专题08 函数基础与一次函数、反比例函数（题型专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 函数基础与一次函数、反比例函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 函数基础 题型02 一次函数 题型03 反比例函数 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 函数基础 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 方法透视 考向解读 1. 判断函数增减变化趋势，结合图象升降与自变量变化，判断增减性，是中考高频基础题型。 2.精确找出点的坐标，读懂题意中字母所代表的实际意义。 方法技能 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（    ）； A．匀速变化            B．先快后慢            C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·零模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 题型02 一次函数 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于，直接写出m的取值范围． 方法透视 考向解读 1. 判断一次函数与正比例函数，区分解析式形式、自变量次数，辨析函数类型，是中考选择填空常考题型。 2. 辨别一次函数增减性，k>0图象上升、y随x增大而增大；k<0图象下降、y随x增大而减小。 3. 区分图象象限分布、与坐标轴交点坐标，结合、符号快速判断图象位置，数形结合快速解题。 4. 理解待定系数法、一次函数实际应用，会求解析式、比较函数值、求解交点与范围问题。 5. 易错点判断，正比例函数是特殊一次函数；b决定上下平移，k决定倾斜方向，切勿混淆符号规律。 方法技能 一次函数看k、 b，k定增减b定截距； 正比例函数过原点；交点联立解方程，图象象限细分辨。 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·零模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 题型03 反比例函数 典例引领 【典例01】（2026·北京通州区·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 【典例02】（2026·北京平谷区·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 方法透视 考向解读 1.判断反比例函数解析式形式，区分正比例、一次函数与反比例函数，辨析函数类型，是中考基础常考题。 2. 辨别反比例函数比例系数k的符号，k>0图象在一、三象限，k<0图象在二、四象限。 3. 区分双曲线增减规律，每一象限内单调变化，跨象限不能直接比较函数值，避免概念错误。 4. 理解k的几何意义，双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积等于∣k∣，常用于几何计算。 5. 易错点判断，反比例函数图象无限靠近坐标轴但永不相交；增减性必须强调在每个象限内。 方法技能 反比图象双曲线，k定象限记心间； 各象之内看增减，跨象比较行不通； 矩形面积等于k，无限靠近不相连。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京十一学校·月考)已知，是反比例函数图象上的两个点，则_________（用“>”“<”或“=”填空）． 【变式02】(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是_________． 【变式03】(25-26九·北京第二中教育集团·零模)如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 题●型●训●练 1．（2026·北京三帆中学·零模）在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 2．(25-26九·北京文汇中学·零模)生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率______超过（填“能”或“不能”) ．根据以上实验数据和结果，解决下列问题： (1)请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象． (2)请直接写出p的值，______； (3)当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率______（填“大于”“小于”或“等于”) ． 3．（2026·北京燕山区·一模）沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下： 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： (1)在探究一中，时漏下沙子的质量约为_____（结果保留小数点后一位）； (2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为_____； (3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）． 4．(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． （小时） 0 1 2 4 6 8 0 0 (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为__________小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为__________小时（结果保留小数点后一位）； ②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为__________毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为__________毫克/立方米． 5．（2026·北京三帆中学·零模）已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 6．(25-26九·北京文汇中学·零模)在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． (1)求k和b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 7．（2026·北京燕山区·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 8．(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围． 9．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 10．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 11．(25-26九下·北京第四中学·零模)在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 12．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过原点． (1)求b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 13．(25-26九下·北京十一学校·月考)某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出水所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为_________L； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为_________s（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为_________mm（结果保留小数点后一位）． 14．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 (1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 15．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 16．(25-26九下·北京第四中学·零模)在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 (1)补全表格（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数基础与一次函数、反比例函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 函数基础 题型02 一次函数 题型03 反比例函数 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 函数基础 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②二； 【分析】（1）观察表格信息即可得出结论； （2）用描点法画图象即可； （3）①由表格可知：时 ；当时 ，列方程 即可得出结论； ②结合图象及表格信息即可得出结论. 【详解】（1）解：由图象可知：当时， ； 当时， ； ∴当整数的值为时，的值首次低于； （2）解：根据表格绘图，如下图所示： （3）解：①由表格可知：时 ； 当时 ， ∴ 即：； ②若先记忆资料一时， 当时，，当 时，， ∴； 若先记忆资料二时， 当时， ，当 时， ， ∴， ∵， ∴从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料二，此时记忆保持率和的最大值是. 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）先求出与t的关系式为，再求出当时的值，即可得解； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①先求出与的关系式为，当时，，解得；当时，，解得，由此即可得出结果； ②先求出机器人B编织的总面积，再结合表格计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与t的关系可以近似用正比例函数刻画， ∴设， 将代入解析式可得， 解得：， ∴与t的关系式为， 当时，， ∴； （2）解：画出与t，与t的函数图象如图所示： （3）解：①观察图象可得与满足二次函数关系，设， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（负值不符合题意，舍去）或， ∴它们完成产品所用的时间相差； ②由题意可得：平编产品总面积为， 绞编产品总面积为， ∵当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为， ∴机器人B编织的总面积为， ， 即机器人B编织了45件，又编制了， 根据图象可得：机器人B编织需要的时间约为，编制需要，即机器人B编织1件产品需要， 故机器人B出现故障前大约工作了． 方法透视 考向解读 1. 判断函数增减变化趋势，结合图象升降与自变量变化，判断增减性，是中考高频基础题型。 2.精确找出点的坐标，读懂题意中字母所代表的实际意义。 方法技能 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（    ）； A．匀速变化            B．先快后慢            C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 【答案】(1)，图见解析 (2)C； (3) 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； （克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； （2）解：观察图象可知，在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ，解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ，解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】(1)750 (2)见解析 (3)② (4)8 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，且已知时的路程，所以先求出乙的匀速速度，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【详解】（1）解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； （2）解：的图象如下； （3）解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； （4）解：乙同学跑了，跑了， 则匀速速度， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为8分． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·零模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)，7 (3) 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． （2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． （3）该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 题型02 一次函数 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)且 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的值； （2）分成当，两种情况进行分析即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点和， ， 解得，即， ∴的值为，的值为． （2）解：由上可得函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∵，， ∴和的函数是从左到右为下降的直线， 当时，不等式需对所有成立， 整理得， 要使该不等式对任意大的正数都成立，则的系数必须非负，即， 解得， 结合，得． 当时，将代入和中， 即，， ∵函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴将代入时，， 即， 解得：， 综上可得：且． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值又小于，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得函数，由题意可得当时，，且，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得函数， 由题意可得：当时，，且， 对，整理得， 当，即时，，需，解得， 当时，不等式恒成立，即； 当，即时，，不满足题意， 综合可得； 对，整理得， 当时，，需，解得， 当时，，不满足题意， 综合可得； 综上所述，． 方法透视 考向解读 1. 判断一次函数与正比例函数，区分解析式形式、自变量次数，辨析函数类型，是中考选择填空常考题型。 2. 辨别一次函数增减性，k>0图象上升、y随x增大而增大；k<0图象下降、y随x增大而减小。 3. 区分图象象限分布、与坐标轴交点坐标，结合、符号快速判断图象位置，数形结合快速解题。 4. 理解待定系数法、一次函数实际应用，会求解析式、比较函数值、求解交点与范围问题。 5. 易错点判断，正比例函数是特殊一次函数；b决定上下平移，k决定倾斜方向，切勿混淆符号规律。 方法技能 一次函数看k、 b，k定增减b定截距； 正比例函数过原点；交点联立解方程，图象象限细分辨。 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， 当时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意，可知当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象，结合图像得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴，解得； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·零模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方，且两个图象相交于点． ∴要大于， ∴． 题型03 反比例函数 典例引领 【典例01】（2026·北京通州区·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求解反比例函数解析式． 先将点代入反比例函数解析式求出，得到反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【典例02】（2026·北京平谷区·一模）已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 方法透视 考向解读 1.判断反比例函数解析式形式，区分正比例、一次函数与反比例函数，辨析函数类型，是中考基础常考题。 2. 辨别反比例函数比例系数k的符号，k>0图象在一、三象限，k<0图象在二、四象限。 3. 区分双曲线增减规律，每一象限内单调变化，跨象限不能直接比较函数值，避免概念错误。 4. 理解k的几何意义，双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积等于∣k∣，常用于几何计算。 5. 易错点判断，反比例函数图象无限靠近坐标轴但永不相交；增减性必须强调在每个象限内。 方法技能 反比图象双曲线，k定象限记心间； 各象之内看增减，跨象比较行不通； 矩形面积等于k，无限靠近不相连。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京十一学校·月考)已知，是反比例函数图象上的两个点，则_________（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数中的符号，判断函数图象的分布与同一象限内的增减性，再根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可. 【详解】解：已知反比例函数为 根据反比例函数的性质可得， 当时，函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 因为点，的横坐标都小于， 所以两点都在第三象限的反比例函数图象上. 因为 ， 所以． 【变式02】(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出y的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当，， 故答案为：． 【变式03】(25-26九·北京第二中教育集团·零模)如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 题●型●训●练 1．（2026·北京三帆中学·零模）在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 【答案】(1)， (2)B (3)C，B，A 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 2．(25-26九·北京文汇中学·零模)生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率______超过（填“能”或“不能”) ．根据以上实验数据和结果，解决下列问题： (1)请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象． (2)请直接写出p的值，______； (3)当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率______（填“大于”“小于”或“等于”) ． 【答案】(1)6；不能；图见解析 (2)4 (3)小于 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，正确读懂函数图象和画出对应的函数图象是解题的关键． （1）观察函数图象可得，当菌剂添加量为时，生活垃圾在水解时的水解率最高；根据表格中的数据画出函数图象，由函数图象可知，随着时间的增加，生活垃圾水解率增长变缓，则可推出当水解时，生活垃圾水解率在的基础上增加将不超过，据此可得答案； （2）由表格可知当时，对应的水溶解率为，再由所给函数图象即可得到答案； （3）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率在水解48小时，达到约，那么；而当菌剂添加量为时，第96小时的水解率为，那么小时的水解率小于 【详解】（1）解：观察函数图象可得：当菌剂添加量为时，生活垃圾在水解时的水解率最高， 在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为 故答案为： 把表格中的数据描点，连线． 从实验数据看，随着时间的增加，生活垃圾水解率增长变缓，当水解时，生活垃圾水解率在的基础上增加将不超过， ∵， ∴从函数图象看，当时，对应的y的值小于 故答案为：不能． （2）解：通过第二个表格可得：当时，对应的水溶解率为，由第一个图表中的实验数据可得水溶解率在第48小时为的菌剂添加量为， 故答案为： （3）解：由第一个表格可得：当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率在水解48小时，达到约，那么； 当菌剂添加量为时，观察第二个表格可得，第96小时的水解率为，那么小时的水解率小于 故答案为：小于． 3．（2026·北京燕山区·一模）沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下： 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： (1)在探究一中，时漏下沙子的质量约为_____（结果保留小数点后一位）； (2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为_____； (3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)①见详解 ；②（答案不唯一） 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，表格数据的统计和分析． （1）根据表格中的数据提取信息，根据数据间的关系解答即可； （2）根据表格中的数据提取信息，得出答案； （3）①根据表格中的已知数据在直角坐标系中描出坐标点，连接各点形成光滑的曲线即为函数的图象； ②根据①中所得函数图象，找到为时的值即可． 【详解】（1）解：∵探究一中，时，，时，， ∵是和的中点， ∴可以近似取和时的中间值，即， ∴可以近似取；（答案不唯一） （2）解：∵探究一中：漏完沙子需， 对照探究二数据：当时，漏完沙子所用的时间， ∴探究一中所用沙漏的孔径为； （3）解：①描点坐标：，，，，，并绘制函数的图象如下图， ②观察①所得函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，即当时，对应的孔径的值约等于．（答案不唯一） 4．(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)某实验室研究两种不同型号的空气净化器对室内的净化效果，将一台净化器放入密闭的污染房间内，初始浓度为毫克/立方米．记净化时间为（单位：小时），净化器降低的浓度为（单位：毫克/立方米），净化器降低的浓度为（毫克/立方米），部分实验数据如下：通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系． （小时） 0 1 2 4 6 8 0 0 (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出和的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当净化时间约为__________小时，两种净化器降低的浓度相同；当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为__________小时（结果保留小数点后一位）； ②现有两种净化方案：方案甲：全程使用净化器A至第6小时；方案乙：先使用净化器B至第2小时，然后停止B，改用净化器A继续净化至第6小时．假定两种净化器的净化效果只与净化时间有关，请结合以上资料计算：在第6小时时，方案甲的剩余浓度为__________毫克/立方米，方案乙的剩余浓度为__________毫克/立方米． 【答案】(1)见解析 (2)，，，． 【分析】本题主要考查对实验数据的分析、函数图像的绘制，以及利用数据解决实际问题的能力． （1）描点绘制出大致函数图； （2）①观察表格和图象，找出两种净化器降低的浓度相同和的交点；从2到4时，设为一次函数，可得当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间；②依据表格分别求出两种方案剩余浓度． 【详解】（1）解：如图 （2）解：①观察表格和图象，当净化时间约为2.2小时，两种净化器降低的浓度相同； 由图可知∶ 从2到4时，可近似为一次函数，设解析式为． 当时，；时，，则 解得 当时， ，解得． 则当降低的浓度首次达到5毫克/立方米时，净化器A所需时间约为小时 故答案为∶，． ②第6小时两种方案的剩余浓度 方案甲∶全程使用净化器A，第6小时降低的浓度毫克/立方米， 初始浓度为毫克/立方米， 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 方案乙∶先使用净化器B至第2小时，毫克/立方米； 再使用净化器A从第2小时到第6小时，净化器A在这4小时降低的浓度为（毫克/立方米） 剩余浓度为∶（毫克/立方米） 故答案为∶，． 5．（2026·北京三帆中学·零模）已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得时，的值，再根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 把代入， 可得， 解得； （2）解：由（1）可得直线解析式为，反比例函数解析式为， 如图，根据题意可得 ， 根据，可得， ， 根据，可得， ， ， 当时，解得，，，（舍）， 根据图象可得若时，或． 6．(25-26九·北京文汇中学·零模)在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． (1)求k和b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)k的值为1，b的值为 (2)且 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为： 将代入，则， ∴直线的图象过定点， 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过点时， 则，解得：； 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过定点时， 则，解得：； 综上，m的取值范围为:且． 7．（2026·北京燕山区·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键． （1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将代入解析式即可求出点坐标； （2）根据题意将代入求出的最小值，再根据题意将代入求出的最大值，即为本题答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴将点和代入中， ，解得：， ∴该函数的表达式为：， ∵与过点且平行于轴的直线交于点， ∴将代入中，得， ∴； （2）解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于， ， 通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，， 当的函数值大于函数的值将代入中，， ∴的取值范围为：． 8．(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)已知函数为，若当时，对每一个的值，都有整数n，使得成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数解析式的求解及不等式恒成立问题，结合“存在整数间隔”的条件，分情况讨论系数符号，从而确定参数范围是解答本题的关键． （1）先利用函数图象过点直接求出，再将点代入含的解析式，通过解方程求出，即可求得函数的解析式； （2）先将已知条件转化为对所有恒成立，且与之间存在整数，再整理得到关于的不等式，然后分、、三类讨论，通过代入特殊值验证和不等式推导，最终确定的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得， ∴函数； （2）解：当时，对每一个的值，需存在整数满足， ∵对所有成立， ∴， 整理得， 分三种情况讨论： ①当时，取（满足），则 ，， 此时，不符合题意，舍去； ②当时，，则对于： ， ∵， ∴， ∴，即恒成立， 同时，说明与之间必然存在整数，符合题意； ③当时，取（满足），则 ，， 此时， 若，则，与之间不存在整数，不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为． 9．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将交点代入直线，计算得出m，进而得出点A坐标；再将点A代入，进行计算即可； （2）根据题意可得、，进而可求出，再根据题意分和两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线， 得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入直线， 得： 解得：； （2）解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 线段的长为 ， 当时，线段的长恒大于1， 在时恒成立， ∴当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最小值在， 则当时， 解得， ∴； 当时，，恒成立， 当时，随n的增大而减小，最小值在， 则当时， 解得， ∴， ∴k的取值范围为； 当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最大值在， 则当时， 解得，无解； 当时，，不成立，无解； 当时，随n的增大而减小，最大值在， 则当时， 解得，无解； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题核心是交点坐标的性质与绝对值不等式的区间恒成立，第1问利用交点满足两直线解析式求解；第2问将线段长转化为绝对值式，分类讨论一次函数增减性，关键是恒成立的最值分析． 10．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点和代入一次函数求解即可得； （2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴随的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6， 则随的增大而增大，且当时，，即， ∴． 11．(25-26九下·北京第四中学·零模)在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴ 12．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过原点． (1)求b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的平移问题，一次函数与不等式的关系等． （1）先得到平移后的函数解析式得到，再代入原点坐标即可求解； （2）画出图象，找出临界位置求解即可． 【详解】（1）解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到， 平移后的图象过原点， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，， 当时，， ， 解得； 如解图，当直线与函数的图象平行时，， 此时直线在函数图象的下方． 综上，m的取值范围是． 13．(25-26九下·北京十一学校·月考)某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出水所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为_________L； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为_________s（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为_________mm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)①见解析②③ 【分析】本题主要考查了正比例函数、函数关系探究以及函数图象的绘制． （1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系，设（），代入一组数据时，，即可解答； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象；②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为的水龙头放出水所用的时间；③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【详解】（1）解：因为同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：L）与放水时间t（单位：s）成正比例函数关系，故设（）， 当时，，将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； （2）①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． 14．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 (1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①23，2.4；②10或28 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据温度每增加，导电性能增加求解即可； （2）用描点法画出图象即可； （3）①先求出与x，与x之间的函数解析式，由可求解； ②分两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：温度每增加，导电性能增加， ∴， 故答案为：； （2）如图， （3）由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系， 设， 由题意，得， 解得， ∴． 设， 由题意，得， 解得， ∴， ①由题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 把代入，得． ∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为， 故答案为：23，2.4； ②当室内导电性比室外导电性高时， 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为， 故答案为：10或28． 15．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】(1)见详解 (2)①②③8 【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先逐个描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答． ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答． ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8 16．(25-26九下·北京第四中学·零模)在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 (1)补全表格（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 【答案】(1)补全表格见解析 (2)图见解析 (3)①0.7；②． 【详解】（1）解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 故答案为：2.70 （2）根据表格数据描点，连线，画图如下： （3）①由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ②由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $