线交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （3）过作交的延长线于点，连接，过作，根据三角形中位线定理得出，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】（1）解：线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下， 线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， 四边形为正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， 如图，设直线交于点，交于点， ，， ， ； （3）解：如图，过作交的延长线于点，连接，则， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 过作，则， 是中点， ， 是中点， 是的中位线， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 题型02正方形、长方形、菱形折叠综合探究题 1． （25-26·北京·一模）矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 【答案】(1)①的长为或；②的长度为 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，具有极强的综合性，解题的关键在于添加准确的辅助线确定运动状态． （1）①对点P的落点进行分类讨论，分析当点落在、边上，结合折叠性质，矩形的性质，勾股定理，依次计算可得的边长，令，通过等量关系得出对应方程，进行求解即可；②由关键信息，结合折叠性质，可得出，，通过假设，得出相关线段的表达式，利用方程解出答案； （2）令，，根据特殊平行四边形的性质，得出其他线段的表达式，结合勾股定理，得出，通过角度关系，证出，也能得出的另一种表达式为，故可得方程，解出即可得出的值． 【详解】（1）解：①当点落在边上时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵，得， 在中，由勾股定理得， ∴， 令， ∴， 又∵， 由得， 得方程， 解得， 故此时的长度为； 当点落在边上时，连接，如下图所示： 由，可得， 解得， ∴， 令， ∴， 在和中， ，, ∴， 可得方程 解得， 故此时的长度为； 综上，当点落在矩形的一边上，的长为或． ②连接、、、、，过点作交于点，延长交于点，如下图所示： 根据翻折的性质，可得， ∴， ∵， 故， 观察图象，可知， ， ∴要满足，应满足， 令，则， ∵翻折的性质， ∴， 在中，可得， 在中，可得， ∴， ∵， ∴为的角平分线，结合， ∴，且点为中点， ∴， ∵， ∴， 得方程， 解得或， 故的长度为． （2）解：延长交于点，如下图所示： ∵翻折的性质， 得，， ∵平分， ∴，， 故四边形为正方形， 令，， ∴， 由， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 得方程， 解得， ∴． 2．（24-25·北京·模拟测试）综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）等腰三角形；（2）见解析（3）或 【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形； （2）由折叠得到：，，中，取的中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质得到，进而证明为等边三角形得到，由折叠性质可证得结论； （3）由折叠的性质和勾股定理分类讨论，求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知，是的垂直平分线， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． （2）如图2，由折叠可知：，，， 中，取的中点，连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， 由折叠性质得， ． （3）如图①，若， 由折叠可知， ∵， ∴此种情况不存在；    如图②，若，则在的垂直平分线上， 过点作于点，的延长线交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设的长为，则，， ∴在中，可有， 即， 解得， 即的长为； 如图③，若，过点作于点，的延长线交于点，则有，    由，得， 解得， ∴， 设的长为，在中，有， 即， 解得， 即的长为：． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关性质解决问题是解题的关键． 题型03中点辅助线（中位线、倍长中线）变换压轴 1．（25·北京·二模）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． 【详解】（1）解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ； （4）解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 2．【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知… （1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________． 【答案】（1）（2）见解析（3）12 【分析】（1）证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进一步计算即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，等量代换即可； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出均为等腰三角形，得到，进而求出的长，根据，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）延长至点，使，连接，    同法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是理解并掌握倍长中线法，构造全等三角形． 题型04平移 + 旋转复合几何综合解答题 1．（2025·北京丰台·二模）已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，． 【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______． 【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值． 【答案】（1）是等腰直角三形；（2）成立，见解析；（3）或． 【分析】（1）作于，证明四边形是矩形，由，，进而可得， ，即可得结论； （2）①解法一：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，证明，得，，进而可证明 ，作射线，交于，作于，证明，进而可证明结论． 解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于，证明∽，得．即，进而证明∽，即可得结论； （3）分两种情况：①过F点作交延长线于H点，证明四边形是矩形，根据矩形性质及勾股定理求得，，进而可求，由三角函数的定义可得答案；②方法同①． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， 由题意知∶ ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 中，，， ， ， ， 等腰直角三形． 故答案为：等腰直角三形； （2）①解法一 证明：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于， ， ， ， ，． ， ，，， ，， ， ， 作射线，交于，作于， ， ， ， 将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴等腰直角三角形． ②解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于， ， ， ， 将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴∽， ∴．即， ，即， ∵， ∴∽， ∴， ∴即， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）①过F点作交延长线于H点， 四边形中，， ∴， 四边形是矩形， ， ∵，， ∴， 由（2）的结论，，， ∴中，， 中，，， ∴，， ∴， ∴中，． ②如图，于， 四边形中，， ∴， 四边形是矩形， ，，， ∵，， ∴， 由（2）的结论，，， ∴中， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，勾股定理及应用，相似三角形的性质及判定，解直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．如图1，在矩形中，，．在中，，，，点在的延长线上，点与点重合．现将绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，与边交于点（如图2所示），当点到达点时，停止旋转，立即改为沿边以每秒个单位长度的速度向点平移，当点到达点时，停止运动．               (1)当点到达点时，求的运动时间； (2)从旋转开始，到平移结束，求点经过的路径长度； (3)如图2，是的中点，在运动的过程中，求点在区域（含边界）内的时长； (4)如图3，在平移的过程中，当位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接写出的平移距离． 【答案】(1)（秒） (2) (3)（秒） (4) 【分析】（1）根据题意可知，如图所示，连接，运用三角函数算出，再根据旋转的速度即可求解； （2）根据旋转，平移的性质，即可求解； （3）设在旋转过程中，如图所示，与交于点，可求出的值，当平移到点在上时，可求出的值，由此即可求解； （4）如图所示，由（3）的平移可知，是等边三角形，设，根据位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴矩形的对角线， 在中，，，， ∴， ∴， ∴如图所示，连接，    ∵，，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴当点到达点时，旋转的角度为， ∴的运动时间为（秒）． （2）解：∵，，， ∴， ∴点F经过的路径长度为． （3）解：∵，， ∴， ∴，即旋转结束时，点与点重合， 设在旋转过程中，如图所示，与交于点，    当点F与点D重合时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点H在线段BQ上， 当平移到点在上时，如图所示，    ∴， ∴， ∴平移的时间为（秒）， ∴点在区域（含边界）内的时长为（秒）． （4）解：的平移距离为， 如图所示，由（3）的平移可知，是等边三角形，      设， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查矩形，直角三角形与旋转，平移的综合，掌握矩形的性质，旋转的性质，平移的性质，三角形函数的计算，勾股定理等知识是解题的关键． 1．（2025·北京·二模）如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变． ①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系； ②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想； (3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据旋转的性质可得，得出，进而根据四边形内角和得出，即可证明； ②根据旋转的性质可得，得出，进而根据四边形内角和得出，即可证明 （3）依题意重合，，轴，进而求得，根据勾股定理求得，即可得证． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①猜想，， ②证明：如图1，延长交于点， ∵， ∴ ∵，点关于对称轴的对称点为 ∴， ∴的中点为，在轴上，即，同理可得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， 又∵,分别为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即； （3）∵， ∴当点恰好落在上时，此时重合， ， 即，轴 ∵，当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形． 2．（已知ABCD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F． （1）若点E的位置如图1所示． ①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °； ②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论； （2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是 ． （3）若点E的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且，设∠F=α，则α的取值范围为 ． 【答案】（1）①70；②∠F=∠BED，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3） 【分析】（1）①过F作FG//AB，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），求得∠ABF+∠CDF=70，即可求解； ②分别过E、F作EN//AB，FM//AB，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF，即可求解； （2）根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系； （3）通过对的计算求得，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得，即可求得． 【详解】（1）①过F作FG//AB，如图： ∵AB∥CD，FG∥AB， ∴CD∥FG， ∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG， ∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE=2∠ABF， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDE=2∠CDF， ∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60+80=140， ∴∠ABF+∠CDF=70， ∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70， 故答案为：70； ②∠F=∠BED， 理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB， ∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE， ∴∠BED=∠ABE+∠CDE， ∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线， ∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF， 即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）； 同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF， ∴∠F=∠BED； （3）2∠F+∠BED=360°． 如图，过点E作EG∥AB， 则∠BEG+∠ABE=180°， ∵AB∥CD，EG∥AB， ∴CD∥EG， ∴∠DEG+∠CDE=180°， ∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE）， 即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE）， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE=2∠ABF， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDE=2∠CDF， ∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF）， 由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF， ∴∠BED=360°-2∠BFD， 即2∠F+∠BED=360°； （3）∵，∠F=α， ∴， 解得：， 如图， ∵∠CDE 为锐角，DF是∠CDE的角平分线， ∴∠CDH=∠DHB， ∴∠F∠DHB，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解． 3．（25-26·北京·一模）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 【答案】(1)； (2)四边形的形状是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，； （2）根据折叠的性质得，，，再根据矩形的性质得，则，进而推出，证明四边形是平行四边形，再由可得四边形是菱形； （3）如图，连接，，先根据折叠的性质得，，证明四边形是正方形，得，再根据折叠的性质和矩形的性质推出，然后证明得，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处， ∴，， 故答案为：；； （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 根据折叠的性质得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）证明：如图，连接，， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处， ∴，， ∵是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 4．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【答案】(1) (2)，，；秒或秒或秒 【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解； （2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可； 分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变， 故再从图看出：，， ， 故答案为：，，； 如图，过作交于点， 由翻折得，， ，， ， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， 当点从运动到图为止时，， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒， 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（25-26·北京·一模）综合与实践 问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题． 如图1，是的中位线．则，且． (1)如图1，若，则________； (2)回顾证法： 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）． 请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程； 已知：中，点，分别是，的中点． 求证：，且． (3)方法迁移： 如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线的定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质等知识点，熟读题意合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据中位线定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可； （3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可． 【详解】（1）∵是的中位线， ∴ （2）解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，且 （3）延长到点，使，连接，，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明，根据三角形三边之间的关系即可进行解答； （2）交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证及即可； （4）过点C作交于点M，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】解：（1）延长到点E，使． ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）解：如下图，延长交延长线于点， ∵， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点， ， ， ，，， ， ∵， ， ， 则， ． （3）延长至点，使得，连接、、， ∵， ， ，， ，且， ， ， ∵， ， ，， ∵， ， ， 同理可得，， ． （4）过点C作交于点M，如图， 由（3）可知， ， ， 和互余， ， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，作出辅助线推理论证是解题的关键． 7．（25·北京大兴·二模）已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．    (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值． (3)如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)当点落在上时，，当点落在上时， (3)的长度分别为2或或或． 【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值； （3）在旋转过程中，等腰有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ∵点F是点E关于的对称点， ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． （2） 解：设平移中的三角形为，如图所示：    由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，，，． ①当点落在上时，， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ，， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ，即； （3）解：存在．理由如下： 在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形： ①如图所示，点Q落在延长线上，且，则，   ， ，， ， ， ． 在中，由勾股定理得：． ； ②如图所示，点Q落在上，且，则，   ， ， ， 则此时点落在边上． ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ； ③如图所示，点Q落在上，且，则．   ，， ． ， ． ， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， ； ④如图所示，点Q落在上，且，则．   ，，， ， ， ． 综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使为等腰三角形；的长度分别为2或或或． 【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论． 8．嘉淇做数学探究实验，示意图如下：，，，均为直角三角形，其中，，，，，． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点O逆时针方向旋转，，与边分别交于点，； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，当点与点重合时停止运动． (1)如图2，当时，∠______； (2)如图2，嘉淇发现的值为定值，请求出值； (3)如图3，从初始位置到点落在CE上，求的度数及线段的长； (4)如图4，当点落在上时，直接写出点平移的距离． 【答案】(1)， (2)8， (3)，． (4) 【分析】（1）、是等腰直角三角形，利用三角形外角的性质可求，进而可得，由此即可解题； （2）由已知易证，可得即可解题； （3）根据等腰直角三角形的底角等于和对相关角进行计算，得出，再证明垂直平分，即可得出，，即可得出， （4）在图4上构造等腰直角三角形，解含直角三角形，求出，从而得出即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ （4）解：如图，在上取一点M，使， ∵ ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴， 即点平移的距离为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，平移的性质掌握以上知识是解题的关键．问题（4）构造等腰直角三角形解直角三角形是解题难点． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $